数学人教A版(2023)必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂 课件(共15张ppt)
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课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
课后作业
课本P109页 习题4.1 1、4、5
谢谢！
例2、用分数指数幂的形式表示并计算下列各式（其中a>0）
方法小结
1.把根式化成分数指数幂的形式 2.当有多重根式时，要由里向外用分数指数幂写出，再用性质
3.对于有分母的可以先把分母化成负分数指数幂
例3、计算
立方和、 差公式 方法小结 1.首先观察、分析，发现已知条件与所求表达式之间的联系
4.1 指数
4.1.1 次方根与分数指数幂
温故知新
整数指数幂
底数
指数 读作：”
“
或“
”
幂
温故知新
乘方运算
互逆运算
开方运算
新知定义 一、n次方根
2.性质：
当 是奇数时， 正数的 次方根是一个正数； 负数的 次方根是一个负数。
当 是偶数时， 正数的 次方根有两个，它们 互为相反数； 负数没有偶次方根。
2.根据指数幂的运算法则，通过配方的方式进行化简或计算
利用指数幂的运算性质化简求值的方法
(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式 为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序． (2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方 数的符号，则可以对根式进行化简运算． (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的
整数指数幂
分数指数幂
正整数指数幂
负整数指数幂、零次幂
新知推广
实 数 指 数 幂 的 运 算 性 质
课堂小结
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
3.0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
4．实数指数幂的运算性质
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(5)
偶次方根
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
n次方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质：正数的奇次方根是正数.
负数的奇次方根是负数.
零的奇次方根是零.
(2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数，
负数没有偶次方根，
=
,
写成下列情势：
> ,
我们希望整数指数幂的运算性质，如：
同样适用.
,
=
，对分数指数幂
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：
=
> , , ∈ ∗ , >
于是，在条件 > , , ∈ ∗ , > 下，根式都可以写成分数
8的3次方根是2.
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-32
27=128
-32的5次方根是-2.
128的7次方根是2.
1.正数的奇次方根是一个正数,
奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
记作：3 8 2.
记作：3 8 2.
记作：5 32 2.
知识探究
思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根
吗？一个数的平方根有几个？
思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方
根吗？一个数的立方根有几个？
思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？
平方根
立方根
a0
a0
a0
a
1.正数的偶次方根有两个且互为相反数
2.负数的偶次方根没有意义
正数a的n次方根用符号 n a 表示(n为偶数）
n次方根的性质
(1) 奇次方根有以下性质：正数的奇次方根是正数.
负数的奇次方根是负数.
零的奇次方根是零.
(2)偶次方根有以下性质： 正数的偶次方根有两个且是相反数，
负数没有偶次方根，
=
,
写成下列情势：
> ,
我们希望整数指数幂的运算性质，如：
同样适用.
,
=
，对分数指数幂
由此，我们规定，正数的正分数指数幂的意义是：
=
> , , ∈ ∗ , >
于是，在条件 > , , ∈ ∗ , > 下，根式都可以写成分数
8的3次方根是2.
-8的3次方根是-2.
(-2)5=-32
27=128
-32的5次方根是-2.
128的7次方根是2.
1.正数的奇次方根是一个正数,
奇次方根
2.负数的奇次方根是一个负数.
a的n次(奇次)方根用符号 n a 表示.
记作：3 8 2.
记作：3 8 2.
记作：5 32 2.
知识探究
思考1:４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根
吗？一个数的平方根有几个？
思考2:-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方
根吗？一个数的立方根有几个？
思考3:一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？
平方根
立方根
a0
a0
a0
a
高一上学期数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
人教A版必修第一册
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
第四章 指数函数与对数函数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
2024/11/8
学习目标
学科素养
1. 理解并掌握根式、分数指数幂的概念； 2. 理解根式与分数指数幂的互化； 3. 掌握有理数指数幂的运算性质； 4. 培养勇于探索的精神，体会由特殊到一般的研究方 法，发展数学核心素养.
定义2：式子n a 叫做根式，n叫做根指数，a叫做
被开方数
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
当n为任意正整数时，( n a )n=a.
（n>1,且nN*）
1（. 1）( 3 8)3 8 (2) ( 5 32)5 =-32 （3） （4 16）4 16
(2)
(3) 4 (3 )4
(4)
解：(1) 3 ( 8)3 8
(2) ( 10)2 | 10 | 10
( 10)2 (a b)2 (a b)
(3) 4 (3 )4 | 3 | 3
(4) (a b)2 | a b | a b
同类训练
举一反三
1. (a b)2 + 5 (a b)5的值是（ ） 再细想！
类似地，(±2)4=16，则±2叫做16的 4次方根 ； 25=32，则2叫做32的 5次方根 .
2n = a,则2叫a做的__n_次__方__根___
xn =a 则x叫做a的_n__次__方__根___
.
类比分析 可是个好方法！
定义1:如果xn=a(n>1,且nN*),则称x是a的n次方根.
一个数的n次方根有几个?
3 3 27
2 3 8
22 4 3 2 9
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)
③负数没有偶次方根
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
④ 0的任何次方根都是0.记作：n 0 0.
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：为什么负数没有偶次方根？
因为在实数的定义里，两个数的偶次方根结果是非负数，即任意 实数的偶次方是非负数.
学习目标
新课讲授
课堂总结
式子 n a 叫做根式，这里n叫做根指数 ，a叫做被开方数．
根指数
被开方数
学习目标
新课讲授
课堂总结
①当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 n a 表示.例如 5 32 2, 5 32 2, 3 a6 a2.
②当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正数a的正
的n次方根用符号 n a 表示，负的n次方根用符号n a表示.两者也可以合 并写成 n a (a 0) .例如 4 16 2, 4 16 2, 4 16 2.
(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的 取值范围,即确定 n an 中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：分数指数幂
视察以下式子,试总结出规律(a＞0):
10
210 (25 )2 25 2 2 ;
12
3 312 3 (34 )3 34 3 3 ;
学习目标
新课讲授
课堂总结
练一练
11
化简 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2.
1
解：由 (a)2 有意义，可知-a≥0，故a≤0，
11
所以 (1 a)[(a 1)2(a)2 ]2
1
11
(1 a)[(a 1)2]2[(a)2 ]2
高数数学必修一《4.1.1n次方根与分数指数幂》教学课件
m
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
n
(2)指数的概念扩充到有理数指数后，当a≤0时，a 有时有意义，有
1
3
1
2
3
时无意义，如 −1 ＝ m−1＝－1，但 −1 就不是实数了，为了保证
m
在 取任何有理数时，a n 都有意义，所以规定a＞0.
n
2
4
(3)注意幂指数不能随意约分．如 −4 ＝
1
2
4
−4 2 ＝ −4
2
1
4
＝2，而
−4 ＝ −4在实数范围内无意义．
2
3
π
＝________．
2
4
+9×
3 3 3
4
＝π－2＋1＋
2
9
9
× 4＝π.
课堂小结
1. 根式的性质化简求值．
2．根式与分数指数幂的互化．
3．有理数指数幂的运算性质进行化简求值．
4．根式的性质
(1)负数没有偶次方根；
0＝0
(2)0的任何次方根都是0，记作________；
n
(3)当n为奇数时， an ＝a； ， ≥ 0,
ቊ
n n
－，＜0 .
当n为偶数时， a ＝|a|＝__________
【即时练习】
1．二次根式 x 2 ＝－x成立的条件是(
A．x>0
B．x≠0
＝22＝2 ，你能发现当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根
指数整除时，可以将根式改用什么形式表示？
提示：分数指数幂的形式．
例2 用分数指数幂表示下列各式(a>0，b>0).
(1)a2 ；(2) ；
3
(3) 2 · 3 ；(4)( 3 )2· 3 .
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数学人教A版（2023）必修第一册4.1.1n 次方根与分数指数幂课件（共15张ppt）
(共15张PPT)
指数
运算
初中知识回顾
1、整数指数幂的概念
an=a·a·a·a·····a a0=1(a≠0) a-n=
n个a
2、运算性质
am·an=am+n (am)n=anm(m,n∈z) (ab)n=an·bn(n∈z) 3、注意
∈am÷an可以看作am·a-n
∈可以看作an·b-n
n次方根的概念
思考：类比平方根和立方根的定义，推导n次方根的定义
一、n次方根的定义
方根，
当n为偶数时(同平方根)，有下列性质:
正数的n次方根有两个，互为相反数。
负数没有偶次方根。
此时，a
的n次方根可表示カx=±
当n为奇数时(同立方根)，有下列性质:
正数的奇数次方根是正数，负数的奇数次方根是负数，任何一个数的奇数次方根都是唯一的。
此时，a的n次方根可表示为x=
二、根式的定义：
根式
根指数
被开方数,
探究
三、根式的性质：
例题讲解
根据n次方根的定义和数的运算，得出以下式子
探究分数指数幂的运算
温故知新
2、分数指数幂的运算性质：
3、无理数指数幂：
1、指数幂的含义及与根式的互化
2、分数指数幂
3、无理数指数幂。