数学与美11111资料
趣味数学150：“11111...111”节选
选自《数论妙趣——数学女王的盛情款待》第十一章11111…111（节选）由清一色的1重复有限次所组成的数，引起人们很大的兴趣。
这样的数可以称为“重一数”。
人们为了求出重一数的因子花掉不少时间。
这类数可以记为10x＋10x－1＋10x－2＋…＋102＋10＋1。
这是在求一个等比数列100,101,102,…,10x－1,10x之和。
根据等比数列求和公式S＝a(q x＋1－1)/(q－1) （q—公比，a—首项）这里，q＝10，a＝1，于是，总和就是(10x＋1－1)/9。
这样一来，问题就转化为怎样找到形如10y－1的数的因子。
10y－1型的数很像梅森数2n－1的样子，只是2变成了10。
在第三章研究梅森数的时候，曾经得出，n只能是质数；当n是合数时，2n－1可以分解因式。
同理，y也只能是质数；当y是合数时，10y－1也可以分解因式。
先来看y是合数的情况：当y为偶合数时，重一数为合数。
如104－1＝(102)2－1＝(102＋1)(102－1)＝101×99，(104－1)/9＝101×11＝1111；106－1＝(103)2－1＝(103＋1)(103－1)＝1001×999，(106－1)/9＝1001×111＝111111；108－1＝(104)2－1＝(104＋1)(104－1)＝10001×9999，(108－1)/9＝10001×1111＝11111111。
当y为奇合数时，重一数也为合数。
如109－1＝(103)3－1＝(103－1)[(103)2＋103＋1]＝999×[106＋103＋1]＝999×[1000000＋1000＋1]＝999×1001001，(109－1)/9＝111×1001001＝111111111；1015－1＝(105)3－1＝(105－1)[(105)2＋105＋1]＝99999×[1010＋105＋1]＝99999×[10000000000＋100000＋1]＝99999×10000100001，(1015－1)/9＝11111×10000100001＝111111*********。
第五讲 数学美学
23 6 23 6 2306
a) 简洁美的发展过程: 235×4=940 罗马人的算法:
CCXXXV IV CCCCCCCCXXXXXXXXXXXXVVVV DCCC 表示900 CMXL CXX XX 表示40
b) 十进制与二进制:
十进制:89
89= 1× 2 +0× 2 + 1 × 2 + 1 × 2 +0×2 +0×2 +1×2
e .
4 5 6
e 1 0. 数学美的象征
1: 来源于代数 i: 来源于几何
π: 来源于分析
i
1：实数单位
i：虚数单位
0：唯一中性数
3.和谐美
例2 e与π
cos i sin
乘法运算形式一致
i
e
1 2 1 4 1 6 cos x 1 x x x 2! 4! 6! 1 3 1 5 1 7 sin x x x x x 3! 5! 7! 1 2 1 3 1 4 x e 1 x x x x 2! 3! 4! 得到 eix cos x i sin x
黄金分割点体现了美与实用，沟通了人 与自然
3.和谐美
例2 e与π
3.14159265358979323846
e 2.71828182845904523536
猜测：
1.每隔10位数就会出现同样的数字; 2. π的数字中必有e的前n位数字, e的数字中必有π的前n位数字。
3.和谐美
例2 e与π
2 1 0 6 5 4 3
二进制:1011001
十进制:符号多(10),表示上简洁,方便人 工运算,但系统复杂. 二进制:符号少(2), 表示上麻烦,方便机 器运算,但系统简单. ★二进制与最简单的自然现象(信号的 两极)结合,造就了计算机！
数学与美学
数学与美学关于数学与美学，少有专门的论著，象《数学中的美》（吴振奎吴昊编著上海教育出版社）这样系统地介绍数学中的美实在是少见，借来读个痛快。
社会的进步就是人类对美的追求的结晶。
（马克思K.Max）数学，如果正确地看，不但拥有真理，而且也具有至高的美。
罗素（B.Russell）美是一切事物生成和发展的本质特征。
美是心借物的形象来表现情趣，是合规律性与合目的性的统一。
朱光潜美是自由的形式：完好、和谐、鲜明。
真与善、规律性与目的性的统一，这是美的本质和根源。
（李泽厚）最有益的就是最美的。
（苏格拉底Socrates）和谐不是静止的平衡，而是运动着的活动状态。
（赫拉克利特Helakritos）生物的进化与世界之美的完善，与美，与和谐的形成是等过程的。
（恩培多克勒Empedoeles）生活需要有美的享受。
（德谟克利特Demokritos）美是许多现象所固有的一个唯一的东西，它具有最普遍的具体性，但美是难以捉摸的。
（苏格拉底Socrates）数学能促进人们对美的特性----数值、比例、秩序等的认识。
(亚里十多德Aristotle)美包含在体积和秩序中。
(黑格尔G..W.F.Hegel)美是大自然本身的自然属性。
(伏尔泰V oltaire 狄德罗D.Diderot)美就是生活。
(车尔尼切夫斯基)美的几种模式：(1)美是绝对观念在具体事物和现象中的表现或体现；(2)美是有意向地从主观上认识事物的结果；(3)美是生活的本质同作为美的尺度的人相比较，或者同他的实际需要、他的理想和关于美好生活的观念相比较的结果；(4)美是自然现象的自然属性。
?数学家只有在他内心感到真实的美时，数学才是完美的。
(格塞Goethe)?数学中的发现与其说是一个逻辑问题，倒不如说它是神功所使，没有人懂得这种力量，但那种对美的不知不觉的认识必定起着重要的作用。
(莫尔斯M.Morse)(犹太人巴特莱(Pateler)“宇宙大法则”(78：22法则)意大利帕勒托(A.Einsein)：事物琐碎的多数与重要的少数比适合80：20。
鉴赏数学中的美-PPT
创新美
数学在科技发展中的应用，不仅推动了科技 的进步，也展现了数学的实用之美和创新之 美。例如，微积分的创立，为物理学和工程
学的发展提供了重要的工具。
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数学在解决实际问题中的和谐美
工程设计
在工程设计中，数学的应用无处不在。通过精确的数学模型和计算，工程师可以设计出结构稳定、功 能完善的建筑、机械和电子产品。这种和谐美体现在精确性和实用性的完美结合。
金融预测
在金融领域，数学通过对市场数据的分析和预测，帮助投资者做出明智的决策。这种谐美体现在对 不确定性的掌控和未来的预见性。
数学理论的和谐美
公式之美
数学中有许多公式简洁而优美，如欧 拉公式、麦克斯韦方程组等。这些公 式在形式上简单对称，却能深刻揭示 自然规律的内在联系，展现出数学的 独特魅力。
抽象之美
数学的抽象性是其独特之处，通过抽 象的符号和逻辑推理，数学能够探索 现实世界中各种复杂现象的本质和规 律。这种抽象之美体现了人类思维的 创造性和无限可能性。
05
数学中的创新美
数学中的猜想与证明
猜想
数学中的猜想是对于未知数学规律的直 觉和想象，是推动数学发展的强大动力 。例如，费马猜想的提出和解决，推动 了数论的发展。
VS
证明
数学证明是对于猜想的严谨论证，通过严 密的逻辑推理，将猜想转化为确定的数学 定理。例如，欧几里得几何的五条公理和 五条公设，构成了整个平面几何的基础。
03
数学中的简洁美
数学公式的简洁美
公式表达的精炼
数学公式通常以简洁的形式表达 复杂的数学关系，如勾股定理、 欧拉公式等，展示了数学的简洁 美。
公式推导的逻辑性
数学公式的推导过程遵循严格的 逻辑，从已知条件出发，逐步推 导出结论，体现了数学的严谨和 简洁。
数学的美与奥秘从一到无穷大的数学美学
数学的美与奥秘从一到无穷大的数学美学数学，这门看似枯燥的学科，却蕴含着无比的美与奥秘。
从一到无穷大，数学美学贯穿于整个数学的世界，让我们领略到数学的魅力与深邃。
一、数学中的对称美学对称在自然界和人类的艺术作品中都是一种普遍存在的美学。
数学中也不例外，对称应用于数学中的图形和方程，产生了一种精确而完美的美感。
比如，镜像对称、轴对称等都是数学中常见的对称形式。
例如，在几何学中，我们可以通过对图形进行镜像、旋转或平移等操作，来研究它们的对称性质。
这种对称美学不仅令人赏心悦目，更深入展示了数学的内在结构与规律。
二、数学中的黄金比例美学黄金比例是指一条线段分为两部分，较长部分与整体之比等于较短部分与较长部分之比。
这种比例被广泛运用于建筑、绘画等艺术领域中，也被广泛认为是最具美感的比例之一。
而这种美感实际上源于数学中的黄金比例，也就是数学中的斐波那契数列。
斐波那契数列是从1开始，后面的每一个数都等于前面两个数之和。
斐波那契数列具有惊人的特性，比如相邻两个数的比例会无限接近黄金比例0.618。
这种数学的美感犹如艺术作品中的完美构图，给人以无尽的想象空间和美好的感受。
三、数学中的无穷大美学数学中的无穷大是一种抽象的概念，但它却展现出了独特的美学之美。
无穷大既包括正无穷大，也包括负无穷大，在数学中起到了重要的作用。
在微积分中，无穷大可以用来描述函数的极限，表达函数在某些点的趋势。
无穷大常常和无穷小相互关联，构成微积分中的重要概念。
无穷大不仅仅是数学上的一个符号，更是数学世界中的探险家，带领我们走向未知的边界，发现数学中的奥秘。
数学的美与奥秘不仅仅限于以上三个方面，数学的世界广阔而深邃，每个领域都蕴含着精彩纷呈的美学。
数学的美学给人以享受和启迪，同时也激发了人们对于数学的探索和研究。
在日常生活中，我们可以用数学的眼光去观察周围的事物，去感受数学的美与奥秘。
透过数学的窗口，我们看到了世界的秩序和美丽。
总结起来，从一到无穷大的数学美学贯穿了整个数学的世界。
数学中的美
数学中美的欣赏数学美是一种蕴涵的美，它需要从深处去挖掘。
关于数学美的内容很多,本文是为了从浅层阐述数学的美,让学生初步感受数学中美的存在，所以本文就主要从数学美的概念、数学美与其它美的区别、数学美的内容和它在数学教育中的体现这几个方面作以下的阐述。
一、数学美的概念美是人类创造性实践活动的产物，是人类本质力量的感性显现。
通常我们所说的美以自然美、社会美以及在此基础上的艺术美、科学美的形式存在。
数学美是自然美的客观反映，是科学美的核心。
简言之数学美就是数学中奇妙的有规律的让人愉悦的美的东西。
历史上许多学者、数学家对数学美从不同的侧面作过生动的阐述。
普洛克拉斯早就断言：“哪里有数，哪里就有美。
”亚里士多德也曾讲过：“虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。
因为美的主要形式家是“秩序、匀称和确定性”，这些正是数学研究的原则。
”徐利治教授说：“作为科学语言的数学，具有一般语言文字与艺术所共有的美的特点，即数学在其内容结构上和方法上也都具有自身的某种美，既所谓数学美。
数学美的含义是丰富的，如数学概念的简单性、统一性，结构关系的协调性，对称性，数学命题与数学模型的概括性、典型性和普遍性，还有数学中的奇异性等等都是数学美的具体内容。
以上的论述可见，数学中充满着美的因素，数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的呈现，它不是什么虚无飘渺、不可捉摸的东西，而是有其确定的客观内容。
二、数学美与其它美的区别数学美有别与其它的美，它没有鲜艳的色彩，没有美妙的声音，没有动感的画面，它却是一种独特的美。
美国数学家克莱因曾对数学美作过这样的描述：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科技可以改善物质生活，但数学却能提供以上一切。
”数学美与其它美的区别还在于它是蕴涵在其中的美。
打个比方来说，大家一定都有这种感觉，绝大部分同学对音体美容易产生兴趣，而对数学感兴趣的不多。
我认为，这主要有两个方面的原因：一是音体美中所表现出来的美是外显的，这种美同学们比较容易感受、认识和理解；而数学中的美虽然也有一些表现在数学对象的外表，如精美的图形、优美的公式、巧妙的解法等等，但总的来说数学中的美还是深深地蕴藏在它的基本结构之中，这种内在的理性美学生往往难以感受、认识和理解，这也是数学区别于其它学科的主要特征之一。
数学美学知识点总结
数学美学知识点总结数学美学是一门关于数学和美学之间关系的学科，它研究数学的美感和审美价值。
数学美学不仅涉及数学的美感和美学，也涉及到数学在其他学科领域的美感和审美属性。
数学美学的研究对象不仅仅是数学本身，而是数学的各个分支以及数学与其他学科之间的联系。
1. 数学与美学的关系数学与美学有着密切的关系，数学本身就具有一定的美感和审美价值。
数学中的公式、图形、定理等都体现了一定的美感和优美性。
例如，黄金分割比、费马大定理等都展现了数学的美感和优美性。
而且，数学在自然界和人类社会中的广泛应用，也使得它的美学价值更为突出。
比如，黄金分割比在建筑、艺术中的应用，都展现了数学的美感和美学。
2. 数学中的美学元素数学中的美学元素主要包括对称、规律、简洁、优美等。
对称在数学中有着重要的地位，它体现了数学的美感和美学。
例如，对称图形、对称函数等都展现了数学中的美感。
规律也是数学美学的重要元素，数学中的各种规律和定律都体现了数学的美学。
简洁和优美也是数学中的美学元素，数学中的一些定理和公式因其简洁和优美而被人们所喜爱。
3. 数学与自然之美数学与自然之间也存在着密切的关系，数学可以描述自然界中的各种现象和规律。
自然界中的各种美丽景观和规律也都可以用数学来解释和描述。
例如，菲波那契数列描述了许多植物的生长规律，黄金分割比在自然界中也有着广泛的应用。
数学可以帮助人们更好地理解自然界中的美丽规律，同时也能够帮助人们更好地欣赏自然之美。
4. 数学的应用美学数学在各个领域的应用中也展现了其美学价值。
数学在建筑、艺术、音乐等领域中的应用，都突显了数学的美感和审美价值。
建筑中的对称美、黄金分割比等都体现了数学的美学价值。
音乐中的和谐音程、音乐结构等也体现了数学的美学价值。
数学在艺术中的应用更是发挥了其美学价值，数学家们通过数学的手段创作出了许多美妙的作品。
5. 数学与教育美学数学在教育中也有着重要的美学价值。
数学教育不仅仅是为了传授数学知识，更重要的是培养学生的数学美感和审美能力。
数学之美欣赏数学的美妙与深奥之处
数学之美欣赏数学的美妙与深奥之处数学之美：欣赏数学的美妙与深奥之处数学是一门既古老又现代的学科，其美妙与深奥之处令人惊叹。
正如爱因斯坦所说：“数学是宇宙的语言”。
在这篇文章中，我们将一同探索数学的美丽之处，并且欣赏数学的魅力。
一、对称美：数学的几何形式在数学中，对称美是一种无处不在的美。
数学中的对称性，不仅仅存在于几何图形中，还存在于方程的形式和等式的复杂性中。
正如迪斯东所说：“对称是真实世界美的显现”。
1.1 几何美几何学是数学中最直观且最引人入胜的分支之一，它探讨了空间中的形状、大小和相对位置等概念。
几何图形的对称性给人一种和谐和平衡的感觉。
在平面几何中，我们熟悉的圆、矩形、正方形等形状，无论从哪个角度看都具有对称性。
例如，圆和正方形都是对称的，无论你如何旋转它们，它们看起来都相同。
然而，几何学不仅仅局限于平面图形，还包括立体几何。
例如，多面体如正四面体和正八面体，它们具有各种对称性质，给我们带来视觉上的愉悦和美感。
另外，对称性不仅存在于形状上，还存在于对称变换中。
例如，平移、旋转和翻转等变换保持了图形的对称性。
这些变换不仅在几何学中有意义，也在其他数学分支、物理学和艺术中扮演着重要的角色。
1.2 方程美数学中的对称性不仅停留在几何形状上，还存在于方程的形式中。
例如，平方和立方等特殊的数学函数具有对称性，它们在自变量取正数和负数时具有同样的性质。
这种对称性使我们能够推导出一些重要的等式和恒等式，从而更好地理解数学中的关系和规律。
在代数学中，方程的对称性也是一种美妙的存在。
例如，二次方程的对称轴是一个重要的概念，它将二次曲线分成两个对称的部分。
对称轴不仅在数学中有重要作用，还在物理学中的摆动、光学和电磁学等领域中具有深远的影响。
二、逻辑美：数学的思维方式除了几何美，数学还有着独特的逻辑美。
数学的思维方式注重严密的推理和清晰的逻辑，这使得数学成为一门深奥又美丽的学科。
2.1 推理的美数学中的推理是一种基于逻辑思维的过程，它通过严格的证明来建立数学结论。
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❖ 数学是我们时代压倒一切科学，它的领域日 益扩大，谁要是不用数学为自己服务，有朝 一日，就会发现别人用数学来同自己对抗”
2.数学美的表现：简洁、和谐统一、 奇异、对称、创新美
❖ （1）简洁美
❖ 1.数学符号，代数符号：用a,b,c表示已知数，用x,y,z表示 未知数；表示数学研究的对象的符号 ；关系符号 ；运算 符号
数学与美
一.什么是美
❖ 1.到底什么是美，是很难说清楚的。庄子说 “各美其美”，认为没有公认的美的绝对标 准。《说文解字》中以“羊大为美”，是从 口感出发的；而孔子听韶乐“三月不知肉 味”，则是对美的欣赏上了一个新的层次。 英国著名的戏剧作家莎士比亚说：“一千个 美学家，有一千个对美是什么回答。”
❖ 共轭复数在复平面上是对称的。这种对称性 还告诉我们一些可靠的结论，若复数z=x+yi 是某实系数多项式的根，那么对称的z=x-yi也 是这个方程的根。
❖ 在日常生活中，我们可以看到很多对称的图案，对 称的建筑物。文学中有对称的手法，绘画中也会用 到对称。
❖ 有些画如果转180度，看上去便和原画大不同．这 就是利用人类的思维不能马上接受上下颠倒的景物 而产生的惊讶所致．19世纪里，许多制作政治漫画 的画家常常用这种手法．读者看到的是一位政治名 人，倒过来看马上变成一头肥猪或蠢驴或其他带有 贬损意味的事物．
❖ 由于我们随时可以找到这样的无理解——任意取x,y的值，都 可以找到z使得x,y,z满足方程——对这样的情况也不讨论。 我们感兴趣的是该方程的零以外的整数解，即非平凡的整数 解。这样的解就称为一组勾股数。
❖ 椭圆与正弦曲线会有什么联系吗？做一个实 验，把厚纸卷几次，做成一个圆筒。斜割这 一圆筒成两部分。如果不拆开圆筒，那么截 面将是椭圆，如果拆开圆筒，切口形成的即 是正弦曲线。这其中的玄妙是不是很奇异、 很美？
2.美，是一个古老而年轻的话题
❖ （1）公元前6世纪，人们开始思考这一问题。毕达 哥拉斯学派对形式的探讨成为美学主义的萌芽。
❖ （2）赫拉克利特（公元前530-470年左右）说： “比起人来，最美的猴子也是丑的。”简明地指出 了美的相对性。
❖ （3）到了柏拉图（公元前427-347年），对美的讨 论得到了进一步发展，他曾专门讨论了艺术和其它 感性事物的美。
❖ 美国数学家哈代说得好:“现在也许难以找到一 个受过教育的人，对数学美的魅力全然无动 于衷，数学的美虽然难于定义，但它的确是 一种真实的美，和任何其它的美一样。比如 对什么是一首美丽的诗，我们虽然不很清楚， 但这并不妨碍我们读诗时去鉴赏它。”
❖ “用美的态度对待世界，不仅有助于艺术的创 造，也有助于科学的创造，数学不仅是一种 思维的艺术，而且本身也是一种艺术”；
（培根）；
❖ 二、“美是各部分之间以及各部分与整体之 间固有的和谐。”（海森堡）。
二.数学中的美
❖ 有人说：“数学是思维的音乐。”虽然我们 不能用听觉感知它的节奏，可是我们可以用 大脑体会它的韵律。事实上，数学与音乐都 能净化人的灵魂，可使思想清晰、准确、简 练，它们都是思维的载体，可以让我们的思 维插上“金翅膀”。
（4）对称美
❖ 在古代“对称”一词的含义是“和谐”、“美观”。 事实上，译自希腊语的这个词，原义是“在一些物 品的布置时出现的般配与和谐”。毕达哥拉斯学派 认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面 图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形――圆 心是它的对称中心，圆也是轴对称图形――任何一 条直径都是它的对称轴。
❖ 古希腊毕达哥拉斯学派信奉“万物皆数”，并将当时的课程 分为四大部分：算术、音乐、几何、天文，认为它们都是数 学的组成部分，分别对应着数的绝对理论、数的应用、静止 的量和运动的量。
❖ 数学方法的普遍适用性，使得各门学科都有数量关系的特征。 这都体现了数学对其他科学的统一。
❖ 数学内部也在不断地寻求和谐与统一。古希腊的学者认为数 学是统一于几何的，当时的代数问题也以几何的形式出现并 用几何的语言表达。x2+bx-c=0即求一线段，使得以其长x为 边的正方形面积与分别以x和已知线段b为长、宽的矩形面积 之和等于已知线段c的长。
❖ 2.公式，欧拉公式，圆周长公式，勾股定理，正弦定理， 等等。
❖ 3. 美好的数字：一是万物之始，一统天下，一马当先，何 其壮美；二是偶数，双喜临门，比翼双飞，多么美好幸福； 三是升的谐音，表示多数，三教九流，三生有幸，三番四 次，四是全包围结构，四平八稳，小四合院独具特色，四 通八达，四季发财；对于一个循环小数，可以采用循环节 的记数法，简洁准确的表示出来。
❖ 但是1950年9月18日的《生活画报》上重印了一张 意大利文的漫画，画的是加里巴尔狄(Caribaldi-对 意大利统一有极大贡献的意大利民族英雄)的像，上 下一颠倒却活像斯大林．许多儿童杂志中常见到这 种可以上下颠倒看的插图， 1946年有一位伦敦的出 版商发行了一个专集，其中有十五张颠倒人像，全 是英国的壁画家威斯勒先生所画．其作品之一便是 如图所刊此书的封面，书名叫！0H0！．
3.中国美学界对美的定义
❖ “美是一种心造的幻影”。 ❖ "美给人带来的是一种本然的愉悦"。 ❖ "美是比任何语言都有力的推荐信"。 ❖ "美就是生活。"
4.美的定义
❖ 美就是能诱发审美主体对它进行审美活动， 并在审美活动中给予审美主体以美感享受的 客观存在。
❖ 美有两条标准： ❖ 一、一切绝妙的美都显示出奇异的均衡关系
❖ 在几何学内部也寻求着统一性。例如，很早 就出现了相似的概念，所有的相似三角形， 不论大小如何，都被看作是同一类图形。
❖ 笛卡儿创立的解析几何实现了几何与代数的 统一：几何使代数变得直观，代数使几何运 算方便。
❖ 不定方程x2+y2=z2是很常见的。对于这个方程，它的解有 很多组，是不固定的，因此把它称为不ห้องสมุดไป่ตู้方程。 x=0,y=0,z=0显然是它的一个解，但是我们讨论这一个解没 有什么意义，因此把这个（x=0,y=0,z=0）称为平凡解。我 们所关心的是非平凡解。另外，x=1,y=2,z=根5也是这个方 程的一个解，这是无理解。