高中数学数形结合习题

1. 若对任意x ∈R ,不等式

x ax

≥恒成立,则实数a 的取值范围是( )C

A.1a <- ﻩＢ.

1a ≤ﻩﻩC ．

1

a < ﻩD.1a ≥

2．若圆

2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=

的距离为,则直线l 的倾斜角的取值范围是 （ ) [5,

1212ππ

]

3．在下列四个函数中，满足性质:“对于区间(1,2)上的任意

1212,()x x x x ≠,

1221|()()|||

f x f x x x -<-恒成立”的只有 （ )A

(A ）1

()f x x =

ﻩﻩ(B ）()||f x x = （C ）()2x f x = (D ）2

()f x x =

4. 若直线k x y +=与曲线2

1y x -=恰有一个公共点,则k 的取值范围是 ( ）

2-=k 或(-１,1]

4． k x y +=

表示一组斜率为１的平行直线，21y x -= 表示y 轴的右半圆。如图可知，

[简要评述] 数形结合思想的灵活运用,此题

可以进一步拓展，2

1y x --=，21x y -±=等。

5.若关于x 的方程2

45x x m -+=有四个不相等的实根，则实数m 的取值范围为＿＿_＿_＿_＿。15m << 题型解析

例１．方程si ｎ2x=sin ｘ在区间(0，２π）解的个数为( )

（A ）1 (B ）2 （C ）3 (Ｄ)４

x

分析:解方程f(ｘ)=g(x)的问题归结为两个函数y=f(x)

与y=g(x)的交点横坐标,特别是求方程近似解时此方法非常有效。

解:如图 在同一坐标系内,作出y ＝ｓi ｎ2ｘ，x ∈(0,２π）；ｇ=ｓi ｎx ，x ∈(０,2π)的图有三个交点,故方程si ｎ2x=s ｉn ｘ在（０,2π)内有三个解。

一般情况下将方程化为一端为曲线,一端为动直线时，解题较为简单，考查逻辑思维能力与计算能力，还体现了化归与转化和分类讨论的思想。

练习 设f(x)是定义在Ｒ上以2为周期的函数,对于K ∈Z 用k Z 表示区间（2k －１,２k ＋1)，已知x ∈0Z 时,有ｆ(x)=2

x 。

(1) 求ｆ(x)在k Z 上的解析式。

(2) 对于自然数Ｋ,求集合K M ={a|使方程f （x)=ax 在k Z 上有两个不相等的实根｝。

解(1)如右图 从图形可以看出ｆ(x)=2(2)x k -。(2）如下图 由ｆ（x)＝ax,x ∈k Z ,得(x o x

即2

x -(4k+a)x+４2

k =0，考察函数f(x ）= 2

x -(4k+a)ｘ+４2

k ，x ∈(2k －1,2ｋ

+1)的图象位置,依题意该函数图象在（2k-1,2k+１)内必与ｘ轴有两个不同交点。则有

△ ＞0

ｆ(2k-1) ＞０

f(2k+１)≥０ ｋ

2k-1<(4k ＋a ）/2<2ｋ＋1 o ２k －1 2k+１ x

从中解得:０＜a ≤1／（2k+1），(k ∈N) 故K M ＝{a|０＜a ≤１／(（2k+1)，(k ∈N ）)。

例２ 已知三点(1

2)(15)(243)(0)A m B m C m m m ++++>，，，，，，问m 为何值时，d AB BC =+最小,并求最小值．

分析:根据三个点横坐标的特点可知,它们在坐标系中是从左到右依次排列的,当且仅当它们共线时,d AB BC =+最小.

解:依题意知，当三点共线时d AB BC =+最小，此时AB BC k k =,，

∵52311AB m m k m m ---==+-,435

4221

BC m k m m m +-==-+--,

∴

342m

m m

-=-， 解得3

4

m =-(舍去)或1m =，

∴1m =,

此时三个点分别为(13)(25)(37)A B C ，，，，，,

∴2

2

(73)(31)25d AB BC AC =+==-+-=．

练习．已知点(35)M ，,在y 轴和直线y x =上分别找一点P 和Ｎ，使得MNP △的周长最小.

分析：作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则1MP M P =，

2MN M N =，所以MNP △的周长等于12M P PN M N ++,当且仅当12M M P ，，三

点共线时取最小值,所以点P N ，应为直线12M M 和y 轴与直线y x =的交点．

解:作点(35)M ，关于y 轴和直线y x =的对称点12M M ，，则点12M M ，的坐标分别为(35)(53)-，，，，

由两点式得

53

3553

y x -+=

-+， 整理得4170x y +-=，即为直线12M M 的方程， 易得它和ｙ轴和直线y x =的交点坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

，，，.

即使得MNP △周长最小的点P 和N 的坐标分别为1717170455⎛⎫⎛⎫

⎪

⎪⎝⎭⎝

⎭，，，．

评注:本题利用对称思想为线段找到了“替身”，从而将问题转化成了两点之间线段最短的问题．

例3．已知点()P a b ，在直线10mx y +-=上，且2221a b a +-+的最小值为2,求ｍ的值.

解:∵2

2

2

2

21(1)a b a a b +-+=-+，

∴它是点()P a b ，和点(10)，之间的距离,它的最小值就是点(10)，到直线