现代控制理论基础第四章-2013

Elements of Modern Control Theory

主讲：董霞现代控制理论基础

西安交通大学机械工程学院

第四章控制系统的李亚普诺夫稳定性分析

控制系统的稳定性分析是系统分析的重要组成部分。系统稳定是控制系统

正常工作的前提条件,因此判别系统的稳定性及如何改善其稳定性是系统

分析和综合的首要问题。

对单输入－单输出的线性定常系统，以传递函数或频率特性为其数学模型，采用劳斯－胡尔维茨（Routh-Hurwitz）判据和乃奎斯特（Nyquist）判据等来判别系统的稳定性是比较简便的。

对于多变量系统，特别是时变系统和非线性系统，以状态空间表达式为数学模型，系统的稳定性,通常指系统的平衡状态是否稳定。简单地说, 稳定性是指系统在扰动消失后,由初始偏差状态恢复到原平衡状态的性能(这是系统的自身属性），分析其稳定性采用的方法是李亚普诺夫（A.M. Lyapunov）提出的稳定性理论。

本章主要内容

4.1引言

4.2李亚普诺夫意义下的稳定性

4.3判别系统稳定的李亚普诺夫方法4.4 线性系统的Lyapunov稳定性分析

4.1 引言

对于线性定常SISO系统，其稳定性分析可以通过经典控制理论的Routh-Hurwitz判据和Nyquist判据来解决。

在航空、航天以及其它科技领域发展中，控制系统日益向非线性、时变、MIMO系统延伸，由于关注的是系统平衡状态的稳定性，因而其稳定性分析无法利用经典控制理论解决，于是李亚普诺夫稳定性分析理论诞生。

1892年，李亚普诺夫（Lyapunov）发表了《运动稳定性的一般问题》论文，建立了运动稳定性的一般理论和方法。

李亚普诺夫在他的博士论文“运动稳定性的一般问题”中借助平衡

状态稳定与否的特征对系统或系统运动稳定性给出了严格定义,提出了解决稳定性问题的一般理论,即李亚普诺夫稳定性理论。该理论基于系统的状态空间描述法,是对单变量、多变量、线性、非线性、定常、时变系统稳定性分析皆适用的通用方法,是现代稳定性理论的重要基础和现代控制理论的重要组成部分。

经典控制理论与现代控制理论中所讨论稳定性的区别：

经典控制理论中基于输入-输出描述法描述的是系统的外部特性,因此,系统的稳定性一般指输出(外部)稳定性；现代控制理论中的状态空间描述法不仅描述了系统的外部特性,且全面揭示了系统的内部特性,因此, 借助平衡状态稳定与否的特征所研究的系统稳定性指状态(内部)稳定性。

一种是通过求出微分方程的解来分析系统的稳定性，是一种间接方法，由于求解非线性时变微分方程的解是非常困难

甚至不可能的，因而此方法的应用受到一定限制。

由于李亚普诺夫第二法可以避开求解微分方程的困难，因而更具重要性。

另一种是不需要求解微分方程而给出系统稳定性的信息，是一种直接方法。它根据系统在其平衡状态渐近稳定时，其能量必将随时间的增长而衰减，直至达到平衡状态而使能量趋于最小值的原理，只要找到这样的能量函数（李亚普诺夫函数）即可判断系统的稳定性。

他把稳定性分析方法归纳为两种:

研究的是系统在平衡状态的稳定性，即系统在平衡状态下受到扰动后自由运动的性质，与外部输入无关。下面首先给出平衡状

对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态。平衡状态对应于式（4-

4）的常数解，与系统微分方程式（4-1）的解无关。

例4-1 设系统的状态方程为：11

3

2122

x x x x x x =−⎧⎨=+−⎩&&求其平衡状态。解：由式（4-4）得13

1220

x x x x −=⎧⎨+−=⎩因此系统有三个孤立的平衡状态

10⎡⎤=⎢⎥e x 0⎡

⎤=⎢⎥x 0⎡

⎤

=⎢⎥e3x 如果多个平衡状态彼此是孤立的，则称这样的状态为孤立平衡状态。单个平衡状态也是孤立平衡状态。

任意一个孤立的平衡状态都可通过坐标变换移到状态空间的坐标原点处，即。研究系统的稳定性，就是研究系统在平衡状态的稳定性，以后所讨论的稳定性都是在坐标原点处的平衡状态稳定性。

(,)(0,)0e x t t ==f f 0,e x =

稳定的所有点的一个球域()s ε

欧几里德范数，分别表示1/22)n ne x x ⎤−⎦

在李亚普诺夫意义下是稳定的，并且

x

收敛于，即

e

上述的渐近稳定性是系统的一个局部稳定性的概念，简单地确定了系统的渐近稳定性并不意味着系统能正常工作，而有必要确定渐近稳定性的最大范围，该最大范围称为吸引域，发生

于吸引域内的每一条状态轨迹都是渐近稳定的。

3.大范围渐近稳定性

若系统的平衡状态是渐近稳定的，并且其吸引域包括整个状态空间，则系统的平衡状态是大范围渐近稳定的，或称全局渐近稳定，如图4-1（c）所示。显然，系统在大范围内渐近稳定的必要条件是系统在整个状态空间只有一个平衡状态。对于线性系统，若系统的是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定的。

e x e x e x 大范围渐近稳定

大范围渐近稳定即经典控制论中所说的稳定。在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，则问题转化为确定渐近稳定的最大范围，这通常是非常困难的。然而对于所有的实际问题，若能确定渐

近稳定范围足够大以致扰动不会超过它也就可以了。

4.不稳定性

对于任意实数，存在一个实数，无论取得多么小，在内总存在一个状态，使得始于这一状态的轨迹最终会脱离域，则称系统的平衡状态为不稳定的，如图4-1（d）所示。不稳定0ε

>0δ>δ()s δ0x ()t x ()s εe x