2020北京市中考数学专题复习 二次函数综合题

二、重难专题突破

专题七二次函数综合题(必考)

类型一抛物线图象性质问题

(8年2考：2017.27、2013.23)

1. (2019通州区一模)已知二次函数y＝x2－ax＋b在x＝0和x＝4时的函数值相等.

(1)求二次函数y＝x2－ax＋b的对称轴；

(2)过P(0，1)作x轴的平行线与二次函数y＝x2－ax＋b的图象交于不同的两点M、N.

①当MN＝2时，求b的值；

②当PM＋PN＝4时，请结合函数图象，直接写出b的取值范围.

2. (2019石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋1(k≠0)经过点A(2，3)，与y轴交于点B，与抛物线y＝ax2＋bx＋a的对称轴交于点C(m，2).

(1)求m的值；

(2)求抛物线的顶点坐标；

(3)N(x1，y1)是线段AB上一动点，过点N作垂直于y轴的直线与抛物线交于点P(x2，y2)，Q(x3，y3)(点P在点Q的左侧).若x2＜x1＜x3恒成立，结合函数的图象，求a的取值范围.

3.(2019海淀区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过点A(0，－3)和B(3，

0).

(1)求c的值及a，b满足的关系式；

(2)若抛物线在A，B两点间从左到右上升，求a的取值范围；

(3)结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点M(－1＋m，n)，N(4－m，n)？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n的值；若不能，请说明理由.

类型二抛物线与直线(线段)的公共点问题

(8年5考：2019.26、2018.26、2015.27、2014.23、2012.23)

1.(2019朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2x＋a－3，当a＝0时，抛物线与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B.

(1)求点B的坐标；

(2)将抛物线在直线y＝a上方的部分沿直线y＝a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M，若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.

2. (2019西城区一模)在平面直角坐标系中xOy中，已知抛物线y＝x2－mx＋n.

(1)当m＝2时，

①求抛物线的对称轴，并用含n的式子表示顶点的纵坐标；

②若点A(－2，y1)，B(x2，y2)都在抛物线上，且y2＞y1，则x2的取值范围是；

(2)已知点P(－1，2)，将点P向右平移4个单位长度，得到点Q.当n＝3时，若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，求m的取值范围.

3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(2a＋2)x＋b(a≠0)，在x＝0和x＝6时函数值相等.

(1)求a的值；

(2)若抛物线与直线y＝－2x的一个交点为(2，m)，求抛物线的解析式；

(3)在(2)的条件下，直线y＝－2x－4与x轴，y轴分别交于A、B两点，将线段AB向右平移n(n＞0)个单位，同时将抛物线在2≤x≤7的部分图象向左平移n个单位后得到的图象记为G，若图象G与平移后的线段有公共点，结合函数图象，求n的取值范围.

第3题图

4.(2019丰台区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝ax2－2ax－3a(a≠0)和点A(0，－3).将点A向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到点B.

(1)求点B的坐标；

(2)求抛物线C1的对称轴；

(3)把抛物线C1沿x轴翻折，提到一条新抛物线C2，抛物线C2与抛物线C1组成的图象记为G.若图象G 与线段AB恰有一个交点时，结合图象，求a的取值范围.

类型三抛物线与直线(线段)构成封闭区域的整点问题

(仅2016.27考查)

1.(2019通州区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－4ax＋m(a≠0)与x轴的交点为A、B，(点A在点B的左侧)，且AB＝

2.

(1)求抛物线的对称轴及m的值(用含字母a的代数式表示)；

(2)若抛物线y＝ax2－4ax＋m(a≠0)与y轴的交点在(0，－1)和(0，0)之间，求a的取值范围；

(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有5个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围.

2. (2019石景山区期末)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线y＝ax2－4ax＋3a的对称轴交于点A(m，－1)，点A关于x轴的对称点恰为抛物线的顶点.

(1)求抛物线的对称轴及a的值；

(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.记直线y＝kx＋b(k≠0)与抛物线围成的封闭区域(不含边界)为W.

①当k＝1时，直接写出区域W内的整点个数；

②若区域W内恰有3个整点，结合函数图象，求b的取值范围.

3.(2019门头沟区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)顶点为P，且该抛物线与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧).我们规定：抛物线与x轴围成的封闭区域称为“G区域”(不包含边界)；横、纵坐标都是整数的点称为整点.

(1)求抛物线y＝ax2－2ax－3a顶点P的坐标(用含a的代数式表示)；

(2)如果抛物线y＝ax2－2ax－3a经过(1，3).

①求a的值；

②在①的条件下，直接写出“G区域”内整点的个数.

(3)如果抛物线y＝ax2－2ax－3a在“G区域”内有4个整点，直接写出a的取值范围.

参考答案

类型一 抛物线图象性质问题

1. 解：(1)∵二次函数y ＝x 2－ax ＋b 在x ＝0和x ＝4时的函数值相等． ∴对称轴为直线x ＝0＋4

2 ＝2；

(2)①设点M 在点N 的左侧． ∵对称轴为直线x ＝2，MN ＝2，

∴点M 的坐标为(1，1)，点N 的坐标为(3，1)， ∴x ＝－－a

2 ＝2，1＝1－a ＋b ，

∴a ＝4，b ＝4； ②1≤b ＜5.

【解法提示】∵a ＝4，∴y ＝x 2－4x ＋b ，∵过P (0，1)作x 轴的平行线与二次函数y ＝x 2－4x ＋b 的图象交于不同的两点M 、N .∴1＝x 2－4x ＋b 有两个不同的根，∴Δ＝16－4b ＋4＞0，∴b ＜5，∵PM ＋PN ＝4，∴1≤b ＜5.

2. 解：(1)∵y ＝kx ＋1(k ≠0)经过A (2，3)， ∴k ＝1.

∵直线y ＝x ＋1与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋a 的对称轴交于点C (m ，2). ∴m ＝1；

(2)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋a 的对称轴为直线x ＝1， ∴－b

2a ＝1，即b ＝－2a .

∴y ＝ax 2－2ax ＋a ＝a (x －1)2. ∴抛物线的顶点坐标为(1，0)； (3)当a ＞0时，如解图．

若抛物线经过点B (0，1)，则a ＝1. 结合函数图象可得0＜a ＜1. 当a ＜0时，不符合题意．

综上所述，a 的取值范围是0＜a ＜1.

第2题解图