2022-2023学年人教版数学七年级下册考点分项复习：第六章实数
第6章 实数(复习课件)-2023-2024学年七年级数学下册同步精品课堂(人教版)
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11.若 3a 4 (4b 3) 0, 求-ab的平方根.
2
解：∵｜3a+4｜≥0且(4b-3)2≥0
且｜3a+4｜+(4b-3)2=0
∴｜3a+4｜=0且(4b-3)2=0
3
4
∴a= ，b=
.
4
3
4
3
∴-ab=-( ×
)=1
3
4
∴1的平方根是±1.
,
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12.一个数的算术平方根为2-6，它的平方根为±( − )，
求这个数.
解：因为一个数的算术平方根为2-6，它的平方根为
± ( − )
① − = − ;解得 = ,
− = −（舍去）；
② − = − + ;解得 = ,
应，能求实数的相反数与绝对值；
4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.
知识框架
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算术平方根
平方根
平方根
开平方
性质
立方根
实 数
立方根
开立方
性质
定义
实数
分类
相反数和绝对值
知识梳理
知识点一
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平方根的定义和性质
2=a ，那
一般地，如一个正数x的平方等于a，即x
算术平方根：
么这个正数x就叫做a的算术平方根. a的算术平
方根记为
a ，读作“根号a”，a叫做被开方数.
0的算术平方根是0.
a 中的双重非负性：
a 0
a≥0
知识梳理
七年级下册数学第六章实数主要知识点归纳总结
第六章 实数主要知识点6.1 平方根1、平方根（1）平方根的定义：如果一个数x 的平方等于a ，那么这个数x 就叫做a 的平方根．即：如果a x =2，那么x 叫做a 的平方根．（2）开平方的定义：求一个数的平方根的运算，叫做开平方．开平方运算的被开方数必须是非负数才有意义。
（3）平方与开平方互为逆运算：±3的平方等于9，9的平方根是±3（4）一个正数有两个平方根，即正数进行开平方运算有两个结果；一个负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算；0的平方根是0.（5）符号：正数a 的正的平方根可用a 表示，a 也是a 的算术平方根；正数a 的负的平方根可用-a 表示．（6）a x =2 <—> a x ±=a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的平方根(除0外，x 的值一正一负互为相反数)a 的平方根是x(除0外，x 的值一正一负互为相反数)2、算术平方根（1）算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ，读作“根号a”，a 叫做被开方数．规定：0的算术平方根是0.也就是，在等式a x =2 (x≥0)中，规定a x =。
（2）a 的结果有两种情况：当a 是完全平方数时，a 是一个有限数；当a 不是一个完全平方数时，a 是一个无限不循环小数。
（3）当被开方数扩大时，它的算术平方根也扩大；当被开方数缩小时与它的算术平方根也缩小。
（4）夹值法及估计一个（无理）数的大小（5）a x =2 (x≥0) <—> a x =a 是x 的平方 x 的平方是ax 是a 的算术平方根(x 的取值为非负数) a 的算术平方根是x(x 的取值为非负数)（6）正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
a （a ≥0） 0≥a==a a 2 ；注意a 的双重非负性：-a （a <0） a ≥0（7）平方根和算术平方根两者既有区别又有联系：区别在于正数的平方根有两个，而它的算术平方根只有一个；联系在于正数的正平方根就是它的算术平方根，而正数的负平方根是它的算术平方根的相反数。
2022年七年级数学下册 第六章 实数知识点总结 (新版)新人教版
第六章平面直角坐标系
一．知识框架
二．知识概念
1.有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对，记做（a,b）
2.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
3.横轴、纵轴、原点：水平的数轴称为x轴或横轴；竖直的数轴称为y轴或纵轴；两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
4.坐标：对于平面内任一点P，过P分别向x轴，y轴作垂线，垂足分别在x轴，y轴上，对应的数a,b分别叫点P的横坐标和纵坐标。
5.象限：两条坐标轴把平面分成四个部分，右上部分叫第一象限，按逆时针方向一次叫第二象限、第三象限、第四象限。
坐标轴上的点不在任何一个象限内。
平面直角坐标系是数轴由一维到二维的过渡，同时它又是学习函数的基础，起到承上启下的作用。
另外，平面直角坐标系将平面内的点与数结合起来，体现了数形结合的思想。
掌握本
节内容对以后学习和生活有着积极的意义。
教师在讲授本章内容时应多从实际情形出发，通过对平面上的点的位置确定发展学生创新能力和应用意识。
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第六章实数【知识点一】实数的分类1、按定义分类:【知识点二】实数的相关概念1・相反数(1) 代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个 的相反数。
0的相反数是Q 。
(2) 几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相箋的两个点表 示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应 的点关于原点对称。
(3) 互为相反数的两个数之和等于0。
若a 、b 互为相反数，则 a+b=0。
2.绝对值 |a|>0o 正数的绝对值等于它本身,负数的绝对值等于它的相反数,0的绝对值等于Q 。
3•倒数(1)0没有倒数(2)乘积是1的两个数互为倒数。
若a 、 有理数 厂正有理数L 负有理数 厂正无理数 L负无理数有限小数和无限循坏小数无限不循环小数 2、按性质符号分类: 厂正有理数 正实数三0 I 正无理数注：0既不是止数也不是负数.负实数 负有理数 负无理数b互为倒数则ab=l o4•平方根(1)如果一个数的平方等于a,这个数就叫做a的平方根.一个正数有两个平方根,它们互为相反数;0有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根.a(a>0)的平方根记作土侖。
(2)—个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
0的算术平方根是0。
a(a>0)的算术平方根记作返。
5 •立方根如果x3=a,那么x叫做a的立方根.一个正数有二个正的立方根；一个负数有二个鱼的立方根；零的立方根是雯.a的立方根记作需。
如果两个被开方数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数，反之亦然。
即有畅"扬。
【知识点三】实数与数轴数轴定义：规定了原点,正方向和单位长度的直线叫做数轴, 数轴的三要素缺一不可。
【知识点四】实数大小的比较1.对于数轴上的任意两个点，靠生边的点所表示的数较大。
2.正数都大于0,负数都小于0,两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数，绝对值大的反而小.3•无理数的比较大小：对于开平方，被开方数越大，它的算术平方根越大。
人教版数学七年级下册第六章《实数》章末复习课件
12．如图，有5个大小相等的小正方形(边长均为1)，可通过“剪 拼”的方式将其拼成一个大正方形，则这个大正方形的边长是____5____．
第12题图
13．计算：(1) 9 ＋3 －8 － 解：原式＝3－2－32
＝－12 .
1 24
；
(2)－12 024－ （－2）2 －| 3 －2|； 解：原式＝－1－2＋ 3 －2
相邻两个3之间依次多一个0)，－3.141 5. (1)整数：__－__2_4_，__0_，__1_4_1_4_2_____________； (2)负实数：__－__2_4_，__－__0_.3_3_，__－__3_._1_4_1_5____； (3)有理数：_9_._3_，__－__2_4_，__0_，__－__0_.3_3_，__0_._3_3_3_…__，__1_4_1_4_2_，__－__3_._1_4_1_5__； (4)无理数：_2_π___3_.3_0_3__0_0_3_0_0_0__3_…__(_每__相__邻__两__个__3_之__间__依__次__多__一__个__0_)．
＝－5＋ 3 . (3) 3 ( 3 －1)＋3 64 －3× 3 .
解：原式＝3－ 3 ＋4－3 3 ＝7－4 3 .
14．已知数轴上四个点 A，B，C，D 表示的数分别是 3，－1，－212 ， 3 ，利用数轴，完成下列任务．
(1)请将这四个点近似地表示在数轴上；
(2)把这四个数用“＜”号连接起来．
C．－3没有立方根
D．－ 5 是 5 的一个平方根
知识点2 估值 估算带根号的无理数时，可以采用“夹逼法”，通过平方运
算，使两边无限逼近，逐级夹逼．一般先确定其整数部分，再确 定十分位、百分位等小数部分．
2023-2024学年人教版七年级下册数学第六章6.3实数
6.3实数1.理解实数的概念和分类.2.理解实数的相反数、绝对值以及与数轴的关系.3.初步理解实数的运算法则.借助于有理数知识的学习,尝试对实数进行分类,体验科学分类的标准.增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.【重点】1.实数的概念分类.2.通过类比理解实数的相反数和绝对值.3.理解有理数的运算律继续适用于实数.【难点】无理数和数轴上的点一一对应.第课时1.理解无理数和实数的概念.2.能够对实数按照一定标准进行分类.在按不同标准给实数分类的过程中,培养学生的分类能力.增强学生应用数学的意识,提高学生应用数学的能力.【重点】 正确理解实数的概念. 【难点】 实数的分类.【教师准备】 实数的分类图示和教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片 【学生准备】 复习平方根、立方根的相关知识.导入一:复习有理数分类的知识: (1)有理数是怎样的小数?(2)按照正负的标准怎么划分有理数? (3)有理数还可以怎样进行分类?[设计意图] 有理数的分类标准对于实数的分类有重要的借鉴意义,从小数的角度认识有理数,便于和无理数进行分类对比.导入二:我们知道,有理数包括整数和分数,其中整数可以看成是分母为1的分数,也就是说所有的分数都可以化成有限小数、循环小数的形式.除此之外,我们还知道有另外一种小数,这就是无限不循环小数.这样一种新的小数就呈现在我们面前,我们怎样称呼它们呢?[设计意图] 从小数的角度对比有限小数或无限循环小数与无限不循环小数之间的区别,为引入无理数的概念做准备.1.无理数.探究使用计算器计算,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3,-35,478,911,1190,59.发现:上面的有理数都可以写成有限小数或者无限循环小数的形式,即:3=3.0,-35=-0.6,478=5.875,911=0.8·1·,1190=0.12·,59=0.5·.归纳:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式.反过来,任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.观察:很多数的平方根和立方根都是无限不循环小数,无限不循环小数又叫无理数.下列说法正确的是 ( )A.无限小数就是无理数B.带根号的数都是无理数C.不能除尽的分数都是无理数D.无限不循环小数都是无理数〔解析〕 本题主要考查无理数的概念.A 不正确,如0.1·是无限小数,但0.1·是有理数;B 不正确,如√9带根号,但它是有理数;C 不正确,如13除不尽,但13是有理数.故选D .[知识拓展] (1)有理数是指有限小数和无限循环小数,而无理数包括:①开方开不尽的数,例如√2,√3等;②含有π的数,例如π,π2,π3等;③有特殊特征或有一定规律的无限小数,例如:0.101001000100001000001……(每两个相邻的1中间依次多1个0)等;④无限不循环小数.(2)无理数都是无限小数,但无限小数不都是无理数,无限循环小数是有理数. 2.实数及其分类. 思路一 出示问题: (1)什么是实数?(2)有理数有哪两种分类方法?(3)参照有理数的分类方法,怎样对无理数进行分类? (4)你能综合一下有理数和无理数的分类吗?[设计意图] 第(1)问是让学生自我概括实数的定义;第(2)问是为学生进行实数分类做准备,为学生进行实数分类提供方法指导;第(3)(4)问是引导学生尝试不同方法对实数进行分类.问题处理:(1)找学生回答问题,并让学生举例说明.(2)学生讨论后老师总结.有理数有两种分类方法,一是根据定义划分,即划分为有限小数和无限循环小数;二是根据正负划分为正有理数、0、负有理数.(3)鼓励学生尝试对无理数进行分类,仍然提示学生从定义和正负的标准进行分类.从定义角度,无理数是无限不循环小数;从正负的角度分为正无理数和负无理数.学生在参照有理数对无理数分类的时候,容易错分为正无理数、负无理数和0,纠正学生这种错误的分类方法,并让学生对这个错误进行讨论.(4)仍然是从学生对有理数和无理数的划分经验出发,鼓励学生按照定义和正负的标准对实数进行分类. 思路二(1)实数的概念:有理数和无理数统称实数. (2)实数的分类: ①按定义分:实数{有理数:有限小数或无限循环小数无理数:无限不循环小数②按实数的符号性质分: 实数{正实数{正有理数正无理数0负实数{负有理数负无理数追问:按照定义划分和按照符号性质划分,两种方式的优缺点是什么? [知识拓展] (1)一个数要么是有理数,要么是无理数,不存在交叉的情况.(2)实数的分类标准不是唯一的,不论哪种分类方法,都要把实数作为一个整体,做到不重不漏.把下列各数填入相应的集合内.π,16,5.2,49,0.8080080008…(相邻两个8之间的0的个数逐次加1),14,√3,√643,-52,√49,√163,π6. 整数集合{ …}; 负分数集合{ …}; 正数集合{ …}; 负数集合{ …}; 有理数集合{ …}; 无理数集合{…}.处理方式:学生交流讨论完成,老师提醒学生要注意避免遗漏的现象,并肯定学生给出的正确答案.实数{有理数{整数分数}有限小数或无限循环小数无理数→无限不循环小数1.下列实数中是无理数的为 ( ) A.3.14B.13C.√3D.√9解析:根据无理数的概念,无理数是无限不循环小数,其中有开方开不尽的数即可判定选择项.A,B,D 中3.14,13,√9=3是有理数,C 中√3是无理数.故选C .2.下列说法错误的是 ( ) A.实数可以分为有理数和无理数 B.实数可以分为正实数、零、负实数 C.无理数都是无限不循环小数 D.无理数都是带根号的数解析:根据无理数、实数的定义即可对各选项进行判定.A .实数可以分为有理数和无理数是正确的,不符合题意;B .实数可以分为正实数、零、负实数是正确的,不符合题意;C .是正确的,不符合题意;D .π是无理数,不带根号,故无理数都是带根号的数的说法错误,符合题意.故选D .3.下列说法错误的是 ( ) A.√16的平方根是±2 B.√2是无理数 C.√-273是有理数 D.√22是分数解析:A .√16的平方根是±2,故选项说法正确;B .√2是无理数,故选项说法正确;C .√-273=-3是有理数,故选项说法正确;D .√22不是分数,它是无理数,故选项说法错误.故选D .4.请在横线上任意写出一个无理数,使得下面的不等式成立:-3< <-2(只需写一个). 解析:答案不唯一,如因为4<5<9,所以2<√5<3,所以-3<-√5<-2.故可填-√5.第1课时1.无理数 例12.实数及其分类例2一、教材作业【必做题】教材第57页习题6.3第1题.【选做题】教材第57页习题6.3第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列说法正确的是()A.不存在最小的实数B.有理数是有限小数C.无限小数都是无理数D.带根号的数都是无理数,0.74,π中,无理数有()2.在实数0,√2,-13A.1个B.2个C.3个D.4个3.已知a为实数,则下列四个数中一定为非负实数的是 ()A.aB.-aC.a2D.-|-a|4.已知数0.101001000100001…,它的特点是:从左向右看,相邻的两个1之间依次多一个0,这个数是有理数还是无理数?为什么?5.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根及立方根中,哪些是有理数?哪些是无理数?【能力提升】6.下列说法正确的是()A.a一定是正数是有理数B.20113C.2√2是有理数D.平方等于自身的数只有17.在-7.5,√15,4,√83,-π,0.1·5·,23中,无理数有( )A.1个B.2个C.3个D.4个8.请你任意写出三个无理数: .9.面积为1π的圆,它的半径长是有理数还是无理数?为什么? 10.把下列各数分别填在相应的集合中. -1112,√23,-√4,0,-√0.4,√83,π4,0.2·3·,3.14.【拓展探究】11.把下列各数写入相应的集合中.-2,0,10%,π,-13,√16,-√253,3.14,0.2·3·,0.1010010001,-√3,0.212112…(两个2之间依次增加一个1). (1)整数集合:{…};(2)有理数集合:{…}; (3)无理数集合:{…}.12.在旧房改造工程中,小明家分到一套新居室,他想用100块正方形地砖铺满30 m 2的客厅.请你想一想正方形地砖的边长是否为有理数,请你与同伴交流,并估计正方形地砖的边长(精确到0.1 cm). 【答案与解析】1.A(解析:根据实数中的有关概念可知:A .不存在最小的实数,故选项正确;B .有理数不仅包括有限小数,还有无限循环小数,故选项错误;C .无限不循环小数才是无理数,故选项错误;D .带根号且开方开不尽的数才是无理数,故选项错误.故选A .)2.B(解析:无理数就是无限不循环小数.初中范围内学习的无理数有π,2π等、开方开不尽的数以及像0.1010010001…等有这样规律的数.由此即可判定选择项.在实数0,√2,-13,0.74,π中无理数有√2,π,共2个.故选B .) 3.C4.解:这个数是无理数,因为这个数是无限不循环小数,属于无理数.5.解:平方根是无理数的有2,3,5,6,7,8,10,是有理数的有1,4,9.立方根是无理数的有2,3,4,5,6,7,9,10,是有理数的有1,8.6.B(解析:A .a 可以代表任何数,故A 不一定是正数,故A 错误;B .20113属于分数,分数是有理数,故B 正确;C .√2是无理数,故2√2也是无理数,故C 错误;D .0的平方也等于自身,故D 错误.故选B .) 7.B(解析:无理数就是无限不循环小数.可以判定无理数有√15,-π,共2个,故选B .) 8.答案不唯一,如√3,√53,π等9.解:无理数.理由如下:由题意得πr 2=1π,解得r 2=1π2.因为r 大于0,所以r =1π,故面积为1π的圆半径长是无理数. 10.解:有理数集合:-1112,-√4,0,√83,0.2·3·,3.14;无理数集合:√23,-√0.4,π4.11.(1)-2,0,√16 (2)-2,0,√16,10%,-13,3.14,0.2·3·,0.1010010001 (3)π,-√253,-√3,0.212112(两个2之间依次增加一个1)12.解:设地砖边长为a cm,30 m 2=300000 cm 2,100a 2=300000,所以a 2=3000,因为542=2916,552=3025,分数的平方是分数,所以a 不是有理数,a ≈54.8.本课时的学习理念是通过类比有理数学习进行的,在给出无理数的定义和对实数进行分类的过程中都注意了方法的类比,降低了学习的难度,提升了学生的学习兴趣,深化了学生对类比思想的认识.受知识内容的影响,本课时的教学过渡环节略有欠缺,存在突然提出问题和交代知识的现象.例题设置的容量比较大,容易淡化学生学习的重点.加强导入环节的设计,使整个课堂活动融为一体;缩减两个例题的容量,突出重点知识的巩固和训练;在实数分类的过程中,对分类的方法和注意给予必要的提示.把下列各数分别填入相应的集合内.(-25)2,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),√(-7)2,-√15,-|-3|,√-93,√10,-√121,0.3·1·, √23.(1)有理数集合:{…}; (2)无理数集合:{…}; (3)正实数集合:{…}; (4)负实数集合:{…}.〔解析〕 本题考查实数的概念.由定义先找出无理数,填入无理数集合,其余是有理数,再按正、负分类,填入相应的集合,注意0既不是正数,也不是负数.解:(1)有理数集合:(-25)2,√(-7)2,-|-3|,-√121,0.3·1·,….(2)无理数集合:π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),-√15,√-93,√10, √23,….(3)正实数集合:(-25)2,π,0.2020020002…(每两个相邻的2中间依次多一个0),√(-7)2,√10,0.3·1·, √23….(4)负实数集合:-√15,-|-3|,√-93,-√121,….第课时1.知道实数与数轴上的点一一对应.2.学会比较两个实数的大小.3.了解实数范围内相反数和绝对值的意义.了解实数的绝对值、相反数等概念.知道实数和数轴上的点一一对应,进一步掌握数形结合的思想方法.体会数形结合思想,进一步增强学生应用数学的意识.【重点】1.实数与数轴上点的一一对应关系.2.实数的相反数与绝对值的意义.【难点】实数与数轴上点的一一对应关系.【教师准备】教材图6.3-1,图6.3-2的投影图片.【学生准备】复习数轴、相反数、绝对值的概念.导入一:我们知道有理数都可以用数轴上的点来表示,但是数轴上的点是否都表示有理数呢?无理数可以用数轴上的点来表示吗?[设计意图]通过设问开门见山地直接进入课时学习,便于迅速集中学生的注意力.导入二:以前我们学习有理数时,知道所有的有理数都可以在数轴上找到表示它的点,但数轴上的点并不都表示有理数.如图所示,直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周,圆上的一点由原点到达点O',点O'对应的数是多少?[设计意图]通过数形结合的演示,帮助学生感知数轴上的点存在着与实数的对应关系.1.实数与数轴.(1)感知数轴表示无理数.师:刚才的圆从数轴原点滚动一周到达点O',滚动的距离是多少呢?生:3.14(部分同学会说到π).师:非常准确地说,这个距离是3.14吗?生:应该是π.师:既然原点到点O'的距离是π,那么在数轴上点O'表示的数是什么,这个数是有理数还是无理数?生:表示π,是无理数.师:刚才的问题说明,数轴上的点可以表示π这个有理数,那么数轴上的点还能表示其他的无理数吗?生:(不同说法)师:我们还是按照刚才的办法,借助图形说话吧.(2)数轴与实数一一对应.如图所示,正方形OCAD是边长为1个单位长度的正方形,等我们学习了勾股定理后,会知道它的对角线OA长为√2,以O为圆心,OA长为半径画弧交数轴于A',A″,则A'表示的数即为√2,A″表示的数即为-√2.总结:数轴上还有许许多多这样表示无理数的点,所以数轴上的点有的表示有理数,有的表示无理数,因此可以说数轴上任何一点所表示的数都是一个实数;反过来,任何一个实数在数轴上都能找到表示它的点.所以说实数和数轴上的点一一对应.下列说法中正确的有()①每个实数都可以用数轴上的一个点来表示;②在数轴上表示不相等的两个实数的点也不相同;③数轴上的每个点都表示一个有理数;④数轴上的每个点都表示一个实数,且不同的点所表示的实数也不相等;⑤有理数与数轴上的点一一对应;⑥每个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.A.2个B.3个C.4个D.5个〔解析〕数轴上的每个点均与一个实数相对应,故①②④⑥均正确.有理数均可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点除了表示有理数外,还表示无理数,故③⑤是错的.故选C.2.实数的大小和有关概念.问题:(1)利用数轴,我们怎样比较两个有理数的大小?这种比较方法对实数也适用吗?总结:在数轴上表示的数,右边的数总比左边的大.这个结论在实数范围内也成立.(2)怎样表示一个实数的相反数和绝对值?总结:数a 的相反数是-a ,这里a 表示任意一个实数.一个正实数的绝对值是它本身;一个负实数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.即设a 表示一个实数,则有|a |={a,当a >0时;0,当a =0时;-a,当a <0时.(3)我们还有什么方法可以比较两个实数的大小呢?两个正实数,绝对值较大的值也较大;两个负实数,绝对值大的值反而小;正数大于零,负数小于零,正数大于负数.(教材例1)(1)分别写出-√6,π-3.14的相反数;(2)指出-√5,1-√33分别是什么数的相反数; (3)求√-643的绝对值;(4)已知一个数的绝对值的√3,求这个数.〔解析〕 数a 的相反数是-a ,也就是说两个数是相反数是互相的.绝对值要注意实数的非负性,对于含义字母的绝对值必须进行说明或讨论.一个数和它的相反数的绝对值是相等的.解:(1)因为-(-√6)=√6, -(π-3.14)=3.14-π,所以-√6,π-3.14的相反数分别是√6,3.14-π. (2)因为-(-√5)=√5,-(1−√33)=√33-1, 所以-√5,1-√33分别是√5,√33-1的相反数. (3)因为√-643=-√643=-4, 所以|√-643|=|-4|=4. (4)因为|√3|=√3,|-√3|=√3, 所以绝对值为√3的数为√3和-√3.[知识拓展] 对于某些带根号的无理数,我们可以通过以下方法比较:①比较平方的大小;②比较被开方数的大小;③直接用计算器估计数的大小,进行比较.1.实数和数轴上的点是一一对应的.2.有理数大小比较的方法同样适用于实数.3.数a 的相反数是-a ;|a |={a(a >0),正实数的绝对值等于它本身,0(a =0),0的绝对值是0,-a(a <0),负实数的绝对值等于它的相反数.1.和数轴上的点一一对应的数是 ( ) A.整数B.有理数C.无理数D.实数解析:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示,反过来数轴上的每一个点都表示一个实数.故选D . 2.-√5的相反数是 ( ) A.√5 B.-√5 C.-√55D.√55解析:实数相反数的意义与有理数相反数的意义相同,在一个数前面加上“-”,就是该数的相反数,由此即可求解.根据相反数的定义得-√5的相反数是-(-√5)=√5.故选A .3.√3-2的相反数是 ,√3-2的绝对值是 .解析:√3-2的相反数是-(√3-2),即2-√3.√3-2的绝对值是|√3-2|=2-√3. 答案:2-√3 2-√34.求下列各数的相反数、倒数和绝对值. (1)√13; (2) √-8273.解:(1)√13的相反数是-√13,倒数是√13,√13. (2) √-8273=-23,所以 √-8273的相反数是23,倒数是-32,绝对值是23.第2课时1.实数与数轴 例12.实数的大小和有关概念 比较大小 相反数 绝对值 例2一、教材作业【必做题】教材第57页习题6.3第3题.【选做题】教材第57页习题6.3第6题.二、课后作业【基础巩固】1.下列语句不正确的是()A.有理数可以用数轴上的点表示B.数轴上的点表示有理数C.无理数可以用数轴上的点表示D.实数与数轴上的点是一一对应2.下列命题中,正确的是()A.相反数等于本身的数只有0,1B.倒数等于本身的数只有1C.平方等于本身的数有+1,0,-1D.绝对值等于本身的数只有0和正数3.在数轴上表示-√6的点到原点的距离为.4.如图,A是硬币圆周上一点.假设硬币的直径为1个单位长度,若将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则点A'对应的实数是.5.写出下列各数的相反数和绝对值.(1)√2-1.41;(2)2-√5.【能力提升】6.下列各组数中互为相反数的是 ()A.-2和√(-2)23B.-2和√-8C.-2和-√22D.|-√2|和√27.如图,数轴上的点P表示的数可能是 ()A.√5B.-√5C.-3.8D.-√108.如图,“以数轴的单位长度为边长作一个正方形,以数轴的原点O为圆心,以正方形的对角线长为半径画弧交数轴于一点A”,该图说明数轴上的点并不都表示.9.已知数轴上两点A,B到原点的距离是√2和2,求线段AB的长度.【拓展探究】10.实数a,b在数轴上的位置如图所示,且|a|>|b|,则化简|a|-|a+b|的结果为 ()A.2a+bB.-2a+bC.bD.2a-b的值.11.已知x,y互为倒数,c,d互为相反数,a的绝对值为3,z的算术平方根是5,求(c+d)(c-d)+xy+√za【答案与解析】1.B(解析:根据有理数、无理数、实数与数轴上点的关系对各选项分析判断后利用排除法求解.A.有理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;B.数轴上的点既可以表示有理数,也可以表示无理数,故本选项错误;C.无理数可以用数轴上的点表示,故本选项正确;D.实数与数轴上的点是一一对应的,故本选项正确.故选B.)2.D(解析:根据倒数、相反数、平方以及绝对值的意义判断即可得到结果.A.相反数等于本身的数只有0,本选项错误;B.倒数等于本身的数有1和-1,本选项错误;C.平方等于本身的数有0,1,本选项错误;D.绝对值等于本身的数有0和正数,本选项正确,故选D.)3.√6(解析:由于数轴上的点到原点的单位长度数即为它到原点的距离,由此即可解决问题.因为表示-√6的点距离原点有√6个单位长度,所以它到原点的距离为√6.)4.π+1(解析:将硬币沿数轴正方向滚动一周,点A恰好与数轴上点A'重合,则转过的距离是圆的周长π,因而点A'对应的实数是π+1.)5.解:(1)√2-1.41的相反数为-(√2-1.41)=-√2+1.41,绝对值为|√2-1.41|=√2-1.41.(2)2-√5的相反数为-(2-√5)=-2+√5,绝对值为|2-√5|=-(2-√5)=-2+√5.6.A(解析:根据算术平方根、立方根的性质、绝对值的规律分别化简即可作出判断.A.-2和√(-2)2互为相反数,本选项正确.故本题应选A.)7.B(解析:A,B,C,D根据数轴所表示的数在-2和-3之间,然后结合选项分析即可求解.A.√5为正数,不符合题意,故选项错误;B.因为-√9<-√5<-√4,所以-√5符合题意,故选项正确;C.-3.8在-3的左边,不符合题意,故选项错误;D.-√10<-√9,那么-√10在-3的左边,不符合题意,故选项错误.故选B.)8.有理数(解析:因为四边形OBCD是边长为1的正方形,所以OC=√2,所以OA=OC=√2,因为√2是无理数,所以该图说明数轴上的点并不都表示有理数.)9.解:因为到原点的距离实际表示这个数的绝对值,而A,B到原点的距离是√2和2,所以点A表示的数为√2或-√2,点B表示的数为2或-2.那么AB=2-√2或AB=2-(-√2)=2+√2或AB=√2-(-2)=2+√2或AB=-√2-(-2)=2-√2.综上可知线段AB的长度为2+√2或2-√2.10.C(解析:由题设可知a<0,a+b<0,|a|-|a+b|=-a-[-(a+b)]=-a+a+b=b,故应选C.)11.解:因为x,y互为倒数,所以xy=1,因为c,d互为相反数,所以c+d=0,因为a的绝对值为3,所以a=±3,因为z的算术平方根是5,所以z=25.当a=3时,(c+d)(c-d)+xy+√za =0+1+53=83;当a=-3时,(c+d)(c-d)+xy+√za=0+1-53=-23.体现数形结合思想和类比思想是本课时自始至终贯彻的一个教学理念.在数轴上的点可以表示有理数的问题中,突出的是数形结合思想;在比较实数大小、相反数、绝对值问题上,体现的是类比思想.这两种教学思想的贯彻,使本课时的教学有了准确的定位和方向.处理无理数可以在数轴上表示的问题中,教师的演示和讲解略多,没有给学生更多的动手操作的时间.教材例1可以让学生自己尝试独立去完成,不必老师详细地讲解.在教材“探究”问题的教学中,可以让学生深入思考怎样在数轴上表示含有π的无理数,这样更能加深学生对无理数可以在数轴上表示的认识.处理在数轴上表示√2的时候,可以让学生进一步思考如何表示其他的带有根号的无理数,这样更能深化学生对数轴可以表示所有无理数的认识.1.实数的有关性质.(1)a与b互为相反数⇔a+b=0.(2)a与b互为倒数⇔ab=1.(3)|a|≥0.(4)互为相反数的两个数的绝对值相等,如|√2|=|-√2|.(5)正数的倒数是正数;负数的倒数是负数;零没有倒数.(6)非负数有平方根.(7)任意实数都有一个立方根.2.实数中的非负数的四种形式及性质.(1)形式:①|a|≥0;②a2≥0;③√a≥0(a≥0);④√a中a≥0.(2)性质:①非负数有最小值,为零;②有限个非负数之和仍然是非负数;③若几个非负数之和等于0,则每个非负数都等于0.比较下列各对实数的大小.(1)-√10和-3.1; (2)π和3.14;(3)0.16和√0.16; (4)-5和√(-5)2;3.(5)√2和√3〔解析〕本题考查实数大小的比较.按照实数大小的比较法则进行比较,同时个别题也需要一些技巧.解:(1)因为3.12=9.61<10,所以|-√10|>|-3.1|,所以-√10<-3.1.(2)因为π≈3.142,所以π>3.14.(3)因为√0.16=0.4,0.4>0.16,所以√0.16>0.16.(4)因为√(-5)2=√25=5,5>-5,所以√(-5)2>-5.3)6=9,8<9,(5)因为(√2)6=8,(√33.所以√2<√3第课时了解有理数的运算及运算法则、运算性质等在实数范围内仍然成立,能熟练地进行简单的实数运算.在实数运算时,根据问题的要求取其近似值,转化为有理数进行计算.在知识的学习过程中,感受事物之间的相互联系.【重点】实数的运算法则.【难点】实数的混合运算.导入一:讨论下列各式错在哪里.1.-32×3÷√9=9×3÷3=9.2.√(1-√2)2=1-√2.3.|√5-√6|=√5-√6.4.当x=±√2时,x 2-2x-2=0.[设计意图]通过寻找算式的错误,感受实数的运算法则和性质与有理数的运算法则和性质的一致性.导入二:实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开方运算,任意一个实数都可以进行开立方运算.在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等还同样适用吗?[设计意图]根据学生以往的学习经验直接提出问题,帮助学生迅速建立起知识之间的联系.1.实数运算律.教师出示运算律名称,让学生用字母表示.(1)加法交换律:a+b=b+a.(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).(3)乘法交换律:ab=ba.(4)乘法结合律:(ab)c=a(bc).(5)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.问题:(1)写出的字母如果代表实数,运算律还成立吗?(2)分别举例说明你对运算律的理解.(3)分母不为0的条件仍适用实数吗?问题提示:(1)仍然成立;(2)在这里学生所列举的事例要做出限制,要求学生利用无理数进行举例,这样才能加深对实数运算律的理解;(3)分母不为0的条件仍适用于实数.2.例题讲解.(教材例2)计算下列各式的值.(1)(√3+√2)-√2;(2)3√3+2√3.解:(1)(√3+√2)-√2=√3+(√2-√2)(加法结合律)=√3+0=√3.(2)3√3+2√3=(3+2)√3(分配律)=5√3.(教材例3)计算(结果保留小数点后两位).(1)√5+π;(2)√3·√2.解:(1)√5+π≈2.236+3.142≈5.38. (2)√3·√2≈1.732×1.414≈2.45. 总结:在实数运算中,当遇到无理数并且需要求出结果的近似值时,可以按照所要求的精确度用相应的近似有限小数去代替无理数,再进行计算.[知识拓展] (1)在实数范围内,开平方运算不能无条件进行,只有正数和0可以开平方,负数不能开平方. (2)在学习实数的运算法则及运算律时,采用了类比思想,类比有理数的运算法则及运算律来学习掌握.实数的运算律(1)加法交换律:a +b =b +a. (2)加法结合律:(a +b )+c =a +(b +c ). (3)乘法交换律:ab =ba. (4)乘法结合律:(ab )c =a (bc ). (5)乘法分配律:a (b +c )=ab +ac.1.估计√10+1的值是 ( ) A.在2和3之间 B.在3和4之间 C.在4和5之间 D.在5和6之间解析:应先找到所求的无理数在哪两个和它接近的整数之间,然后判断出所求的无理数的范围.因为32=9,42=16,所以3<√10<4,所以√10+1在4到5之间.故选C .2.若x ,y 为实数,且|x +2|+√y -2=0,则(x y)2015的值为 ( )A.1B.-1C.2D.-2解析:因为|x +2|+√y -2=0,所以x =-2,y =2,所以(x y)2015=(-1)2015=-1.故选B .3.如图是一个简单的数值运算程序,若输入x 的值为√16,则输出的数值是 .输入x取平方根输出解析:√16=4,依题意得到程序为:±√x =±√4=±2.故填±2. 4.计算.(1)|√3-π|-|√2-√3|. (2)√-273+15×√25-√(-2)33.。
新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习
新人教版七年级下册数学第六章实数知识点总结及阶梯练习第六章实数 (3)如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根(或a 的三次方根)。
如果，那么x叫做a的立方根。
知识网络: 2、运算名称求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
(1)(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号”。
(1)正数a的算术平方根，记作“a(2)a(a?0)的平方根的符号表达为。
(3)一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式考点一、实数的概念及分类1、实数的分类4、开方规律小结2、无理数 ,aa(1)若a?0，则a的平方根是，a的算术平方根;正数的平方根有两个，它们互为相反数，其在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类中正的那个叫它的算术平方根;0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。
3(1)开方开不尽的数，如等; 7,2实数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与被开方数的符号相同。
正数的立方根π是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。
(2)有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8等;3(2)若a<0，则a没有平方根和算术平方根;若a为任意实数，则a的立方根是。
(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等;o(4)某些三角函数，如sin60等(这类在初三会出现) (3)正数的两个平方根互为相反数，两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数。
0,,16考点三、实数的性质判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如是有理数，而不是无理数。
有理数的一些概念，如倒数、相反数、绝对值等，在实数范围内仍然不变。
3、有理数与无理数的区别 1、相反数 (1)有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数; (1)实数a的相反数是-a;实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数相反数是零) 形式。
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第六章实数知识网络:考点一、实数的概念及分类1、实数的分类厂正有理針3「育理数冲零卜有限卜数和王限値环外数宴埶齐L定有理割」厂正形里麹'IJ无理埶 Y 卜无限羽爾环扌觀L煲无理数」2、无理数在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类(1)开方开不尽的数，如、7,32等；(2)有特定意义的数，如圆周率n或化简后含有n的数，如\ +8等；3(3)有特定结构的数，如0.1010010001…等；(4)某些三角函数，如sin60。
等(这类在初三会出现)判断一个数是否是无理数，不能只看形式，要看运算结果，如16是有理数，而不是无理数。
3、有理数与无理数的区别(1)有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；(2)所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为1的分数)，而无理数则不能写成分数形式。
考点二、平方根、算术平方根、立方根1、概念、定义(1)如果一个正数x的平方等于a,即二'二，那么这个正数x叫做a的算术平方根。
(2)如果一个数的平方等于a,那么这个数就叫做a的平方根(或二次方跟)。
如果叮卫，那么x叫做(3)如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根(或a的三次方根)。
如果厂亠x叫做a的立方根。
2、运算名称(1)求一个正数a的平方根的运算，叫做开平方。
平方与开平方互为逆运算。
(2)求一个数的立方根的运算，叫做开立方。
开立方和立方互为逆运算。
3、运算符号(1)正数a的算术平方根，记作“.可”。
(2)a(a>0)的平方根的符号表达为' ' 1 o(3)一个数a的立方根，用表示，其中a是被开方数，3是根指数。
4、运算公式(石『=谨(a^Q)口= _坯(注意：弦说明三次根号内的员号可以移到根号外面)4、开方规律小结(1)若a>0,则a的平方根是a, a的算术平方根，a;正数的平方根有两个，它们互为相反数,中正的那个叫它的算术平方根；0的平方根和算术平方根都是0;负数没有平方根。
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2022-2023学年人教版数学七年级下册考点分项复习：第六
章实数
一、选择题
1．下列说法中，正确的是（ ）
A ．正数和负数统称有理数
B ．零是最小的有理数
C ．倒数等于它本身的有理数只有1
D ．互为相反数的两数之和为零
2．4 的平方根是（ ）．
A ．√2
B ．−√2
C ．±2
D ．± 4
3．设面积为3的正方形的边长为 a ．下列关于 a 的四种说法：①a 是有理数；②a 是无理数；③a 可以用数轴上的一个点来表示；④ 1＜ a ＜2．其中说法正确的是( )
A ．①③
B ．②④
C ．①③④
D ．②③④
4．下列各数中，无理数的个数有（ ）
﹣0.101001，√7，14，-π2，√2-√3，0，-√16． A ．1个 B ．2个
C ．3个
D ．4个 5．下列说法正确的是( )
A ．144的平方根等于12
B ．25的算术平方根等于5
C ． 的平方根等于±4
D ． 等于±3
6．实数 a ， a 在数轴上的位置如图所示，以下说法正确的是（ ）
A ．a −a >0
B ．|a +a |=a +a
C ．|a |>|a |
D ．(a +1)(a −1)>0
7．一个正偶数的算术平方根是 a ，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是（ ）
A ．a +2
B ．a +√2
C ．√a 2+2
D ．√a +2
8．估计 √65 -3的值在( )
A ．5和6之间
B ．6和7之间
C ．4和5之间
D ．3和4之间
二、填空题
9．任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[ √3 ]=1．现对72进行如下操作：72 →第一次 [ √72 ]=8 →第二次 [ √8 ]=2 →第三次
[ √2 ]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1，类似的，①对81只需进行 次操作后变为1；②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ．
10．写一个比 √3 大的整数是
11．若已知 √a 是一个无理数，且1＜ √a ＜3，请写出一个满足条件的a 值 ．
12．把√2取近似数并保留两个有效数字是 ．
13．如果√23.73=2.872，√237003=28.72，则√0.02373= ．
三、解答题
14.−18÷(−5)2×5+|√0.64−1|
15.2(；
17．已知2a ﹣1的平方根是±3，4是3a+b ﹣1的算术平方根，求5a+b 的立方根．
18． (1)已知3既是x －1的算术平方根，又是x －2y ＋1的立方根，求x 2－y 2的平方根．
(2)已知10＋5＝x ＋y ，其中x 是整数，且0＜y ＜1，求x －y 的相反数．
参考答案：
1．D 2．C 3．D 4．C 5．B 6．D 7．C 8．A 9．3；255
10．2（答案不唯一）
11．2
12．1.4
13．0.2872
14．解：−18÷(−5)2×5+|0.8−1|
= −1÷25×5+1
5
= −1
5+1
5
=0
15.（1(
2-
223
=-+++
∴2a﹣1=9，3a+b﹣1=16，
∴a=5，b=2，
∴5a+b=5×5+2=27，
∴27的立方根是3
18．(1)∵2＜5＜3，10＋5＝x＋y，其中x是整数，0＜y＜1，∴x＝10＋2＝12，y＝10＋5－12＝5－2，∴x－y＝12－(5－2)＝14－5，∴x－y的相反数是5－14. (2)由题意可知x－1＝9，x－2y＋1＝27，∴x＝10，y＝－8，∴x2－y2＝102－(－8)2＝36，则x2－y2的平方根为±6.。