山东科技大学849概率论与数理统计18-19年真题

一、（20 分）若每蚕产卵的数量 服从参数为 的泊松分布，每只卵变为
成虫的概率为 p ，且各卵是否变为成虫是相互独立的，记 为每蚕养出成
虫的数量。
1.求 的概率分布；
2.求=k(k 0,1,) 的条件下 的条件概率分布。
二、（20 分）设随机变量 ~ U (0,1) ，在给定 x (0 x 1) 时， 的
附注（下侧分位数）：
t0.95 (16) 1.746, t0.95(15) 1.753, t0.975(15) 2.132, t0.975(16) 2.120
2 0.95
(16)
26.296,
2 0.95
(15)
24.996,
2 0.975
(15)
27.488,
2 0.975
(16)
26.296
2 0.05
(16)
Байду номын сангаас
7.962,
2 0.05
(15)
7.261,
2 0.025
(16)
6.908,
2 0.025
(15)
6.262
一、（15 分）袋子中装有 N 只球，除颜色外没有区别，其中白球数为 随机变量 X ，具有概率分布 P{X k} kc, k 1,2,, N 。
1．求常数 c ；
3、在 X 0 的条件下， Y 的条件期望； 4、 P{XY 0}。
三、（20 分）设二维随机变数 ( X ,Y ) 的联合密度为
p(x, y)
a
x2 ( y2)2
e 2 , x, y
2
1、 求常数 a ；
2、判断 X 与 Y 独立否？为什么？
3、求 Z X 2 的密度函数； 4、求W 2 X 3Y 的密度函数。
x 0 y 1/ x
条件密度函数为： f| ( y | x) 0
else
1.求 ( ,) 的联合密度函数； 2.求 的密度函数；
3. 求 P{ }；
1
4. 求数学期望 E(2 2 ) 。
三 、（ 30 分 ） 设 二 维 随 机 变 量 ( X ,Y ) 的 概 率 密 度 为
k(1 xy), | y | 1,| x | 1
七、（20 分）设 X1, X 2 ,L , X n 是来自总体 X 的样本( n 1 )，且已知 X
的密度函数为
p(x)
2e2( x
),
0,
x x
1、 证 明 的 极 大 似 然 估 计 为 ˆ1 min X1, X2 ,L , X n ， 矩 估 计 为
ˆ2
X
1 2
四、（20 分）设 ( X ,Y ) 的联合密度函数为：
p(x)
81
1 64
y cos
x,
| x | ,| y | 2 ，令 Z X Y ，
0,
其它
1、求 Y 与 Z 的相关系数
2、求 D 6X 3Y ；
3、当 k 取什么值时， X kZ 与Y kZ 不相关？
五、（15 分）设 X n 为独立同分布的随机变量序列， X n 的概率分布
为 P
Xn 2
ln 2n
P
X n 2
ln 2n
1， 2
1、试证明 X n 服从大数定律；
2、利用中心极限定理，求概率 P
1 ln 2n
1600 n1
X
n
80 的近似值.
（注： (1) 0.8143, (2)=0.9775,(3)=0.99865 ）
六、（20 分）设 X1, X 2 ,L , X12 独立同分布于 N (0, 4) ，令
W
6 k 1
X2 2k 1
，U
1 6
6 k 1
X 2k
，V
16 5 k 1
X 2k U
2，
4
1、确定常数 a ，使 a X 2k1 X 2k 2 成为 2 分布； k 1
2、确定常数 b ，使 bU 成为 t 分布； W
3、证明W ,U ,V 相互独立，并求 E W 2 3U 2 V 2
2. 从袋子中任取一球，求取到白球的概率；
3．若所取球为白球，求袋子中恰有 k 只白球的概率 (1 k N ) 。
二 、（ 20
分）设
X
的密度函数为
p(x)
|
x
|,
0,
| x |1
，记
其它
1,
Y
0,
1,
X 0 X 0 ，求 X 0
1、Y 的概率分布和分布函数； 2、 已知 Y 1 的条件下， X 的条件分布函数；
f (x, y)
0,
其它
,
1.求常数 k ；
2.求 P( X Y 0) ；
3.问 X与Y 是否独立？为什么？
4.求 X 2 的密度函数；
5.求 X与Y 的相关系数 ( X ,Y ) ；
四、（20 分）1.设随机变量序列{n } 同分布于参数为 的泊松分布，且当
| i j | 1时有 cov(i , j ) 0 ，试证明序列{n } 服从大数定律。
抽取 36 位考生的成绩 (x1, x2 ,L , x36 ) ，算得平均成绩 x 66.5 分，样
本标准差 S
1 36
35 i1
xi x 2 15 分。
1．问在显著性水平 0.05 下，是否可认为这次考试全体考生的平均成绩不
高于 65 分？并给出检验过程；
2．在置信水平1 0.95 下，求 2 的置信区间及单侧置信下限。
2. 某城市出租车公司有 2000 辆的士参加保险，每一辆的士在一年里出事 故的概率为 0.005，参加保险的的士每年交 500 元的保险费．若出事故，保 险公司最多赔偿 50000 元，试利用中心极限定理近似计算保险公司一年赚 钱不小于 500000 元的概率。
五、（20 分）设1,2 ,3 ,4 ,5 是来自总体 N (0, 2 ) 的样本。
X1, X 2 ,, X n 是来自 X 的样本,。
1.求 的矩估计ˆ1 和极大似然估计ˆ2 ；2.上述两个估计量是否为无偏估
计，若不是请修正为无偏估计；3.证明ˆ1 为 的相合（一致）估计；4.试
问 2 中的两个无偏估计量哪一个更有效？
七、（20 分）设某次考试的考生成绩服从正态分布 N (, 2 ) ，从中随机地
1. 12 服从什么分布？求出 12 的密度函数；
2
2
2.
统计量 T1
(1 2 )2 (1 2 )2
服从什么分布？为什么？
3.
T2
1 | 1
2 2
|
服从什么分布？为什么？
4. 求常数 c 使得 c(1 2 ) 服从 t 分布，并确定其自由度。
32
2 4
2 5
六 、（ 20 分 ） 设 总 体 X 服 从 区 间 [ ,1] 上 的 均 匀 分 布 ， 1 未 知 ，