中国矿业数理统计
2017-2018概率论与数理统计期末试题(A)答案
第1页(共3页)中国矿业大学(北京) 2017-2018 学年 第1 学期《概率论与数理统计》试卷（ A 卷）答案和评分标准一、填空题（每小题3分，共30分）1、设,A B 为两个事件，()0.4,()0.8,()0.5P A P B P AB ===，则(|)P B A =____0.75__________ 2、设随机变量X 在(3,3)-上服从均匀分布，关于t 的方程24420t Xt X +++=有实根的概率为______21_________ 3、设随机变量X 的概率密度函数为)(x f X ，则随机变量X e Y 3=的概率密度函数为=)(y f Y _____⎪⎩⎪⎨⎧+∞<<⎪⎭⎫ ⎝⎛其他,00,13ln y y y f X ___________4、如果随机变量X 在)10,0(上服从均匀分布，现在对X 进行4次独立重复观测，至少有3次观测值大于5的概率为____516__________ 5、设随机变量X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布，且[(1)(2)]1E X X --=，则λ=______1_________6、设随机变量,X Y 相互独立，且都服从参数2θ=的指数分布，则{max{,}2}P X Y ≤=_____12(1)e --_________7、设随机变量X 的方差为2.5，由切比雪夫不等式估计概率{|()|7.5P X E X -≥≤____245_______ 8、设总体2~(,)X N μσ，12,,,n X X X 是该总体X 的一个样本，1211()n i i i c X X -+=-∑为2σ的无偏估计，则c =_______)1(21-n ___________9、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(0,3)N ，而129,,X X X 和129,,,Y Y Y 分别来自正态总体X 和Y 的简单随机样本，则统计量Y服从____)9(t ________分布10、设总体),(~2σμN X ，抽取容量16n =的样本n x x x ,,,21 ，经计算得均值,2.5=x 样本标准方差2=s ,则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间为_____)266.6,134.4(____________二、(10分)设工厂A 和工厂B 的产品次品率分别为1%和2%．现从A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件，发现是次品，求该次品属于工厂A 生产的概率．解：设事件A 表示产品来自工厂A ，事件B 表示产品来自工厂B ，事件C 表示抽取到的产品是次品，则%1)|(=A C P ，%2)|(=B C P ，%60)(=A P ，%40)(=B P 5分从而73%2%40%1%60%1%60)|()()|()()|()()|(=∙+∙∙=+=B C P B P A C P A P A C P A P C A P 5分第2页(共3页)三、(12分)学生完成一道作业的时间X 是一个随机变量，单位为小时．它的概率密度函数为21,0()20,cx x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他（1）确定常数c ；（2）写出X 的分布函数；（3）试求出在20分钟以内完成一道作业的概率．解：（1）由概率密度函数的性质()122011()248c f x dx cx x dx +∞-∞==+=+⎰⎰ 解得21c = 4分（2）由2121,0()20,x x x f x ⎧+≤≤⎪=⎨⎪⎩其他，则()2230001()()217022112xxx x F x f t dt t t dt x x x -∞⎧<⎪⎪⎪==+=+≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰ 4分 （3）1117()()3354P X F ≤==4分 四、(10分)设,X Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度函数分别是1,01()0,X x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他 ,0()0,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩其他 求随机变量Z X Y =+的概率密度函数．解：由卷积公式()()()X Y X Y f z f x f z x dx +∞+-∞=-⎰3分易知仅当010x z x ≤≤⎧⎨->⎩ 即 01x x z≤≤⎧⎨<⎩时被积函数不为零 2分()01()00,0()011zz x X Y z x z f z e dx z e dx z --+--⎧<⎪⎪=≤<⎨⎪⎪≥⎩⎰⎰ 3分即0,0()101(1)1zX Y z z f z ez e e z -+-<⎧⎪=-≤<⎨⎪-≥⎩2分 五、(10分)设(Y X ,)具有概率密度为26,01,01(,),0,xy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它 （1）求边缘概率密度(),()X Y f x f y ，并判断,X Y 是否独立； （2） 求条件概率密度)(y x f YX．解：（1）1206201()(,)0X xy dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他12206301()(,)0Y xy dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 显然，(,)()()X Y f x y f x f y =，所以,X Y 相互独立 6分（2）当10<<y 时，⎩⎨⎧<<==取其他值x x x y f y x f y x f Y Y X ,010,2)(),()( 4分第3页(共3页)六、(10分)设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为⎩⎨⎧<<<=其他,010,3),(x y x y x f （1）求随机变量),(Y X 的协方差cov(,)X Y ； （2）求随机变量),(Y X 的相关系数． 解：（1）⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-====103233),()(1040210dx x ydy x dx dxdy y x xyf XY E x4333),()(1030210====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x xf dx X E x83233),()(103010====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x yf dx Y E x则3cov(,)=()()()160X Y E XY E X E Y -= 5分（2）5333),()(104031022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy x dx dy y x f x dx X E x513),()(104021022====⎰⎰⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-dx x dy xy dx dy y x f y dx Y E x8034353)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=X E X E X D320198351)()()(222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=Y E Y E Y D 193)()(),(==Y D X D Y X Cov ρ 5分 七、(8分)一个复杂的系统由100个相互独立起作用的部件所组成，在整个运行期间每个部件损坏的概率为0.10，为了使整个系统起作用，至少必须84个部件正常工作，求整个系统起作用的概率．解：设X 表示正常工作的部件个数，则~(100,0.9)X B ，由棣莫弗-拉普拉斯定理，近似服从(0,1)N 分布， 4分则()()908490(84)1(84)11220.977233X P X P X P --⎛⎫≥=-<=-<≈-Φ-=Φ= ⎪⎝⎭4分八、(10分)设总体X 的概率密度函数为23,0,(,)0,.x e x f x x θθθ-⎧>⎪=⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数且大于零，12,,,n X X X 为来自总体X 的简单随机样本，（1）求θ的矩估计量；（2）求θ的最大似然估计量．解：（1）由于22320()xxx E X xe dx e dx e d x x x θθθθθθθθ---+∞+∞+∞⎛⎫===-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰， 令X θ=，解得θ的矩估计量为11=ni i X X n θ==∑ 5分（2）似然函数为2311,0(1,2,,)()(,)0,.i n xni i i ii e x i n L f x x θθθθ-==⎧>=⎪==⎨⎪⎩∏∏其他当0(1,2,,)i x i n >=时，()L θ=231inx i iexθθ-=∏，两边取对数31ln ()2ln ln ni i i L x x θθθ=⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦∑令11ln ()21210n n i i i i d L n d x x θθθθ==⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦∑∑，解得θ的最大似然估计量为12=1ni inX θ=∑ 5分第4页(共3页)。
中国矿业大学 概率论与数理统计
(5) A, B 与C 全不发生
(A BC )
(6) A, B 与C不全发生
( ABC)
(7) A, B 与C 至少有两个发生
(ABC A BC AB C ABC )
17
例2 以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为 (A) 甲滞销，乙畅销 (B) 甲乙两种产品均畅销
(C) 甲种产品畅销 (D) 甲滞销或乙畅销
；
推广：
;
15
注：事件的一些关系式
①设
，则
，
，
， ②
③
16
例1. 设A,B,C 表示三个事件, 试表示下列事件
(1) A 发生, B 与C 不发生
(AB C )
(2) A 与B 发生, C 不发生 (3) A, B 与C 都发生 (4) A, B 与C 至少有一个发生
( ABC ) ( ABC ) (A B C)
事件B包含事件A
A发生必然导致B发生 A与B相等，
记为 A=B。
11
②事件的和 称为A和B的和事件
表示A与B中至少有一个发生，即： A与B中至少有一个发生时， 发生。
12
③ห้องสมุดไป่ตู้件的积
且
A与B的积事件
表示事件A和B同时发生， 即： 当且仅当A与B同时发生时， 发生。通常简记为AB。
A B
13
④事件的差 但
二、概率的公理化定义
重点掌握利用关系式计算概率
20
一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大 量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律， 频率这一概念近似反映了这个数量规律。
一、频率
1. 定义1 设 E, S, A为E中某一事件，在相同条件进行
全国矿产资源储量统计汇总表-概述说明以及解释
全国矿产资源储量统计汇总表-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以介绍矿产资源储量统计的背景和重要性。
以下是一个示例：概述矿产资源是国家经济发展的重要支撑，对于了解和管理国内矿产资源储量具有至关重要的意义。
全面统计和汇总全国矿产资源储量数据能够为国家矿产资源的开发利用和宏观调控提供基础数据支持，能够更好地指导矿业产业的发展战略和政策制定。
矿产资源储量统计是通过系统的、科学的调查和勘探工作来收集和计量资源储量的过程。
为了全面了解全国各地区的矿产资源储量情况，国家相关部门广泛组织了矿产资源储量统计工作，制定了一系列规范和方法，以确保统计结果的准确性和可比性。
本文旨在汇总和总结全国矿产资源储量的统计结果，揭示矿产资源的分布特点和发展趋势，为矿业产业的发展和资源优化配置提供科学依据。
通过对全国各地区的矿产资源储量进行分析和比较，可以更好地了解不同地区的矿产资源禀赋差异，为资源合理配置和产业转型升级提供理论指导和政策支持。
本文将首先介绍矿产资源储量统计的方法和步骤，包括调查、勘探、储量计算等内容。
接着，将汇总和分析全国各类矿产资源的储量统计结果，展示它们在地理分布和数量上的特点。
最后，通过总结和展望，对矿产资源储量统计情况进行简要总结，提出对矿产资源开发利用的启示，并展望未来矿产资源储量的发展趋势。
通过本文的研究和分析，我们希望能够加深对全国矿产资源储量的认识，为矿业资源的合理开发、利用和保护提供科学指导，促进中国矿业产业的可持续发展。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下信息：本文按照以下结构进行组织和阐述：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 矿产资源储量统计方法2.2 全国矿产资源储量统计结果2.3 矿产资源储量分布特点3. 结论3.1 总结矿产资源储量统计情况3.2 对矿产资源开发利用的启示3.3 展望未来矿产资源储量发展趋势本文首先在引言部分对全国矿产资源储量统计汇总表进行了介绍，包括概述、文章结构和目的。
概率论与数理统计-中国矿业大学教务部
课程编号：0701106710PTMS《概率论与数理统计》(Probability and Statistics)课程教学大纲48学时 3学分一、课程的性质、目的及任务本课程是工科各专业的主要基础课之一，其目的在于使学生掌握处理随机现象的基本思想、基本理论和基本方法，提高学生的数学素质与科学思维能力，培养学生解决实际问题的能力。
二、适用专业工科、管理各专业三、先修课程高等数学线性代数四、课程的基本要求理解随机性、随机事件以及概率等基本概念。
理解随机变量及其分布，掌握离散型及连续型随机变量的特点，掌握正态分布、二项分布等几种常见分布。
理解随机变量的数字特征，掌握随机变量的数学期望、方差、协方差、相关系数等数字特征的基本性质和计算。
理解大数定律和中心极限定理，会利用隶莫佛一拉普拉斯定理解决有关问题。
理解样本、统计量等概念，熟悉正态总体的常见样本函数的分布定理。
掌握点估计、假设检验的基本原理与方法。
五、课程的教学内容1.概率论的基本基本概念：随机事件，事件间的关系及运算，古典概型，概率的性质。
条件概率，全概率公式与贝叶斯公式，事件的独立性。
2.随机变量及其分布：一维随机变量，分布函数，分布律，密度函数，常见分布。
3.多维随机变量及其分布：联合分布，边际分布，条件分布；随机变量的独立性，随机变量函数的分布。
4.随机变量的数字特征：数学期望，方差，协方差，相关系数，矩。
5.大数定律与中心极限定理：切比雪夫大数定律，贝努利大数定律，独立同分布的极限定理，隶莫佛—拉普拉斯极限定理。
6.抽样分布：数理统计基本思想，总体，样本统计量；样本的数字特征及其分布；抽样分布定理。
7.参数估计：矩估计，极大似然估计；估计量的评选标准；区间估计。
8.假设检验：正态总体均值的假设检验，正态总体方差的假设检验。
七、主要参考书1.周圣武，周长新，李金玉，概率论与数理统计（第二版），中国矿业大学出版社，2007。
2.盛骤，概率论与数理统计，高等教育出版社，2003。
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文
定义2 设 都是参数θ的无偏估计量，若有
则称
有效。
例：160页，例7、例8
定义3 设
为参数θ的估计量，
若对于任意θ∈Θ,当
则称
的一致估计量。
例：由大数定律知
一致性说明：对于大样本，由一次抽样得到的估 计量 的值可作θ的近似值
例5 设 X1, X2, …, Xn 是取自总体 X 的一个样本,
⑴ 验证
试求θ的极大似然估计值。 解
极大似然估计的不变性
练习
1.设总体X在
上服从均匀分布，
X1 , X 2 ,L X n是来自X的样本，试求 q 的矩估计量
和最大似然估计.
2.设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本
其中 >0, 求 的极大似然估计.
课堂练习
P156：5，6
作业
P178：1，2，5，6
Fisher
最大似然法的基本思想：
问题：请推断兔子 是谁打中的？
例6 袋中放有白球和黑球共4个，今进行3次有放回 抽样，每次抽取1个，结果抽得2次白球1次黑球，试 估计袋中白球个数。 解 设袋中白球个数为m，
X为3次抽样中抽得的白球数，则
当袋中白球数m分别为1,2,3时， p对应的值分别为1/4,2/4,3/4， X对应的分布律见下表
中国矿业大学周圣武概率论与数理统计_图文 .ppt
第七章 参数估计
§7.1 点估计 §7.2 估计量的评选标准 §7.3 区间估计 §7.4 单个正态总体参数的区间估计 §7.4 两个正态总体参数的区间估计
统计推断
矩估计 点估计 最大似然估计
参数估计
最小二乘估计
区间估计
参数假设检验
假设检验 非参数假设检验
2017中国矿业大学(北京)考研专业主要参考书目录分析
环境化学
《环境化学》（第二版），高教出版社，2006，戴树桂主编
2027
环境学
《环境学》（第二版），中国环境科学出版社，2006，左玉辉主编
2028
数理统计
《数理统计》，煤炭工业出版社，马玲、高运良编
2029
高级经济学
《经济学原理（宏观分册）》（第4版），北京大学出版社，[美]曼昆，梁小民译；《经济学原理（微观分册）》（第4版），北京大学出版社，[美]曼昆，梁小民译
2018
物理化学
《物理化学》（第二版）天津大学出版社，2003，肖衍繁，李文斌编
2019
有机化学
《有机化学》，高等教育出版社，徐寿昌编
2020
结构力学
《结构力学》(I, II).高等教育出版社,龙驭球.包世华，2011
《结构力学》(第五版).高等教育出版社，李廉辊.，2010
2021
系统工程
《系统工程原理》，国防科技大学出版社，1999，谭跃进等编著
2017中国矿业大学（北京）考研专业主 要 参 考 书）
编号
考试科目
参考书目
1001
英语
无
1002
俄语
无
1003
日语
无
2001
地质学基础
《普通地质学》，高等教育出版社，黄定华主编
2002
无机化学
《无机化学》（第五版），高等教育出版社，2006，大连理工大学无机化学教研室编
2003
数学物理方程
《数学物理方程》，谷超豪、李大潜、陈恕行、郑宋穆、谭永基，高等教育出版社
2022
系统安全理论
《安全系统工程》，冶金工业出版社，1987，冯肇瑞，崔国璋编
应用数理统计(中国矿业大学)2012年卷
√
√
( 87.80, 278.69) ≈ (9.37, 16.69).
(2分)
√ 三：(15分) 设炮弹着落点 (x, y) 离目标 (原点) 的距离为 z = x2 + y2 , 若设 x 和 y 为独立同分布的随机变量, 其共同分布为 N (0, σ2) ,可得 z 的分布密度为：
z
z2
p(z) = σ2 exp(− 2σ2 ),
H0 : P (Ai) = 1/6 i = 1, 2, · · ·, 6.
(2分) 因为分布不含未知参数, 又 k = 6, α = 0.05, 查表可得 χ2α(k − 1) = χ20.05(5) = 11.07. 又
χ2 = ∑6 (fi − npi)2 = 4.4 < 11.07.
i=1
npi
z > 0,
这个分布称为瑞利分布. (1): 设 z1, z2, · · ·, zn 为来自上述瑞利分布的一个样本, 求 σ2 的极大似然估计, 证明它是 σ2 的无偏估计； (2): 求瑞利分布中 σ2 的费希尔信息量 I(σ2).
解：(1): 易知 z1, z2, · · ·, zn 的似然函数为
1dy = 1 − e−z/2.
e−z/2
e−z/2
6
所以 Z = −2 ln Y 的密度函数为
fZ (z)
=
FZ′ (z)
=
1 e−z/2, y 2
>
0,
fZ(z) = 0,
z≤0
(8分)
又 Γ(1) = 1, 2, · · ·, n
F= Y /m
服从自由度为 (n, m) 的 F 分布, 记为 F ∼ F (n, m).
中国矿业大学(北京)《概率论与数理统计》-课件 频率与概率 ,等可能概型(古典概型)
于是 P(B A) P(B) P( A).
又因 P(B A) 0, 故 P( A) P(B).
(4) 对于任一事件 A, P( A) 1. 证明 A S P( A) P(S) 1,
故 P( A) 1. (5) 设 A 是 A的对立事件, 则 P( A) 1 P( A). 证明 因为 A A S, A A , P(S) 1,
2. 概率的主要性质 (1) 0 P(A) 1, P(S) 1, P() 0; (2) P( A) 1 P( A); (3) P( A B) P( A) P(B) P( AB); (4) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P( A B) P( A) P(B).
25
处波动较小
0.50
247 0.494
2 0.2
24 0.48 251 0.502
0.4
18 0.36 26波2 动0最.52小4
0.8
27 0.54 258 0.516
从上述数据可得
(1) 频率有随机波动性,即对于同样的 n, 所得的 f 不一定相同;
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
P( A)
k n
A 包含的基本事件数 S中基本事件的总数
.
3.计算公式推导
设试验 E 的样本空间为S={e1,e2,...,en}，由于 在试验中每个基本事件发生的可能性相同, 即有
P({e1})=P({e2})=...=P({en}). 又由于基本事件是两两互不相容的, 于是
1 P(S)
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(xi
x)2
s2 1 n
n1i1
xi x 2
1 n1
n i1
xi2
nx2
ak
1 n
n i 1
xi k
bk
1 n
n i1
(xi
x)k
例1 设总体X 的数学期望和方差分别为
E(X), D (X)2
其样本为
X 1 ,X 2 , ,X n ,求 E ( X ) ,D ( X ) ,E ( S 2 ) .
k1
当 , 2 未知时，
均不是统计量。
X 12X 2 ,X 1 2/ 2
当 , 2 已知时，
均为统计量。
X 12X 2 ,X 1 2/ 2
几个常用的统计量
设
X,X,,X 1 2
是来自总体X 的一个样本，
n
1.样本均值
X
1 n
n k 1
Xk
2.样本方差
S2 1 n n1k1
中国矿业数理统计
§2.1 引言
数理统计问题可以分为两大类：
■如何科学地安排试验，以获取有效的随机数据。 ——描述统计学。 如：试验设计、抽样方法。 ■研究如何分析所获得的随机数据，对所研究的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为采取 一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论. ——推断统计学。如：参数估计、假设检验等。
PxP n Xi2x
i1
2
n e d 2
12in1xi2
x1d
xn
n xi2x
i1
作球坐标变换
x 1
x 2
...
x n
r cos1 r cos1
r sin1
cos2...cosn1 cos2...sinn1
其中
21,2, ,n1 2, n
该变换的Jacobi行列式为
x1 x1 ... x1
212
n
(Xi )2~2(n)
i1
证明 因为
Xi ~N(,2) 所以
Xi~N(0,1), i1,2, ,n.
又 X1, X2 , … , Xn 相互独立，
X1,X2,
,X n
也相互独立。
分 布 由
2
的定义可知
n
i1
Xi2
~
2(n)
12
n
Xi
i1
2
~2(n)
2 分布的性质
（1） 设
X 1~2(n 1 )X ,2~2(n 2)且,X1,X2相
总体
有限总体 无限总体
总体可以用一个随机变量 X 及其分布来描述。
例如，研究某批灯泡的寿命时，
这批灯泡中每个
灯泡的寿命是我们所关心的指标.
此总体就可以用随机变量X或其分布函数
F ( x ) 表示.
F(x)P{Xx}
2.样本 样本：在总体中抽取的部分个体。 样本容量：样本中所含个体的数目n。
(X1,X2, ,Xn)
N (,2),X 1,X 2, ,X n
是X 的样本，
X 和 S 2 分别为样本均值和样本方差，则有
⑴ X ~ N(0,1) / n
⑵ X ~ t(n 1)
S/ n
证明 因为
X
1 n
n i 1
X 是样本 i
X1,X2,
,X的线性组 n
合，故
X~N(,2/n)，标准化后可得
X ~ N(0,1) / n
互独立，则
X 1X 2~2(n 1n2)
这个性质叫 分布的可加性。 2
(2) 若
X ~2(n) 则
E(X)=n, D(X)=2n
证明
XX 1 2X 22X n2 Xi ~N(0,1)
则
E (X i2 ) D (X i) E 2 (X i) 1
D ( X i 2 ) E ( X i 4 ) E 2 ( X i 2 ) 3 1 2
§2.1 引言
应用数理统计方法解决实际问题的基本步骤： （1）确定研究对象、研究目的； （2）数据收集与整理； （3）数据分析； （4）应用数据分析结果解决实际问题。
§2.2总体、样本与统计模型
1.总体
研究对象的某项数量指标值的全体称为总体。
总体中每个研究对象(元素)称为样本。
例如：◆咱们班男生的身高； ◆人的体温； ◆徐州地区下个月的气温； ◆徐州地区下个月的降雨量； ………………
(3) F 分布的分位点
对于给定的正数
,01称满足条件
P F F (n 1 ,n 2 )
的点 F (n1,n2)为 F(n1,n2) 分布的上
分位点.
F (n1,n2)
F1(n1,n2)F(n12,n1)
证明: 设
F~F(n1,n2)
由定义
1 P F F 1 (n 1 ,n 2 )
N(1,
1 2),N( 2,
) 2 的样本，并且这两个样
2
本相互独立，记
1 n1
X
n1
i 1
Xi,
Y
1 n2
n2
Yi ,
i1
S12
1 n1 n11k1(Xk
X)2
S22
1 n2
n2
1k1(Yk
Y)2
则有
⑴
S12/12 S22/22
~F(n1
1,n2
1)
⑵ 当
2 1
2 2
2时
X Y (1 2) ~ N(0,1) 11
定义 为了准确地进行判断，对抽样有所要求：
① 代表性：样本的每个分量 分布函数；
X 与总体X 有相同的 i
② 独立性：
X,X, ,X 1 2
为相互独立的随机变量，
n
满足以上条件的样本
(X1,X2,
,X)称为来自总体 n
X 的容量为n 的一个简单随机样本（简称样本）。
样本的一次具体实现 联合分布函数为
Xk
X
2
1 n1
n k1
X2k
nX2
3. 样本标准差 4.样本k 阶原点矩
S S2 n11i n1(Xi X)2 Ak 1 ni n1Xik k1,2, ,n.
5.样本k 阶中心矩
它们的观察值分别为：
x
1 n
n i 1
xi
Bk1 ni n1(Xi X)k, k1,2,
s
1n n1i1
g(X1,X2, ,Xn)为一个统计量。
g(x1,x2,,xn)为 g(X1,X2, ,Xn)的观测值。
注： g(X1,X2, ,Xn)仍为随机变量。
g(x1,x2,,xn) 是一个数。
例如 总体 则
X~N(,2), X1,X2,,Xn是一个样本，
n
2X1X2, X2nX21,
X 均为统计量。 k
P
x
Cn
0
x
r2
e2
rn1dr
其中 C n 2 2 2 n 2D 1 ,2 , ,n 1d1 dn 1
22
由 P1得
1Cn
r2
e2
rn1dr
tr2,r
0
2
2t
Cn 0et2n 21tn 21dt
n1
22 Cn
ettn21dt
0
1
2n21Cn
n 2
PF1 F1(1n1,n2)
PF 1F1(1n1,n2)
又因为
1/F~F(n2,n1)
所 以P F 1F(n2,n1)
故
F(n2,n1)F1(1n1,n2)
例1 设总体X , Y 相互独立
X~N (0,32),Y~N (0,32),
其样本为
X 1 ,X 2 , ,X 9和 Y 1 ,Y 2 , ,Y 9 ,试求统计量
X 1,X 2, ,X 15,求 Y2X X 1 2 1 2 1 X X 1 2 0 1 2 5的 分 布 .
解 由已知得
Xi ~N(0,4)
所以 UX1 2X2 2 X1 2 0~2(10)
4
VX1 2 1X1 2 2 X1 2 5~2(5)
4
故 YU/10 X1 2 X1 2 0 ~F(10,5). V/5 2X1 2 1 X1 2 5
服从自由度为
n1及 n2 的F分布，
记作 F ~ F ( n1,n2)。
性质 (1) 由定义可知， (2) 若X ~ F(n1,n2)，则
1 Y n2 ~ F(n2,n1) F X n1
E(X )
n2
,
n2 > 2
n2 2
D(X) n2 2(2n12n2 4) , n2>4 n1(n2 2)2(n2 4)
记作 T～t (n)。
t 分布的概率密度为
n1
f x;nnn1n/221xn2 2
t 分布的 性质 （1）设T~t(n)，则 E(T) = 0, D(T) = n / (n-2), n >2
（2）t 分布的概率密度关于x = 0 对称 当 n 充分大时，其图形类似于标准正态分布 概率密度的图形。 但对于较小的 n，t 分布与N (0,1) 分布相差
所以
E(2)nE(Xi2)n
D (2)nD (Xi2)2n
2 分布的分位点
对于给定的正数
, 0 1称满足条件
P2 2(n)
的点
2
(n)
为
2 (n) 分布的上
分位点.
2
(n
)
2. t 分布
设X～N(0,1) , 则称变量
(n) Y～
2
, 且X与Y相互独立，
T X Yn
所服从的分布为自由度为 n 的 t 分布.
X1 X2 X9 服从什么分布？