高中数学“归纳推理”专题
高中数学推理知识点总结
高中数学推理知识点总结高中数学推理知识点总结数学作为一门学科，不仅仅是靠记忆和计算来完成的，更需要学生具备一定的推理能力。
在高中数学学习中，数学推理的重要性不言而喻。
本文将总结高中数学中与推理相关的重要知识点，帮助学生加深对数学推理的理解。
一、命题命题是指一个完整、具有独立意义的陈述句，可以被判断为真或假。
高中数学推理中常常涉及到命题，学生需要掌握多个重要概念：1.原命题：指未改变的最初命题。
2.逆命题：原命题的并非真正的否定（即“非p”），而是将原命题的“前件”和“后件”互换位置得到的新命题。
3.反命题：原命题的真正否定，即把原命题中的“p”或“q”都否定，得到的新命题。
4.对偶命题：由两个新命题组成，其中，前一个新命题的“前件”和后一个新命题的“后件”相同，后一个新命题的“前件”和前一个新命题的“后件”相同。
这些概念常在数学证明中出现，学生需要能够灵活应用。
二、命题的联结词命题的联结词指的是联接两个或多个命题的词语，常见的联结词有“而且”、“或者”、“如果……，则……”等。
学生需要注意联结词的用法和含义，例如，“而且”表示两个条件都必须满足，“或者”表示两个条件任意一个满足即可，“如果……，则……”表示前件成立必然导致后件成立，其中前件为“条件”，后件为“结论”。
三、充分必要条件充分必要条件是一种重要的数学推理方法，指的是一个命题成立的充分条件，也是其必要条件。
例如，对于一个数是偶数的命题，则该命题成立的必要条件是这个数能够被2整除，同时根据奇偶性的定义，该命题成立的充分条件是这个数不能被2整除。
四、数学归纳法数学归纳法是数学中常用的证明方法之一，主要用于对于自然数集合中一类命题的证明。
其基本原理是：先证明这类命题对于最小的自然数成立，再证明对于任意一个自然数k成立的前提下，都可以推出k+1成立，即可得出该命题对于所有自然数成立。
五、构造法构造法常用于解决一些存在性问题，其思想是通过构造一个满足命题的例子来证明命题的存在性。
高中数学归纳推理测试题(有答案)
高中数学归纳推理测试题（有答案）选修2-22.1.1第1课时归纳推理一、选择题1．关于归纳推理，下列说法正确的是()A．归纳推理是一般到一般的推理B．归纳推理是一般到个别的推理C．归纳推理的结论一定是正确的D．归纳推理的结论是或然性的[答案] D[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D.2．下列推理是归纳推理的是()A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a|AB|，得P的轨迹为椭圆B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式C．由圆x2＋y2＝r2的面积r2，猜出椭圆x2a2＋y2b2＝1的面积S＝abD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇[答案] B[解析] 由归纳推理的定义知B是归纳推理，故应选B. 3．数列{an}：2,5,11,20，x,47，…中的x等于()A．28B．32C．33D．27[答案] B[解析] 因为5－2＝31,11－5＝6＝32,20－11＝9＝33，猜测x－20＝34,47－x＝35，推知x＝32.故应选B.4．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是() A．2n－2－12B．2n－2C．2n－1＋1D．2n＋1－4[答案] B[解析] ∵a1＝0＝21－2，a2＝2a1＋2＝2＝22－2，a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，猜想an＝2n－2.故应选B.5．某人为了观看2019年奥运会，从2019年起，每年5月10日到银行存入a元定期储蓄，若年利率为p且保持不变，并约定每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2019年将所有的存款及利息全部取回，则可取回的钱的总数(元)为()A．a(1＋p)7B．a(1＋p)8C.ap[(1＋p)7－(1＋p)]D.ap[(1＋p)8－(1＋p)][答案] D[解析] 到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)．到2019年5月10日存款及利息为a(1＋p)(1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)2＋(1＋p)]到2019年5月10日存款及利息为a[(1＋p)2＋(1＋p)](1＋p)＋a(1＋p)＝a[(1＋p)3＋(1＋p)2＋(1＋p)]所以到2019年5月10日存款及利息为a[(1＋p)7＋(1＋p)6＋…＋(1＋p)]＝a(1＋p)[1－(1＋p)7]1－(1＋p)＝ap[(1＋p)8－(1＋p)]．故应选D.6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n2)，而a1＝1，通过计算a2，a3，a4，猜想an等于()A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 因为Sn＝n2an，a1＝1，所以S2＝4a2＝a1＋a2a2＝13＝232，S3＝9a3＝a1＋a2＋a3a3＝a1＋a28＝16＝243，S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4a4＝a1＋a2＋a315＝110＝254.所以猜想an＝2n(n＋1)，故应选B.7．n个连续自然数按规律排列下表：根据规律，从2019到2019箭头的方向依次为()A．B．C．D．[答案] C[解析] 观察特例的规律知：位置相同的数字都是以4为公差的等差数列，由234可知从2019到2019为，故应选C. 8．(2019山东文，10)观察(x2)＝2x，(x4)＝4x3，(cosx)＝－sinx，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝() A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)[答案] D[解析] 本题考查了推理证明及函数的奇偶性内容，由例子可看出偶函数求导后都变成了奇函数，g(－x)＝－g(x)，选D，体现了对学生观察能力，概括归纳推理的能力的考查．9．根据给出的数塔猜测1234569＋7等于()19＋2＝11129＋3＝1111239＋4＝111112349＋5＝11111123459＋6＝111111A．1111110B．1111111C．1111112D．1111113[答案] B[解析] 根据规律应为7个1，故应选B.10．把1、3、6、10、15、21、…这些数叫做三角形数，这是因为这些数目的点子可以排成一个正三角形(如下图)，试求第七个三角形数是()A．27B．28C．29D．30[答案] B[解析] 观察归纳可知第n个三角形数共有点数：1＋2＋3＋4＋…＋n＝n(n＋1)2个，第七个三角形数为7(7＋1)2＝28.二、填空题11．观察下列由火柴杆拼成的一列图形中，第n个图形由n 个正方形组成：通过观察可以发现：第4个图形中，火柴杆有________根；第n个图形中，火柴杆有________根．[答案] 13,3n＋1[解析] 第一个图形有4根，第2个图形有7根，第3个图形有10根，第4个图形有13根……猜想第n个图形有3n ＋1根．12．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中，可得一般规律是__________________．[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2 [解析] 第1式有1个数，第2式有3个数相加，第3式有5个数相加，故猜想第n个式子有2n－1个数相加，且第n 个式子的第一个加数为n，每数增加1，共有2n－1个数相加，故第n个式子为：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋{n＋[(2n－1)－1]}＝(2n－1)2，即n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.13．观察下图中各正方形图案，每条边上有n(n2)个圆圈，每个图案中圆圈的总数是S，按此规律推出S与n的关系式为________．[答案] S＝4(n－1)(n2)[解析] 每条边上有2个圆圈时共有S＝4个；每条边上有3个圆圈时，共有S＝8个；每条边上有4个圆圈时，共有S ＝12个．可见每条边上增加一个点，则S增加4，S与n的关系为S＝4(n－1)(n2)．14．(2009浙江理，15)观察下列等式：C15＋C55＝23－2，C19＋C59＋C99＝27＋23，C113＋C513＋C913＋C1313＝211－25，C117＋C517＋C917＋C1317＋C1717＝215＋27，由以上等式推测到一个一般的结论：对于nN*，C14n＋1＋C54n＋1＋C94n＋1＋…＋C4n＋14n＋1＝__________________.[答案] 24n－1＋(－1)n22n－1[解析] 本小题主要考查归纳推理的能力等式右端第一项指数3,7,11,15，…构成的数列通项公式为an＝4n－1，第二项指数1,3,5,7，…的通项公式bn＝2n－1，两项中间等号正、负相间出现，右端＝24n－1＋(－1)n22n －1.三、解答题15．在△ABC中，不等式1A＋1B＋1C成立，在四边形ABCD中，不等式1A＋1B＋1C＋1D成立，在五边形ABCDE中，不等式1A＋1B＋1C＋1D＋1E成立，猜想在n边形A1A2…An中，有怎样的不等式成立？[解析] 根据已知特殊的数值：9、162、253，…，总结归纳出一般性的规律：n2(n－2)3)．在n边形A1A2…An中：1A1＋1A2＋…＋1Ann2(n－2)3)．16．下图中(1)、(2)、(3)、(4)为四个平面图．数一数每个平面图各有多少个顶点？多少条边？它们围成了多少个区域？并将结果填入下表中．平面区域顶点数边数区域数(1)(2)(3)(4)(1)观察上表，推断一个平面图形的顶点数、边数、区域数之间有什么关系？(2)现已知某个平面图有999个顶点，且围成了999个区域，试根据以上关系确定这个平面图有多少条边？[解析] 各平面图形的顶点数、边数、区域数如下表：平面区域顶点数边数区域数关系(1) 3 3 2 3＋2－3＝2(2) 8 12 6 8＋6－12＝2(3) 6 9 5 6＋5－9＝2(4) 10 15 7 10＋7－15＝2结论 V E F V＋F－E＝2推广 999 E 999 E＝999＋999－2＝2019其顶点数V，边数E，平面区域数F满足关系式V＋F－E＝2. 故可猜想此平面图可能有2019条边．17．在一容器内装有浓度为r%的溶液a升，注入浓度为p%的溶液14a升，搅匀后再倒出溶液14a升，这叫一次操作，设第n次操作后容器内溶液的浓度为bn(每次注入的溶液浓度都是p%)，计算b1、b2、b3，并归纳出bn的计算公式．[解析] b1＝ar100＋a4p100a＋a4＝110045r＋15p，b2＝ab1＋a4p100a＋a4＝1100452r＋15p＋452p.b3＝ab2＋a4p100a＋a4＝1100453r＋15p＋452p＋4253P，归纳得bn＝110045nr＋15p＋452p＋…＋4n－15nP.18．设f(n)＝n2＋n＋41，nN＋，计算f(1)，f(2)，f(3)，…，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用n＝40验证猜想是否正确．[解析] f(1)＝12＋1＋41＝43，f(2)＝22＋2＋41＝47，f(3)＝32＋3＋41＝53，f(4)＝42＋4＋41＝61，f(5)＝52＋5＋41＝71，f(6)＝62＋6＋41＝83，f(7)＝72＋7＋41＝97，f(8)＝82＋8＋41＝113，f(9)＝92＋9＋41＝131，f(10)＝102＋10＋41＝151.由于43、47、53、61、71、83、97、113、131、151都为质数．即：当n取任何非负整数时f(n)＝n2＋n＋41的值为质数．但是当n＝40时，f(40)＝402＋40＋41＝1681为合数．所以，上面由归纳推理得到的猜想不正确．。
重点高中数学推理与证明专题
重点高中数学推理与证明专题————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：课题:合情推理掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。
3.数学建构●把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。
●归纳推理的一般步骤：4.师生活动例1 前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的。
蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的。
例2 前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n —2）×1800。
例3Λ,333232,232232,131232++<++<++<探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ —— “ 一切皆有可能！” 5.提高巩固观猜证(,,)a b m <b b+m由此我们猜想：均为正实数。
a a+m归纳推{}数列的通项公式。
试归纳出这个且的第一项：已知数列例,......),2,1(1,1411=+==+n a a a a a nnn n?,21,32,1,2:44321=====n a a a a a 求拓展例6.课堂小结(1)归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。
通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。
(2)归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想） 证明课题：类比推理●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去。
类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
归纳推理-高中数学知识点讲解
归纳推理1．归纳推理【知识点的认识】1．归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或由个别事实概括出一般结论的推理．推理形式：设S＝{A1，A2，A3，…，A n，…}，퐴1具有属性푝具有属性푝}퐴푛⇒푆类事物中的每一个对象都可能具有属性푝⋯2．特点：（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳得出的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围；（2）归纳推理得到的结论具有猜测性质，结论是否真实，需要通过逻辑证明和实践检验，不能作为数学证明的工具；（3）归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．3．作用：（1）获取新知，发现真理；（2）说明和论证问题．【解题技巧点拨】归纳推理一般步骤：（1）对有限的资料进行观察、分析、归纳、整理；（2）提出带有规律性的结论，即猜想；（3）检验猜想．【命题方向】归纳推理主要以填空、选择题的形式出现，比较基础，考查对归纳推理的理解，会运用归纳推理得出一般性结论．1/ 4（1）考查对归纳推理理解掌握归纳推理的定义与特点，注意区分与类比推理、演绎推理的不同．例 1：下列表述正确的是（）①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤分析：本题考查的知识点是归纳推理、类比推理和演绎推理的定义，根据定义对 5 个命题逐一判断即可得到答案．解答：归纳推理是由部分到整体的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．故①③⑤是正确的故选D点评：判断一个推理过程是否是归纳推理关键是看他是否符合归纳推理的定义，即是否是由特殊到一般的推理过程．判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．判断一个推理过程是否是演绎推理关键是看他是否符合演绎推理的定义，即是否是由一般到特殊的推理过程．例 2：下列推理是归纳推理的是（）A．A，B 为定点，动点P 满足||PA|﹣|PB||＝2a＜|AB|（a＞0），则动点P 的轨迹是以A，B 为焦点的双曲线B．由a1＝2，a n＝3n﹣1 求出S1，S2，S3，猜想出数列{a n}的前n 项和S n 的表达式푥2푎2 C．由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+푦2푏2=1的面积S＝πabD．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇分析：根据归纳推理的定义，对各个选项进行判断．2/ 4解答：A 选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求．B 选项根据前 3 个S1，S2，S3 的值，猜想出S n 的表达式，属于归纳推理，符合要求．푥2푎2 C 选项由圆x2+y2＝r2 的面积S＝πr2，猜想出椭圆+푦2푏2=1的面积S＝πab，用的是类比推理，不符合要求．D 选项用的是演绎推理，不符合要求．故选B．点评：本题主要考查归纳推理的定义，归纳推理、类比推理、演绎推理的区别联系，属于基础题．（2）考查归纳推理的运用做题的关键是读懂题意．例：对大于或等于 2 的自然数的正整数幂运算有如下分解方式：22＝1+332＝1+3+542＝1+3+5+723＝3+533＝7+9+1143＝13+15+17+19根据上述分解规律，若m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，则m+n＝（）A．10 B．11 C．12 D．13分析：根据m2＝1+3+5+…+11，n3 的分解中最小的正整数是 21，利用所给的分解规律，求出m、n，即可求得m+n 的值．解答：：m2＝1+3+5+…+11 =1+112×6= 36，∴m＝6∵23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，∴53＝21+23+25+27+29，3/ 4∵n3 的分解中最小的数是 21，∴n3＝53，n＝5∴m+n＝6+5＝11故选B．点评：本题考查归纳推理，考查学生的阅读能力，确定m、n 的值是解题的关键．4/ 4。
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结汇编
新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结汇编推理与证明推理证明推理与证明知识归纳总结归纳推理合情推理类比推理演绎推理综合法直接证明分析法数学归纳间接证明反证法第一部分合情推理学习目标：了解合情推理的含义（易混点）理解归纳推理和类比推理的含义，并能运用它进行简单的推理（重点、难点）了解合情推理在数学发展中的作用（难点）一、知识归纳：合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：归纳推理：1.归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.2.归纳推理的一般步骤:第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质;第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）.思考探究：1.归纳推理的结论一定正确吗?2.统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理?题型1用归纳推理发现规律1、观察：7 15211；____；3-3 19 3cosA cosB cosC2AQy=sin_在(0,)上是增函数，sinAsin(解析QDABC为锐角三角形，A Bppp22同理可得sinBcosC，sinCcosAsinA sinB sinCcosA cosB cosC考点2分析法p2B)=cosB 已知ab0,求证ab解析要证a-b更多a-b，只需证(a-b)2(a-b)2即a b-2aba-b，只需证bab，即证ba显然ba成立，因此a-b1)，证明方程f(_)=0没有负数根【解题思路】“正难则反”，选择反证法，因涉及方程的根，可从范围方面寻找矛盾解析假设_是f(_)=0的负数根，则_0且_-1且a_0=-000_-20_ 10_ 120a_0102101，解得_2，这与_0矛盾，00故方程f(_)=0没有负数根总结：否定性命题从正面突破往往比较困难，故用反证法比较多第四部分数学归纳法学习目标：1了解数学归纳法的原理，理解数学归纳法的一般步骤。
2024年高中数学推理知识点总结（2篇）
2024年高中数学推理知识点总结____年高中数学推理知识点总结 ____字一、命题演绎与命题推理1. 命题的定义2. 命题的联结词及其使用3. 命题的简化与合取范式4. 命题的逻辑等价关系5. 命题的充分条件与必要条件6. 命题的否定与命题的否定公式7. 命题的充分性和必要性推理8. 命题的否定式推理9. 命题的等价推理10. 命题的充分与必要充分推理二、条件与充分条件推理1. 条件命题的定义2. 条件命题的充分条件与必要条件3. 充分条件的推理法则4. 必要条件的推理法则5. 充分条件与必要条件的关系与推理三、逻辑语句与逻辑关系1. 逻辑语句的定义2. 逻辑语句的真值与真值表3. 逻辑语句的逻辑运算4. 逻辑语句的联结词5. 逻辑语句的合取与析取式6. 逻辑语句的合取范式与析取范式7. 逻辑语句的逻辑等价关系8. 逻辑语句的否定式9. 逻辑语句的联结词的运算律10. 逻辑语句的等价推理与逻辑关系四、谓词与量词推理1. 谓词命题的定义2. 谓词命题的合取与析取范式3. 谓词命题的否定与否定式4. 谓词命题的量词5. 谓词命题的全称量词和存在量词6. 谓词命题的量词的运算律7. 谓词语句的谓词推理与量词推理8. 谓词语句的条件推理与充分条件推理9. 谓词语句的等价推理与逻辑推理五、公理与推理1. 公理的定义2. 公理的推理法则3. 公理的等价推理4. 公理的充分与必要充分推理5. 公理的充分条件推理6. 公理的必要条件推理7. 公理的谓词推理与量词推理8. 公理的逻辑推理与命题推理9. 公理的联结词推理与推理法则10. 公理的条件推理与充分条件推理六、命题的证明与推理1. 命题的证明方法2. 命题的直接证明3. 命题的间接证明4. 命题的反证法证明5. 命题的归纳法证明6. 命题的递推法证明7. 命题的逆否命题证明8. 命题的充分必要命题证明9. 命题的对偶命题证明10. 命题的等价命题证明七、推理图形与推理过程1. 推理图形的定义2. 推理图形的推理法则3. 推理图形的原条件推理4. 推理图形的存在条件推理5. 推理图形的充分条件推理6. 推理图形的必要条件推理7. 推理图形的谓词推理与量词推理8. 推理图形的逻辑推理与命题推理9. 推理图形的等价推理与推理法则10. 推理图形的推理过程与推理方式八、概率与统计推理1. 概率的基本概念2. 事件的概率与必然事件3. 事件的互斥与相容4. 事件的包含与等价5. 概率的运算律6. 概率的条件与相对概率7. 概率的期望与方差8. 统计推理的基本概念9. 统计推理的参数估计10. 统计推理的假设检验九、三角函数推理1. 三角函数的基本概念2. 三角函数的相关性质3. 三角函数的反函数与逆三角函数4. 三角函数的基本关系式5. 三角函数的和差化积与积化和差6. 三角函数的倍角与半角公式7. 三角函数的奇偶性与周期性8. 三角函数的变换与性质9. 三角函数的图形与性质10. 三角函数的推理与证明以上总结的是____年高中数学推理的知识点，主要包括命题演绎与命题推理、条件与充分条件推理、逻辑语句与逻辑关系、谓词与量词推理、公理与推理、命题的证明与推理、推理图形与推理过程、概率与统计推理、三角函数推理等内容。
数学选修-归纳推理
an=1
1 （ ）、a1 1, an an 1 1 2
（2）、a1=3，an+1=2an+1
解：a1=3=22-1
1 an1
n 2
a2=2a1+1=7=23-1
a3=2a2+1=15=24-1 a4 =2a3+1=31=25-1 … 猜想an=2n+1-1
练习1：
1 1 1 * f (n) 1 (n N )，计算得： 2 3 n 5 3 f (16)＞ 3 f (4)＞ 2 f (8)＞ f (2) ＞ 2
….. (1) (2) (3) ____ (4) _____ (5)
an=n2+2n
已知数列｛a n｝的第一项 a1=1, an 且 an 1 ( n ＝1，2，3，·· ·)， 1 an
请先计算前四项
1 an n 归纳出这个数列的通项公式为________.
2、根据下列条件，写出数列中的前 四项，并归纳猜想它的通项公式：
540
第一个数为2 凸n边形 内角和为 第二个数为4 第三个数为6
第四个数为8
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物 的全部对象都具有这些特征,或者由个别事实概括出一般
性的结论,这样的推理称为归纳推理(简称归纳).简言之，
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。
3、归纳推理的一般步骤
…
1
2
3
4
5
6
7
你能得出什么结论？ 解：将上述事实分别叙述如下
1等于1的平方； 前2个正奇数的和等于2的平方； 前3个正奇数的和等于3的平方； 前4个正奇数的和等于4的平方； 前5个正奇数的和等于5的平方； 由此猜想：前n（n∈N﹡）个连续正奇数#43;7+...+(2n-1)=n2
《高二数学归纳推理》课件
数学归纳推理最后得出的结论是该命题对于所有自然数都成立。
数学归纳推理的步骤
1
步骤二
2
证明基本情况成立，通常是通过计算或
举例来验证。
3
步骤四
4
证明归纳步骤，通过推理和计算证明命
题对下一个数也成立。
5
步骤一
研究和分析待证明的命题，理解问题的 背景和要求。
步骤三
假设命题对某个数成立，进行归纳假设。
3 数学归纳推理的重要性
数学归纳推理有助于培养逻辑思维能力、推理能力和问题解决能力，提升数学素养。
数学归纳推理的定义
1 数学归纳原理
数学归纳原理是指如果一个命题对于第一个数成立，并且对一个数成立时，该命题对下 一个数也成立，那么该命题对于所有数都成立。
2 归纳假设
在数学归纳证明中，需要假设命题对于某个数成立，然后通过推理证明该命题对下一个 数也成立。
步骤五
得出结论，证明该命题对于所有自然数 都成立。
数学归纳推理的例子
多米诺骨牌
通过归纳推理，可以证明多米诺 骨牌可以排成任意长度的一列。
彩色伞
通过归纳推理，可以证明彩色伞 的数量跟伞的折叠次数存在一种 关系。
铅笔摆放
通过归纳推理，可以证明在规定 的条件下，铅笔可以摆放成不同 的排列方式。
数学归纳推理的应用
《高二数学归纳推理》 PPT课件
数学归纳推理是一种重要的证明方法，能够用来证明一些有规律的命题在整 个数列上成立。
数学归纳推理简介
1 什么是数学归纳推理？
数学归纳推理是一种通过证明命题的基本情况和推理规律，证明该命题对于任意一个自 然数都成立的方法。
2 为什么要学习数学归纳推理？
数学归纳推理不仅是理解数学概念和原理的关键，还是解决实际问题和进行数学研究的 基础。
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(1) (2) (3) (4)
(5)
3、如图，第 n 个图形是由正 n 2
边形“扩展”而来，（n 1,2,3, ).
则第 n 2 个图形中共有
个顶点.
{a } 4、数列
n
满足
an1
2an
,
0
2an 1,
1 2
an an
1
2
1
a 若
a1
6 7
，求
2008 的值
例2:数一数图中的凸多面体的面数F、顶
◎
◎
◎◎
◎
◎◎
◎◎◎
◎ ◎◎
◎◎◎
◎◎◎◎ …
(1)求t2 －t1,t3－t2,t4－t3的值，并猜测tn－tn－1值。 (2)求t1 ＋t2,t2＋t3,t3＋t4的值，并猜测tn－1＋tn值。
解: (1)t2－t1=2; t3－t2=3; t4－t3=4; … tn－tn－1=n
(2) t1＋t2=4; t2＋t3=9; t3＋t4=16; … tn－1＋tn=n2
计算S1 ,
3
S2 ,
,
S3
且 , S4
,
并猜想Sn的表达式.
计算得: S1
2, 3
S2
3, 4
S3
4, 5
5 S4 6
猜想:
n1 Sn n 2
练习：f(n)=1+1 2Fra bibliotek+
1 3
+
L
+
1 (n n
Î
N* )计算得
f(2)=
3 2
,f(4)>2,f(8)>
5 2
,f(16)>3,f
(32)
12
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
猜想 V+F-E=2 欧拉公式
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
12
五棱柱
7
10
15
截角正方体 7
10
15
尖顶塔
9
9
16
例:如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上. 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次?
点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们 之间的关系.
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
立方体
正八面体
五棱柱
截角正方体
尖顶塔
多面体 面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
三棱锥
4
4
6
四棱锥
5
5
8
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
正八面体
8
6
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3
2
1
3
解;设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1
当当nn==23时时,,aa23==
3 7
当n=4时,a4= 15
猜想 an= 2n -1
2
1
3
▪ 古希腊学者用圆球堆成大大小小的一系列等边三角形：每一堆 球数依次为1，3，6…，这种数叫做“三角形数”或简称“三 角数”。著名的几何学家毕达哥拉斯曾对三角数作过专门的研 究，并获得丰硕的成果，如果用tn表示第n个三角数，则由上 图可知t1=1,t2=3,t3=6, …
>
7 2
L , 推测当n ³ 2时,有-----------------.
练习1.你能由下面各数的规律写出通项吗？
1 1，3，7，15，31， 2 2，4 ，6 ，8 ，10 ，
3 15 35 63 99
3 3， 2， 5 ， 3， 7 ，
7 5 13 8 19
练习2.根据下图的5个图形及相应点的个数的变 化规律，试猜测第n个图有______个点。
归纳推理的一般步骤：
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理；
⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。
例1:已知数列{an}的第1项a1=1且a n +1
=
an 1 + an
(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式.
练习
2
1.已知数列{an}的前n项和Sn , a1
1 Sn Sn 2 an (n 2).