九年级数学中考专题—二次函数动点问题综合
2020年九年级数学中考三轮压轴专题：《二次函数动点综合》
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根
3．在平面直角坐标系中，对于任意三点 A，B，C，给出如下定义：若矩形的任何一条边均 与某条坐标轴平行或重合，且 A，B，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点 A， B，C 的外延矩形，点 A，B，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形称为点 A，B，C 的最 佳外延矩形．例如，图①中的矩形 A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3CD3，都是点 A，B，C 的外延矩 形，矩形 A3B3CD3 是点 A，B，C 的最佳外延矩形． （1）如图②，已知 A（﹣1，0），B（3，2），点 C 在直线 y＝x﹣1 上，设点 C 的横坐标 为 t．
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7．已知抛物线 C1：y＝ax2+bx+c 向左平移 1 个单位长度，再向上平移 4 个单位长度得到抛
物线 C2：y＝x2．
（1）直接写出抛物线 C1 的解析式
；
（2）如图 1，已知抛物线 C1 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A 在点 B 的左侧，点 P（ ，t）
示，且它的“孪生函数”的解析式为 y＝
．
（1）直接写出函数 y＝x+1 关于点（1，2）的“孪生函数”的解析式．
（2）请在图③的平面坐标系（单位长度为 1）中画出函数 y＝ 关于点（﹣1，﹣3）的
“孪生函数”的图象，并求出图象上到 x 轴距离为 6 的所有点的坐标． （3）点 M 是函数 G：y＝﹣x2+4x﹣3 的图象上的一点，设点 M 的横坐标为 m，G′是函数 G 关于点 M 的“孪生函数”． ①当 m＝1 时，若函数值 y 的范围是﹣1≤y＜1，求此时自变量 x 的取值范围； ②直接写出以点 A（1，1）、B（﹣1，1）、C（﹣1，﹣1）、D（1，﹣1）为顶点的正方 形 ABCD 与函数 G′的图象只有两个公共点时，m 的取值范围．
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析
中考数学——二次函数的综合压轴题专题复习含答案解析一、二次函数1．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点为G．（1）求抛物线和直线AC的解析式；（2）如图，设E（m，0）为x轴上一动点，若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE＝S△CGO，求点E的坐标；（3）如图，设点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动，运动时间为ts，点M为射线AC上一动点，过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N．试探究点P在运动过程中，是否存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3；直线AC解析式为：y＝3x+3；（2）点E 坐标为（1，0）或（﹣7，0）；（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【解析】【分析】（1）用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式．（2）△CGE与△CGO虽然有公共底边CG，但高不好求，故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算．延长GC交x轴于点F，则△FGE与△FCE的差即为△CGE．（3）设M的坐标（e，3e+3），分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论，利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系，用e表示相关线段并列方程求解，再根据e与AP的关系求t 的值．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c过点A（-1，0），B（3，0），C（0，3），, 解得：，∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，设直线AC解析式为y=kx+3，∴-k+3=0，得：k=3，∴直线AC解析式为：y=3x+3.（2）延长GC交x轴于点F，过G作GH⊥x轴于点H，∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，∴G（1，4），GH=4，∴S△CGO=OC•x G=×3×1=，∴S△CGE=S△CGO=×=2，①若点E在x轴正半轴上，设直线CG：y=k1x+3，∴k1+3=4 得：k1=1，∴直线CG解析式：y=x+3，∴F（-3，0），∵E（m，0），∴EF=m-（-3）=m+3，∴S△CGE=S△FGE-S△FCE=EF•GH-EF•OC=EF•（GH-OC）=（m+3）•（4-3）=，∴=2，解得：m=1，∴E的坐标为（1，0）.②若点E在x轴负半轴上，则点E到直线CG的距离与点（1，0）到直线CG距离相等，即点E到F的距离等于点（1，0）到F的距离，∴EF=-3-m=1-（-3）=4，解得：m=-7 即E（-7，0），综上所述，点E坐标为（1，0）或（-7，0）.（3）存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，设M（e，3e+3），则y N=y M=3e+3，①若∠MPN=90°，PM=PN，如图2，过点M作MQ⊥x轴于点Q，过点N作NR⊥x轴于点R，∵MN∥x轴，∴MQ=NR=3e+3，∴Rt△MQP≌Rt△NRP（HL），∴PQ=PR，∠MPQ=∠NPR=45°，∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3，∴x N=x M+3e+3+3e+3=7e+6，即N（7e+6，3e+3），∵N在抛物线上，∴-（7e+6）2+2（7e+6）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∵AP=t，OP=t-1，OP+OQ=PQ，∴t-1-e=3e+3，∴t=4e+4=，②若∠PMN=90°，PM=MN，如图3，∴MN=PM=3e+3，∴x N=x M+3e+3=4e+3，即N（4e+3，3e+3），∴-（4e+3）2+2（4e+3）+3=3e+3，解得：e1=-1（舍去），e2=−，∴t=AP=e-（-1）=−+1＝，③若∠PNM=90°，PN=MN，如图4，∴MN=PN=3e+3，N（4e+3，3e+3），解得：e=−，∴t=AP=OA+OP=1+4e+3=，综上所述，存在以P，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形，t的值为或或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中三角形面积计算，等腰直角三角形的性质，解一元二次方程，考查了分类讨论和方程思想．第（3）题根据等腰直角三角形的性质找到相关线段长的关系是解题关键，灵活运用因式分解法解一元二次方程能简便运算．2．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．（1）求抛物线的解析式；（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113+113+3）点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝12CD＝CE．利用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛物线的解析式联立，得出方程组22333y x xy x⎧=--⎨=-+⎩，求解即可得出点Q的坐标．【详解】（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），∴x1+x2＝m，x1•x2＝﹣（m+1），∵x12+x22﹣x1x2＝13，∴（x1+x2）2﹣3x1x2＝13，∴m2+3（m+1）＝13，即m2+3m﹣10＝0，解得m1＝2，m2＝﹣5．∵OA＜OB，∴抛物线的对称轴在y轴右侧，∴m＝2，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）连接BE、OE．∵在Rt△BCD中，∠CBD＝90°，EC＝ED，∴BE＝12CD＝CE．令y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵C（0，﹣3），∴OB ＝OC ，又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ，∴△OBE ≌△OCE （SSS ），∴∠BOE ＝∠COE ，∴点E 在第四象限的角平分线上，设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3，得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝1132±， ∵点E 在第四象限，∴E 点坐标为（113+，﹣113+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．∵S △ACQ ＝2S △AOC ，∴S △ACF ＝2S △AOC ，∴AF ＝2OA ＝2，∴F （1，0）．∵A （﹣1，0），C （0，﹣3），∴直线AC 的解析式为y ＝﹣3x ﹣3．∵AC ∥FQ ，∴设直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +b ，将F （1，0）代入，得0＝﹣3+b ，解得b ＝3，∴直线FQ 的解析式为y ＝﹣3x +3．联立22333y x x y x ⎧=--⎨=-+⎩， 解得11312x y =-⎧⎨=⎩，2223x y =⎧⎨=-⎩， ∴点Q 的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．【点睛】本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．3．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1，0）B（3，0）两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【解析】分析：（1）设交点式y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0，3），然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小，则此时△BDM的周长最小，然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b，把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3，再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时，利用同样的方法可求出此时P点坐标．详解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∴﹣2a=2，解得a=﹣1，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∴点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.综上所述，符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139）.点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．5．已知，点M 为二次函数2()41y x b b =--++图象的顶点，直线5y mx =+分别交x 轴正半轴，y 轴于点,A B .（1）如图1，若二次函数图象也经过点,A B ，试求出该二次函数解析式，并求出m 的值. （2）如图2，点A 坐标为(5,0)，点M 在AOB ∆内，若点11(,)4C y ，23(,)4D y 都在二次函数图象上，试比较1y 与2y 的大小.【答案】（1）2(2)9y x =--+,1m =-；（2）①当102b <<时，12y y >；②当12b =时，12y y =；③当1425b <<时，12y y < 【解析】 【分析】 （1）根据一次函数表达式求出B 点坐标，然后根据B 点在抛物线上，求出b 值，从而得到二次函数表达式，再根据二次函数表达式求出A 点的坐标，最后代入一次函数求出m 值.（2）根据解方程组，可得顶点M 的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案． 【详解】（1）如图1，∵直线5y mx =+与y 轴交于点为B ，∴点B 坐标为(0,5)又∵(0,5)B 在抛物线上，∴25(0)41b b =--++，解得2b =∴二次函数的表达式为2(2)9y x =--+ ∴当0y =时，得15=x ，21x =- ∴(5,0)A代入5y mx =+得，550m +=，∴1m =-（2）如图2，根据题意，抛物线的顶点M 为(,41)b b +，即M 点始终在直线41y x =+上，∵直线41y x =+与直线AB 交于点E ，与y 轴交于点F ，而直线AB 表达式为5y x =-+解方程组415y xy x=+⎧⎨=-+⎩，得45215xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴点421(,)55E，(0,1)F∵点M在AOB∆内，∴45b<<当点,C D关于抛物线对称轴（直线x b=）对称时，1344b b-=-，∴12b=且二次函数图象的开口向下，顶点M在直线41y x=+上综上：①当12b<<时，12y y>；②当12b=时，12y y=；③当1425b<<时，12y y<.【点睛】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，难度系数大同学们需要认真分析即可.6．如图，在平面直角坐标系中有抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2和y＝a（x﹣h）2，抛物线y＝a （x﹣2）2﹣2经过原点，与x轴正半轴交于点A，与其对称轴交于点B；点P是抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2上一动点，且点P在x轴下方，过点P作x轴的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D，过点D作PD的垂线交抛物线y＝a（x﹣h）2于点D′（不与点D重合），连接PD′，设点P的横坐标为m：（1）①直接写出a的值；②直接写出抛物线y＝a（x﹣2）2﹣2的函数表达式的一般式；（2）当抛物线y＝a（x﹣h）2经过原点时，设△PDD′与△OAB重叠部分图形周长为L：①求PDDD'的值；②直接写出L与m之间的函数关系式；（3）当h为何值时，存在点P，使以点O、A、D、D′为顶点的四边形是菱形？直接写出h 的值．【答案】（1）①12；②y ＝212x ﹣2x ； （2）①1；②L ＝2(22)(02)21(221)4(24)2m m m m π⎧+<⎪⎨-++<<⎪⎩…； （3）h ＝±3 【解析】 【分析】（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中计算即可；②y ＝212x ﹣2x ； （2）将（0，0）代入y ＝a （x ﹣h ）2中，可求得a ＝12，y ＝12x 2，待定系数法求OB 、AB 的解析式，由点P 的横坐标为m ，即可表示出相应线段求解；（3）以点O 、A 、D 、D ′为顶点的四边形是菱形，DD ′＝OA ，可知点D 的纵坐标为2，再由AD ＝OA ＝4即可求出h 的值． 【详解】解：（1）①将x ＝0，y ＝0代入y ＝a （x ﹣2）2﹣2中， 得：0＝a （0﹣2）2﹣2， 解得：a ＝12； ②y ＝212x ﹣2x ；． （2）∵抛物线y ＝a （x ﹣h ）2经过原点，a ＝12； ∴y ＝12x 2， ∴A （4，0），B （2，﹣2），易得：直线OB 解析式为：y ＝﹣x ，直线AB 解析式为：y ＝x ﹣4 如图1，222111,2,,,(,0),(,),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①221122,222PD m m m m DD m '⎛⎫=--== ⎪⎝⎭PD 2m 1DD 2m'∴== ②如图1，当0＜m ≤2时，L ＝OE +EF +OF ＝2(22)m m m m ++=+，当2＜m ＜4时，如图2，设PD ′交x 轴于G ，交AB 于H ，PD 交x 轴于E ，交AB 于F ，则222111,2,,,(,0),(,4),,222P m m m D m m E m F m m D m m '⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 2211(4)23422PF m m m m m ⎛⎫=---=-+- ⎪⎝⎭，2222322m 22,PG m 22m 2422FH PH PF ===-+-=-+ ∵DD ′∥EGEG PE DD PD '∴=，即：EG •PD ＝PE •DD ′，得：EG •（2m ）＝（2m ﹣12m 2）•2m ∴EG ＝2m ﹣12m 2，EF ＝4﹣m ∴L ＝EG +EF +FH +GH ＝EG +EF +PG2212242222m m m m ⎛⎫=-+-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭221m (221)m 42+=-+++ 2(22)m(0m 2)21m (221)m 4(2m 4)L ⎧+<⎪∴=⎨+-+++<<⎪⎩…；（3）如图3，∵OADD ′为菱形 ∴AD ＝AO ＝DD ′＝4， ∴PD ＝2，23PA =23h ∴=±【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，菱形的性质，抛物线的平移等，解题时要注意考虑分段函数表示方法．7．如图，抛物线y ＝ax 2+bx ﹣1(a ≠0)交x 轴于A ，B (1，0)两点，交y 轴于点C ，一次函数y ＝x +3的图象交坐标轴于A ，D 两点，E 为直线AD 上一点，作EF ⊥x 轴，交抛物线于点F (1)求抛物线的解析式；(2)若点F 位于直线AD 的下方，请问线段EF 是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E 的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G ，使得G ，E ，D ，C 为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G 的坐标．【答案】(1)抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)4912，(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．【解析】【分析】（1）利用待定系数法确定函数关系式；（2）由函数图象上点的坐标特征：可设点E的坐标为（m，m+3），点F的坐标为（m，1 3m2+23m﹣1），由此得到EF＝﹣13m2+13m+4，根据二次函数最值的求法解答即可；（3）分三种情形①如图1中，当EG为菱形对角线时．②如图2、3中，当EC为菱形的对角线时，③如图4中，当ED为菱形的对角线时，分别求解即可．【详解】解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣2，﹣2﹣1)，2，2﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG 垂直平分CD ∴点E 的纵坐标y ＝132-+＝1， 将y ＝1带入y ＝x +3，得x ＝﹣2． ∵EG 关于y 轴对称， ∴点G 的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG 为菱形时，以点D 为圆心，DC 的长为半径作圆，交AD 于点E ，可得DC ＝DE ，构造菱形CDEG 设点E 的坐标为(n ，n +3)， 点D 的坐标为(0，3)∴DE ＝22(33)n n ++-＝22n ∵DE ＝DC ＝4， ∴22n ＝4，解得n 1＝﹣22，n 2＝22．∴点E 的坐标为(﹣22，﹣22+3)或(22，22+3) 将点E 向下平移4个单位长度可得点G ，点G 的坐标为(﹣22，﹣22﹣1)(如图2)或(22，22﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE 为菱形时，以点C 为圆心，以CD 的长为半径作圆，交直线AD 于点E ，设点E 的坐标为(k ，k +3)，点C 的坐标为(0，﹣1)． ∴EC ＝22(0)(31)k k -+++＝22816k k ++． ∵EC ＝CD ＝4， ∴2k 2+8k +16＝16， 解得k 1＝0(舍去)，k 2＝﹣4． ∴点E 的坐标为(﹣4，﹣1) 将点E 上移1个单位长度得点G ． ∴点G 的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G 的坐标为(2，1)，(﹣22，﹣22﹣1)，(22，22﹣1)，(﹣4，3)．【点睛】本题考查二次函数综合题、轴对称变换、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．8．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或 【解析】 【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论． 【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥ ∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：257m m x （）-±-=即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+ ∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0）， 它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -）， 由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=- 56m m ∴==或 【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．9．如图，菱形ABCD 的边长为20cm ，∠ABC ＝120°，对角线AC ，BD 相交于点O ，动点P 从点A 出发，以4cm /s 的速度，沿A →B 的路线向点B 运动；过点P 作PQ ∥BD ，与AC 相交于点Q ，设运动时间为t 秒，0＜t ＜5．（1）设四边形PQCB 的面积为S ，求S 与t 的关系式；（2）若点Q 关于O 的对称点为M ，过点P 且垂直于AB 的直线l 交菱形ABCD 的边AD （或CD ）于点N ，当t 为何值时，点P 、M 、N 在一直线上？（3）直线PN 与AC 相交于H 点，连接PM ，NM ，是否存在某一时刻t ，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) S=﹣231003t +0＜t ＜5）； (2) 307;(3)见解析. 【解析】 【分析】（1）如图1，根据S=S △ABC -S △APQ ，代入可得S 与t 的关系式；（2）设PM=x ，则AM=2x ，可得3，计算x 的值，根据直角三角形30度角的性质可得3AM=AO+OM ，列方程可得t 的值；（3）存在，通过画图可知：N 在CD 上时，直线PN 平分四边形APMN 的面积，根据面积相等可得MG=AP ，由AM=AO+OM ，列式可得t 的值． 【详解】解：（1）如图1，∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=12∠ABC=60°，AC ⊥BD ， ∴∠OAB=30°， ∵AB=20，∴OB=10，3 由题意得：AP=4t ，∴PQ=2t ，AQ=23t ， ∴S=S △ABC ﹣S △APQ ， =11··22AC OB PQ AQ -， =111020322322t t ⨯⨯-⨯⨯ ， =﹣23t 2+1003（0＜t ＜5）； （2）如图2，在Rt △APM 中，AP=4t ， ∵点Q 关于O 的对称点为M ， ∴OM=OQ ， 设PM=x ，则AM=2x ， ∴AP=3x=4t ， ∴x=3， ∴AM=2PM=3， ∵AM=AO+OM ，∴3=103+103﹣23t ，t=307； 答：当t 为307秒时，点P 、M 、N 在一直线上； （3）存在，如图3，∵直线PN 平分四边形APMN 的面积， ∴S △APN =S △PMN ，过M 作MG ⊥PN 于G ，∴11··22PN AP PN MG = ， ∴MG=AP ，易得△APH ≌△MGH ，∴3，∵AM=AO+OM ，同理可知：3﹣3，3333t ，t=3011． 答：当t 为3011秒时，使得直线PN 平分四边形APMN 的面积．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，对称的性质，三角形和四边形的面积，二次根式的化简等知识点，计算量大，解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.10．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．【答案】（1）223y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=-+-，()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2y x bx c =-++中， 得：{103b c c --+==，解得：{23b c ==，∴抛物线的解析式为223y x x =-++．()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，∴点B 的坐标为()3,0．Q 抛物线的解析式为2223(1)4y x x x =-++=--+， ∴抛物线的对称轴为直线1x =．设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{303k d d +==，解得：{13k d =-=，∴直线BC 的解析式为3y x =-+． Q 当1x =时，32y x =-+=，∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．()3设点M 的坐标为()1,m ，则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=()22[11](0)AM m =--+-分三种情况考虑：①当90AMC ∠=o 时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，解得：11m =，22m =，∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；②当90ACM ∠=o 时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，解得：83m =， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫⎪⎝⎭；③当90CAM ∠=o 时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，解得：23m =-， ∴点M 的坐标为21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭综上所述：当MAC V 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=o 、ACM 90∠=o 和CAM 90∠=o 三种情况，列出关于m 的方程．11．如图，直线y ＝﹣x +4与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点，与x 轴另一交点为A ．点P 以每秒2个单位长度的速度在线段BC 上由点B 向点C 运动（点P 不与点B 和点C 重合），设运动时间为t 秒，过点P 作x 轴垂线交x 轴于点E ，交抛物线于点M ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图①，过点P 作y 轴垂线交y 轴于点N ，连接MN 交BC 于点Q ，当12MQ NQ =时，求t 的值；（3）如图②，连接AM 交BC 于点D ，当△PDM 是等腰三角形时，直接写出t 的值． 【答案】（1）y ＝﹣x 2+3x +4；（2）t 的值为12；（3）当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或t ﹣1． 【解析】 【分析】（1）求直线y=-x+4与x 轴交点B ，与y 轴交点C ，用待定系数法即求得抛物线解析式． （2）根据点B 、C 坐标求得∠OBC=45°，又PE ⊥x 轴于点E ，得到△PEB 是等腰直角三角形，由PB =求得BE=PE=t ，即可用t 表示各线段，得到点M 的横坐标，进而用m 表示点M 纵坐标，求得MP 的长．根据MP ∥CN 可证MPQ NCQ V V ∽，故有12MP MQ NC NQ ＝＝，把用t 表示的MP 、NC 代入即得到关于t 的方程，求解即得到t 的值． （3）因为不确定等腰△PDM 的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP ，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP ，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME ，把含t 的式子代入并解方程即可；③若MP=DP ，则∠PMD=∠PDM ，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF 进而得CF=CD ．用t 表示M 的坐标，求直线AM 解析式，求得AM 与y 轴交点F 的坐标，即能用t 表示CF 的长．把直线AM 与直线BC 解析式联立方程组，解得x 的值即为点D 横坐标．过D 作y 轴垂线段DG ，得等腰直角△CDG ，用DG 即点D 横坐标，进而可用t 表示CD 的长．把含t 的式子代入CF=CD ，解方程即得到t 的值． 【详解】（1）直线y ＝﹣x +4中，当x ＝0时，y ＝4 ∴C （0，4）当y ＝﹣x +4＝0时，解得：x ＝4 ∴B （4，0）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过B ，C 两点 ∴1640004b c c -++=⎧⎨++=⎩ 解得：34b c =⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+3x +4（2）∵B （4，0），C （0，4），∠BOC ＝90° ∴OB ＝OC∴∠OBC ＝∠OCB ＝45° ∵ME ⊥x 轴于点E ，PBt ∴∠BEP ＝90°∴Rt △BEP 中，2PE sin PBE PB ∠=＝∴BE PE t ＝＝， ∴4M P P x x OE OBBE t y PE t ＝＝＝﹣＝﹣，＝＝ ∵点M 在抛物线上∴2243445M y t t t t +++＝﹣（﹣）（﹣）＝﹣， ∴24MP MP y y t t +＝﹣＝﹣ ， ∵PN ⊥y 轴于点N∴∠PNO ＝∠NOE ＝∠PEO ＝90° ∴四边形ONPE 是矩形 ∴ON ＝PE ＝t ∴NC ＝OC ﹣ON ＝4﹣t ∵MP ∥CN ∴△MPQ ∽△NCQ ∴12MP MQ NC NQ == ∴24142t t t -+=-解得：12142t t ＝，＝（点P 不与点C 重合，故舍去） ∴t 的值为12（3）∵∠PEB ＝90°，BE ＝PE ∴∠BPE ＝∠PBE ＝45° ∴∠MPD ＝∠BPE ＝45°①若MD ＝MP ，则∠MDP ＝∠MPD ＝45° ∴∠DMP ＝90°，即DM ∥x 轴，与题意矛盾 ②若DM ＝DP ，则∠DMP ＝∠MPD ＝45° ∵∠AEM ＝90° ∴AE ＝ME∵y ＝﹣x 2+3x +4＝0时，解得：x 1＝﹣1，x 2＝4 ∴A （﹣1，0）∵由（2）得，x M ＝4﹣t ，ME ＝y M ＝﹣t 2+5t ∴AE ＝4﹣t ﹣（﹣1）＝5﹣t ∴5﹣t ＝﹣t 2+5t解得：t 1＝1，t 2＝5（0＜t ＜4，舍去）③若MP ＝DP ，则∠PMD ＝∠PDM如图，记AM 与y 轴交点为F ，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ∴∠CFD ＝∠PMD ＝∠PDM ＝∠CDF ∴CF ＝CD∵A （﹣1，0），M （4﹣t ，﹣t 2+5t ），设直线AM 解析式为y ＝ax +m ∴()2045a m a t m t t -+=⎧⎨-+=-+⎩ 解得：a tm t =⎧⎨=⎩ ， ∴直线AM ：y tx t +＝ ∴F （0，t ） ∴CF ＝OC ﹣OF ＝4﹣t ∵tx +t ＝﹣x +4，解得：41tx t -=+， ∴41D x tt DG -=+＝＝， ∵∠CGD ＝90°，∠DCG ＝45° ∴)2421t CD DG t -+＝＝，∴)2441t t t -+﹣ 解得：21t ＝﹣综上所述，当△PDM 是等腰三角形时，t ＝1或21t ＝﹣． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．12．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．【答案】（1）抛物线的表达式为：228y x x =-++，直线AB 的表达式为：21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．【解析】 【分析】（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ，，即可求解；（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）二次函数表达式为：()219y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：228y x x =-++…①， 则点()3,5B ，将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，设点()2,28D x x x -++，点(),21H x x -，∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()()()()21112821139112222DAC C A S DH x x x x x x =-=-++-++=--⨯V ， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++， 解得：17s =±故点()17,2P 或()17,2；综上，点()6,16P -或()4,16--或()17,2或()17,2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．13．已知矩形ABCD 中，AB =5cm ，点P 为对角线AC 上的一点，且AP =25cm .如图①，动点M 从点A 出发，在矩形边上沿着A B C →→的方向匀速运动(不包含点C ).设动点M 的运动时间为t (s )，APM ∆的面积为S (cm ²)，S 与t 的函数关系如图②所示： (1)直接写出动点M 的运动速度为 /cm s ，BC 的长度为 cm ;(2)如图③，动点M 重新从点A 出发，在矩形边上，按原来的速度和方向匀速运动.同时，另一个动点N 从点D 出发，在矩形边上沿着D C B →→的方向匀速运动，设动点N 的运动速度为()/v cm s .已知两动点M 、N 经过时间()x s 在线段BC 上相遇(不包含点C )，动点M 、N 相遇后立即停止运动，记此时APM DPN ∆∆与的面积为()()2212,S cm S cm . ①求动点N 运动速度()/v cm s 的取值范围;②试探究12S S ⋅是否存在最大值.若存在，求出12S S ⋅的最大值并确定运动速度时间x 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)2，10；(2)①2/6/3cm s v cm s ≤＜；②当154x =时，12S S ⋅取最大值2254. 【解析】 【分析】（1）由题意可知图像中0~2.5s 时，M 在AB 上运动，求出速度，2.5~7.5s 时，M 在BC 上运动，求出BC 长度；（2）①分别求出在C 点相遇和在B 点相遇时的速度，取中间速度，注意C 点相遇时的速度不能取等于；②过M 点做MH ⊥AC ，则125MH CM ==得到S 1，同时利用12()PAD CDM ABM N ABCD S S S S S S ∆∆∆+=---（N ）矩形=15，得到S 2，再得到12S S ⋅关于x 的二次函数，利用二次函数性质求得最大值 【详解】(1)5÷2.5=2/cm s ；（7.5-2.5）×2=10cm (2)①解：在C 点相遇得到方程57.5v= 在B 点相遇得到方程152.5v= ∴5=7.515=2.5vv⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩解得 23=5v v ⎧=⎪⎨⎪⎩。
初三复习二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动态问题（动点）1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长．（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =∠的点P 有 个．（抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．()()01084A B ，，，，86FB FA ∴==，．10AB ∴=．（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=，．P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．图①图②GA AP FA AB ∴=，即610GA t=．35GA t ∴=．3105OG t ∴=-．4OQ t =+，()113410225S OQ OG t t ⎛⎫∴=⨯⨯=+- ⎪⎝⎭．即231920105S t t =-++． 19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时4763311051555GP t OG t ===-=，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（8分）方法二：当5t =时，1637922OG OQ S OG OQ ====，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．抛物线过点()63102852⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，1001020286325520.2a b a b ++=⎧⎪∴⎨++=⎪⎩，31019.5a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，231920105S t t ∴=-++．19195323210b a -=-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，且190103≤≤， ∴当193t =时，S 有最大值． 此时7631155GP OG ==，，∴点P 的坐标为7631155⎛⎫⎪⎝⎭，．（4）2．[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
中考数学压轴题二次函数动点问题
中考数学压轴题⼆次函数动点问题⼆次函数压轴题1.如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点.（1）求抛物线的解析式.（2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有⼀动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另⼀个动点Q 以某⼀速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在⼀点M ，使MQ+MC 的值最⼩？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。
2.如图9，在平⾯直⾓坐标系中，⼆次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan∠ACO＝31．（1）求这个⼆次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平⾏四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上⼀点，点P 是直线AG 下⽅的抛物线上⼀动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的⾯积最⼤？求出此时P 点的坐标和△APG 的最⼤⾯积.3.如图，已知抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）。
⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，在其对称轴的右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 是等腰三⾓形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标;若不存在，请说明理由;⑶若点M 是抛物线上⼀点，以B 、C 、D 、M 为顶点的四边形是直⾓梯形，试求出点M 的坐标。
4.已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）求△ABC 的⾯积；（4）若点E 是线段AB 上的⼀个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m，△CEF 的⾯积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出⾃变量m 的取值范围；（5）在（4）的基础上试说明S 是否存在最⼤值，若存在，请求出S 的最⼤值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．5.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的⼀个交点为A(-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另⼀个交点B 的坐标；⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平⾯内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平⾏四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．6、如图，已知抛物线c bx x y ++-=2与x 轴负半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，且OA =OB .（1）求b +c 的值；（2）若点C 在抛物线上，且四边形OABC 是平⾏四边形，求抛物线的解析式；（3）在（2）条件下，点P （不与A 、C 重合）是抛物线上的⼀点，点M 是y 轴上⼀点，当△BPM 是等腰直⾓三⾓形时，求点M 的坐标. 7、如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c （a ≠0）与x于点C ，顶点D (1，- 92). （1）求抛物线对应的函数关系式；（2）求四边形ACDB 的⾯积；（3）若平移(1)仅有两个交点，请直接写出⼀个平移后的抛物线的关系式.]8、如图a ，在平⾯直⾓坐标系中，A (0，6)，B (4，0).（1）按要求画图：在图a 中，以原点O 为位似中⼼，按⽐例尺1:2，将△AOB 缩⼩，得到△DOC ，使△AOB 与△DOC 在原点O 的两侧；并写出点A 的对应点D的坐标为,点B 的对应点C 的坐标为；（2）已知某抛物线经过B 、C 、D 三点，求该抛物线的函数关系式,并画出⼤致图象；（3）连接DB ，若点P 在CB 上，从点C 向点B 以每秒1个单位运动，点Q 在BD 上，从点B 向点D 以每秒1个单位运动，若P 、Q 两点同时分别从点C 、点B 点出发，经过t 秒，当t 为何值时，△BPQ 是等腰三⾓形？9、（2013k x +-2的图象与y 轴相交于点B （0M 恰好经过顶点A ．（1）求k 3t ，且点P 在该抛物线的对称轴l 试探索：①当S 1＜S ＜S 2时，求t 的取值范围备⽤图图a（其中：S 为△PAB 的⾯积，S 1为△OAB 的⾯积，S 2为四边形OACB 的⾯积）；②当t 取何值时，点P 在⊙M 上．（写出t 的值即可）10 如图1，在平⾯直⾓坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．（1）求这条抛物线的表达式；（2）连结OM ，求∠AOM 的⼤⼩；（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．11 如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（⽤含b 的代数式表⽰）；（2）请你探索在第⼀象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的⾯积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直⾓顶点的等腰直⾓三⾓形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进⼀步探索在第⼀象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三⾓形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．12 如图1，已知抛物线的⽅程C 1：1(2)()y x x m m=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的⾯积；（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找⼀点H，使得BH＋EH最⼩，求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三⾓形与△BCE相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．13 .如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的⾯积为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．⽤含S的代数式表⽰x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停⽌运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某⼀时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三⾓形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三⾓形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．14. 如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的⼀个动点，过P作PM⊥x轴，垂⾜为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三⾓形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上⽅的抛物线是有⼀点D，使得△DCA的⾯积最⼤，求出点D 的坐标．,。
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合(考察动点坐标、长度、面积等)(五)
2021年九年级数学中考复习专题：二次函数综合（考察动点坐标、长度、面积等）（五）1．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式及顶点坐标；（2）若P是线段OB上一动点，过P作y轴的平行线交抛物线于点H，交BC于点N，设OP＝t时，△BCH的面积为S．求S关于t的函数关系式；若S有最大值，请求出S的最大值，若没有，请说明理由．（3）若P是x轴上一个动点，过P作射线PQ∥AC交抛物线于点Q，随着P点的运动，在抛物线上是否存在这样的点P，使以A，P，Q，C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点且与x轴的负半轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）若D为直线AB上方抛物线上的一个动点，当∠ABD＝2∠BAC时，求D点的坐标；（3）已知E，F分别是直线AB和抛物线上的动点，当以B，O，E，F为顶点的四边形是平行四边形，且以BO为边时，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L：y＝ax2+c与x轴相交于A、B两点，顶点C（0，2）．AB＝2．点M（m，0）是x轴正半轴上一点，抛物线L关于点M对称的抛物线为L'．（1）求抛物线L的函数表达式；（2）点P是第一象限抛物线L上一点，点P到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线L'上的对应点为P'．设E是抛物线L上的动点，E'是点E在抛物线L'上的对应点，试探究四边形PEP'E′能否成为正方形．若能，求出m的值；若不能，请说明理由．4．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），抛物线的顶点为P，连接AC．（1）求此抛物线的表达式；（2）在抛物线上找一点D，使得DC与AC垂直，且直线DC与x轴交于点Q，求D的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点M，使得S△MAP ＝3S△ACP，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．5．已知，如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点B、C，与y轴交于点A，且AO＝CO，BC＝4．（1）求抛物线解析式；（2）如图2，点P是抛物线第二象限上一点，连接PB交y轴于点Q，设点P的横坐标为t，线段OQ长为d，求d与t之间的函数关系式；（3）在（2）的条件下，过点Q作直线l⊥y轴，在l上取一点M（点M在第一象限），连接AM，使AM＝PQ，连接CP并延长CP交y轴于点K，过点P作PN⊥l于点N，连接KN、CN、CM．若∠MCN+∠NKQ＝45°时，求t值．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B 左侧），与y轴交于点C，过点C作CD⊥y轴，交抛物线于点D，连结AD．（1）点P为线段AD上方抛物线上的一动点，点E是线段AD上一动点，连结PA，PD，PE，当△PAD面积最大时，求PE+AE的最小值；（2）在（1）中，PE+AE取得最小值时，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，将△AEF 绕点F顺时针旋转90°后得到△A′E′F，点A、E的对应点分别为A′、E′，在直线AD 上是否存在一点Q，使得△DE′Q为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，直线y＝﹣x与该抛物线交于E，F两点．（1）求抛物线的解析式．（2）P是直线EF下方抛物线上的一个动点，作PH⊥EF于点H，求PH的最大值．（3）以点C为圆心，1为半径作圆，⊙C上是否存在点M，使得△BCM是以CM为直角边的直角三角形？若存在，直接写出M点坐标；若不存在，说明理由．10．已知：抛物线y＝x2﹣2（m﹣1）x﹣1﹣m （1）当m＝2时，求该抛物线的对称轴和顶点坐标；（2）设该抛物线与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，与y轴交于点C，且满足﹣＝，求这个抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，是否存在着直线y＝kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积？若存在，求出k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）把点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）代入抛物线的解析式为y＝x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，∴顶点的坐标为（1，﹣4）；（2）如图1，设直线BC的解析式为y＝kx+d（k≠0），当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝3，x2＝﹣1，∴B（3，0），将B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+d中，得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝x﹣3，∵OP＝t，设点P的坐标为（t，0），则点N的坐标为（t，t﹣3），H（t，t2﹣2t﹣3），∴NH＝t﹣3﹣（t2﹣2t﹣3）＝﹣t2+3t，∴S＝S△BCH＝NH•OB＝＝﹣t＝﹣，∵0≤t≤3，﹣，∴当t＝时，S取最大值，最大值为；（3）分两种情况：①当Q在x轴的上方时，如图2和图4，四边形ACPQ是平行四边形，根据A（﹣1，0）和C（0，﹣3）可知：点Q的纵坐标为3，当y＝3时，x2﹣2x﹣3＝3，解得：x1＝1+，x2＝1﹣，∴P（2+，0）或（2﹣，0）；②当Q在x轴的上方时，如图3，四边形ACQP是平行四边形，当y＝﹣3时，由对称得：Q（2，﹣3），∴P（1，0）；综上，P点的坐标为（2+，0）或（2﹣，0）或（1，0）．2．解：（1）在中，令y＝0得x＝4，令x＝0得y＝2，∴A（4，0），B（0，2），把A（4，0），B（0，2）代入，得，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）如图，过点B作BE∥x轴，交抛物线于点E，过点D作BE的垂线，垂足为F，∵BE ∥x 轴，∴∠BAC ＝∠ABE ，∵∠ABD ＝2∠BAC ，∴∠ABD ＝2∠ABE ，即∠DBE +∠ABE ＝2∠ABE ，∴∠DBE ＝∠ABE ，∴∠DBE ＝∠BAC ，设D 点的坐标为（x ，﹣x 2+x +2），则BF ＝x ，DF ＝﹣x 2+x ，∵tan ∠DBE ＝，tan ∠BAC ＝， ∴，即＝，解得x 1＝0（舍去），x 2＝2，当x ＝2时，﹣x 2+x +2＝3，∴点D 的坐标为（2，3）；（3）当BO 为边时，OB ∥EF ，OB ＝EF设E （m ，﹣m +2），F （m ，﹣m 2+m +2），EF ＝|（﹣m +2）﹣（﹣m 2+m +2）|＝2，解得m 1＝2，m 2＝2﹣2，m 3＝2+2，∴E 点的坐标为（2，1）或（2﹣2，1+）或（2+2，1﹣）． 3．解：（1）由题意抛物线的顶点C （0，2），A （﹣，0），设抛物线的解析式为y ＝ax 2+2，把A （﹣，0）代入可得a ＝﹣1， ∴抛物线L 的函数表达式为y ＝﹣x 2+2．（2）结论：四边形PEP ′E ′能成为正方形．理由：情形1，如图1中，作PK ⊥x 轴于K ，EH ⊥x 轴于H ．由题意易知P（1，1），当△PME是等腰直角三角形时，四边形PEP′E′是正方形，∴PM＝ME，∠PME＝90°，由△PKM≌△MHE，可得PK＝MH＝1，MK＝EH＝1﹣m，∴E（m+1，m﹣1），∵点E在y＝﹣x2+2上，∴m﹣1＝﹣（m+1）2+2，解得m＝或（舍弃），∴m＝时，四边形PMP′N是正方形．情形2，如图2中，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣1，1﹣m），把E（m﹣1，1﹣m）代入y＝﹣x2+1中，1﹣m＝﹣（m﹣1）2+2，解得m＝3或0（舍弃），∴m ＝3时，四边形PEP ′E ′是正方形．综上，四边形PEP ′E ′能成为正方形，m ＝或3．4．解：（1）设此抛物线的解析式为：y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）， ∵抛物线与x 轴交于A （﹣1，0）、B （3，0）两点，∴y ＝a （x +1）（x ﹣3），又∵抛物线与y 轴交于点C （0，﹣3），∴a （0+1）（0﹣3）＝﹣3，∴a ＝1，∴y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）∵点A （﹣1，0），点C （0，﹣3），∴OA ＝1，OC ＝3，∵DC ⊥AC ，∴∠DCO +∠OCA ＝90°，∵OC ⊥x 轴，∴∠COA ＝∠COQ ＝90°，∠OAC +∠OCA ＝90°，∴∠DCO ＝∠OAC ，∴△QOC ∽△COA ， ∴，即＝，∴OQ＝9，又∵点Q在x轴的正半轴上，∴Q（9，0），设直线QC的解析式为：y＝mx+n，则，解得，∴直线QC的解析式为：y＝x﹣3，∵点D是抛物线与直线QC的交点，∴，解得，∴点D（，﹣）；（3）存在，理由：如图，点M为直线x＝1上一点，连接AM，PC，PA，设点M（1，y），直线x＝1与x轴交于点E，∴E（1，0），∵A （﹣1，0），∴AE ＝2，∵抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3的顶点为P ，对称轴为x ＝1，∴P （1，﹣4），∴PE ＝4，则PM ＝|y +4|，∵S 四边形AEPC ＝S 四边形OEPC +S △AOC ＝×1×（3+4）+×1×3＝5，又∵S 四边形AEPC ＝S △AEP +S △ACP ，S △AEP ＝AE ×PE ＝×2×4＝4，∴S △ACP ＝5﹣4＝1，∵S △MAP ＝3S △ACP ，∴12×2×|y +4|＝2×1，∴|y +4|＝2，∴y 1＝﹣1，y 2＝﹣7，故抛物线的对称轴上存在点M 使S △MAP ＝3S △ACP ，点M 的坐标为（1，﹣1）或（1，﹣7）．5．解：（1）如图1，当x ＝0时，y ＝3，∴A （0，3），∴OA ＝OC ＝3，∵BC ＝4，∴OB ＝1，∴B（1，0），C（﹣3，0），把B（1，0），C（﹣3，0）代入抛物线y＝ax2+bx+3中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图2，设P（t，﹣t2﹣2t+3）（﹣3＜t＜0），过P作PG⊥x轴于G，∵OQ∥PG，∴△BOQ∽△BGP，∴，∴，∴d＝＝t+3（﹣3＜t＜0）；（3）如备用图，连接AN，延长PN交x轴于G，由（2）知：OQ＝t+3，OA＝3，∴AQ＝OA﹣OQ＝3﹣（t+3）＝﹣t，∴QN＝OG＝AQ＝﹣t，∴△AQN是等腰直角三角形，∴∠QAN＝45°，AN＝﹣t，∵PG∥OK，∴，∴，∴OK＝3﹣3t，∴AK＝﹣3t，∵∠QAN＝∠NKQ+∠ANK，∴∠NKQ+∠ANK＝45°，∵∠MCN+∠NKQ＝45°，∴∠ANK＝∠MCN，∵NG＝CG＝t+3，∴△NGC是等腰直角三角形，∴NC＝（t+3），∠GNC＝45°，∴∠CNH＝∠NCM+∠NMC＝45°，∴∠NKQ＝∠NMC，∴△AKN∽△NMC，∴，∵AQ＝QN＝﹣t，AM＝PQ，∴Rt△AQM≌△Rt△QNP（HL），∴MQ＝PN＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，∴，∴t2+7t+9＝0，t 1＝，t2＝，∵﹣3＜t＜0，∴t＝．6．解：（1）∵抛物线的顶点为（1，﹣4），∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4，将点C（0，﹣3）代入抛物线y＝a（x﹣1）2﹣4中，得a﹣4＝﹣3，∴a＝1，∴抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；（2由（1）知，抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴B（3，0），A（﹣1，0），令x＝0，则y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∴AC＝，设点E（0，m），则AE＝，CE＝|m+3|，∵△ACE是等腰三角形，∴①当AC＝AE时，＝，∴m＝3或m＝﹣3（点C的纵坐标，舍去），∴E（0，3），②当AC＝CE时，＝|m+3|，∴m＝﹣3±，∴E（0，﹣3+）或（0，﹣3﹣），③当AE＝CE时，＝|m+3|，∴m＝﹣，∴E（0，﹣），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，﹣3+）、（0，﹣3﹣）、（0，﹣）；（3）如图，存在，∵D（1，﹣4），∴将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，∴点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线y＝x2﹣2x﹣3中得，t2﹣2t﹣3＝4，∴t＝1+2或t＝1﹣2，∴Q（1+2，4）或（1﹣2，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，﹣4），∴FB＝PG＝3﹣1＝2，∴点P的横坐标为（1+2）﹣2＝﹣1+2或（1﹣2）﹣2＝﹣1﹣2，即P（﹣1+2，0）、Q（1+2，4）或P（﹣1﹣2，0）、Q（1﹣2，4）．7．解：（1）∵抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），∴2＝a（0+6）（0﹣2），∴a＝﹣，∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2；针对于抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2），令y＝0，则﹣（x+6）（x﹣2）＝0，∴x＝2或x＝﹣6，∴A（﹣6，0）；（2）如图1，由（1）知，抛物线的对称轴为x＝﹣2，∴E（﹣2，0），∵C（0，2），∴OC＝OE＝2，∴CE＝OC＝2，∠CED＝45°，∵△CME是等腰三角形，∴①当ME＝MC时，∴∠ECM＝∠CED＝45°，∴∠CME＝90°，∴M（﹣2，2），②当CE＝CM时，∴MM1＝CM＝2，∴EM1＝4，∴M1（﹣2，4），③当EM＝CE时，∴EM2＝EM3＝2，∴M2（﹣2，﹣2），M3（﹣2，2），即满足条件的点M的坐标为（﹣2，2）或（﹣2，4）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2）；（3）如图2，由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣（x+6）（x﹣2）＝﹣（x+2）2+，∴D（﹣2，），令y＝0，则（x+6）（x﹣2）＝0，∴x＝﹣6或x＝2，∴点A（﹣6，0），∴直线AD的解析式为y＝x+4，过点P作PQ⊥x轴于Q，过点P'作P'Q'⊥DE于Q'，∴∠EQ'P'＝∠EQP＝90°，由（2）知，∠CED＝∠CEB＝45°，由折叠知，EP'＝EP，∠CEP'＝∠CEP，∴△PQE≌△P'Q'E（AAS），∴PQ＝P'Q'，EQ＝EQ'，设点P（m，n），∴OQ＝m，PQ＝n，∴P'Q'＝n，EQ'＝QE＝m+2，∴点P'（n﹣2，2+m），∵点P'在直线AD上，∴2+m＝（n﹣2）+4①，∵点P在抛物线上，∴n＝﹣（m+6）（m﹣2）②，联立①②解得，m＝或m＝，即点P的横坐标为或．8．解：（1）如图1，针对于抛物线y＝﹣x2+2x+3，令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，∴x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵CD⊥y轴，∴D（2，3），∴直线AD的解析式为y＝x+1，设点P（m，﹣m2+2m+3），过点P作PH∥y轴交AD于H，则H（m，m+1），∴PH＝﹣m2+2m+3﹣m﹣1＝﹣m2+m+2，＝PH（x D﹣x A）＝（﹣m2+m+2）×（2+1）＝﹣（x﹣）2+，∴S△PAD∴当x＝时，△PAD的面积最大，∴P（，），过点D作DG⊥x轴于G，∴DG＝3，OG＝2，∴AG＝3，∴AG＝DG，∴∠DAG＝45°，过点E作EF⊥x轴于F，则EF＝AE，要PE+AE最小，则PE+EF最小，∴点P，E，F在同一条线上时，∴PE+EF最小值＝y P＝，即PE+AE最小值为；（2）如图2，由（1）知，点P，E，F在同一条线上，∵EF⊥x轴，∴F（，0），∴EF＝AF＝﹣（﹣1）＝，由旋转知，E'F＝EF＝，∴OE'＝OF+E'F＝2，∴E'（2，0），∵D（2，3），∴DE'⊥x轴，∵△DE′Q为等腰三角形，∴①当QD＝QE'时，由旋转知，∠AEF＝∠E'EF＝45°，∴∠DEE'＝90°，∵∠ADE'＝45°，∴DE＝EE'，∴点P和点E重合，∵E（，），∴Q（，），②当DE'＝QE'时，由（1）知，AE'＝DE'，∴点Q和点A重合，∴Q（﹣1，0），③当DQ＝DE'时，设点Q（n，n+1），∴＝3，∴n＝2±，∴Q（2﹣，3﹣）或（2+，3+），即满足条件的点Q的坐标为（，）或（﹣1，0）或（2﹣，3﹣）或（2+，3+）．9．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣2（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2；（2）如图1，过点P作直线l，使l∥EF，过点O作OP'⊥l，当直线l与抛物线只有一个交点时，PH最大，等于OP'，∵直线EF的解析式为y＝﹣x，设直线l的解析式为y＝﹣x+m①，∵抛物线的解析式为y＝x2+x﹣2②，联立①②化简得，x2+x﹣2﹣m＝0，∴△＝﹣4××（﹣2﹣m）＝0，∴m＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x﹣，令y＝0，则x＝﹣，∴M（﹣，0），∴OM＝，在Rt△OP'M中，OP'＝＝，＝．∴PH最大（3）①当∠CMB＝90°时，如图2，∴BM是⊙O的切线，∵⊙C半径为1，B（1，0），∴BM2∥y轴，∴∠CBM2＝∠BCO，M2（1，﹣2），∴BM2＝2，∵BM1与BM2是⊙C的切线，∴BM1＝BM2＝2，∠CBM1＝∠CBM2，∴∠CBM1＝∠BCO，∴BD＝CD，在Rt△BOD中，OD2+OB2＝BD2，∴OD2+1＝（2﹣OD）2，∴OD＝，∴BD＝，∴DM1＝过点M1作M1Q⊥y轴，∴M1Q∥x轴，∴△BOD∽△M1QD，∴，∴，∴M1Q＝，DQ＝，∴OQ＝+＝，∴M1（﹣，﹣），②当∠BCM＝90°时，如图3，∴∠OCM3+∠OCB＝90°，∵∠OCB+∠OBC＝90°，∴∠OCM3＝∠OBC，在Rt△BOC中，OB＝1，OC＝2，∴tan∠OBC＝＝2，∴tan∠OCM3＝2，过点M3作M3H⊥y轴于H，在Rt△CHM3中，CM3＝1，设CH＝m，则M3H＝2m，根据勾股定理得，m2+（2m）2＝1，∴m＝，∴M3H＝2m＝，OH＝OC﹣CH＝2﹣，∴M3（﹣，﹣2），而点M4与M3关于点C对称，∴M4（，﹣﹣2），即：满足条件的点M的坐标为（﹣，﹣）或（1，﹣2）或（﹣，﹣2）或（，﹣﹣2）．10．解：（1）当m ＝2时，得出y ＝x 2﹣2x ﹣3＝（x ﹣1）2﹣4，∴抛物线的对称轴直线为x ＝1，顶点坐标为（1，﹣4）；（2）∵x 1＜0＜x 2，∴AO ＝﹣x 1，OB ＝x 2，又∵a ＝1＞0，∴CO ＝m +1＞0，∴m ＞﹣1， ∵﹣＝，∴CO （OB ﹣AO ）＝2AO •OB ，即（m +1）（x 1+x 2）＝﹣2x 1x 2针对于抛物线y ＝x 2﹣2（m ﹣1）x ﹣1﹣m ，令y ＝0，则0＝x 2﹣2（m ﹣1）x ﹣1﹣m ，∵x 1+x 2＝2（m ﹣1），x 1x 2＝﹣（1+m ），∴（m+1）•2（m﹣1）＝2（1+m），解得m＝﹣1（舍去），m＝2．∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3．（3）存在着直线y＝kx+b与抛物线交于点P、Q，使y轴平分△CPQ的面积，设点P的横坐标为x P，点Q的横坐标为x Q，直线与y轴交于点E，∵S△PCE ＝S△QCE，CE•|x P|＝CE•|x Q|，∴|x P|＝|x Q|，∵y轴平分△CPQ的面积，∴点P、Q在y轴异侧，即x P＝﹣x Q，由，得x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0而x P，x Q为x2﹣（k+2）x﹣（b+3）＝0的两根，∴x P+x Q＝k+2＝0，∴k＝﹣2，又∵直线与抛物线有两个交点，∴b+3＞0，即b＞﹣3，∴当k＝﹣2且b＞﹣3时直线y＝kx+b与抛物线交于点P，Q使y轴平分△CPQ的面积．。
中考压轴题-二次函数综合(八大题型+解题方法)——冲刺2024年中考数学考点押题(全国通用)(解析)
中考压轴题-二次函数综合 （八大题型+解题方法）1、求证“两线段相等”的问题：借助于函数解析式,先把动点坐标用一个字母表示出来；然后看两线段的长度是什么距离即是“点点”距离,还是“点轴距离”,还是“点线距离”,再运用两点之间的距离公式或点到x 轴y 轴的距离公式或点到直线的距离公式,分别把两条线段的长度表示出来,分别把它们进行化简,即可证得两线段相等;2、“平行于y 轴的动线段长度的最大值”的问题：由于平行于y 轴的线段上各个点的横坐标相等常设为t,借助于两个端点所在的函数图象解析式,把两个端点的纵坐标分别用含有字母t 的代数式表示出来,再由两个端点的高低情况,运用平行于y 轴的线段长度计算公式-y y 下上,把动线段的长度就表示成为一个自变量为t,且开口向下的二次函数解析式,利用二次函数的性质,即可求得动线段长度的最大值及端点坐标;3、求一个已知点关于一条已知直线的对称点的坐标问题：先用点斜式或称K ,且与已知直线垂直的直线解析式,再求出两直线的交点坐标,最后用中点坐标公式即可;4、“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离最大”的问题：方法1先求出定直线的斜率,由此可设出与定直线平行且与抛物线相切的直线的解析式注意该直线与定直线的斜率相等,因为平行直线斜率k 相等,再由该直线与抛物线的解析式组成方程组,用代入法把字母y 消掉,得到一个关于x 的的一元二次方程,由题有△=2b -4ac=0因为该直线与抛物线相切,只有一个交点,所以2b -4ac=0从而就可求出该切线的解析式,再把该切线解析式与抛物线的解析式组成方程组,求出x 、y 的值,即为切点坐标,然后再利用点到直线的距离公式,计算该切点到定直线的距离,即为最大距离; 方法2该问题等价于相应动三角形的面积最大问题,从而可先求出该三角形取得最大面积时,动点的坐标,再用点到直线的距离公式,求出其最大距离;方法3先把抛物线的方程对自变量求导,运用导数的几何意义,当该导数等于定直线的斜率时,求出的点的坐标即为符合题意的点,其最大距离运用点到直线的距离公式可以轻松求出;5、常数问题：1点到直线的距离中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之到定直线的距离等于一个 固定常数”的问题：先借助于抛物线的解析式,把动点坐标用一个字母表示出来,再利用点到直线的距离公式建立一个方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,进而利用抛物线解析式,求出动点的纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;2三角形面积中的常数问题：“抛物线上是否存在一点,使之与定线段构成的动三角形的面积等于一个定常数”的问题：先求出定线段的长度,再表示出动点其坐标需用一个字母表示到定直线的距离,再运用三角形的面积公式建立方程,解此方程,即可求出动点的横坐标,再利用抛物线的解析式,可求出动点纵坐标,从而抛物线上的动点坐标就求出来了;3几条线段的齐次幂的商为常数的问题：用K 点法设出直线方程,求出与抛物线或其它直线的交点坐标,再运用两点间的距离公式和根与系数的关系,把问题中的所有线段表示出来,并化解即可;6、“在定直线常为抛物线的对称轴,或x 轴或y 轴或其它的定直线上是否存在一点,使之到两定点的距离之和最小”的问题：先求出两个定点中的任一个定点关于定直线的对称点的坐标,再把该对称点和另一个定点连结得到一条线段,该线段的长度〈应用两点间的距离公式计算〉即为符合题中要求的最小距离,而该线段与定直线的交点就是符合距离之和最小的点,其坐标很易求出利用求交点坐标的方法;7、三角形周长的“最值最大值或最小值”问题：① “在定直线上是否存在一点,使之和两个定点构成的三角形周长最小”的问题简称“一边固定两边动的问题：由于有两个定点,所以该三角形有一定边其长度可利用两点间距离公式计算,只需另两边的和最小即可;② “在抛物线上是否存在一点,使之到定直线的垂线,与y 轴的平行线和定直线,这三线构成的动直角三角形的周长最大”的问题简称“三边均动的问题：在图中寻找一个和动直角三角形相似的定直角三角形,在动点坐标一母示后,运用=C C 动动定定斜边斜边,把动三角形的周长转化为一个开口向下的抛物线来破解;8、三角形面积的最大值问题：① “抛物线上是否存在一点,使之和一条定线段构成的三角形面积最大”的问题简称“一边固定两边动的问题”：方法1：先利用两点间的距离公式求出定线段的长度；然后再利用上面３的方法,求出抛物线上的动点到该定直线的最大距离;最后利用三角形的面积公式= 12底×高;即可求出该三角形面积的最大值,同时在求解过程中,切点即为符合题意要求的点;方法2：过动点向y 轴作平行线找到与定线段或所在直线的交点,从而把动三角形分割成两个基本模型的三角形,动点坐标一母示后,进一步可得到）（）（左（定）右（定）下（动）上（动）动三角形x x y y 21−⋅−=S ,转化为一个开口向下的二次函数问题来求出最大值;②“三边均动的动三角形面积最大”的问题简称“三边均动”的问题：先把动三角形分割成两个基本模型的三角形有一边在x 轴或y 轴上的三角形,或者有一边平行于x 轴或y 轴的三角形,称为基本模型的三角形面积之差,设出动点在x 轴或y 轴上的点的坐标,而此类题型,题中一定含有一组平行线,从而可以得出分割后的一个三角形与图中另一个三角形相似常为图中最大的那一个三角形;利用相似三角形的性质对应边的比等于对应高的比可表示出分割后的一个三角形的高;从而可以表示出动三角形的面积的一个开口向下的二次函数关系式,相应问题也就轻松解决了;9、“一抛物线上是否存在一点,使之和另外三个定点构成的四边形面积最大的问题”：由于该四边形有三个定点,,即可得到一个定三角形的面积之和,所以只需动三角形的面积最大,就会使动四边形的面积最大,而动三角形面积最大值的求法及抛物线上动点坐标求法与7相同;10、“定四边形面积的求解”问题： 有两种常见解决的方案：方案一：连接一条对角线,分成两个三角形面积之和；方案二：过不在x 轴或y 轴上的四边形的一个顶点,向x 轴或y 轴作垂线,或者把该点与原点连结起来,分割成一个梯形常为直角梯形和一些三角形的面积之和或差,或几个基本模型的三角形面积的和差11、“两个三角形相似”的问题： 两个定三角形是否相似：（1）已知有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出已知角的两条夹边,看看是否成比例 若成比例,则相似;否则不相似;（2）不知道是否有一个角相等的情形：运用两点间的距离公式求出两个三角形各边的长,看看是否成比例若成比例,则相似;否则不相似;一个定三角形和动三角形相似：（1）已知有一个角相等的情形：先借助于相应的函数关系式,把动点坐标表示出来一母示,然后把两个目标三角形题中要相似的那两个三角形中相等的那个已知角作为夹角,分别计算或表示出夹角的两边,让形成相等的夹角的那两边对应成比例要注意是否有两种情况,列出方程,解此方程即可求出动点的横坐标,进而求出纵坐标,注意去掉不合题意的点;2不知道是否有一个角相等的情形：这种情形在相似性中属于高端问题,破解方法是,在定三角形中,由各个顶点坐标求出定三角形三边的长度,用观察法得出某一个角可能是特殊角,再为该角寻找一个直角三角形,用三角函数的方法得出特殊角的度数,在动点坐标“一母示”后,分析在动三角形中哪个角可以和定三角形中的那个特殊角相等,借助于特殊角,为动点寻找一个直角三角形,求出动点坐标,从而转化为已知有一个角相等的两个定三角形是否相似的问题了,只需再验证已知角的两边是否成比例若成比例,则所求动点坐标符合题意,否则这样的点不存在;简称“找特角,求动点标,再验证”;或称为“一找角,二求标,三验证”;12、“某函数图象上是否存在一点,使之与另两个定点构成等腰三角形”的问题：首先弄清题中是否规定了哪个点为等腰三角形的顶点;若某边底,则只有一种情况；若某边为腰,有两种情况；若只说该三点构成等腰三角形则有三种情况;先借助于动点所在图象的解析式,表示出动点的坐标一母示,按分类的情况,分别利用相应类别下两腰相等,使用两点间的距离公式,建立方程;解出此方程,即可求出动点的横坐标,再借助动点所在图象的函数关系式,可求出动点纵坐标,注意去掉不合题意的点就是不能构成三角形这个题意;13、“某图象上是否存在一点,使之与另外三个点构成平行四边形”问题：这类问题,在题中的四个点中,至少有两个定点,用动点坐标“一母示”分别设出余下所有动点的坐标若有两个动点,显然每个动点应各选用一个参数字母来“一母示”出动点坐标,任选一个已知点作为对角线的起点,列出所有可能的对角线显然最多有3条,此时与之对应的另一条对角线也就确定了,然后运用中点坐标公式,求出每一种情况两条对角线的中点坐标,由平行四边形的判定定理可知,两中点重合,其坐标对应相等,列出两个方程,求解即可;进一步有：①若是否存在这样的动点构成矩形呢先让动点构成平行四边形,再验证两条对角线相等否若相等,则所求动点能构成矩形,否则这样的动点不存在;②若是否存在这样的动点构成棱形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边相等否若相等,则所求动点能构成棱形,否则这样的动点不存在;③若是否存在这样的动点构成正方形呢先让动点构成平行四边形,再验证任意一组邻边是否相等和两条对角线是否相等若都相等,则所求动点能构成正方形,否则这样的动点不存在;14、“抛物线上是否存在一点,使两个图形的面积之间存在和差倍分关系”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,后面的19实为本类型的特殊情形;先用动点坐标“一母示”的方法设出直接动点坐标,分别表示如果图形是动图形就只能表示出其面积或计算如果图形是定图形就计算出它的具体面积,然后由题意建立两个图形面积关系的一个方程,解之即可;注意去掉不合题意的点,如果问题中求的是间接动点坐标,那么在求出直接动点坐标后,再往下继续求解即可;15、“某图形〈直线或抛物线〉上是否存在一点,使之与另两定点构成直角三角形”的问题：若夹直角的两边与y轴都不平行：先设出动点坐标一母示,视题目分类的情况,分别用斜率公式算出夹直角的两边的斜率,再运用两直线没有与y轴平行的直线垂直的斜率结论两直线的斜率相乘等于-1,得到一个方程,解之即可;若夹直角的两边中有一边与y 轴平行,此时不能使用斜率公式;补救措施是：过余下的那一个点没在平行于y轴的那条直线上的点直接向平行于y的直线作垂线或过直角点作平行于y轴的直线的垂线与另一相关图象相交,则相关点的坐标可轻松搞定;16、“某图象上是否存在一点,使之与另两定点构成等腰直角三角形”的问题;①若定点为直角顶点,先用k点法求出另一直角边所在直线的解析式如斜率不存在,根据定直角点,可以直接写出另一直角边所在直线的方程,利用该解析式与所求点所在的图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再用两点间的距离公式计算出两条直角边等否若等,该交点合题,反之不合题,舍去;②若动点为直角顶点：先利用k点法求出定线段的中垂线的解析式,再把该解析式与所求点所在图象的解析式组成方程组,求出交点坐标,再分别计算出该点与两定点所在的两条直线的斜率,把这两个斜率相乘,看其结果是否为-1 若为-1,则就说明所求交点合题；反之,舍去;17、“题中含有两角相等,求相关点的坐标或线段长度”等的问题：题中含有两角相等,则意味着应该运用三角形相似来解决,此时寻找三角形相似中的基本模型“A”或“X”是关键和突破口;18、“在相关函数的解析式已知或易求出的情况下,题中又含有某动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或线段长”的问题：此为“单动问题”〈即定解析式和动图形相结合的问题〉,本类型实际上是前面14的特殊情形;先把动图形化为一些直角梯形或基本模型的三角形有一边在x 轴或ｙ轴上,或者有一边平行于x 轴或y 轴面积的和或差,设出相关点的坐标一母示,按化分后的图形建立一个面积关系的方程,解之即可;一句话,该问题简称“单动问题”,解题方法是“设点动点标,图形转化分割,列出面积方程”;19、“在相关函数解析式不确定系数中还含有某一个参数字母的情况下,题中又含有动图形常为动三角形或动四边形的面积为定常数,求相关点的坐标或参数的值”的问题：此为“双动问题”即动解析式和动图形相结合的问题;如果动图形不是基本模型,就先把动图形的面积进行转化或分割转化或分割后的图形须为基本模型,设出动点坐标一母示,利用转化或分割后的图形建立面积关系的方程或方程组;解此方程,求出相应点的横坐标,再利用该点所在函数图象的解析式,表示出该点的纵坐标注意,此时,一定不能把该点坐标再代入对应函数图象的解析式,这样会把所有字母消掉;再注意图中另一个点与该点的位置关系或其它关系,方法是常由已知或利用2问的结论,从几何知识的角度进行判断,表示出另一个点的坐标,最后把刚表示出来的这个点的坐标再代入相应解析式,得到仅含一个字母的方程,解之即可;如果动图形是基本模型,就无须分割或转化了,直接先设出动点坐标一母式,然后列出面积方程,往下操作方式就与不是基本模型的情况完全相同;一句话,该问题简称“双动问题”,解题方法是“转化分割,设点标,建方程,再代入,得结论”;常用公式或结论：1横线段的长 = 横标之差的绝对值 =-x x 大小=-x x 右左纵线段的长=纵标之差的绝对值=-y y 大小=-y y 下上 2点轴距离：点P 0x ,0y 到X 轴的距离为0y ,到Y 轴的距离为o x ; 3两点间的距离公式：若A 11,x y ,B 2,2x y , 则AB=目录：题型1：存在性问题 题型2：最值问题 题型3：定值问题 题型4：定点问题题型5：动点问题综合 题型6：对称问题 题型7：新定义题 题型8：二次函数与圆题型1：存在性问题1．（2024·四川广安·二模）如图，抛物线2y x bx c =−++交x 轴于()4,0A −，B 两点，交y 轴于点()0,4C ．(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D 在线段OA 上运动，过点D 作x 轴的垂线，与AC 交于点Q ，与抛物线交于点P ，连接AP 、CP ，求四边形AOCP 的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得以点A 、C 、M 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M【答案】(1)234y x x =−−+；(2)四边形AOCP 的面积最大为16；(3)点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．【分析】本题主要考查了二次函数综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++，求出b 和c 的值，即可得出函数解析式； （2）易得182AOCSOA OC =⋅=，设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，求出24PQ t t =−−，则()()212282ACP C A S PQ x x t =⋅−=−++，根据四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCS St =+=−++，结合二次函数的增减性，即可解答；（3）设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，根据两点之间距离公式得出232AC =，22254AM m =+，229(4)4CM m =+−，然后分情况根据勾股定理列出方程求解即可．【解析】（1）解：把()4,0A −，()0,4C 代入2y x bx c =−++得：01644b c c =−−+⎧⎨=⎩，解得：34b c =−⎧⎨=⎩，∴该二次函数的解析式234y x x =−−+；（2）解：∵()4,0A −，()0,4C ，∴4,4OA OC ==，∴1144822AOC S OA OC =⋅=⨯⨯=△，设直线AC 的解析式为4y kx =+， 代入()4,0A −得，044k =−+，解得1k =，∴直线AC 的解析式为4y x =+， 设()2,34P t t t −−+，则(),4Q t t +，∴()223444PQ t t t t t=−−+−+=−−∴()()()22114422822ACPC A SPQ x x t t t =⋅−=−−⨯=−++，∴四边形AOCP 的面积()22216ACP AOCSSt =+=−++，∵20−<，∴当2t =−时，四边形AOCP 的面积最大为16； （3）解：设3,2M m ⎛⎫− ⎪⎝⎭，∵()4,0A −，()0,4C ，∴2224432AC =+=，2222325424AM m m ⎛⎫=−++=+ ⎪⎝⎭，()()2222394424CM m m ⎛⎫=−+−=+− ⎪⎝⎭，当斜边为AC 时，AM CM AC 222+=，即()2225943244m m +++−=，整理得：24150m m ++=，无解；当斜边为AM 时，222AC CM AM +=，即2292532(4)44m m ++−=+，解得：112m =；∴311,22M ⎛⎫− ⎪⎝⎭当斜边为CM 时，222AC AM CM +=，即2225932(4)44m m ++=+−， 解得：52m =−；∴35,22M ⎛⎫−− ⎪⎝⎭综上：点M 的坐标为35,22⎛⎫−− ⎪⎝⎭或311,22⎛⎫− ⎪⎝⎭．2．（2024·内蒙古乌海·模拟预测）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线()240y ax bx a =+−≠与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()1,0−，且OC OB =，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称．(1)分别求出a ，b 的值和直线AD 的解析式；(2)直线AD 下方的抛物线上有一点P ，过点P 作PH AD ⊥于点H ，作PM 平行于y 轴交直线AD 于点M ，交x 轴于点E ，求PHM 的周长的最大值；(3)在（2）的条件下，如图2，在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上是否存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似？如果存在，请直接写出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)1a =，3b =−，=1y x −−(2)4+(3)存在，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，掌握二次函数的交点式、配方法求二次函数的最值、相似三角形的判定、等腰直角三角形的判定、一元二次方程的求根公式，列出PM 的长与a 的函数关系式是解题的关键．（1）先求得C 的坐标，从而得到点B 的坐标，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将点C 的坐标代入求解即可；先求得抛物线的对称轴，从而得到点()3,4D −，然后可求得直线AD 的解析式=1y x −−；（2）求得45BAD ∠=︒，接下来证明PMD △为等腰直角三角形，所当PM 有最大值时三角形的周长最大，设()2,34P a a a −−，()1M a −−，则223PM aa =−++，然后利用配方可求得PM 的最大值，最后根据MPH△的周长(1PM=求解即可；（3）当90EGN ∠=︒时，如果OA EG OC GN = 或OA GNOC EN =时，则AOC ∽EGN △，设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−，则1EG a =−，234NG aa =−++，然后根据题意列方程求解即可．【解析】（1）点A 的坐标为()1,0−，1OA ∴=．令0x =，则4y =−，()0,4C ∴−，4OC =，OC OB =Q ， 4OB ∴=，()4,0B ∴，设抛物线的解析式为()()14y a x x =+−，将0x =，4y =−代入得：44a −=−，解得1a =，∴抛物线的解析式为234y x x =−−；1a ∴=，3b =−； 抛物线的对称轴为33212x −=−=⨯，()0,4C −，点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称，()3,4D ∴−；设直线AD 的解析式为y kx b =+．将()1,0A −、()3,4D −代入得：034k b k b −+=⎧⎨+=−⎩，解得1k =−，1b =-，∴直线AD 的解析式=1y x −−；（2）直线AD 的解析式=1y x −−，∴直线AD 的一次项系数1k =−，45BAD ∴∠=︒． PM 平行于y 轴，90AEP ∴∠=︒，45PMH AME ∴∠=∠=︒．MPH ∴的周长(122PM MH PH PM MP PM PM =++=++=． 设()2,34P a a a −−，则(),1M a a −−， 则()22213423(1)4PM a a a a a a =−−−−−=−++=−−+．∴当1a =时，PM 有最大值，最大值为4．MPH ∴的周长的最大值(414=⨯=+（3）在直线EP 的右侧、x 轴下方的抛物线上存在点N ，过点N 作NG x ⊥轴交x 轴于点G ，使得以点E 、N 、G 为顶点的三角形与AOC 相似；理由如下：设点G 的坐标为(),0a ，则()2,34N a a a −−①如图2.1，若OA EG OC GN = 时，AOC ∽EGN △． 则 211344a a a −=−++，整理得：280a a +−=．得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭； ②如图2.2，若OA GN OC EN =时，AOC ∽NGE ，则21434a a a −=−++，整理得：2411170a a −−=，得：a =负值舍去)，∴点G为⎫⎪⎪⎝⎭， 综上所述，点G的坐标为⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭． 3．（2024·重庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，AC ．(1)求抛物线的表达式；(2)P 为直线BC 上方抛物线上一点，过点P 作PD BC ⊥于点D ，过点P 作PE x 轴交抛物线于点E，求4+PD PE 的最大值及此时点P 的坐标； (3)点C 关于抛物线对称轴对称的点为Q ，将抛物线沿射线CAy '，新抛物线y '与y 轴交于点M ，新抛物线y '的对称轴与x 轴交于点N ，连接AM ，MN ，点R 在直线BC 上，连接QR ．当QR 与AMN 一边平行时，直接写出点R 的坐标，并写出其中一种符合条件的解答过程．【答案】(1)2y x x =++(2)当154t =时，PE的最大值，15,416P ⎛ ⎝⎭， (3)R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式即可；（2）先求得2y x =2x =，过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，利用勾股定理求得BC ==DPF OBC ∽，得PF DP BC OB =即PF PD=，从而得PF =，求出设直线BC的解析式后，设2,P t ⎛+ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，从而2PF =+，当点P在E 点右侧时()424PE t t t =−−=−，从而得2154t ⎫=−⎪⎝⎭，利用二次函数的性质即可求解；当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，同理可求．然后比较4+PE 的最大值即可得出答案. （3）先求得1OA=，OC AC =设抛物线2y =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ，过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，得1OA OC AC WP HW PH ====，进而得平移后的抛物线2y x +'=，从而求得()1,0N，M ⎛ ⎝⎭，然后分QR AM ∥，QR MN ∥，QR AN ∥三种情况，利用二次函数的性质及一次函数的与二元一次方程的关系求解即可得解．【解析】（1）解：∵抛物线2y ax bx =+x 轴交于点()1,0A −，()5,0B 两点，代入坐标得：02550a b a b ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为255y x x =−++（2）解：∵)2225555y x x x =−+=−−+，∴2y x =2x=，顶点为⎛ ⎝⎭ 过点P 作PG x ⊥轴交BC 于点F ，当0x =时，200y =∴(C ∵()5,0B ∴BC ==∵PG x ⊥轴，PD BC ⊥，x 轴y ⊥轴，∴909090CBO BFG DPF PFD PDF BOC ∠∠∠∠∠∠+=︒+=︒==︒，，∵PFD BFG ∠∠=∴DPF CBO ∠∠=∴DPF OBC ∽，∴PF DP BC OB =即PF PD =，∴PF PD =∴44+PD PE =PF +PE ，设直线BC ：y kx b =+，把(C ，()5,0B 代入得：05k b b =+⎧⎪=，解得5k b ⎧=−⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC：y =设2,P t ⎛ ⎝，则,F t ⎛+ ⎝，∴22PF ⎛⎛=−+=+ ⎝⎝，∵2y x =2x =，PE x 轴，∴24,E t ⎛−+ ⎝当点P 在E 点右侧时：()424PE t t t =−−=−，当24PE t =−时：∴+PD PE =PF +()221524545416t t ⎛⎫=−+−=−−+ ⎪⎝⎭ ∴当154t =时，的最大值∴2151544⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴154P ⎛ ⎝⎭； 当点P 在E 点左侧时：442PE t t t =−−=−时，∴+PD PE =PF +()225424t t ⎫=−=−⎪⎝⎭， ∴当54t =时，的最大值．2,55P t ⎛−+ ⎝∴25544⎛⎫ ⎪⎝⎭∴5,416P ⎛ ⎝⎭，∵> 综上所诉，当点P 在E 点右侧时：即154t =时，的最大值，154P ⎛ ⎝⎭， （3）解：设直线AC ：y mx n =+，把()1,0A −，(C ， ∴1OA =，OC =∴AC ==设抛物线2y x =H ⎛ ⎝⎭平移后为P ， 过点P 作PW ⊥直线2x =，则AOC PWH ∽，∴1OA OC AC WP HW PH ====∴1PW =，HW=∴21,5P ⎛−⎝即1,5P ⎛ ⎝⎭，∴平移后的抛物线)22155555y x x x =−−+=−++'， ∴()1,0N令0x =，y '=，∴M ⎛ ⎝⎭ 如图，当QR AM ∥时，设直线AM 的解析式为：y px q =+，把M ⎛ ⎝⎭，()1,0A −代入得：0p q q =−+⎧=解得p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴直线AM的解析式为：y =， ∴设直线QR的解析式为：y x n =∵(C ，Q 和C 关于2x =对称，∴(Q把(Q代入5y x n =+45n +，解得n =，∴直线QR的解析式为：y = 联立直线QR的解析式y =与直线BC：y x =+55y x y x ⎧=−⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得3x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴R ⎛ ⎝⎭ 同理可得：当QR MN ∥时，6,5R ⎛− ⎝⎭ 当QR AN ∥时，(R所有符合条件的R点的坐标为⎛ ⎝⎭或6,⎛ ⎝⎭或(． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，勾股定理，抛物线的性质，抛物线平移，一次函数的平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，掌握待定系数法求抛物线解析式，抛物线的性质，抛物线平移，相似三角形的判定及性质，图形与坐标，利用辅助线画出准确图形是解题关键．题型2：最值问题4．（2024·安徽合肥·二模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线23y ax bx =+−与x 轴交于()1,0A −，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ．(1)求a ，b 的值；(2)点M 为线段BC 上一动点（不与B ，C 重合），过点M 作MP x ⊥轴于点P ，交抛物线于点N ． （ⅰ）如图1，当3PA PB=时，求线段MN 的长； （ⅱ）如图2，在抛物线上找一点Q ，连接AM ，QN ，QP ，使得PQN V 与APM △的面积相等，当线段NQ 的长度最小时，求点M 的横坐标m 的值．【答案】(1)1a =，2b =−(2)（ⅰ）2MN =；（ⅱ）m 的值为32或12【分析】本题考查诶粗函数的图象和性质，掌握待定系数法和利用函数性质求面积是解题的关键．（1）运用待定系数法求函数解析式即可；（2）（ⅰ）先计算BC 的解析式，然后设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+，根据题意得到方程133m m +=−求出m 值，即可求出MN 的长；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，然后分为点Q 在PN 的左侧和点Q 在PN 的右侧两种情况，根据勾股定理解题即可．【解析】（1）由题意得309330a b a b −−=⎧⎨+−=⎩，解得12a b =⎧⎨=−⎩；（2）（ⅰ）当0x =时，3y =−，∴()0,3C −，设直线BC 为3y kx =−，∵点()3,0B ，∴330k −=，解得1k =，∴直线BC 为3y x =−，设(),3M m m −，则3PM PB m ==−，1PA m =+， ∵3PA PB =， ∴133m m +=−，解得2m =，经检验2m =符合题意，当2m =时，222233y =−⨯−=−， ∴3PN =，31PM PB m ==−=，∴2MN =；（ⅱ）作QR PN ⊥于点R ，由（ⅰ）可得1PA m =+，3PB PM m =−−，223PN m m =−++，PQN V 的面积为()21232m m QR −++⋅，APM △的面积为()()1312m m −+，∴()()()211233122m m QR m m −++⋅=−+，解得1QR =；当点Q 在PN 的左侧时，如图1，Q 点的横坐标为1m QR m −=−，纵坐标为()()2212134m m m m −−⨯−−=−，∴R 点的坐标为()2,4m mm−，∵N 点坐标为()2,23m mm −−，∴32RN m =−，∴()22231NQ m =−+，∴当32m =时，NQ 取最小值；当点Q 在PN 的右侧时，如图2，Q 点的横坐标为1m QR m +=+，纵坐标为()()2212134m m m +−⨯+−=−，∴R 点的坐标为()2,4m m−，∵N 点的坐标为()2,23m mm −−，∴21RN m =−， ∴()222211NQ m =−+，∴当12m =时，NQ 取最小值．综上，m 的值为32或12．。
九年级数学二次函数中的动点问题专题练习
_Q _G _P _O 九年级数学二次函数中的动点问题专题练习一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用三种形式（1）、【一般式】已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；（2）、【顶点式】已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；（3）、【交点式】已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为。
2、二次函数y=ax2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax2+bx+c = 0是否有根的情况进行判定；3、抛物线上有两个点为A （x 1，y ），B （x 2，y ）(1)对称轴是直线2x21x x (2)两点之间距离公式：已知两点2211y ,x Q ,y ,x P ，则由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ(3)中点公式：已知两点2211y ,x Q ,y ,x P ，则线段PQ 的中点M 为222121y y ,x x 。
4、常见考察形式1）已知A （1,0），B （0，2），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线平面直角坐标系中已知一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线”：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2）已知A （-2,0），B （1，3），请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结：两线一圆平面直角坐标系中已知一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆”：分别过已知线段的两个端点作已知线段的垂线，再以已知线段为直径作圆；5、求三角形的面积：（1）直接用面积公式计算；（2）割补法；（3）铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”（h ）．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：BC铅垂高水平宽haAS△ABC=12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(相似三角形问题)(含简单答案)
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题（相似三角形问题）1．如图，二次函数216y x bx c =++的图象交坐标轴于点()4,0A ，()0,2B -，点P 为x 轴上一动点．(1)求二次函数216y x bx c =++的表达式； (2)将线段PB 绕点P 逆时针旋转90︒得到线段PD ，若D 恰好在抛物线上，求点D 的坐标； (3)过点P 作PQ x ⊥轴分别交直线AB ，抛物线于点Q ，C ，连接AC ．若以点B 、Q 、C 为顶点的三角形与APQ △相似，直接写出点P 的坐标． 2．抛物线25y ax bx =++经过点1,0A 和点()5,0B ．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)该抛物线与直线25y x =+相交于C 、D 两点，点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM y ∥轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ．①连结PC PD 、，如图1，在点P 运动过程中，PCD 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；①连结PB ，过点C 作CQ PM ⊥，垂足为点Q ，如图2，是否存在点P ，使得CNQ 与PBM 相似？若存在，直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线24y ax ax b =-+与x 轴交于A ，B 两点，（A 在B 的左侧），与y 轴交于C ，若OB OC =，且03C （，）．(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的顶点为D ，点P 在抛物线的对称轴上，且APD ACB ∠=∠，求点P 的坐标； (3)在抛物线上是否存在一点M ，过M 作MN x ⊥轴于N ，以A 、M 、N 为顶点的三角形与AOC ∆相似，若存在，求出所有符合条件的M 点坐标，若不存在，请说明理由． 4．如图．在平面直角坐标系中．抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．点A 的坐标为()1,0-，点C 的坐标为()0,2-．已知点(),0E m 是线段AB 上的动点（点E 不与点A ，B 重合）．过点E 作PE x ⊥轴交抛物线于点P ，交BC 于点F ．(1)求该抛物线的表达式；(2)若:1:2EF PF =，请求出m 的值；(3)是否存在这样的m ，使得BEP △与ABC 相似？若存在，求出此时m 的值；若不存在，请说明理由；(4)当点E 运动到抛物线对称轴上时，点M 是x 轴上一动点，点N 是抛物线上的动点，在运动过程中，是否存在以C 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形？若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出点M 的坐标．5．如图，二次函数212y x bx c =-++图像交x 轴于点A ，B （A 在B 的左侧），与y 轴交于点(0,3)C ，CD y ⊥轴，交抛物线于另一点D ，且5CD =，P 为抛物线上一点，PE y轴，与x 轴交于E ，与BC ，CD 分别交于点F ，G ．(1)求二次函数解析式；(2)当P 在CD 上方时，是否存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，若存在，求出CPG △与FBE 的相似比，若不存在，说明理由．(3)点D 关于直线PC 的对称点为D ，当点D 落在抛物线的对称轴上时，此时点P 的坐标为________．6．如图，抛物线22y ax bx =++与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，已知A ，B 两点坐标分别是(1,0)A ，(4,0)B -，连接,AC BC ．(1)求抛物线的表达式；(2)将ABC ∆沿BC 所在直线折叠，得到DBC ∆，点A 的对应点D 是否落在抛物线的对称轴上？若点D 在对称轴上，请求出点D 的坐标；若点D 不在对称轴上，请说明理由；(3)若点P 是抛物线位于第二象限图象上的一动点，连接AP 交BC 于点Q ，连接BP ，BPQ ∆的面积记为1S ，ABQ ∆的面积记为2S ，求12S S 的值最大时点P 的坐标． 7．已知，二次函数23y ax bx =+-的图象与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于C 点，点A 的坐标为()1,0-，且OB OC =．(1)求二次函数的解析式；(2)当04x ≤≤时，求二次函数的最大值和最小值分别为多少？(3)设点C '与点C 关于该抛物线的对称轴对称．在y 轴上是否存在点P ，使PCC '△与POB 相似，且PC 与PO 是对应边？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．已知菱形OABC 的边长为5，且点(34)A ，，点E 是线段BC 的中点，过点A ，E 的抛物线2y ax bx c =++与边AB 交于点D ，(1)求点E 的坐标；(2)连接DE ，将BDE △沿着DE 翻折痕．①当B 点的对应点B '恰好落在线段AC 上时，求点D 的坐标；①连接OB ，BB '，若BB D '△与BOC 相似，请直接写出此时抛物线二次项系数=a ______． 9．如图，抛物线22(0)y ax x c a =-+≠与x 轴交于A 、()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C -，抛物线的顶点为D ．(1)求抛物线的解析式；(2)已知点M 是x 轴上的动点，过点M 作x 轴的垂线交抛物线于点G ，是否存在这样的点M ，使得以点A 、M 、G 为顶点的三角形与BCD △相似，若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．(3)在直线BC 下方抛物线上一点P ，作PQ 垂直BC 于点Q ，连接CP ，当CPQ 中有一个角等于ACO ∠时，求点P 的坐标．10．如图，抛物线顶点D 在x 轴上，且经过(0,3)-和(4,3)-两点，抛物线与直线l 交于A 、B 两点．(1)直接写出抛物线解析式和D 点坐标；(2)如图1，若()03A ，-，且 94ABDS ＝，求直线l 解析式； (3)如图2，若90ADB ∠=︒，求证：直线l 经过定点，并求出定点坐标．11．如图1，已知抛物线2=23y x x --与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，连接BC ，点P 是线段BC 下方抛物线上一动点，过点P 作∥PE BC ，交x 轴于点E ，连接OP 交BC 于点F ．(1)直接写出点A ，B ，C 的坐标以及抛物线的对称轴； (2)当点P 在线段BC 下方抛物线上运动时，求BFPE取到最小值时点P 的坐标； (3)当点P 在y 轴右边抛物线上运动时，过点P 作PE 的垂线交抛物线对称轴于点G ，是否存在点P ，使以P 、E 、G 为顶点的三角形与①AOC 相似？若存在，来出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线212ax ax b =-+y 经过()1,0A -，32,2C ⎛⎫⎪⎝⎭两点，与x 轴交于另一点B ．(1)求此抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为M ，点P 为线段OB 上一动点(不与点B 重合)，点Q 在线段MB 上移动，且2PM MQ MB =⋅，设线段OP x =，2MQ y =，求2y 与x 的函数关系式，并直接写出自变量x 的取值范围；并直接写出PM APPQ BQ-的值；(3)在同一平面直角坐标系中，两条直线x m =，x n =分别与抛物线交于点E ，G ，与（2）中的函数图象交于点F ，.H 问四边形EFHG 能否为平行四边形？若能，求m ，n 之间的数量关系；若不能，请说明理由．13．已知抛物线213222y x x =-++交x 轴于A 、B 两点，A 在B 的左边，交y 轴于点C ．(1)求抛物线顶点的坐标；(2)如图1，若10,2E ⎛⎫- ⎪⎝⎭，P 在抛物线上且在直线AE 上方，PQ AE ⊥于O ，求PQ 的最大值；(3)如图2，点(),3D a （32a <）在抛物线上，过A 作直线交抛物线于第四象限另一点F ，点M 在x 轴上，以M 、B 、D 为顶角的三角形与AFB △相似，求点M 的坐标． 14．如图，抛物线23y ax bx =+-与x 轴交于点()1,0A 、()3,0B ，与y 轴交于点C ，联结AC 、BC ．(1)求该抛物线的表达式及顶点D 的坐标；(2)如果点P 在抛物线上，CB 平分ACP ∠，求点P 的坐标：(3)如果点Q 在抛物线的对称轴上，DBQ 与ABC 相似．求点Q 的坐标．15．如图，抛物线23y ax x c =-+与x 轴交于(4,0)A -，B 两点，与y 轴交于点(0,4)C ，点D 为x 轴上方抛物线上的动点，射线OD 交直线AC 于点E ，将射线OD 绕点O 逆时针旋转45︒得到射线OP ，OP 交直线AC 于点F ，连接DF ．(1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第二象限且34DE EO =时，求点D 的坐标； (3)当ODF △为直角三角形时，请直接写出点D 的坐标．16．如图①，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C （0，3），顶点为D （4，-1），对称轴与直线BC 交于点E ，与x 轴交于点F ．(1)求二次函数的解析式；(2)点M 在第一象限抛物线的对称轴上，若点C 在BM 的垂直平分线上，求点M 的坐标； (3)如图①，过点E 作对称轴的垂线在对称轴的右侧与抛物线交于点H ，x 轴上方的对称轴上是否存在一点P ，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y ax x c =++经过()2,0A -，()0,4B 两点，直线3x =与x 轴交于点C ．(1)求a ，c 的值；(2)经过点O 的直线分别与线段AB ，直线3x =交于点D ，E ，且BDO △与OCE △的面积相等，求直线DE 的解析式；(3)P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线3x =上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图1，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于A ，B （点A 在点B 左侧），与y 轴负半轴交于C ，且满足2OA OB OC ===．(1)求抛物线的解析式；(2)如图2，D 为y 轴负半轴上一点，过D 作直线l 垂直于直线BC ，直线l 交抛物线于E ，F 两点（点E 在点F 右侧），若3DF DE =，求D 点坐标； (3)如图3，点M 为抛物线第二象限部分上一点，点M ，N 关于y 轴对称，连接MB ，P 为线段MB 上一点（不与M 、B 重合），过P 点作直线x t =（t 为常数）交x 轴于S ，交直线NB 于Q ，求QS PS -的值（用含t 的代数式表示）．参考答案：1．(1)211266y x x =-- (2)()3,1D -或()8,10D -(3)点P 的坐标为()011-，或()10，．2．(1)265y x x =-+ (2)37,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或()3,4-3．(1)243y x x =-+ (2)()2,2P 或()2,2-(3)存在符合条件的M 点，且坐标为：110(3M ，7)9-，()26,15M ，38(3M ，5)9-4．(1)213222y x x =--； (2)2m =；(3)存在，m 的值为0或3；(4)存在，M 点的坐标为()7,0或()1,0M 或⎫⎪⎪⎝⎭或⎫⎪⎪⎝⎭．5．(1)215322y x x =-++；(2)存在点P ，使得以C ，P ，G 为顶点的三角形与FBE 相似，CPG △与FBE 的相似比为2或25；(3)P 点横坐标55．6．(1)213222y x x =--+(2)点D 不在抛物线的对称轴上， (3)(2,3)-7．(1)2=23y x x --(2)函数的最大值为5，最小值为4- (3)存在，(0,9)P -或9(0,)5P -8．(1)13(2)2E ， (2)①11(4)2D ，或23(4)6D ，；①47-9．(1)2=23y x x --(2)()0,0，()6,0，8,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,03⎛⎫⎪⎝⎭(3)57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭或者315,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)()2324y x =--，()2,0D (2)334y x =-或1534y x =- (3)证明见解析，定点坐标为423⎛⎫- ⎪⎝⎭，11．(1)A （﹣1，0），B （3，0），C （0，﹣3），对称轴为直线x ＝1(2)当t ＝32时，BF PE 最小，最小值为47，此时P （32，﹣154）．(3)存在，点P 的坐标为（2，﹣3）12．(1)211322y x x =-++(2)22150322y x x x =-+≤<（），PM AP PQ BQ -的值为0 (3)m 、n 之间的数量关系是2(1)m n m +=≠13．(1)（32，258）答案第3页，共3页(3)（2，0）或（-5，0）或13,07⎛⎫ ⎪⎝⎭或2205⎛⎫- ⎪⎝⎭，14．(1)2=+43y x x --，(21)D ， (2)111639⎛⎫ ⎪⎝⎭，- (3)(2，−2)或12,3⎛⎫ ⎪⎝⎭15．(1)234y x x =--+(2)(1,6)D -或(3,4)D -(3)(3,4)-或(0,4)或2⎫⎪⎪⎝⎭或2⎫⎪⎪⎝⎭16．(1)21234y x x =-+(2)(4,3(3)存在P 1)或(4,1)，使以E ，H ，P 为顶点的三角形与EFB △相似，17．(1)12a =-，4c = (2)23y x =- (3)存在这样的点F ，点F 的坐标为(2,0)或18．(1)2122y x =- (2)()0,1D -或190,8D ⎛⎫- ⎪⎝⎭， (3)24QS PS t -=-+。
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九年级数学中考专题—二次函数动点问题综合二次函数动点问题综合教案
学校年级初三次数科目数学教师日期时段课题教学重点二次函数教学难点二次函数教学目标二次函数
2.二次函数综合题的解题方法。
教
学
步
骤
及
教
学
内
容教学衔接：
二、内容讲解：
二次函数三、课堂总结与反思
带领学生对本次课授课内容进行回顾、总结
管理人员签字：日期：年月日
1.如图23-12，在半径为4の⊙O中，AB、CD是两条直径，M 为OBの中点，延长CM交⊙O于E，且EM>MC，连结OE、DE，．求：EMの长．
2.．如图，扇形的半径为，切弧于点，交的延长线点，若，弧的
长为，则图中阴影部分面积为________．
如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2，CD=1，则BE的长是
A．5B．6C．7D．8
3.如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若∠AOB+∠C=180°，∠COD=∠A，则∠AOB=?________
4.如图，AB是⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O 上，且CD＝OB，CD的延长线交⊙O于点E．若∠C＝19°，求∠BOE 的度数．
5.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AC的延长线上有点D，AC=3CD，连接BD，E为BD的中点，CE是⊙O的切线．
（1）求证：BD与⊙O相切；
（2）求∠ACE的度数．
二次函数动点问题综合
【例1】和最小已知抛物线，在对称轴上找一点P，使得PB+PC 的和最小，求出P点坐标
【例2】求面积最大，连接AC,在第四象限找一点P，使得面积最大，求出P坐标
【例3】讨论直角三角，连接AC在对称轴上找一点P，使得为直角三角形
讨论直角三角，连接AC抛物线上求点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形．
【例4】讨论等腰三角，连接AC,在对称轴上找一点P，使得为等腰三角形，求出P坐标
讨论平行四边形，点E在抛物线的对称轴上，点F在抛物线上，且以B，A，F，E四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F的坐标
【变式】已知抛物线，C（2，-3）连接BC在x轴上找一个点F，抛物线上找一点P，使得以B、C、F、G为顶点的四边形构成平行四边形
7、如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与轴
交于点C
（1）求点A、B的坐标；
（2）设D为已知抛物线对称轴上任意一点，当△ACD面积等于△ACB面积时，求点D的坐标；
【】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+4与坐标轴分别交于A、B两点，过A、B两点的抛物线为y=﹣x2+bx+c．点D为线段AB上一动点，过点D作CD⊥x轴于点C，交抛物线于点E．
（1）求抛物线的解析式；（2）当DE=4时，求四边形CAEB的
面积．
如图，在平面直角坐标系中，点A、C的坐标分别为(－1，0)、(0，)，点B在x轴上．已知某二次函数的图象经过A、B、C三点，且它的对称轴为直线x＝1，点P为直线BC下方的二次函数图象上的一个动点（点P与B、C不重合），过点P作y轴的平行线交BC于点F．
（1）求该二次函数的解析式；
（2）若设点P的横坐标为m，试用含m的代数式表示线段PF的长；
（3）求△PBC面积的最大值，并求此时点P的坐标．
在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（－4，0），B（0，－4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值．
1、如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A （）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．
求抛物线的解析式；
是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这
个最大值；若不存在，请说明理由；
如图，抛物线y=ax2+2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A（﹣4，0）和B．（1）求该抛物线的解析式；
（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ．当△CEQ的面积最大时，求点Q的坐标；
如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD是菱形，顶点A，C，D均在坐标轴上，且AB=5，．（1）求过A，C，D三点的抛物线的解析式；（2）记直线AB的解析式为y1=mx+n，（1）中抛物线的解析式为y2=ax2+bx+c，求当y1＜y2时，自变量x的取值范围；
（3）设直线AB与（1）中抛物线的另一个交点为E，P点为抛物线上A．E两点之间的一个动点，当P点在何处时，△PAE的面积最大？并求出面积的最大值．
如图，抛物线与轴交于点、，与轴交点，点的坐标为，点的坐标为，它的对称轴是直线；
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是线段上的任意一点，当为等腰三角形时，求点的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A（3，0）、B（0，﹣3），点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t．
（1）分别求出直线AB和这条抛物线的解析式．
（2）若点P在第四象限，连接AM、BM，当线段PM最长时，求△ABM的面积．
（3）是否存在这样的点P，使得以点P、M、B、O为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由．
O x y A B C D
x y A B C D O
x y A B C D O
y A B C D O x
y A B C D O x
A B C D O x y
A
B
C(2，-3) D
y
x
B
F
P
x＝1 C
O x
y
O B C M A 12。