流体流动的基本方程
流体流动的基本方程
4）运动粘度
v
单位： SI制：m2/s； 物理单位制：cm2/s，用St表示。
1St 100cSt 104 m 2 / s
关于黏度的讨论
① 黏度是流体的重要物理性质之一，可由实验测定 ② 常见流体的黏度值可由相关手册中查取；当缺乏实验数据 时，还可由经验公式计算 ③ 一般气体的黏度值远小于液体的黏度值 ④ 流体的黏度是温度T的函数 气体：T↑，黏度↑ 液体：T↑，黏度↓
运动流体的流速、压强、密度等有关物理量 稳态流动： 仅随位置而改变，而不随时间而改变 上述物理量不仅随位置而且随时间变化的流 非稳态流动： 动。
三、牛顿粘性定律与流体的粘度
1. 牛顿粘性定律
流体的内摩擦力：运动着的流体内部相邻两流体层间的作 用力。又称为粘滞力或粘性摩擦力。 ——流体阻力产生的来源
一、流量与流速
1、流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量，称为流量。 若流量用体积来计量，称为体积流量VS；单位为：m3/s。 若流量用质量来计量，称为质量流量mS；单位：kg/s。 体积流量和质量流量的关系是： mS VS
2、流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
VS 单位为：m/s。数学表达式为： u A
mS u1 A11 u2 A2 2
若流体为不可压缩流体
uA 常数
VS
mS
u1 A1 u2 A2
uA 常数
——一维稳态流动的连续性方程
对于圆形管道，
2 2 u1 d1 u2 d 2 4 4
u1 d 2 u2 d 1
?
⑤ 流体的黏度值一般不随压力而变化
流体的分类： 按流体流动时应力与速度梯度之间的关系，流体可分为 牛顿型流体： 服从牛顿粘性定律的流体， 应力与速度梯度成正比例关 系 非牛顿型流体：不服从牛顿粘性定律的流体 ， 应力与速度梯度不满足正 比例关系
1.3.1流体流动及其基本方程
二、流体流动的基本方程
流体动力学主要研究流体流动过程中流速、压力等物理量的变化规 律，研究所采用的基本方法是通过守恒原理（包括质量守恒、能量守恒 及动量守恒）进行质量、能量及动量衡算，获得物理量之间的内在联系 和变化规律。
作衡算时，需要预先指定衡算的空间范围，称之为控制体，而包围 此控制体的封闭边界称为控制面。
（2）流动系统的机械能衡算方程
⒈机械能的转换与损失 流动系统中所包括的能量
动能
机械能
位能 压力能（流动功）
外功
内能和热
流体输送过程中各种机械能相互转换。 由于流体的黏性作用，流体输送过程中还消耗部分机械能，将其转化为流体的内能。
（2）流动系统的机械能衡算方程
⒉流体定态流动的机械能衡算式
假设流动为定态过程，由热力学第一定律可知
一、流体流动概述
流体流动体系分类
（3）绕流与封闭管道内的流动
流体流动的方式
流体的绕流流动
流体绕过一个浸没物体的流动称 为绕流，也称外部流动。例如，填充 床内流动，颗粒在流体中的沉降运动， 流体在管道中绕过障碍物的流动等。
在封闭管道内的流动
如果流体是在封闭管道内的流动， 且没有绕过障碍物，则将流体的流动 称之为封闭管道内的流动。
hf
适用条件： 不可压缩流体
对于理想流体，Σhf =0，若再无外功加入，则有：
gZ1
u12 2
p1
=
gZ2
u22 2
p2
工程伯努利 (Bernoulli)方程
二、流体流动的基本方程
伯努利方程的讨论
（1）伯努利方程的物理意义
由公式
gZ1
u12 2
p1
=
gZ2
第二节 流体流动的基本方程式
第二节 流体流动的基本方程式化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。
要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。
反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速一、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。
若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。
体积流量与质量流量的关系为：w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。
二、流速单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。
以u 表示，其单位为m/s 。
实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17）式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。
流量与流速的关系为：w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。
因此采用质量流速就较为方便。
质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为：ρρu A V A w G s s === （1-19）式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。
必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。
式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。
一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 24d V u s π= 于是 uV d sπ4=（1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。
第三节流体流动的基本方程
gZ1 u12
2
P1
We
gZ 2 u22 2
P2
hf
1) 柏努利方程的物理意义：在任一垂直流动方向的截面上，单位质 量流体的总机械能守恒，而每一种形式的机械能不一定相等，可以 相互转换；
2) 当流体静止时，u=0，Σhf=0，We=0，则柏努利方程变为静力学 方程，可见静力学方程式是柏努利方程的特例；
总费用
操作费
设备费
u适宜
u
u ↑→ d ↓ →设备费用↓ 流动阻力↑ →动力消耗↑ →操作费↑
均衡 考虑
一般，液体经济流速取0.5―3.0m/s，气体经济流速取10―30m/s
1.3.2 稳态流动与非稳态流动
稳态流动：流动系统中,各截面上的流体流速、压强、密度 等只是位置的函数，而不随时间变化的流动；
20%
P1
上式仍可用于计算。但此时式中ρ = ρm = （ ρ1+ ρ2 ）/ 2，由此产生 误差≤5%。属工程所允许的误差范围。
1.3.5 柏努利方程的应用
1、应用柏努利方程解题要点 1）作图并确定衡算范围
根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方向， 定出上下截面，以明确流动系统的衡算范围。
H
g
Z
u2 2
qe
We
注：在发生焓变的流动过程中： 由于
H gZ u2 2
及 H We
则：上式右简化为 △H = qe 或 H2 = H1 + qe
对于方程
U
P
u2 2
gZ
流体力学中的三大基本方程
a 流体质点加速度 在三个坐标轴上的分量表示成：
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
d y
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程： 得x方向上的运动微分方程：
dx
dt
dxdydz
p x
dxdydz
fxdxdydz
单位体积流体的运动微分方程：
2 ：单位重量流体所具有的动能；
2g
理解：质量为m微团以v 运动，具有mv2/2动能，若用 重量mg除之得v2/2g
三者之和为单位重量流体具有的机械能。
物理意义： 理想、不可压缩流体在重力场中作稳定 流动时，沿流线or无旋流场中流束运动 时，单位重量流体的位能，压力能和动 能之和是常数，即机械能是守恒的，且 它们之间可以相互转换 。
②物理意义：揭示了沿某一根流线运动着 的流体质点速度，位移和压强、密度四者 之间的微分关系。
3.1 伯努利方程积分形式
1.沿流线的积分方程：
gdz 1 dp d 0
2
2
gz
dP
C
设： const
2 gz p C
2
Or
z p 2 C
r 2g
——理想流体微元流束的伯努利方程。
①适用条件：理想流体、不可压缩性流体、稳定 流动、质量力只有重力，且沿某一根流线； ②任选一根流线上的两点：
流体流动的基本方程
主要研究流体在管路中的流动，
质量守恒
讲
遵循着三大守恒定律 动量守恒
不讲
能量守恒
讲
1.2.1、流量与流速
1、定义 体积流量qv： 单位时间流过管路任一截面的流体体积。 质量流量qm： 单位时间流过管路任一截面的流体质量。 流 速u： 体积流量除以管截面积所得之商。（平均流速） 质量流速G： 质量流量除以管截面积所得之商。
同的
3. 管路直径的初步确定
u
qv A
qv 4d2
qv 0.785d 2
d qV 0.785u
流量取决于生产需要，合理的流速应根据经济衡算确定。
一般液体流速为0.5~3m/s， 气体流速为10~30m/s
1.2.1、黏性和黏度
流体内部存在内摩擦力或粘滞力
气体内摩擦力产生的原因还 可以从动量传递角度加以理解:
单位质量流 体的柏努力
=3080J/s=3.08 kw 泵的轴功率: P Pe 3.08 0.6 5.13kW
2g p1
g
z2
u
2 2
2g p2
g
u1=0, p1=p2=1.013105Pa, z1=0.7m, z2=0
将已知数据代入上式得：u2=3.71m/s 总压头h z1 u12 2g p1 g 11.03 mH 2O
〈2〉求各截面上的压力
0.5m
.A
.C
1
1
0.7m
2
p2
h f
（5） 对可压缩流体，即：
p1 p2 20% p1
柏努利方程仍适用，但应采用平均密度
流体力学的基本方程式
流体力学的基本方程式流体力学是研究流体力学原理和现象的一门学科。
它主要研究流体的运动和变形规律，包括速度、压力、密度和温度等参数的分布及其相互关系。
流体力学的基本方程式包括连续性方程、动量方程和能量方程。
这些方程式用来描述流体的性质和运动，对于解决流体力学问题至关重要。
下面将逐一介绍这些方程式及其应用。
1. 连续性方程连续性方程描述了流体的质量守恒规律。
它基于质量守恒原理，即在流体中任意一点的质量净流入/流出率等于该点区域内质量的减少率。
连续性方程的数学表达式是：∂ρ/∂t + ∇•(ρV) = 0。
其中，ρ是流体的密度，t是时间，V是流体的流速矢量，∇•表示散度运算符。
连续性方程的应用范围广泛，例如用于描述气象学中的气流动力学、河流的水量和水质传输等。
2. 动量方程动量方程描述了流体的运动规律。
它基于牛顿第二定律，即流体的运动是由外力和内力共同作用的结果。
动量方程的数学表达式是：ρ(∂V/∂t + V•∇V) = -∇P + ∇•τ + ρg。
其中，P是压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
动量方程是解决流体流动问题的关键方程，可以用于模拟气象学中的风场、水力学中的水流、航空航天中的气体流动等。
3. 能量方程能量方程描述了流体的能量转换和传递规律。
它基于能量守恒原理，即在流体中任意一点的能量净流入/流出率等于该点区域内能量的减少率。
能量方程的数学表达式是：ρCv(∂T/∂t + V•∇T) = ∇•(k∇T) + Q - P(∇•V) + ρg•V。
其中，Cv是比热容，T是温度，k是热传导系数，Q是体积热源项。
能量方程可用于模拟热传导、对流和辐射现象，例如地下水温场、燃烧室的工作原理等。
流体力学的基本方程式是解决各种流体流动问题的基础，通过对这些方程式的应用，可以揭示流体的行为和性质，为实际工程和科学研究提供指导。
在实际应用中，还可以结合数值模拟和试验数据，进一步分析和预测流体力学问题的解，为工程决策和科学研究提供依据。
第二节流体流动的基本方程式
第二节 流体流动的基本方程式化工厂中流体大多是沿密闭的管道流动，液体从低位流到高位或从低压流到高压，需要输送设备对液体提供能量；从高位槽向设备输送一定量的料液时，高位槽所需的安装高度等问题，都是在流体输送过程中经常遇到的。
要解决这些问题，必须找出流体在管内的流动规律。
反映流体流动规律的有连续性方程式与柏努利方程式。
1-2-1 流量与流速一、流量单位时间内流过管道任一截面的流体量称为流量。
若流体量用体积来计量，称为体积流量，以V s 表示，其单位为m 3/s ；若流体量用质量来计量，则称为质量流量，以w s 表示，其单位为kg/s 。
体积流量与质量流量的关系为：w s =V s ·ρ (1-16) 式中 ρ——流体的密度，kg/m 3。
二、流速单位时间内流体在流动方向上所流经的距离称为流速。
以u 表示，其单位为m/s 。
实验表明，流体流经管道任一截面上各点的流速沿管径而变化，即在管截面中心处为最大，越靠近管壁流速将越小，在管壁处的流速为零。
流体在管截面上的速度分布规律较为复杂，在工程计算中为简便起见，流体的流速通常指整个管截面上的平均流速，其表达式为： A V u s = （1-17）式中 A ——与流动方向相垂直的管道截面积，m 2。
流量与流速的关系为：w s =V s ρ=uA ρ （1-18） 由于气体的体积流量随温度和压强而变化，因而气体的流速亦随之而变。
因此采用质量流速就较为方便。
质量流速，单位时间内流体流过管路截面积的质量，以G 表示，其表达式为：ρρu A V A w G s s === （1-19）式中 G ——质量流速，亦称质量通量；kg/（m 2·s ）。
必须指出，任何一个平均值都不能全面代表一个物理量的分布。
式1-17所表示的平均流速在流量方面与实际的速度分布是等效的，但在其它方面则并不等效。
一般管道的截面均为圆形，若以d 表示管道内径，则 24d V u s π= 于是 uV d sπ4=（1-20） 流体输送管路的直径可根据流量及流速进行计算。
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Q p 2 d p v2 pdv p2 vdp
1
v1
p1
代入上式得：
gZ u2
2
p2 p1
vdp
We
hf
——流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2）柏努利方程（Bernalli）
当流体不可压缩时，v、ρ为常数：
p2 p1
vdp
v
p2
p1
p
2020/6/24
gZ
u 2 2
非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间 （非稳态流动） 变化的流动。
说明：定态、稳态、稳定三者含义相同
2020/6/24
定态流动： 各截面上的温度、压力、
流速等物理量仅随位置变化， 而不随时间变化 。
非定态流动： 流体在各截面上的有
关物理量既随位置变化， 也随时间变化。
2020/6/24
三、连续性方程
2020/6/24
分析：
求流量Vs
已知d
Vs
3600u
4
d2
求u
直管 任取一截面
判断能否应用？
气体 柏努利方程
2020/6/24
解：取测压处及喉颈分别为截面1-1’和截面2-2’ 截面1-1’处压强 ：
P1 Hg gR 13600 9.81 0.025 3335Pa(表压）
截面2-2’处压强为 ：
体积流量和质量流量的关系： wS VS
2. 流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为流速u。
单位为：m/s。 平均流速数学表达式为：
2020/6/24
u VS A
流量与流速的关系为： VS uA wS uA
质量流速（质量通量）：单位时间内流体流过管道单位截
面积的质量，用G表示，单位为kg/(m2.s)。
1）流动系统的机械能衡算式
由热力学第一定律：
2020/6/24
U Qe
v2 pdv
v1
流体与环境所交换的热Qe
Qe
能量损失 hf
即：Qe Qe hf
U Qe
hf
v2 pdv
v1
代入U
gZ
u2 2
pv
Qe
We中，得：
gZ u2 pv
2
v2 v1
pdv
We
hf
2020/6/24
2020/6/24
讲授内容
2020/6/24
1.1 流体静止的基本方程 1.2 流体流动的基本方程 1.3 流体流动现象 1.4 流体在管内的流动阻力 1.5 管路计算 1.6 流速和流量测量
1.2 流体流动的基本方程
2020/6/24
1.2 流体流动的基本方程
1 流量与流速
本节 讲授 内容
2 定态流动与非定态流动 3 连续性方程 4 能量衡算方程
即：1kg理想流体在各截面上的总机械能相等，但各种形 式的机械能却不一定相等，可以相互转换。
2）对于实际流体，在管路内流动时，应满足： 上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能。
2020/6/24
3）式中各项的物理意义
gz、u2 、p ：处于某个截面上的流体本身所具有的能量
2
We和Σhf：：流体流动过程中所获得或消耗的能量
P2 gh 1000 9.81 0.5 4905Pa(表压）
流经截面1-1’与2-2’的压强变化为：
P1 P2 (101330 3335) (10330 4905)
P1
(101330 3335)
0.079 7.9% 20%
2020/6/24
在截面1-1’和2-2’之间列柏努利方程式。以管道中心
对稳态流动系统，做物料衡算： 衡算范围：取截面1-1’与截面2-2’间的管段。 衡算基准：1s
2020/6/24
对于稳定系统：
wS1 wS 2 ws uA
u1 A11 u2 A2 2
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面，有：
wS u1A11 u2 A22 L uA 常数
若流体为不可压缩流体，ρ＝Const ，则：
We：输送设备对单位质量流体所做的有效功，
Ne：单位时间输送设备对流体所做的有效功，即有效功率
Ne We ws We Vs
4）当体系无外功，且处于静止状态时：gz1
p1
gz2
p2
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
2020/6/24
5）柏努利方程的不同形式
a) 若以单位重量流体为衡算基准：
gZ1
u12
2
p1
We
gZ 2
u22
2
p2 hf
[pa]
静压强项P可以用绝对压强值代入，也可以用表压强值代入
6）对于可压缩流体的流动，当所取系统两截面之间的绝对
压强变化小于原来压强的20%，即：p1 p2 ＜20%时 p1
仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体
的平均密度ρm代替 。
Z1
u12 2g
p1
g
We g
Z2
u22 2g
p2
g
hf g
令H e
We g
，H f
hf
g
Z1
u12 2g
p1
g
He
Z2
u22 2g
p2
g
H
f
[m]
Z、u2 、 p 、 H
2g g
f
位压头，动压头，静压头、
压头损失
He：输送设备对流体所提供的有效压头
2020/6/24
b) 若以单位体积流体为衡算基准
2020/6/24
理想流体与实际流 体的能量分布对比
2020/6/24
能量转换示意图
2020/6/24
五、柏努利方程式的应用
1. 应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围 根据题意画出流动系统的示意图，并指明流体的流动方 向，定出上下截面，以明确流动系统的衡算范围。
2）截面的截取 两截面都应与流动方向垂直，并且两截面的流体必须是 连续的，所求得未知量应在两截面或两截面之间，截面
流体本身所具有能量和热、功之和就是流动系统的总能量。
2020/6/24
3）总能量衡算 衡算范围：截面1-1’和截面2-2’间的管道和设备。 衡算基准：1kg流体。
设1-1’截面的流体流速为u1，压强 为P1，截面积为A1，比容为v1；截面 2 - 2 ’ 的 流 体 流 速 为 u2， 压 强 为 P2， 截面积为A2，比容为v2。 取 o-o’ 为 基 准 水 平 面 ， 截 面 1 - 1 ’ 和
22.4
293101330
1.20kg / m3
u12
3335
u2 2
4905
2 1.20 2 1.2
化简得：
u22 u12 13733
(a)
由连续性方程有： u1 A1 u2 A2
u2
u1
d1 d2
2
u1
0.08 2
0.02
2020/6/24
u2 16u1
(b)
联立(a)、(b)两式
截面2-2’中心与基准水平面的距离
为Z1，Z2。
2020/6/24
对于定态流动系统：∑输入能量=∑输出能量
Σ输入能量
U1
gZ1
u12 2
p1v1
Qe
We
Σ输出能量
U1 gZ1
u12 2
U2
gZ2
p1v1
u22 2
p2v2
Qe We
U
2
gZ2
u22 2
p2v2
令U U2 U1 gZ gZ2 gZ1
VS
wS
u1A1 u2 A2 L
uA 常数
一维稳定流动 的连续性方程
2020/6/24
对于圆形管道，
u1
4
d12
u2
4
d22
u1 u2
d2 d1
2
表明：当体积流量VS一定时，管内流体的流速与管道直径 的平方成反比。
2020/6/24
四、能量衡算方程
1. 流体流动的总能量衡算
1）流体本身具有的能量 ①内能：物质内部能量的总和。
p
We
hf
将Z
Z2
Z1,
u 2
2
u22 2
u12 2
,
p p2 p1 代入：
gZ1
u12 2
p1
We
gZ2
u22 2
p2
hf
对于理想流体
当没有外功加入时We=0
gZ1
u12 2
p1
gZ 2
u22 2
p2
2020/6/24
——柏努利方程
3. 柏努利方程式的讨论
1）柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动，没有 外功加入时，任意截面上单位质量流体的总机械能即动能、 位能、静压能之和为一常数，用E表示。
u适宜
设备费 u
常用流体适宜流速范围
水及一般液体 粘度较大的液体 低压气体 压力较高的气体
1~3 m/s 0.5~1 m/s 8~15 m/s 15～25 m/s
2020/6/24
二、定态流动与非定态流动
流动系统
定态流动 流动系统中流体的流速、压强、 （稳态流动） 密度等有关物理量仅随位置而改
变，而不随时间而改变
④ 静压能（流动功）：通过 某截面的流体具有的用于 克服压力功的能量。
2020/6/24
流体在截面处所具有的压力：
F pA
流体通过截面所走的距离为：
l V / A 流体通过截面的静压能 Fl pA V pV (J )