刘鸿文版材料力学第七章

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7-3 二向应力状态分析-解析法
利用三角函数公式
{
1 cos2 α = (1 + cos 2α ) 2 sin 2α = 1 (1 − cos 2α ) 2
2 sinα cosα = sin 2α
并注意到 τ yx = τ xy 化简得
1 2 1 2
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1 2
7-3 二向应力状态分析-解析法
第七章 应力和应变分析 强度理论
第七章
应力和应变分析 强度理论
7-1 应力状态的概念 7-3 二向应力状态分析 -解析法 7-4 二向应力状态分析 -n图解法 7-5 三向应力状态 7-8 广义胡克定律 7-11 四种常用强度理论
7—1 应力状态的概念
问题的提出 铸 铁 低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
σy
τ xy
α
σx
60 − 40 60 + 40 = + cos(−60ο ) + 30 sin( −60 2 2 = 9.02MPa
σ x− σ y sin 2α + τ xy cos 2α τα = 2
60 + 40 = sin( −60ο ) − 30 cos(−60ο ) 2
= −58.3MPa
1 ε1 = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )] E
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7-8 广义胡克定律
σ2
1 ε1 = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) E σ1 ε 2 = 1 [σ 2 − µ (σ 3 + σ 1 ) E 1 ε 3 = [ σ 3 − µ (σ 1 + σ E
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σ3
7-8 广义胡克定律
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7-3 二向应力状态分析-解析法
σy τ xy
α 主平面的方位：
σx
tg 2α0 = − σ x− σ y − 60 =− = 0.6 60 + 40
α0 = 15.5ο , α0 = 15.5ο + 90ο = 105.5ο
ο ο
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2τ xy
代入 σ α 表达式可知
7-3 二向应力状态分析-解析法
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7-11 四种常用强度理论
构件由于强度不足将引发两种失效形式 (1) 脆性断裂：材料无明显的塑性变形即发生断裂， 断面较粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面上， 如铸铁受拉、扭，低温脆断等。 关于断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论 (2) 塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性 变形，破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应力面 上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。 关于屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论
σ2 σ3
τ zxBiblioteka Baidu
x
σx
τ xz
τ xyτ yx
σy
y
σ1
单元体上没有切应力的面称为主平面；主平面上的正应力 称为主应力，分别用 该单元体称为主应力单元体。
σ 1 ,σ 2 ,σ 3
表示，并且
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σ1≥σ2≥σ3
7—1 应力状态的概念
（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零 （2）平面应力状态：三个主应力中有两个不为零 （3）空间应力状态：三个主应力都不等于零 平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态
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7-8 广义胡克定律
1. 基本变形时的胡克定律 1）轴向拉压胡克定律
y
σ x = Eε x
横向变形
σx
x
ε y = −µε x = −µ
2）纯剪切胡克定律
σx
E
τ
τ = Gγ
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7-8 广义胡克定律
2、三向应力状态的广义胡克定律－叠加法
σ2 σ2 σ1
σ3
σ1
σ3
ε1
=
σ3 σ1 σ2 ( ) + (−µ ) + (−µ ) E E E
τ yx
D A
σ x− σ y 2 R= ( ) + τ 2 xy 2
R
D (σx ,τxy)
c D/
σ
σ x+ σ y
2
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(σy ,τyx)
7-4 二向应力状态分析-图解法
3、几种对应关系 点面对应—应力圆上某一点的坐标值对应着
y
σy n τ yx H τ xy α x σx
微元某一截面上的正应力和切应力 τ
ε 0 －极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得 0 Eb /σε =
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1
εε =
0
ε 1 = [σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 )] / E
7-11 四种常用强度理论
最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 断裂条件 即 强度条件
1 σb [σ1 − µ (σ 2 + σ 3 )] = E E
σ 1 − µ (σ 2 + σ 3 ) = σ b σ1 − µ (σ 2 + σ 3 ) ≤ = [σ ]
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7-4 二向应力状态分析-图解法
1.应力圆： (σ α −
τ
σ x+ σ y
2 ) +τα=(
2 2
σ x− σ y
2
) + τ 2 xy
2
2
R= (
σ x− σ y
2
) + τ 2 xy
R C
σ x+ σ y 2
σ
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7-4 二向应力状态分析-图解法
2.应力圆的画法
y σy
τ
τ xy
σx
x
n
σb
实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆 性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论 更接近实际情况。
最大拉应力理论（第一强度理论） 断裂条件 强度条件
σ1=σb
σ1 ≤
n
σ b = [σ ]
铸铁拉伸
铸铁扭转
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7-11 四种常用强度理论
2. 最大伸长拉应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单 拉伸时的破坏伸长应变数值。
ε1 －构件危险点的最大伸长线应变
G
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τ yz
G
τ zx γ yz = γ G
7-11 四种常用强度理论
杆件基本变形下的强度条件
FN , max ≤ [σ ] （拉压） σ max = A
Mmax ≤ [σ ] （弯曲） σ max = W
（正应力强度条件）
σ max ≤ [σ ]
Fs S ≤ [τ ] （弯曲） τ max = bI z T ≤ [τ ] （扭转） τ max = Wp
* z
（切应力强度条件）
τ max ≤ [τ ]
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7-11 四种常用强度理论
σ m ax
σ max ≤ [σ ] 满足 τ max ≤ [τ ]
是否强度就没有问题了？
τ max
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7-11 四种常用强度理论
强度理论： 人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概 括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破 坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定 范围与实际相符合，上升为理论。 为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出 的关于材料破坏原因的假设及计算方法。
由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别 为最大正应力和最小正应力（主应力）所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：
σx+σy 1 + σ max = 2 2 σx+σy 1 − σ min = 2 2
(σ (σ
x
2 2 − σ y ) + 4τ xy 2 2 − σ y ) + 4τ xy
x
主应力按代数值排序：σ1 ≥ σ2 ≥ σ3
2
σ 3 = −τ
+ τ xy 2
τ xy
σ1 = τ
−45
σ max = σ1 = τ xy σ min = σ 3 = −τ xy
此现象称为纯剪切
7-4 二向应力状态分析-图解法
1 2 1 2 1 2
σx+σy 2 2 σx−σy 2 ) +τα=( ) + τ 2 xy (σ α − 2 2 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆
H (σ a , τ a )
2α
D (σx ,τxy)
c
(σy ,τyx)
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D/
σ
σ x+ σ y
2
7-5 三向应力状态
定义
σ2
σ1
σ3
三个主应力都不为零的应力状态
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7-5 三向应力状态
τ 1
0
2
由三向应力圆可以看出：
τ m ax =
σ3
σ 1− σ 3
2
σ2
3
σ1
σ
结论： 代表单元体任意斜 截面上应力的点， 必定在三个应力圆 圆周上或圆内。
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7-11 四种常用强度理论
1. 最大拉应力理论（第一强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂, 都是由于微元内的最大拉应力达到简单拉伸时的破 坏拉应力数值。
σ 1= σ
0
σ 1 －构件危险点的最大拉应力 0－极限拉应力，由单拉实验测得 σ 0 = σ b σ
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7-11 四种常用强度理论
直杆拉伸应力分析结果表明： 即使同一点不同方向面上的应力也是 各不相同的，此即应力的面的概念。
7—1 应力状态的概念
S平面
T y
1 4
S
T
F a
1
z
2 3
x Mz
Fa
(+)
σ=
τ=
T Wt
Mz Wz T τ= Wt
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3
σ=− Mz Wz
M Fl
(−)
7—1 应力状态的概念
σz
z τ zy τ yz
（3）主应力单元体：
σy τ xy
α
σ3
σ1
15.5°
σx
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7-3 二向应力状态分析-解析法
纯剪切应力状态
−2τ xy → −∞ tg 2α0 = σ x − σy α0 = −45 或 −135
σ max σ x+ σy = 2 σ min σx − σ y ± 2
n
∑
σx α
n
= 0F
σ α dA + τ xy (dA cosα ) sin α − σ x (dA cosα ) cosα +
yx
τ xy
σa
dA
τ yx (dA sin α ) cosα − σ y (dA sin α ) sin α = 0
τ
σy
t
∑ F=0
t
τ α dA − τ xy (dA cosα ) cosα − σ x (dA cosα ) sin α + τ yx (dA sin α ) sin α + σ y (dA sin α ) cosα = 0
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7—1 应力状态的概念
S平面
F
S平面
F 2 Fl Mz= 4
l/2
l/2
5 4 3 2 1 τ3
τ2
1
σ1
2
σ2
3
7-3 二向应力状态分析-解析法
1.斜截面上的应力
y
σx
α
τ yx
τ xy
σx α
τa
n
x
σy
τ xy τ yx
σy
σa
dA
t
t
∑ F =0
n
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∑ F=0
7-3 二向应力状态分析-解析法 列平衡方程 τa
2sin2cos)()(
设α＝α0 时，上式值为零，即 − (σ x − σ y ) sin 2α0 − 2τ xy cos 2α0 = 0
( σ x )y −σ 2− 02τcos2ατsin2α 2
0α0xy0
即α＝α0 时，切应力为零
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7-3 二向应力状态分析-解析法
tan 2α 0 = − σx−σy 2τ xy
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7-3 二向应力状态分析-解析法
（2）主应力、主平面
σy τ xy
α
σ max =
σ x+ σ y
2
+ (
σ x− σ y
2
)+τ
2 2 xy
= 68.3MPa σ x+ σ y
2
σ x σ min =
− (
σ x− σ y
2
)+τ
2 2 xy
= −48.3MPa
σ1 = 68.3MPa, σ 2 = 0, σ 3 = −48.3MPa
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7—1 应力状态的概念
低碳钢 铸 铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
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7—1 应力状态的概念
横力弯曲
FN
Mz
FQ
横截面上正应力分析和切应力分 析的结果表明：同一面上不同点的应 力各不相同，此即应力的点的概念。
7—1 应力状态的概念
直杆拉伸 F F
k
α
k k
F
σα pα kτα
{
σα = pα cosα = σ cos2 α τα = pα sin α = σ σ cos α sin α = sin 2α 2
3、广义胡克定律的一般形式
1 ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ (σ z + σ x )] E 1 ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E
σz
τ zx
σx
τ xz
τ zy τ yz
τ xyτ yx
σy
γ xy =
τ xy
2.正负号规则
yτ
σx
α
yx
τ xy
正应力：拉为正；压为负
x
σy
τa σa
切应力：使微元顺时针方向 转动为正；反之为负。
σx
n
x
α
τ yx
τ xy
α角：由x 轴正向逆时针转 到斜截面外法线时为正；反 之为负。
σ
y
t
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7-3 二向应力状态分析-解析法
3. 正应力极值和方向
确定正应力极值
1 1 ατασσσσσ α 2 σ αd ατασσ dα 2 2cos22sin)(
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7-3 二向应力状态分析-解析法
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。 已知
s
s
x
y
60MPa， t
xy
30MPa,
40MPa, α = −30o。
σy τ xy
α
试求（1）α 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
σx
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7-3 二向应力状态分析-解析法
解：（1）α 斜面上的应力 σ x+ σ y σ x− σ y + σα= cos 2α − τ xy sin 2α 2 2