几种常用排列组合问题的解题方法
探析排列组合常见的十六种解题方法
探析排列组合常见的十六种解题方法ʏ福建省泉州市第七中学 彭耿铃高考排列组合试题能有效地考查同学们的阅读判断能力㊁转化与化归处理能力及应用意识㊂这类试题新颖别致,联系社会实际,贴近生活,反映了排列组合应用领域的广阔,体现了数学的应用价值㊂本文特精选一些排列组合例题予以分类探析,旨在探究题型及解题方法,希望同学们能决胜于高考㊂求解排列㊁组合问题的常见方法有以下几种㊂(1)限制条件排除法:先求出不考虑限制条件的个数,然后排除不符合条件的个数,相当于减法原理;(2)相邻问题捆绑法:在特定条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整个问题排好之后再考虑它们 内部 的排列数,主要用于解决相邻问题;(3)插空法:先把不受限制的元素排列好,然后把特定元素插在它们之间或两端的空当中;(4)特殊元素㊁位置优先安排法:对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列,然后排列其他一般元素或位置;(5)多元问题分类法:将符合条件的排列分为几类,根据分类计数原理求出排列总数;(6)元素相同隔板法:若把n 个不加区分的相同元素分成m 组,可通过n 个相同元素排成一排,在元素之间插入m -1块隔板来完成分组,此法适用于同元素分组问题;(7) 至多 ㊁ 至少 间接法: 至多 ㊁ 至少 的排列组合问题,需分类讨论且一般分类的情况较多,所以通常用间接法,即排除法,它适用于反面明确且易于计算的问题;(8)选排问题先取再排法:选排问题很容易出现重复或遗漏的错误,因此常先取出元素(组合)再排列,即先取再排;(9)定序问题消序法:甲㊁乙㊁丙顺序一定,采用消序法,即除法,用总排列数除以顺序一定的排列数;(10)有序分配逐分法:有序分配是指把元素按要求分成若干组,常采用逐分的方法求解㊂一㊁定位问题优先法(特殊元素和特殊位置优先考虑)例1 由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数?解析:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置㊂先排末位共有C 13种方法;然后排首位共有C 14种方法;最后排其他位置共有A 34种方法㊂由分步计数原理得,有C 14C 13A 34=288(个)满足要求的数㊂例2 6个人从左至右排成一行,最左端只能排甲或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( )㊂A.192种 B .216种C .240种D .288种解析:若最左端排甲,其他位置共有A 55=120(种)排法;若最左端排乙,最右端共有4种排法,其余4个位置有A 44=24(种)排法㊂所以共有120+4ˑ24=216(种)排法,选B ㊂小结:位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其他元素㊂若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其他位置㊂若有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其他条件㊂二㊁相邻元素捆绑法例3 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法?解析:可先将甲乙两个元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素,再与其他元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排㊂由分步计数原理可得,共有A55A22A22=480(种)不同的排法㊂例4某人射击了8枪,命中4枪,4枪命中且恰好有3枪连在一起的情形共有种㊂解析:命中的3枪捆绑在一起,与命中的另一枪插入到未命中4枪形成的5个空位,共有A25=20(种)情况㊂小结:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决㊂即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其他元素一起进行排列,同时要注意合并元素内部也必须排列㊂三㊁不相邻问题插空法例5某次联欢会要安排3个歌舞类节目,2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序,则同类节目不相邻的排法种数是()㊂A.72B.120C.144D.168解析:歌舞类节目设为a1,a2,a3,小品类节目设为b1,b2,相声类节目设为c㊂先排a1,a2,a3不相邻,顺序如ˑb1ˑb2ˑcˑ,共A33A34种方法,b1b2相邻前提下,ˑb1b2ˑcˑ插空法共A22A33A22种方法,所以同类节目不相邻的排法种数为A33A34-A22A33A22=A33㊃(A34-4)=6ˑ20=120,选B㊂例66把椅子摆成一排,3人随机就座,任何2人不相邻的坐法种数为()㊂A.144B.120C.72D.24解析:先把3把椅子隔开摆好,它们之间和两端有4个位置,再把3人带椅子插放在四个位置,共有A34=24(种)方法,故选D㊂例7(2022年新高考Ⅱ卷)有甲乙丙丁戊5名同学站成一排参加文艺汇演,若甲不站在两端,丙和丁相邻的不同排列方式有()种㊂A.12B.24C.36D.48解析:因为丙丁要在一起,先把丙丁捆绑,看作一个元素,连同乙,戊看成三个元素排列,有A33种排列方式㊂为使甲不在两端,必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入,有2种插空方式㊂注意到丙丁两人的顺序可交换,有2种排列方式,故安排这5名同学共有A33ˑ2ˑ2=24(种)不同的排列方式,选B㊂小结:元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队,再把不相邻元素插入中间和两端㊂四㊁定序问题除序(去重复)㊁空位㊁插入法例87人排队,其中甲乙丙3人顺序一定,共有多少种不同的排法?解析:法一(除序法):对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是A77A33=840㊂法二(空位法):设想有7把椅子,让除甲乙丙以外的4人就座共有A47种方法,其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法,则共有1ˑA47=840(种)方法㊂法三(插入法):先选三个座位让甲乙丙三人坐下,共有C37种方法,余下4个空座位让其余四人就座,共有A44种方法,则共有C37A44=840(种)方法㊂小结:定序问题可以用除序法,还可转化为空位法㊁插入法㊂五㊁重排问题求幂法例9把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法?解析:完成此事共分六步,把第一名实习生分配到车间有7种分法,把第二名实习生分配到车间也有7种分法, ,由分步计数原理知共有76种不同的分法㊂小结:允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象,元素不受位置的约束,可以逐一安排各个元素的位置㊂一般地,n个不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为m n ㊂六㊁环排问题线排法例10 8人围桌而坐,共有多少种坐法?解析:围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定1人并从此位置把圆形展成直线,其余7人共有(8-1)!=7!=5040(种)排法㊂小结:一般地,n 个不同元素作圆形排列,共有(n -1)!种排法㊂如果从n 个不同元素中取出m 个元素作圆形排列,共有1nA mn ㊂七㊁排列组合混合问题先选后排法例11 有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少种不同的装法解析:第一步从5个球中选出2个组成复合元素,共有C 25=10(种)方法;再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内,有A 44=24(种)方法㊂根据分步计数原理,装球的方法共有C 25A 44=240(种)㊂例12 (2021年全国乙卷)将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰㊁短道速滑㊁冰球和冰壶4个项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,则不同的分配方案共有( )㊂A.60种 B .120种C .240种D .480种解析:根据题意,有一个项目中分配2名志愿者,其余各项目中分配1名志愿者,可以先从5名志愿者中任选2人组成一个小组,有C 25种选法;然后连同其余3人,看成4个元素,4个项目看成4个不同的位置,4个不同的元素在4个不同的位置的排列方法数为A 44㊂根据乘法原理,完成这件事共有C 25ˑA 44=240(种)不同的分配方案,选C ㊂例13 (2020年全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,则不同的安排方法共有种㊂解析:因为4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去1个小区,每个小区至少安排1名同学,所以先取2名同学看作一组,选法有C 24种㊂现在可看成是3组同学分配到3个小区,分法有A 33种㊂根据分步乘法原理,可得不同的安排方法有C 24A 33=6ˑ6=36(种)㊂小结:解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想,此法与相邻元素捆绑策略相似㊂八㊁元素相同问题隔板法例14 有10个运动员名额,分给7个班,每班至少1人,有多少种分配方案?解析:10个名额没有差别,把它们排成一排,相邻名额之间形成9个空隙㊂在9个空隙中选6个位置插个隔板,可把名额分成7份,对应地分给7个班级,每一种插板方法对应一种分法,共有C 69=84(种)分法㊂小结:将n 个相同的元素分成m 份(n ,m 为正整数),每份至少一个元素,可以用m -1块隔板,插入n 个元素排成一排的n -1个空隙中,所有分法数为C m -1n -1㊂九㊁正难则反总体淘汰法例15 从1,3,5,7,9这5个数中,每次取出2个不同的数分别记为a ,b ,共可得到l g a -l gb 的不同值的个数是( )㊂A.9 B .10 C .18 D .20解析:l g a -l g b =l gab,从1,3,5,7,9中任取2个数分别记为a ,b ,共有A 25=20(种)结果㊂其中l g13=l g 39,l g 31=l g 93,故共可得到不同值的个数为20-2=18,选C ㊂例16 某学校安排甲㊁乙㊁丙㊁丁4位同学参加数学㊁物理㊁化学竞赛,要求每位同学仅报一科,每科至少有一位同学参加,且甲㊁乙不能参加同一学科,则不同的安排方法有种㊂解析:把4位同学分成3组,有C 24=6(种)方法,然后进行全排列,即有C 24A 33=36(种)方法,去掉甲㊁乙在一个组的情况,当甲㊁乙在一个组时,参加的方法有A 33=6(种)㊂故符合题意的安排方法有36-6=30(种)㊂小结:有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰㊂十㊁平均分组问题除法例17将5名同学分到甲㊁乙㊁丙3个小组,若甲小组至少2人,乙㊁丙组至少1人,则不同的分配方案种数为()㊂A.80B.120C.140D.50解析:先将5名同学分成3组,有两种分配方案,一是3组人数分别为2,2,1,分组方法有C25C23C11A22=15(种),然后将有2人的两组分给甲㊁乙或甲㊁丙,分配方法是15ˑ(A22+ A22)=60(种);二是3组人数分别为3,1,1,分组方法有C35C12C11A22=10(种),然后将有1人的两组分给乙㊁丙两组,分配方法有10ˑA22 =20(种)㊂共有60+20=80(种)方案,选A㊂小结:平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以A n n(n为平均分的组数)避免重复计数㊂十一㊁合理分类与分步法例18甲㊁乙两人进行乒乓球比赛,先赢3局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有()㊂A.10种B.15种C.20种D.30种解析:由题意知比赛局数至少为3局,至多为5局㊂当局数为3局时,情况为甲或乙连赢3局,共2种㊂当局数为4局时,若甲赢,则前3局中甲赢2局,最后一局甲赢,共有C23=3(种)情况㊂同理,若乙赢,也有3种情况,共有3+3=6(种)情况㊂当局数为5局时,前4局,甲㊁乙各赢2局,最后1局胜出的人赢,共有2C24=12(种)情况㊂综上可知,共有2+6+12=20(种)情况㊂选C㊂十二㊁构造模型法例19马路上有编号为1,2,3,4,5, 6,7,8,9的9盏路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种㊂解析:把此问题当作一个排队模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯有C35 =10(种)㊂小结:一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型,如占位填空模型,排队模型,装盒模型等,可使问题直观解决㊂十三㊁分解与合成法例2030030能被多少个不同的偶数整除?解析:先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2ˑ3ˑ5ˑ7ˑ11ˑ13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积,所有的偶因数有C05+C15+C25+C35+C45+C55=32(个)㊂例21正方体的8个顶点可连成多少对异面直线解析:我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四面体,共有C48-12=58(个),每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成3ˑ58=174(对)异面直线㊂例22从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有()㊂A.24对B.30对C.48对D.60对解析:(1)方法一:与正方体的一个面上的一条对角线成60ʎ角的对角线有8条,故共有8对,正方体的12条面对角线共有8ˑ12 =96(对),且每对均重复计算一次,故共有962 =48(对)㊂选C㊂方法二:正方体的面对角线共有12条,两条为一对,共有C212=66(对)㊂同一个面上的对角线不满足题意,对面中的对角线也不满足题意,一组平行平面共有6对不满足题意的对角线对数,所以不满足题意的共有3ˑ6=18(对)㊂从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对,其中所成的角为60ʎ的共有66-18=48(对)㊂选C㊂小结:分解与合成策略是排列组合问题的一种最基本的解题策略,把一个复杂问题分解成几个小问题逐一解决,然后依据问题分解后的结构,用分类计数原理和分步计数原理将问题合成,从而得到问题的答案,每个比较复杂的问题都要用到这种解题策略㊂十四㊁复杂问题化归法例2325人排成5ˑ5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?解析:将这个问题退化成9人排成3ˑ3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少种选法㊂这样每行必有1人,从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去㊂从3ˑ3方队中选3人的方法有C13C12C11=6(种)㊂再从5ˑ5方阵选出3ˑ3方阵便可解决问题㊂从5ˑ5方队中选取3行3列,有C35C35=100(种)选法,所以从5ˑ5方阵选不在同一行也不在同一列的3人,有C35C35C13C12C11=600(种)选法㊂例24用a代表红球,b代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+a b表示出来,如: 1 表示一个球都不取㊁ a 表示取出一个红球,而 a b 表示把红球和蓝球都取出来㊂以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球㊁5个无区别的蓝球㊁5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的是()㊂A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)㊃(1+c)5B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)㊃(1+c5)D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)解析:分三步:第一步,5个无区别的红球可能取出0个,1个, ,5个,则有(1+a+ a2+a3+a4+a5)种不同的取法;第二步,5个无区别的蓝球都取出或都不取出,则有(1+b5)种不同的取法;第三步,5个有区别的黑球看作5个不同色,从5个不同色的黑球任取0个,1个, ,5个,有(1+c)5种不同的取法㊂所以所求的取法种数为(1+a+a2+ a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5,选A㊂小结:处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简单的问题,通过先解决这个简单问题,从而下一步解决原来的问题㊂十五㊁数字排序问题查字典法例25用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40000大的偶数共有()㊂A.144个B.120个C.96个D.72个解析:首位填4时,比40000大的偶数有2ˑ4ˑ3ˑ2=48(个);首位填5时,比40000大的偶数有3ˑ4ˑ3ˑ2=72(个)㊂故共有48+72=120(个)数满足题意,选B㊂小结:数字排序问题可用查字典法,查字典的法应从高位向低位查,依次求出其符合要求的个数,根据分类计数原理求出其总数㊂十六㊁住店法例267名学生争夺五项冠军,每项冠军只能由一人获得,获得冠军的可能的种数为㊂解析:因同一学生可以同时夺得n项冠军,故学生可重复排列,将7名学生看作7家 店 ,五项冠军看作5名 客 ,每个 客 有7种住宿法,由乘法原理知有75种可能㊂小结:解决 允许重复排列问题 要注意区分两类元素:一类元素可以重复,另一类不能重复,把不能重复的元素看作 客 ,能重复的元素看作 店 ,再利用乘法原理直接求解㊂排列组合历来是高中学习中的难点,同学们只要对基本的解题策略熟练掌握,就可以选取不同的技巧来解决问题㊂对于一些比较复杂的问题,我们可以将几种策略结合起来应用,把复杂的问题简单化㊂请同学们对以上排列组合的几种常见的解题策略加以复习巩固,能举一反三,触类旁通,进而为后续的概率学习打下坚实的基础㊂(责任编辑徐利杰)。
排列组合问题的几种解题方法
排列组合问题的几种解题方法排列、组合问题，在高考中通常是以选择题或填空题的形式考察，它联系实际，题型多样，解法灵活。
自2010年新课改以来，这类问题的难度有所降低，只要掌握恰当的解决方法问题就可以迎刃而解。
备考中有效的方法是将题型与解法归类，识别模型、熟练运用。
下面我将排列組合中的常规题型及解法总结如下：一、相邻元素捆绑法所谓“捆绑法”，就是在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将视为一个“大元素”.例1. 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有种.解析：因甲、乙两人要排在一起，故甲、乙两人捆在一起视作一人，与其余四人全排列共有种排法，但甲、乙两人之间有种排法，由分步计数原理可知，共有不同的排法.二、相离问题插空法相离问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以将其他元素排好，再将所指定的不相邻元素插入到空隙及两端位置，故称“插空法”.例2. 6个男同学和4个女同学排成一列照相，任何两个女同学不相邻，问有多少种不同的排法？解析：现将6个男同学排好，其不同的排法为种，这6个男同学的空隙及两端共七个位置中再排4个女同学共有种排法，由分步计数原理可知，任何两个女同学不相邻的排法共有种.三、定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序称为定序问题，这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便.例3. 信号兵红旗与白旗挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是解析：5面旗全排列有种挂法，由于3面红旗与2面白旗分别全排列只能作一次挂法，故共有不同信号的种数是=10种.四、定位问题优先法所谓“优先法”，即有限制条件的元素（或位置）在解题时优先考虑.例4. 计划展出10幅不同的画，其中1幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一列陈列，要求同一品种的画必须在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有（）种A. B.C. D.解析：先把3种品种的画看成整体，而水彩画受限制应优先考虑，不能放在头尾，故只能放在中间，又油画与国画有放法，再考虑油画与国画本身各有与种放法，故排列的方法为，故选D.五、至少（至多）问题间接法含“至少”、“至多”的排列组合问题，是分类问题，可用间接法。
排列组合常见21种解题方法
排列组合难题二十一种方法排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的木质特征，采用合理恰当的方法来处理。
教学目标1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理。
2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题。
提高学生解决问题分析问题的能力3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.复习巩固1•分类计数原理（加法原理）完成一件事，有”类办法，在第1类办法中有心种不同的方法，在第2类办法中有心种不同的方法，…，在第”类办法中有仏种不同的方法，那么完成这件事共有：N = + tn2+ …+ mn种不同的方法.2.分步计数原理（乘法原理）完成一件事，需要分成“个步骤，做第1步有竹种不同的方法，做第2步有®种不同的方法，…，做第〃步有叫种不同的方法，那么完成这件事共有：N = m}x rn2 x・•・ x 叫种不同的方法.3.分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.解决排列组合综合性问题的一般过程如下：1.认真审题弄清要做什么事2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，或是分步与分类同时进行，确定分多少步及多少类。
3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题，元素总数是多少及取出多少个元素.4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1, 2, 3, 4, 5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排，以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有c；然后排首位共有c：宇甲最后排其它位置共有农J j J由分步计数原理得ClC'A： = 288 c] 晁C；练习题：7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。
排列组合常见21种解题方法
排列组合常见21种解题方法排列组合是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型。
在解决排列组合问题时，我们可以运用多种方法来求解，下面将介绍常见的21种解题方法。
1. 直接法，根据排列组合的定义，直接计算排列或组合的个数。
2. 公式法，利用排列组合的公式进行计算，如排列公式P(n,m)=n!/(n-m)!，组合公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
3. 递推法，通过递推关系式求解排列组合问题，如利用排列数的递推关系P(n,m)=P(n-1,m)+P(n-1,m-1)。
4. 分类讨论法，将问题进行分类讨论，分别求解每种情况的排列组合个数，然后合并得出最终结果。
5. 组合数性质法，利用组合数的性质，如C(n,m)=C(n,n-m)，C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)，简化计算过程。
6. 二项式定理法，利用二项式定理展开式子，求解排列组合问题。
7. 二项式系数法，利用二项式系数的性质，如n个不同元素的排列个数为n!，n个相同元素的排列个数为1，简化计算过程。
8. 容斥原理法，利用容斥原理求解排列组合问题，排除重复计算的部分。
9. 对称性法，利用排列组合的对称性质，简化计算过程。
10. 逆向思维法，从问题的逆向思考，求解排列组合问题。
11. 生成函数法，利用生成函数求解排列组合问题，将排列组合问题转化为多项式求解。
12. 构造法，通过构造合适的排列组合模型，求解问题。
13. 图论法，将排列组合问题转化为图论问题，利用图论算法求解。
14. 动态规划法，利用动态规划算法求解排列组合问题，降低时间复杂度。
15. 贪心算法法，利用贪心算法求解排列组合问题，简化计算过程。
16. 模拟法，通过模拟排列组合过程，求解问题。
17. 枚举法，将所有可能的排列组合情况列举出来，求解问题。
18. 穷举法，通过穷举所有可能的情况，求解问题。
19. 数学归纳法，利用数学归纳法证明排列组合的性质，求解问题。
排列组合问题的八种求法(免费)
云南昭通鲁甸一中 李明健 云南昭通站 张中华推荐 排列组合是高中数学的重点、难点内容之一，同时也是解决概 率问题的重要 “工具 ”，下面举例说明排列组合问题的八种求法： 一、特殊位置或特殊元素：优先法 例 1：由 0、 1、 2、 3、 4、 5 六个数字可组成多少个没有重复数 字且不能被 10 整除的六位数？ 解法一：先安排首末两个特殊位置，从 1、2、3、4、5 中任取 两个排在首位和末位，然后把 0 和剩余的三个数字排在中间四个位 置上，符合条件的六位数共有 A A 个。
种分法
（ 5）不属平均分堆，故有：
C C C
6 5 1 2 3 3
60
种不同的分法
求解完毕，仅以以上几例抛砖引玉，解题时注意积累经验，总 结规律，掌握技巧，定会柳暗花明。
- 4-Biblioteka 6 5 1 2 3 3 60
2 4
种分法
2 2
（ 2）有： C C C A
6 3 3
2
15
种分法
2 2 4 2 2 6
（ 3）先均分，再不指明分配，故有： C C C A
3 3
A
3 3
90
种
（ 4）不是平均分堆，故有：
C C C A
6 5 3 1 2 3 3 3
360
5 5
男？男？男？男？男？） ，共有 6 个空档可插，选其中的 3 个空档， 共有 A 种排法，由乘法原理可得：
3 6
- 2-
A A
5
5
3 6
14400
即共有 14400 种不同的排法。 六、至多、至少问题可用：间接法（或排除法） 例 6、四面体的 4 个顶点和 6 个各棱中点，从中取出 4 个不共 面的点，不同的取法有多少种？ 解：将四点共面的情形分为三类： ① 4 点位于同一表面，有 4 C 种；
解答排列组合问题的几种常用路径
排列组合问题经常出现在各类试题中，此类问题常与生活实际相结合，要求同学们根据已有的生活经验和所学的分类计数原理、分步计数原理来求解.那么求解排列组合问题有哪些途径呢？下面我们一起来探讨.一、利用插空法插空法是解答元素相邻问题的重要方法.运用插空法解题，要将问题中要求不相邻的元素插入其他元素排列之间的空隙中，再根据分步计数原理计数.其解题步骤为：①明确题目中要求不相邻元素的个数m ，以及其他没有要求的元素的个数n ；②对没有要求的n 个元素进行排列，这时n 个元素之间形成n -1个空位；③将m 个元素随机插入这n -1个空位和两端的位置中；④根据分步计数原理，将所得的排列数相乘，即可得出问题的答案.例1.公元5世纪，数学家祖冲之估计出圆周率π的范围是：3.1415926<π<3.1415927，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”.小明是个数学迷，在设置手机的数字密码时，打算将圆周率前6位数字“3,1,4,1，5,9”进行某种排列得到密码，并确保两个“1”不相邻，则小明可以设置的不同密码有()个.A.240B.360C.600D.720分析：题目中没有要求的数字有3、4、5、9共4个数字，要使两个“1”不相邻，需先分两步进行：首先排列3、4、5、9这4个数字的顺序；再将两个“1”插入其他4个数字之间的空位和两端的位置中即可.解：先排列3、4、5、9这4个数字的顺序，共有A 44种排法；然后将两个“1”插入之间的空位和两端的位置中，有C 25种方法，根据分步计数原理得，共有A 44C 25=240个不同的密码.例2.某音乐会的节目单上原定有3首歌曲，如果保持这3首歌曲的相对顺序不变，再安排2首歌曲A 、B 插入其中播放，则不同的安排方法有多少种？解：将所有的歌曲看作几个元素，则原有的3首歌曲之间形成2个空位，加上两端的位置，共有4个空位.先将首歌A 曲插入4个空位中，有C 14=4种插法.这样就排好了4首歌曲的顺序，它们之间形成3个空位，加上两端的位置，共有5个空位.再将首歌曲B 插入这5个空位中，有C 15=5种插法，故不同的安排方法有：C 14C 15=20种.按照题目要求，我们需将2首新歌曲插入到已有固定顺序的3首歌曲中间的空位或两端的位置，这就要求新增的2首歌曲不相邻，故需采用插空法求解.例3.某学校组织6×100接力跑比赛，某班级决定派出6位同学A 、B 、C 、D 、E 、F 参加比赛，要求同学D 和F 的参赛顺序不能相邻，则一共有____种排列方案.解：先排列A 、B 、C 、E 4名同学的顺序，有A 44=24种排列方案，此时4名同学之间形成3个空位，加上两端的位置，共有5个空位；然后将D 、F 2名同学插入这5个空位中，有A 25=10种方案，根据分步计数原理得，一共有A 44A 25=240种排列方案.分析问题可知，不相邻的元素有2个，即D 、F 两名同学，其他4名同学A 、B 、C 、E 没有要求，于是采用插空法，先排列其他4名同学的参赛顺序；然后将D 、F 2名同学插入5个空位中；最后根据分步计数原理求解.二、采用优先法解答元素有特殊要求的问题，常用优先法.运用该方法解题的思路为：①根据题意确定特殊元素的个数、位置、顺序；②将这些特殊元素分类进行排列；③对剩余的元素进行排列；④根据分类计数原理、分步计数原理进行求解.例4.用0,2,3,4,5这5个数字组成一个没有重复的3位数（一个数字只出现一次），则这个3位数是偶数的情况有种.解：①当0排在末位时，其他数字2,3,4,5有A 24种排列方式；②当0不排在末位时，其他的数字2,3,4,5有A 12A 13A 13种排列方式，根据分类计数原理可知，这个3位数是偶数的情况有：A 24+A 12A 13A 13=30种.要使这个3位数是偶数，需使个位数为0、2、4，其中0较为特殊，不能在首位，于是采用优先法，对0的位置进行分类讨论，并在排列各个数字的顺序时，需先对0的位置和末位数字进行排列，再排列其他的数字和位置.运用优先法解题，需先排列特殊元素的位置和顺序，再考虑其他元素的位置和顺序.三、运用间接法间接法适用于解答直接排列顺序或分类比较复杂的排列组合问题.运用该方法解题，需先讨论不满足题意的排列组合数，求得满足题意的所有排列组合数；然后用总数减去不满足题意的排列组合数，即可间接求得满足题意的排列组合数.46例5.某电影院的倒数第二排共有6个座位，最后一排共7个座位，现有2名学生购票选座，若倒数第二排中间的两个座位已被售出，且这两名学生不想相邻而坐，则有多少种不同的选座方法？解：电影院的最后两排共有11个座位，这2名同学有C 211A 22=110选法；2名同学相邻而坐，有(2+6)A 22=16种选法.因此，这两名同学不相邻而坐的选法有C 211A 22-(2+6)A 22=94种.若直接求两名同学不相邻，且倒数第二排中间两个位置不能坐的方案数，则需分几种情况进行讨论，解题的过程比较繁琐.于是采用间接法，分别求出2名同学随意选座位以及相邻而坐的方案数，然后将二者相减，即可快速解题.例6.某公司准备从4个重点城市和6个普通县区中各选择2处扩大规模进行建设，要求重点城市甲和普通县区A 至少有一个被选中，则有多少种不同的选择方法？解：从4个重点城市和6个普通县区中各任意选择2处，有C 24C 26=90种不同的方案，若重点城市甲和普通县区A 都没有被选中，则有C 23C 25=30种方案，故重点城市甲和普通县区A 至少有一个被选中的方案有90-30=60种.采用常规方法求解本题，需要分3种情况进行讨论，且容易重复计数，运用间接法求解更直接、简洁.分别求出从4个重点城市和6个普通县中各任意选择2处的方案数以及重点城市甲和普通县区A 都没有被选中的方案数，最后将两者相减，即可得到问题答案.四、使用捆绑法捆绑法是把几个要求相邻的元素捆绑在一起，看作一个整体，与其他元素一起排列的方法.该方法适用于求解元素相邻的问题.若要求n 个元素中有m 个元素相邻排列，则需先把这m 个元素捆绑起来，并将其看作一个整体，与其他元素n-m 个元素，即n -m +1个元素一起排列；然后根据分步计数原理进行求解.例7.7个人一起排队，若小明、小红、小凯3人要求相邻，则不一样的排法有多少种？解：先将小明、小红、小凯3个人进行捆绑，有A 33种排法；然后将其看作一个“大元素”，与其余4个人，一共5个元素一起全排排列，有A 55种排法，因此符合题意的排法有A 55A 33=720种.分析题意可知，7名同学中有3个人要求相邻，于是采用捆绑法，先将小明、小红、小凯这3名同学捆绑，然后与其他同学一起排列.例8.A 、B 、C 、D 、E 5个小朋友并排站成一排，如果A 、B 必须相邻，且B 在A 的右边，则不同的排法有().A.60种B.48种C.36种D.24种解：要使A 、B 必须相邻，且B 在A 的右边，则只有BA 一种排法，此时可将A 、B 两个小朋友捆绑起来，当作一个元素，与另外3个小朋友一起排列，有A 44=24种排法.因此，满足题意的排列方式有24种.在运用捆绑法解题时，要先分别求得捆绑起来的“大元素”内部元素的排序以及外部元素的顺序，再运用分步计数原理求解.五、借助缩倍法缩倍法适用于求解部分元素的顺序固定的问题.若m 个元素中有n 个元素的顺序固定，则需分别求得m 、n 个元素全排列数，然后将二者相除，即可求得这m 个元素的排列数.例9.为纪念某活动顺利举办，现有12名工作人员排队留影.（1）若工作人员甲排在乙的左边（从左往右排列），有多少种排法？（2）若工作人员甲排在乙的左边，丙排在乙的右边（从左往右排列），有多少种排法？解：（1）12名人员排成一列，有A 1212种排法，甲排在乙的左边和右边的机会是均等的，故一共有A 12122种排法.（2）甲、乙、丙3人排列，有A 33种排法，“甲排在乙的左边，丙排在乙的右边”情况有A 33种，故一共有A 1212A 33种排法.本题中甲、乙、丙3人的顺序固定，于是采用缩倍法求解，分别求得12人的全排数，以及甲乙2人、甲乙丙3人有固定顺序的排列数，然后将所得的结果相除.一般地，作除法的目的是为消序.例10.某大学三年级某系一共有6个班级，这个学期来了4名留学生，现要将他们安排在其中的2个班级中，且每个班级有2名留学生，一共有____种安排方案.解：设4名留学生为A 、B 、C 、D ，若A 、B 为一组，C 、D 为另外一组，则有C 24C 22A 26=300种安排方案.由于C 、D 为一组和A 、B 为一组的分法相同，故一共有C 24C 22A 26A 22=150种不同的安排方案.本题实际上是要求对4名留学生进行平均分组，再分配到2个班级中，所以采用倍缩法，将总的排列数除以A 22，使得4名留学生均分成2组.在求解排列组合问题的过程中，同学们一定要先明确题目中是否存在相邻或不相邻元素，判断是否有特殊要求的元素或位置；然后选用捆绑法、优先法、插空法、间接法、缩倍法等方法进行求解.只有明确题目的类型和对应的解题方法，才能准确解题，有效地提高解题的效率.（作者单位：甘肃省礼县实验中学）47。
解排列组合问题常用方法(二十种)
解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由01,2,3,4,5，可以组成多少个没有重复数字五位奇数？ 分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。
末位和首位有特殊要求。
先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有13C 种组合；然后排首位，从2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有14C 种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有34A 种排列。
由分步计数原理得113344288C C A =。
变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有24A 种排列，再种其它葵花有55A 种排列。
由分步计数原理得25451440A A =。
二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排 ，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。
先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。
由分步计数原理得522522480A A A =。
变式2、某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 。
分析：命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中四枪形成的五个空位，共有25A 种排列。
三、相离问题插空法例3、一个晚会节目有4个舞蹈，2个相声，3个独唱，舞蹈不能连续出场，则节目出场顺序有多少种？分析：相离问题即不相邻问题。
分两步。
第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种排列，第二步将4个舞蹈插入第一步排好后形成的6个空位中（包含首尾两个空位）共有46A 种排列，由分步计数原理得545643200A A =。
变式3、某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节目插入原节目单中且不相邻，那么不同插法的种数为 。
排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法一、相邻问题捆绑法题目中规定相邻的几个元素并为一个组( 看作一个元素 ) 参加摆列．例 1: 五人并排站成一排，假如甲、乙一定相邻且乙在甲的右侧，那么不一样的排法种数有种。
二、相离问题插空法元素相离 ( 即不相邻 ) 问题，可先把无地点要求的几个元素全摆列，再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两头．例 2：七个人并排站成一行，假如甲乙两个一定不相邻，那么不一样排法的种数是。
三、定序问题缩倍法在摆列问题中限制某几个元素一定保持必定次序，可用减小倍数的方法．例 3： A、 B、 C、 D、 E 五个人并排站成一排，假如 B 一定站 A 的右侧 (A、 B 可不相邻 ) ，那么不一样的排法种数有。
四、标号排位问题分步法把元素排到指定号码的地点上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，这样持续下去，挨次即可达成．例 4：将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、 2、 3、 4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不同样的填法有。
五、有序分派问题逐分法有序分派问题是指把元素按要求分红若干组，可用逐渐下量分组法。
例 5：有甲、乙、丙三项任务，甲需 2 人肩负，乙丙各需 1 人肩负，从 10 人中选出 4 人肩负这三项任务，不一样的选法总数有。
六、多元问题分类法元素多，拿出的状况也有多种，可按结果要求，分红不相容的几类状况分别计算，最后总计。
例 6：由数字 0 ，1，2，3，4，5 构成且没有重复数字的六位数，此中个位数字小于十位数字的共有个。
例 7：从 1，2，3， 100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法 ( 不计次序 ) 共有多少种？例 8：从 1，2， 100 这 100 个数中，任取两个数，使其和能被 4 整除的取法( 不计次序 ) 有多少种？七、交错问题会合法某些摆列组合问题几部分之间有交集，可用会合中求元素个数公式n( A B) n( A) n(B) n( A B) 。
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《几类排列组合问题的处理方法》发表在《学习报》2010-2011第21期总第1130期 第2版 2010年11月19日国内统一刊号CN14-00708/(F) 邮发代码：21-79
几类排列组合问题的处理方法
特级教师 王新敞
解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法： ⒈特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.
例如“用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_____个”的问题中，数字0就是就是特殊元素，由于0是否在个位直接影响百位数字的安排，
因此需要分成两类：①当0在个位时，十位和百位可以随意安排两个数字，有2412A =个；
②当0不在个位时，个位可以安排2或4 、百位有三个数字可以安排、十位有三个数字可以安排，有23318⨯⨯=个．综上共有30个偶数． ⒉插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决 例如“7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是______”的问题，先将除甲乙之外五人排列，再将甲乙插入到包括两端位置的六个“间隙”中的两个位置上，
有52563600A A ⨯=种排法． ⒊捆绑法 相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列 例如“6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是________种”的问题，先将甲乙“捆绑”成一个元素，再将五个元素排列，
有2525240A A ⨯=种不同的坐法． ⒋排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.例如“四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共有__种.”的问题，直接计
数很困难,用间接法,从10个点中取4个有410C 种方法,剔除四点共面的情况有: (1)四个面上的种
数为46460C =;(2)三点在一条棱上,另一点为其对棱中点的种数为6;(3)任一组对棱以外的四棱
中点的四点共面种数有3种,故不同的取法共有1413660410
=---C 种. ⒌剪截法（隔板法）：n 个 相同小球放入m(m ≤n)个盒子里,要求每个盒子里至少有一个小球的放法等价于n 个相同小球串成一串从间隙里选m-1个结点剪成m 段（插入m －1块隔板），有1
1--m n C 种方法.例如 “某校准备参加2010年高中数学联赛,把10个选手名额分配到高三年级的8 个教学班,每班至少一个名额,则不同的分配方案共有___种.”的问题，等价于把10个相同小球放入8个盒子里,每个盒子至少有一个小球的放法种数问题．将10个小球串成一
串，截为8段有7936C =种截断法，对应放到8个盒子里．因此，不同的分配方案共有36
种．再比如“把9个相同小球放入其编号为1、2、3的三个箱子里,要求每个箱子放球的个数不小于其编号数,则不同的放球方法共有______种.”的问题，先给编号为2、3的两个箱子里分别放入1个、2个小球,有1种方法；再将剩余的6个小球串成一串，截为三段有2510C =种截断法，对应放到编号为1、2、3的三个箱子里．因此，不同的放球方法有1×10＝10种．
⒍错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到 n 的n 个盒子里,每个盒子放一个小球.要求小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列.（特别当n=2,3,4,5时的错位数各为1,2,9,44）．例如“编号为1至6的6个小球放入编号为1至6的6个盒子里,每个盒子放一个小球,其中恰有2个小球与盒子的编号相同的放法有____种.”的问题，选取编
号相同的两组球和盒子的方法有2615C =种,其余4组球与盒子需错位排列有9种放法,故所
求方法有135915=⨯种.
⒎容斥法：n 个元素排成一列,求某两个元素各自不排在某两个确定位置的排法种数,宜用容斥法. 例如“将A 、B 、C 、D 、E 、F 六个不同的电子元件在线路上排成一排组成一个电路,如果元件A 不排在始端,元件B 不排在末端,那么这六个电子元件组成不同的电路的种数是_ .”的问题，不考虑限制条件共有66A 种排法,元件A 排在始端和B 排在末端各有55A 种排法,把它们都剔除,则A 排在始端同时B 排在末端的总数多减了一次,需补上44A 种.故组
成不同的电路6546542504A A A -+=种.
⒏分组（堆）问题的六个模型：①有序不等分；②有序等分；③有序局部等分；④无序不等分；⑤无序等分；⑥无序局部等分．
例如：将6本不同的书按下列分法，各有多少种不同的分法？
⑴分给学生甲3 本，学生乙2本，学生丙1本；
⑵分给甲、乙、丙3人，其中1人得3本、1人得2 本、1 人得1 本；
⑶分给甲、乙、丙3人，每人2本；
⑷分成3堆，一堆3 本，一堆2 本，一堆1 本；
⑸分成3堆，每堆2 本．
⑹分给分给甲、乙、丙3人，其中一人4本，另两人每人1本；
⑺分成3堆，其中一堆4本，另两堆每堆1本．
分析：①分书过程中要分清：是均匀的还是非均匀的；是有序的还是无序的．②特别是均匀的分法中要注意算法中的重复问题．
解：⑴是指定人应得数量的非均匀问题：方法数为321
631C C C ；
⑵是没有指定人应得数量的非均匀问题：方法数为33112336P C C C ⨯； ⑶是指定人应得数量的均匀问题：方法数为222
642C C C ；
⑷是分堆的非均匀问题（与⑴等价）：方法数为321
631C C C ；
⑸是分堆的均匀问题：方法数为33222426P C C C ÷； ⑹是部分均匀地分给人的问题：方法数为223
3111246P P C C C ⨯；
⑺是部分均匀地分堆的问题：方法数为2211
1246P C C C ．。