二重积分的换元法
用二重积分换元法证明卷积公式
用二重积分换元法证明卷积公式卷积公式是数学中的一种运算，用于描述两个函数之间的关系。
在信号处理、图像处理和数值计算等领域中经常用到卷积公式。
本文将使用二重积分换元法来证明卷积公式。
首先，我们先了解一下二重积分换元法的基本概念。
二重积分换元法是利用变量代换的方法，将原二重积分中的变量替换为新的变量，从而简化被积函数的形式，使得计算更加容易。
设有两个实值函数 f(x) 和 g(x)，定义它们的卷积函数 (f*g)(x)如下：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(x-t)g(t) dt其中，积分运算从负无穷到正无穷。
要证明卷积公式，我们需要证明以下等式成立：∫[-∞,∞] (f*g)(x) dx = ∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx为了方便计算，我们先对卷积公式做一个变形。
首先，我们令u = x-t，于是 t = x-u。
然后对变量 u 求导，得到 du = -dt。
将上述变换代入卷积公式中，得到：(f*g)(x) = ∫[-∞,∞] f(u)g(x-u) (-du)将上式中的积分限进行一下变换。
当 t = -∞ 时，有 u = x-(-∞)= ∞；当 t = ∞ 时，有 u = x-∞ = -∞。
所以，积分限可以变换为∞ 和 -∞。
(f*g)(x) = ∫[∞,-∞] f(u)g(x-u) (-du)现在我们开始证明卷积公式。
根据卷积公式的右边，我们有：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx根据二重积分换元法，我们令 v = x-u，于是 x = v+u。
对变量v 求导，得到 dv = dx。
将上述变换代入卷积公式中，得到：∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv接下来，我们将积分限进行一下变换。
当 x = -∞ 时，有 v = -∞-u = -∞；当x = ∞ 时，有v = ∞-u = ∞。
所以，积分限可以变换为 -∞ 和∞。
∫[-∞,∞] f(x)g(x) dx = ∫[-∞,∞] f(v+u)g(v) dv我们使用换元法，并令 u = x-t，v = x，则有 x = u+v。
二重积分换元法
y D
定(积3)分变换换元T法: D D是一一对应的 , O
x
则
D
f
b
(xa, fy()xd)xddxy
f [f (tx)(]u,v(t)), dy(tu,(vx))J(u(t,)v))
D
dudv
证: 根据定理条件可知变换 T 可逆.
在uOv坐标面上 , 用平行于坐标轴的
直线分割区域D, 任取其中一个小矩
D : r 1, 0 2 π
J
(x, y)
( r, )
a cos b sin
a r sin b r cos
abr
2 abc 2π d 1
0
0
1
r2
r
d
r
4 3
π
abc
形, 其顶点为
v
vk v
M 4 M3
D
M1 M 2
O u u h u
M1 (u, v) ,
M 2 (u h,v),
T
M3 (u h,v k), M 4 (u,v k).
通过变换T, 在 xOy 面上得到一个四边
形, 其对应顶点为Mi (xi , yi ) (i 1, 2,3, 4)
y
M3
二重积分换元法
v
定理: 设 f (x, y) 在闭域 D上连续, 变换:
D
T
:
x y
x(u, v) y(u, v)
(u,v) D D
O
u
满足 (1) x(u,v), y(u,v) 在 D上一阶偏导数连续; T
(2) 在 D上 雅可比行列式 J (u, v) (x, y) 0; (u, v)
v
Ou
D
二重积分的换元法
所围成的闭区域.
y
解 区域 D 的图形如右图 令 u = y − x, v = y + x 解得变换式
v u x 2 y v u 2
x+ y=2
D
O x
5
则 xy 平面上的闭区域 D 在 uv 平面上的对应区域
D1
(u, v )
v u v , 0 v 2 ,
2
D1
c O a b u
0
( u , v ) D1
故
A
d x d y
D
d
v (1 u )
2
dudv
1 1 u
b
D1
b a
du (1 u )
2
vdv (
2
)(
a
1 2
d
v
2 c
)
c
( b a )( d
2
c )
8
2 (1 a )(1 b )
D
f ( x , y )d x d y
D1
f [ ( u , v ), ( u , v )]
(x, y) (u, v )
dudv
3
注1
雅 可 比 (J a c o b i ) 行 列 式 为 x , y 对 u , v 的 偏 导 数 所 记为
x v y v
构成的函数行列式.
在直角坐标系下二重积分的计算的公式有
y
b a
D
f ( x , y )d
dx
2( x) 1 ( x )
y 2(x)
二重积分的换元法
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
二重积分化为二次积分时，根据积分区域 D
的特征，可分为以下三种情况：
（1）极点 O 在区域 D 的外部
r1 ( ) r r2 ( ) D:
x
练习
计算
e
D
x2 y2
dxdy
y a
其中积分区域 D为x 2 y 2 a 2 . 由直角坐标化 x r cos 解 极坐标公式 y r sin
圆的极坐标方程为 r a
D o
a x
0 r a 故 D: 0 2
e
D
f ( x , y )dxdy f [ x(u, v ), y( u, v )] J ( u, v ) dudv.
D D
r r
将区域 D 用从O出发的射线和 以O为圆心的圆弧进行划分 .
D
则 r r 于是面积微元 d r drd
f ( r cos , r sin ) r dr d D
r r1 ( )
D
r r2 ( )
o
d
r1 ( )
r2 ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
（2）极点 O 在区域 D 的边界上
r r ( )
D
0 r r ( ) D: f (r cos , r sin ) r dr d
2
r ( )
f ( r cos , r sin ) r dr
二重积分雅可比式换元
二重积分雅可比式换元《二重积分雅可比式换元》一、什么是二重积分雅可比式换元二重积分雅可比式换元，即多元函数的二重积分求解中，针对函数两个积分变量的换元法，也称为换根法。
在使用该方法时，先把一个高维函数通过定义域划分为若干个连续小段，利用秩一矩阵中的二重积分，用最简单的单元求解函数的积分，或者以比较好的速度求解函数的积分，从而实现对函数的求解。
二、求解积分的好处换元法是一种求解二重积分的很好的方法，求解积分的好处是可以让不同的函数的变量的求解更加简单，而且可以有效减少计算的复杂性，提高计算的效率。
换元法在求解二重积分类函数时，可以有效减少机器计算量，提高求解速度。
同时，换元法可以尽可能利用当前机器的计算速度，实现尽可能快的求解效率。
三、实际求解步骤1、将目标函数写成一般形式；2、把所有变量范围边界都明确定义；3、将要求求解的函数根据坐标系的变换变换为等价的形式；4、建立从原函数到等价函数的转换关系；5、将第四步中建立的关系引入到原函数中，得到换元后的函数；6、求出新函数的积分，建立积分关系；7、将求解的积分结果和关系引入到原函数中，得到换元前的积分结果。
四、注意事项在换元的过程中，由于函数的结构以及函数表达式的具体情况而有所不同，因此，每一步都要慎重考虑函数的结构。
因为二重积分的步骤是繁琐的，过程中存在很多的实际问题，要根据具体函数情况进行实际操作，把握住步骤，正确处理才能求得准确答案。
五、总结二重积分雅可比式换元是一种多元函数求解的方法，通过把一个高维函数分割为若干个连续小段，利用二重积分的换元法，用最简单的单元求解函数的积分，或者以比较好的速度求解函数的积分，从而实现多元函数的求解。
换元法可以有效减少机器计算量，提高求解速度，便于求解。
但在进行换元计算过程中，要根据具体函数情况进行实际操作，才能求得准确答案.。
二重积分的换元法
本节将介绍二重积分的换元法，它是解决复杂函数的积分问题的重要工具。
换元法的介绍
换元法是一种常用的积分方法，通过引入新的变量，将原来的积分转化为更 简单的形式。
换元法的基本思想
换元法的基本思想是通过变量替换，将原积分中的变量换成新的变量，从而 简化积分的求解过程。
一般换元法的公式
公式1
设 u = g(x, y)，则有 dx dy = J du dv，其中 J 是雅 可比行列式。
公式2
将 x, y 用 u, v 表示后，原积分可以表示为 ∬ f(x, y) dx dy = ∬ g(u, v) |J| du dv。
极坐标下的换元法
在极坐标下，换元法可以将二重积分的计算转化为极坐标系下的积分计算，简化了计算过程。
球坐标下的换元法
在球坐标下，换元法同样适用，通过将球坐标系下的积分转化为简化的球坐 标系下的积分计算。
换元法在实际问题中的应用
1
计算面积
通过换元法，可以计算平面图形的面积，如圆、椭圆等。
2
计算质量
应用换元法可以计算物体的质量，通过解密度函数的二重积分。3
求解物理问题
换元法在物理学中的应用广泛，如计算物体的重心、质心等。
总结
换元法是解决二重积分问题的常用方法之一，通过引入新的变量，将复杂的 积分问题简化为易于计算的形式，具有广泛的应用价值。
第三节二重积分的换元法
( x2 y2 )dxdy
D
3 d
6
4sin r 2 rdr 15(
2sin
4
3 ). 8
例 6 计算二重积分 sin( x 2 y2 ) dxdy ,
D
x2 y2
其中积分区域为 D {( x, y) | 1 x2 y2 4}.
解 sin( x2 y2 ) dxdy
3.将二次积分01dx0 x x2 f ( x, y)dy化为
极坐标下的二次积分.
答案：
1.
dx 2
1 x
1
0
f (x,
y)dy;
2. 4.
3.0 2
d cos 0
f
(r
cos,
r
sin)rdr
高等数学
作业 习题3: 1--5, 7, 8, 6*.
习题解答:
高等数学
P99：6. 交换积分次序:
x2dy
D1
D
4 x2dxdy 8 x2dxdy
D D2
D1
802dx 0
4 x2
D2
x2dy
802 x2
4 x2dx
x
2
sin
t
80
2
4
sin2t
2 co s
t
2
co s 2dt
160 2 (1 cos4t)dt 8.
其中D1 : x2 y2 4, y 0; D2 : x2 y2 4, x 0, y 0;
在极坐标系下 x2 y2 a2 r a, ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 )
高等数学
D1
r a 2cos 2 ,
由r
a r
2
二重积分换元法雅可比行列式 -回复
二重积分换元法雅可比行列式 -回复雅可比行列式是一个非常有用的工具，在计算二重积分时经常会用到。
换元法就是在给定的积分上进行一定的代数变换，将其转换为另一个形式，以便更容易地计算。
二重积分换元法雅可比行列式就是其中的一种方法。
首先，我们来看一下什么是二重积分。
二重积分就是对二维空间中的某个区域内的函数进行积分。
具体来说，如果我们有一个函数f(x,y)，那么它在一个区域D上的二重积分可以表示为：∬D f(x,y) dxdy其中，dxdy表示对x和y的积分。
在进行二重积分时，我们经常会遇到需要进行换元的情况。
这时，我们可以采用雅可比行列式的方法，将原来的积分变为新的积分，以便更加方便地进行计算。
接下来，我们来看一下何为雅可比行列式。
雅可比行列式是一个矩阵的行列式，记作：J = |Δx/Δu Δx/Δv||Δy/Δu Δy/Δv|其中，Δx/Δu和Δx/Δv分别表示在u和v方向上，x的变化量。
同理，Δy/Δu和Δy/Δv分别表示在u和v方向上，y的变化量。
通过雅可比行列式，我们可以将原来的积分变为新的积分：∬R f(x(u,v), y(u,v)) |J| dudv其中，R为u和v所在的区域。
我们可以通过对R内的u和v进行积分来计算新的积分。
需要注意的是，积分范围需要通过原来的变换来进行计算。
以一个简单的例子来说明如何使用雅可比行列式。
假设我们需要计算二重积分：其中，D为一个以原点为圆心，半径为1的圆盘。
我们采用极坐标变换来进行转换。
假设x = rcosθ，y = rsinθ，那么雅可比行列式为：J = |co sθ sinθ||-rsinθ rcosθ|求出J的行列式为r，那么原积分就变成了：∬R (r^2cos^2θ + r^2sin^2θ) r dθdr其中，R为r的范围为0到1，θ的范围为0到2π。
我们可以对r和θ进行分别积分，最终得到积分结果为π/2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 − u2 f (u a 2 + b2 + c)du,其中D为
−1
x 2 + y 2 ≤ 1,且a 2 + b2 ≠ 0.
练习题答案
7 一、1、 ln 2；
3 1 二、 . 8
2、 5 π. 32
所围成的闭区域 D 的面积 S .
x2 = by
y
y2 = qx
D y2 = px
x2 = ay
O
x
v
b
D′
a
Op q u
x2 y2
∫∫ 例4
计算其中1为−
D
a2
−
b2
dxdy,
D
椭圆所ax22围+成by22的= 闭1 区域．
例5
求椭球体
x2 a2
+
y2 b2
+
z2 c2
≤ 1 的体积.
二、小结
2、∫∫ ( x 2 + y 2 )dxdy,其中D是椭圆区域: D x 2 + 4 y2 ≤ 1.
二、设D 是由曲线 y = x 3 , y = 4x 3 , x = y 3, x = 4 y 3 所围
成的第Ⅰ象限部分的闭区域,求其面积.
三、试证:∫∫ f (ax + by + c)dxdy
D
∫1
1．作什么变换主要取决 于积分区域 D 的形状， 同时也兼顾被积函数 f ( x, y) 的形式．
基本要求:变换后定限简便，求积容易．
2.
J
=
∂(x, y) ∂ (u, v )
=
1 ∂ (u, v )
.
∂(x, y)
课堂练习
∫∫ 1. 计算 | x2 + y2 − 2 | dσ , 其中 D : x2 + y2 ≤ 3. D
∫∫ 例1 计算其中e y由+ x轴dx、dy轴, 和直D x
y
Байду номын сангаас
D
线所x +围y成= 的2 闭区域．
y
x+ y=2
D
o
x
v
v=2
u = −v D′ u = v
o
u
例2 求曲线
xy = a2 , xy = 2a2 , y = x, y = 2x ( x > 0, y > 0)
所围平面图形的面积.
例3 计算由
y(u,
v )]
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
.
这个公式称为二重积分的一般换元公式.
其中记号dσ
=
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
表示曲线坐标下的
一般曲线坐标系中二重积分的计算
其中记号dσ
=
∂( x, ∂(u,
y) v)
dudv
表示曲线坐标下的
面积微元.
注: 对极坐标变换 x = r cosθ , y = r sinθ .因为
∂(x, y)
∂(r,θ )
=
cosθ sinθ
− r sinθ
= r,
r cosθ
所以 ∫∫ f ( x, y)dσ = ∫∫ f (r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D
D′
一般地,如果区域 D能用某种曲线坐标表示,使得
积分简单,就可以利用上述一般换元公式来化简
积分的计算.
y− x
∫∫ 2. 计算重积分
x
y +
σ e d ( x+ y)2
y
,
其中
D 是由直线
D
x + y = 1, x = 0和 y = 0 所围成.
练习 题
一、作适当的变换,计算下列二重积分:
1、∫∫ x 2 y 2dxdy, 其 中 D 是 由 两 条 双 曲 线 xy = 1 和 D xy = 2,直线 y = x 和 y = 4x 所围成的在第Ⅰ象限 的闭区域.
在 D′上有一阶连续偏导数,且在 D′上,雅可比式
∂x
∂(x, y) ∂(u, v )
=
∂u ∂y
∂u
∂x
∂v ∂y
≠
0,
∂v
一般曲线坐标系中二重积分的计算
∂x
∂(x, y) ∂(u, v )
=
∂u ∂y
∂u
∂x
∂v ∂y
≠
0,
∂v
则有
∫∫ f ( x, y)dσ
D
=
∫∫
D′
f [ x(u, v),
第二节
第九章
二重积分的计算法
二重积分的一般变换
一般曲线坐标系中二重积分的计算
设函数 f ( x, y)在 xOy 平面上的闭区域 D上连续, 变换 x = x(u, v),y = y(u, v)
将 uOv平面上的闭区域 D′一一对应地变为xOy
平面上的闭区域 D,其中函数
x = x(u, v)、y = y(u, v)