高考物理二轮复习专题简谐振动振动图像

20XX届高考二轮复习专题：简谐振动、振动图像
【例1】如图所示，轻质弹簧上端固定，下端连结一小球，平衡时小球处于O位置，现将小球由O位置再下拉一小段距离后释放（在弹性限度内），试证明释放后小球的上下振动是简谐振动，
证明：设小球的质量为m，弹簧的劲度系数为k，小球处在O位置有：mg
—kΔx=0………①
式中Δx为小球处在O位置时弹簧的伸长量．
再设小球离开O点的位移x（比如在O点的下方），并取x为矢量正方向，
此时小球受到的合外力∑Fx为：∑Fx =mg－k（x＋Δx）②
由①②两式可得：∑Fx =－kx, 所以小球的振动是简谐振动，O点即其振动的平衡位置．点评：这里的F=—kx，不是弹簧的弹力，而是弹力与重力的合力，即振动物体的回复力．此时弹力为k（x＋Δx）；所以求回复力时F＝kx，x是相对平衡位置的位移，而不是相对弹簧原长的位移．
【例2】如图所示，在质量为M的无下底的木箱顶部用一轻弹簧悬挂质量均为m（M≥m）的D、B两物体．箱子放在水平地面上，平衡后剪断D、B间的连线，此后D将做简谐运动．当D运动到最高点时，木箱对地压力为（）
A、Mg；B．（M－m）g；C、（M＋m）g ；D、（M＋2m）g
【解析】当剪断D、B间的连线后，物体D与弹簧一起可当作弹簧振子，
它们将作简谐运动，其平衡位置就是当弹力与D的重力相平衡时的位
置．初始运动时D的速度为零，故剪断D、B连线瞬间D相对以后的平
衡位置的距离就是它的振幅，弹簧在没有剪断D、B连线时的伸长量为
x1＝2 mg／k，在振动过程中的平衡位置时的伸长量为x2＝mg／k，故振子振动过程中的振幅为A＝x2－x1= mg／k
D物在运动过程中，能上升到的最大高度是离其平衡位移为A的高度，由于D振动过程中的平衡位置在弹簧自由长度以下mg／k处，刚好弹簧的自由长度处就是物D运动的最高点，说明了当D运动到最高点时，D对弹簧无作用力，故木箱对地的压力为木箱的重力Mg．
点评：一般说来，弹簧振子在振动过程中的振幅的求法均是先找出其平衡位置，然后找出当振子速度为零时的位置，这两个位置间的距离就是振幅．本题侧重在弹簧振子运动的对称性．解答本题还可以通过求D物运动过程中的最大加速度，它在最高点具有向下的最大加速度，说明了这个系统有部分失重，从而确定木箱对地面的压力
振动过程中各物理量的变化情况
变化周期为T ，振子的动能、势能也做周期性变化，周期为 T ／2。

①凡离开平衡位置的过程，v 、Ek 均减小，x 、F 、a 、EP 均增大；凡向平衡位置移动时，v 、Ek 均增大, x 、F 、a 、EP 均减小.
②振子运动至平衡位置时，x 、F 、a 为零，EP 最小，v 、Ek 最大；当在最大位移时，x 、F 、a 、EP 最大，v 、Ek 最为零；
③在平衡位置两侧的对称点上,x 、F 、a 、v 、Ek 、EP 的大小均相同．
【例3】如图所示，一弹簧振子在振动过程中，经a 、b 两点的速度相同，若它从a 到b 历时0．2s ，从b 再回到a 的最短时间为0．4s ，则该振子的振动频率为（ ）。

（A ）1Hz ；（B ）1.25Hz （C ）2Hz ；（D ） 2．5Hz
解析：振子经a 、b 两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判
断a 、b 两点对平衡位置（O 点）一定是对称的，振子由b 经O 到a 所用
的时间也是0．2s ，由于“从b 再回到a 的最短时间是0．4s ，”说明振子
运动到b 后是第一次回到a 点，且Ob 不是振子的最大位移。

设图中的c 、d 为最大位移处，则振子从b →c →b 历时0．2s ，同理，振子从a →d →a ，也历时0．2s ，故该振子的周期T ＝0．8s ，根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1．25Hz 。

综上所述，本题应选择（B ）。

【例4】（1995年全国）一弹簧振子作简谐振动，周期为T ，则（ ）
A ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则Δt 一定等于T 的整数倍
B ．若t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则Δt 一定等于T/2的整数倍
C ．若Δt=T ，则在 t 时刻和（t ＋Δt ）时刻振子运动的加速度一定相等
D ．若Δt ＝T/2，则在t 时刻和（t 十Δt ）时刻弹簧的长度一定相等
解析:做简谐运动时，振子由平衡位置到最大位移，再由最大位移回到平衡位置，两次经过同一点时，它们的位移大小相等、方向相同，其时间间隔并不等于周期的整数倍，选项A 错误。

同理在振子由指向最大位移，到反向最大位移的过程中，速度大小相等、方向相反的位里之间的时间间隔小于T/2，选项B 错误。

相差T/2的两个时刻，弹黄的长度可能相等，振子从平衡位置开始振动、再回到平衡位置时，弹簧长度相等、也可能不相等、选项D 错误。

若Δt ＝T ，则根据周期性，该振子所有的物理量应和t 时刻都相同，a 就一定相等，所以，选项C 正确。

本题也可通过振动图像分析出结果，请你自己尝试一下。

【例5】如图所示，一弹簧振子在光滑水平面内做简谐振动，O 为平衡位置，A,B 为最大位移处，当振子由A 点从静止开始振动，测得第二次经过平衡位置所用时间为t 秒，在O 点上方C 处有一个小球，现使振子由A 点，小球由C 点同时从静止释放，它们恰好到O 点处相碰，试求小球所在C 点的高度H 是多少？
解析:由已知振子从A 点开始运动，第一次经过O 点的时间是1/4周期，第二次经过O 点是3/4周期，设其周期T ，所以有：t=3T/4,T=4t/3;
振子第一次到O 点的时间为3t ；振子第二次到点的时间为
32t T +；振子第三次到O 点的时间为223
T t ⨯+……第n 次到O 点的时间为23T n t ⨯+（n ＝0．1,2,3……） C 处小球欲与振子相碰，它和振子运动的时间应该是相等的；小球做自由落体运动，所以有 ()22
2211421232232318t T g t t g H g n n n t ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
【例6】如图所示，质量为m的物块A放在木板B上，而B固定在竖直的轻弹簧上。

若使A 随B一起沿竖直方向做简谐运动而始终不脱离，则充当A的回复力的是？当A的速度达到最大时，A对B的压力大小为？
解析：根据题意，只要在最高点A、B仍能相对静止，则它们就会始终不脱离。

而在最高点，外界对A所提供的最大回复力为mg，即最大加速度amax=g，故A、B不脱离的条件是a≤g，可见，在振动过程中，是A的重力和B对A的支持力的合力充当回复力。

因为A在系统的平衡位置时，速度最大，此时A所受重力与B对它的支持力的合力为零，由牛顿第三定律可知，Ａ对B的压力大小等于其重力mg。

拓展：①要使不脱离B,其最大振幅为多少?可仍以最高点为例，设弹簧的劲度系数为k，B 的质量为mB，因为mg=mamax，振幅最大时，a才有最大值，是由kAmax=（m+mB）g，得Amax= m+mB）g/k。

【例7】在光滑的水平面上停放着一辆质量为M的小车，质量为m的物体与劲度系数为k 的一轻弹簧固定相连．弹簧的另一端与小车左端固定连接，将弹簧压缩x0后用细绳将m 栓住，m静止在小车上的A点，如图所示，m与M 间的动摩擦因数为μ，O 点为弹簧原长位置，将细绳烧断后，m、M开始运动．求：①当m位于O点左侧还是右侧且跟O点多远时，小车的速度最大？并简要说明速度为最大的理由．②判断m与M的最终运动状态是静止、匀速运动还是相对往复的运动？
【解析】①在细线烧断时，小车受水平向左的弹力F与水平向右的摩擦力f作
用，开始时F必大于f．m相对小车右移过程中，弹簧弹力减小，而小车所受摩
擦力却不变，故小车做加速度减小的加速运动．当F=f时车速达到最大值，此
时m必在O点左侧。

设此时物体在O点左侧x处，则kx=μmg。

所以，当x＝μmg／k时，小车达最大速度．
②小车向左运动达最大速度的时刻，物体向右运动也达最大速度，这时物体还会继续向右运动，但它的运动速度将减小，即小车和物体都在做振动．由于摩擦力的存在，小车和物体的振动幅度必定不断减小，设两物体最终有一共同速度v，因两物体组成的系统动量守恒，且初始状态的总动量为零，故v=0，即m与M的最终运动状态是静止的
3、利用振动图像分析简谐振动
【例8】一弹簧振子沿x轴振动，振幅为4 cm. 振子的平衡位置位于x袖上的0点.图甲中的a ,b,c,d为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上箭头表示运动的方向．图乙给出的①②③④四条振动图线，
可用于表示振子的振动图象是（）
A.若规定状态a时t＝0，则图象为①
B.若规定状态b时t＝0，则图象为②
C.若规定状态c时t＝0，则图象为③
D.若规定状态d时t＝0，则图象为④
解析:若t＝0，质点处于a状态，则此时x＝＋3 cm
运动方向为正方向，只有图①对；若t＝0时质点处于b状态，此时x＝＋2 cm，运动方向为负方向，②图不对；若取处于C状态时t=0，此时x=－2 cm，运动方向为负方向，故图③不正确；取状态d为t=0时,图④刚好符合，故A,D正确．
点评: 对振动图象的理解和掌握要密切联系实际，既能根据实际振动画出振动图象；又能根据振动图象还原成一个具体的振动，达到此种境界，就可熟练地用图象分析解决振动。