高考数学数列大题训练

高考数学数列大题训练

1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且

1,641≠=q a 公比

（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前

2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ；

（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S

~

3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式；

（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*

1N n n a a n n n ∈≥+=-且．

（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{

n

n

a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

；

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ；

（2）求证：数列11n a ??

??-??

是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。

6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*

12(n n a S n +=∈N

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；

￥

（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T

7.22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列；

⑵n a n n 221

-=+；

⑶4)1(2

2

21-+-=++++n n a a a n n .

?

8.已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；

（2）若数列}1

{

,3),(}{11n

n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*

+的前n 项和T n .

9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22

a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中

*2,n n N ≥∈.

① 求证数列{}1n a -是等比数列； ② （

③

求数列{}n a 的前n 项和n S .

10.已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设

,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.

（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式； （II ）设}log log 1{,32

212++?=

n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T .

[

高考数列大题参考答案

1.解析：

(1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c

=533222()c c d c c -==-

∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-

，

1q ≠， ∴121,2q q ==

，∴1

164()2

n a -= (2)1

21

log [64(

)]6(1)72

n n b n n -==--=-，{}n b 的前n 项和(13)

2

n n n S -=

∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)

2

n n n n T S -==

（8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =++

+---

-

《

789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-(13)

422

n n -=-

∴(13)(17,)2(13)42(8,)2

n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?

-?-≥∈??*

*N N 2.解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a

（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列； 112)1(1-?++∴n n a a ；,21n n a =+∴ .12-=∴n n a 为所求通项公式

…

（3）12-=n

n a

123......n n S a a a a ∴=++++

123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-

1

2

3

(222......2)n

n =++++-n n ---=2

1)

21(2.221n n --=+

3.解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a =，

11

2

n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，

12为公比的等比数列，122112()()222

n n n n a ---∴=?== 2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=?+?+?+

+-? （1）

01211

1232(23)2(21)22

n n n T n n ---=?+?++-?+-? （2）

·

（1）—（2）得01

21122(222)(21)22

n n n T n ---=+++

+--?

即：11111

12[1(2)]

2(21)26(23)2212

n n n n T n n ------=+--?=-+?- ，212(23)2n n T n -∴=-+? 4．解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．

（Ⅱ）),2(22*

1N n n a a n n n ∈≥+=-且 ， ∴

),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且， 即),2(12

2*

11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2

{

n

n a 是首项为21

211=a ，公差为1=d 的等差数列． （Ⅲ）由（Ⅱ）得

,211)1(21)1(212

-=?-+=-+=n n d n a n

n ∴n n n a 2)21(?-=． )

2(2)2

1

(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+?-+?--++?+?+?=?-++?+?+?=

n n n n n n n S n S

1

322

)2

1(2221)2()1(+?--++++=--n n n n S 得

12)21(22221

32-?--++++=+n n n ^

12)2

1(21)21(21-?----=+n n n 32)23(-?-=n n ． ∴32)32(+?-=n n n S ．

5.解： （1）7

9

,57,35432===

a a a （2）证明：由题设可知N n a a n n ∈≠≠,10且 1211-=--n n n a a a

()()()()111111--=---?--n n n n a a a a 11

1

111=---?

-n n a a ?

????

?-∴11n a 是以21

为首项，1为公差的等差数列

*

故

2112111-=-+=-n n a n 1

21

21122-+=+-=∴n n n a n 6.解：（Ⅰ）

12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，1

n n

S S +∴

= 又

111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N

当2n ≥时，2

1223(2)n n n a S n --==≥，

21132n n n a n -=?∴=?2?， ，，≥．

（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，

当1n =时，11T =；

当2n ≥时，01

21436323n n T n -=+++

+，…………①

~

12133436323n n T n -=+++

+，………………………②

-①②得：1

2

2

1

2242(333

)23

n n n T n ---=-+++++-213(13)

222313

n n n ---=+--

11(12)3n n -=-+-

1113(22n n T n n -??

∴=

+- ???

≥ 又111T a ==也满足上式， 1113(2)22n n T n n -??

∴=

+- ???

≥ 7.解： ⑴ )2(221+=++n n b b 22

2

1=++∴

+n n b b

2121=-=a a b 62222=+=b b

数列{b n +2}是首项为4公比为2的等比数列； ^

⑵由⑴知 11

22

42+-=?=+n n n b 221-=∴+n n b 2211-=-++n n n a a

22212-=-∴a a 22323-=-a a

……

221-=--n n n a a

上列（n-1）式子累加：n a n

n 2)222(232-+++=-

n a n n 221-=∴+

?

⑶2

)

1(2

)2

22(1

3221+-+++=++++n n a a a n n .

4)1(2221-+-=+++∴+n n a a a n n

8.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则

???+=+=+2

1111)

5()20(,60156d a d a a d a 解得???==.5,

21a d

32+=∴n a n .

)4(2

)

325(+=++=

n n n n S n

（2）由).,2(,

111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n

112211

121112,()()()(1)(14)3

(2).3,

n n n n n n n n b b b b b b b b a a a b n n n n b -----≥=-+-+

+-+=++++=--++=+=当时对也适合

`

))(2(*∈+=∴N n n n b n ).2

11(21)2(11+-=+=∴

n n n n b n

)2

11123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=

n n n n T n )

2)(1(4532+++=n n n

n

9.解：①

113210n n n S S S +--++=?112()1n n n n S S S S +--=--

?121(2)n n a a n +=-≥

又123,22

a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈

?112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）

∴数列{}1n a -是公比为2，首项为11

12

a -=

的等比数列 （2）由①，1

211222

n n n a ---=

?=221n n a -?=+ 于是12...n n S a a a =+++()()()()

1012212121...21n --=++++++++

()1

1

2

222 (2)

n n --=++++21

2n n -=+

10.解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n 两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n

*),

(2)2(2,2)(42,

2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+

,21

=∴

+n

n b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列， ,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而 *)(231N n b n n ∈?=∴-

（II ）,23

1-==n n n b C ,)1(1

2log 2log 1log log 11

222212+=?=?∴+++n n C C n n n n

而

,111)1(1+-=+n n n n .1

1

1)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n