211直线的倾斜角和斜率(罗明铁)解读
直线的倾斜角与斜率(解析版)
第5讲 直线的倾斜角与斜率新课标要求①在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
②理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式。
③能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
知识梳理 一、直线的倾斜角定义当直线l 与x 轴相交时,以x 轴为基准,x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角 规定当直线l 与x 轴平行或重合时,规定直线l 的倾斜角为0°记法 α图示范围0°≤α<180°作用(1)表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度;(2)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是:直线上的一个定点以及它的倾斜角,二者缺一不可二、直线的斜率定义(α为直线的倾斜角) α≠90° 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率 α=90°直线斜率不存在记法 常用小写字母k 表示,即k=tan α 范围 R作用用实数反映了平面直角坐标系内的直线的倾斜程度三、直线的斜率公式如果直线经过两点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),(x 1≠x 2),则直线的斜率公式为k=y 2-y1x 2-x 1.四、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图 示五、两条直线垂直与斜率之间的关系对应 关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示名师导学知识点1 直线的斜率与倾斜角及其关系【例1-1】（广州期末）直线2y =-的倾斜角是( ) A ．3πB ．4π C ．6π D ．56π 【分析】利用直线的倾斜角的定义作答．【解答】解：由于直线2y =-([0,))θθπ∈，则tan θ 故它的倾斜角为3π， 故选：A ．【例1-2】（三明期末）已知直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率是( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【分析】直接利用直线的倾斜角求出直线的斜率即可．【解答】解：直线a 的倾斜角为45︒，则a 的斜率为：tan451︒=．故选：A ．【变式训练1-1】（舟山期末）直线1y x =+的倾斜角是( ) A ．6πB ．4π C ．2π D ．34π 【分析】根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ，由直线的方程可得其斜率k ，则有tan 1θ=，结合θ的范围即可得答案．【解答】解：根据题意，设直线1y x =+的倾斜角为θ， 直线的方程为：1y x =+， 其斜率1k =，则有tan 1θ=， 又由0θπ<， 则4πθ=，故选：B ．【变式训练1-2】（钦州期末）直线1y =+的倾斜角为( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】求出直线的斜率，然后求出直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线1y =+的斜率为k =，所以直线的倾斜角为α，tan α=，所以120α=︒． 故选：C ．【例2-1】（南京期末）若直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为( ) A ．23 B ．23-C ．32 D ．32-【分析】由题意利用直线的斜率公式，求得结论．【解答】解：直线l 经过两点(1,3)-，(3,3)-，则直线l 的斜率为3(3)3132--=---，故选：D ．【例2-2】（玉林期末）已知直线l 过点(A -，(2,)B m 两点，若直线l 的倾斜角是23π，则(m = )A ．-B ．0C ．D ．【分析】根据条件，由斜率公式得到关于m 的方程，再求出m 的值．【解答】解：设直线l 的斜率为k ，则2tan 3k π===，故m =- 故选：A ．【变式训练2-1】（徐州期末）已知点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为( ) A ．2-B ．12-C ．12D ．2【分析】由题意利用直线的斜率公式，求出结果． 【解答】解：点(1,6)M ，(7,3)N ，则直线MN 的斜率为631172-=--， 故选：B ．【变式训练2-2】（宁波期末）一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的倾斜角为( ) A ．30°B ．45°C ．135°D ．150︒【分析】由题意利用直线的斜率公式求出直线的斜率，再根据直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的倾斜角．【解答】解：一条直线过点A (1,0)和(2,3)B -，则该直线的斜率为30121-=---， 故该直线的倾斜角为135︒， 故选：C ．知识点3 直线斜率的运用【例3-1】(江西赣州高一期末)已知直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段相交,若直线l 的斜率存在,则直线l 斜率的取值范围为 .【分析】分别求出直线AP 和BP 的斜率,再数形结合即可判断. 【解答】直线AP 的斜率k=3+2-2+1=-5, 直线BP 的斜率k=0+23+1=12,因为直线l 过点P(-1,-2),且与以A(-2,3),B(3,0)为端点的线段 相交,所以k l ≥12或k l ≤-5.则直线l 的斜率的取值范围是(-∞,-5]∪[12,+∞).【例3-2】（红桥区期中）已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线，则x = ．【分析】直接利用直线的斜率相等求出结果．【解答】解：已知(1,2)A -、(2,0)B 、(,3)C x ，且A 、B 、C 三点共线， 所以022302(1)32AB BC k k x --==-==---， 解得：52x =-，故答案为：52-．【变式训练3-1】设点A(3,-5),B(-2,-2),直线l 过点P(1,1)且与线段AB 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A.(-∞,-3 ]∪[1,+∞)B. [-3,1]C.[-1,3]D.以上都不对 【分析】分别求出PA 、PB 的斜率结合图形即可求出. 【解答】如图所示,直线PB,PA 的斜率分别为k PB =1,k PA =-3,结合图形可知k≥1或k≤-3. 故选A.【变式训练3-2】（绍兴期末）已知点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，则2a b -= ． 【分析】三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上，可得AB BC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(1,1)A ，(0,1)B -，(,)C a b 在同一直线上， AB BC k k ∴=，∴111010ba----=--， 化为：21a b -=． 故答案为：1．知识点4 两直线平行的判定【例4-1】（济南校级月考）判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).【分析】斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论. 【解答】(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行.(2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2. 又k AM =3-1-1-0=-2≠-1, 则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.【变式训练4-1】（长高一调研）已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 【分析】分斜率存在和不存在两种情况讨论.【解答】当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-m m -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1.知识点5 两直线垂直的判定【例5-1】（合肥质检）(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.【分析】(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.【解答】解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-a a -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.【变式训练5-1】（全国高二课时练习）已知直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点，直线2l 的倾斜角为135，那么1l 与2l （ ） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线1l 经过()3,4A -，()8,1B --两点 ∴直线1l 的斜率：141138k +==-+ 直线2l 的倾斜角为135 ∴直线2l 的斜率：2tan1351k ==-，121k k ∴⋅=-， 12l l ∴⊥. 知识点6 平行与垂直的综合应用【例6-1】如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.【分析】利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系. 【解答】由斜率公式得k OP =t -01-0=t , k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t,k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t=-1t.所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.【变式训练6-1】（湖南衡阳五中月考）已知在平行四边形ABCD 中，(1,2),(5,0),(3,4)A B C . （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．名师导练A 组-[应知应会]1．（淮安期中）已知直线:3l x π=，则直线l 的倾斜角为( )A ．3π B ．2π C ．4π D ．6π 【分析】根据题意，由直线l 的方程分析可得直线l 是与x 轴垂直的直线，据此可得答案． 【解答】解：根据题意，直线:3l x π=，是与x 轴垂直的直线，其倾斜角为2π； 故选：B ．2．（广陵区校级期中）若直线l 经过坐标原点和(3,3)-，则它的倾斜角是( ) A ．135︒B ．45︒C ．45︒或135︒D ．45-︒【分析】直接用两点式求直线斜率，然后求倾斜角． 【解答】解：由题可知，直线l 的斜率30130k --==--，设倾斜角为α，则tan 1α=-，135α∴=︒． 故选：A ．3．( ) A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【分析】设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，已知tan θ=θ． 【解答】解：设此直线的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，tan θ=，60θ∴=︒． 故选：B ．4．（郑州期末）过两点(0,)A y ，3)B -的直线的倾斜角为60︒，则(y = ) A ．9-B ．3-C ．5D ．6【分析】首先利用点斜式写出直线方程，然后将点A 的坐标代入求值．【解答】解：由题意知，直线AB 的方程为：3y x +=-． 把0x =代入，得36y +=-． 故9y =-． 故选：A ．5．（银川一中高二月考）已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个【答案】D【解析】∵由条件知过A (1,1)，B (1，－3)两点的直线的斜率不存在，而AB ⊥CD ，∴k CD ＝0，即23mn -+＝0，得m ＝2，n ≠－3，∴点(m ，n )有无数个．6．（沙坪坝区校级期末）过点(2,1)A ，(,3)B m 的直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，则实数m 的取值范围是( ) A ．02m <B ．04m <<C ．24m <D ．02m <<或24m <<【分析】由直线的倾斜角的范围求出直线的斜率的范围，再由两点求斜率求出AB 所在直线的斜率，得到关于m 的不等式，求解m 的范围，再由2m =时直线的倾斜角为2π，符合题意，则答案可求． 【解答】解：由直线的倾斜角α的范围是3(,)44ππ，得直线的斜率存在时，有1k <-或1k >． 又31222AB k m m -==--， ∴212m <--或212m >-， 解得02m <<或24m <<． 当直线的斜率不存在时，2m =． 综上，实数m 的取值范围是(0,4)． 故选：B ．7．（公安县期末）若直线l 经过(2,1)A ，(1B ，2)()m m R -∈两点，则直线l 的倾斜角α的取值范围是( ) A ．04παB ．2παπ<< C ．42ππα<D ．324ππα< 【分析】根据题意，由直线过两点的坐标可得直线的斜率k ，分析可得斜率k 的范围，结合直线的斜率k 与倾斜角的关系可得tan 1k α=，又由倾斜角的范围，分析可得答案． 【解答】解：根据题意，直线l 经过(2,1)A ，2(1,)B m -，则直线l 的斜率221121m k m +==+-，又由m R ∈，则211k m =+， 则有tan 1k α=， 又由0απ<，则42ππα<；故选：C ．8．（多选）（惠州期末）如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α，则下列选项正确的是( )A ．132k k k <<B ．321k k k <<C ．132ααα<<D ．321ααα<<【分析】根据直线的图象特征，结合查直线的斜率和倾斜角，得出结论．【解答】解：如图，直线1l ，2l ，3l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，倾斜角分别为1α，2α，3α， 则230k k >>，10k <，故2302παα>>>，且1α为钝角，故选：AD ．9．（多选）（无锡期末）下列关于直线的斜率和倾斜角的叙述正确的有( ) A ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角 B ．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率C ．若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为αD ．若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，得出结论轮．【解答】解：平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，故A 正确； 但由于和x 轴垂直的直线倾斜角等于90︒，故它的斜率不存在，故B 错误；若一条直线的斜率为tan α，则该直线的倾斜角为不一定是α，如330α=︒时，此时，直线的倾斜角为30︒． 若一条直线的倾斜角为(90)αα≠︒，则该直线的斜率为tan α，故D 正确， 故选：AD ．10．（多选）下列命题中正确的为( )A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行；B.若两直线平行，则它们的斜率相等；C.若两直线的斜率之积为1-，则它们垂直；D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为1-. 【答案】AC【解析】当直线12,l l 斜率12,k k 都存在且两直线不重合时,若12k k =，则12l l //；若121k k =-，则12l l ⊥，可知①③正确,当两条直线均与x 轴垂直时，两直线平行，但斜率不存在，可知②错误,当两条直线一条与x 轴垂直，一条与y 轴垂直时，两直线垂直，但与x 轴垂直的直线斜率不存在，可知④错误. 11．（资阳期末）若过点(4,)A a ，(2,3)B -的直线的倾斜角为34π，则a = ． 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率，直线的斜率公式，求得a 的值． 【解答】解：由题意可得33tan 1442a π+=-=-，求得5a =-， 故答案为：5-．12．（宜兴市月考）若直线l 的斜率为1，则直线l 的倾斜角为 ．【分析】设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒，可得tan 1θ=，然后求出θ的值． 【解答】解：设直线l 的倾斜角为θ，[0θ∈︒，180)︒．tan 1θ∴=，解得45θ=︒． 故答案为：45︒．13．（北碚区校级期末）已知两点(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是 ．【分析】由题意画出图形，分别求出PA ，PB 所在直线当斜率，数形结合得答案． 【解答】解：如图，(3,4)A -，(3,2)B ，直线l 经过点(2,1)P -．2(1)332PB k --==-，4(1)132PA k --==---． ∴若直线l 经过点(2,1)P -且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是(-∞，1][3-，)+∞．故答案为：(-∞，1][3-，)+∞．14．（闵行区期末）若直线l 的倾斜角的范围为[4π，)3π，则l 的斜率的取值范围是 ．【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系、三角函数的单调性即可得出． 【解答】解：直线l 的倾斜角[4πθ∈，)3π，则l 的斜率tan [1θ∈． 故答案为：[1．15．已知1,0A ，()3,2B ，()0,4C ，点D 满足AB CD ⊥，且//AD BC ，则点D 的坐标为______ 【答案】()10,6-【解析】设(),D x y ，则2131AB k ==-，422033BC k -==--，4CD y k x -=，1AD yk x =- AB CD ∵⊥，//AD BC 411213AB CD AD BCy k k x y k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩，解得：106x y =⎧⎨=-⎩，即：()10,6D - 16．（金凤区校级期末）若三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，则实数b 等于 ． 【分析】三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上，可得AB AC k k =，利用斜率计算公式即可得出． 【解答】解：三点(3,1)A ，(2,)B b -，(8,11)C 在同一直线上， AB AC k k ∴=，∴11112383b --=---， 即11055b -=-，化为110b -=-． 解得9b =-． 故答案为9-．17．（山东潍坊三中期中）判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.18．（平遥县月考）已知直线l 过点(1,2)A ，(,3)B m ，求直线l 的斜率和倾斜角的取值范围．【分析】设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒，根据斜率的计算公式分类讨论：1m ≠和1m =，倾斜角与斜率的关系求得直线AB 的倾斜角的取值范围． 【解答】解：设直线AB 的倾斜角为θ，0180θ︒<︒， 由题意知，(1,2)A ，(,3)B m ，当1m =时，直线AB 的斜率不存在，此时90θ=︒； 当1m ≠时，直线AB 的斜率321011k m m -==≠--，所以0θ≠︒， 综上得，直线AB 的倾斜角的取值范围是(0︒，90)(90︒︒⋃，180)︒， 斜率的取值范围是{|0}k k ≠．19．（全国课时练）已知()222,3A m m +-，()23,2B m m m --，()21,32C n n +-三点，若直线AB 的倾斜角为45︒，且直线AC AB ⊥，求点A ，B ，C 的坐标． 【解析】()()22232tan 45123ABm mk m m m --===+---， 解得1m =-（舍去），2m =-，∴点()6,1A ，()1,4B -．3211216AC n k n --==-+-，解得85n =，∴点2114,55C ⎛⎫ ⎪⎝⎭.20．（武城县校级月考）（1）求证：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -三点共线．（2）若三点1(2,3),(3,4),(,)2A B m C m --共线，求m 的值．【分析】（1）求出直线的斜率，证明三点共线即可； （2）根据三点共线，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】（1）证明：(1,1)A -，(2,7)B --，(0,3)C -，71221AB K -+∴==--，31201AC K -+==⋯- AB AC K K ∴=又直线AB 与AC 有公共点A ⋯直线AB 与直线AC 为同一条直线即A 、B 、C 设共线 （2）解：题意得直线AB ，AC 的斜率都存在A ，B ，C 三点共线AB AC K K ∴=，即43313(2)(2)2m m ---=----12m ∴=21．（芜湖期末）已知点(5,1)A -，(1,1)B ，(2,)C m ． （1）若A ，B ，C 三点共线，求实数m 的值． （2）若ABC ∆为直角三角形，求实数m 的值．【分析】（1）由A ，B ，C 三点共线，可得AB BC k k =．利用斜率计算公式即可得出．（2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．利用直线相互垂直与斜率之间的关系即可得出．【解答】解：（1）A ，B ，C 三点共线，AB BC k k ∴=．即11(1)2115m ---=--， 解得：12m =． （2）12AB k =-，1BC k m =-，13AC m k +=-．若2ABC π∠=，则1(1)12m --=-，解得3m =． 若2ACB π∠=，1(1)13m m +--=-，解得2m =±． 若2CAB π∠=，11()132m +-⨯-=-，解得7m =-． 故2m =±，3，7-．22．（静宁县校级期末）已知(1,1)M -，(2,2)N ，(3,0)P ． （1）求点Q 的坐标，满足PQ MN ⊥，//PN MQ ．（2）若点Q 在x 轴上，且NQP NPQ ∠=∠，求直线MQ 的倾斜角． 【分析】（1）设(,)Q x y ，根据PQ MN ⊥得出313y x ⨯=--，然后由PN MQ ‖得出121y x +=--，解方程组即可求出Q 的坐标．（2）设(,0)Q x 由NQP NPQ ∠=∠得出NQ NP k k =-，解方程求出Q 的坐标，然后即可得出结果． 【解答】解：设(,)Q x y由已知得3MN k =，又PQ MN ⊥，可得1MN PQ k k ⨯=- 即31(3)3yx x ⨯=-≠-① 由已知得2PN k =-，又PN MQ ‖，可得PN MQ k k =，即12(1)1y x x +=-≠-② 联立①②求解得0x =，1y = (0,1)Q ∴（2）设(,0)Q xNQP NPQ ∠=∠，NQ NP k k ∴=-又22NQ k x=-，2NP k =- ∴222x=- 解得1x = (1,0)Q ∴，又(1,1)M -， MQ x ∴⊥轴故直线MQ 的倾斜角为90︒．23．（孝感期末）已知(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C ，A ，B ，C ，D 四点构成的四边形是平行四边形，求点D 的坐标．【分析】由题意分类讨论，根据直线的斜率即可求出点D 的坐标． 【解答】解：由题，(1,3)A ，(5,1)B ，(3,7)C所以2AC k =，12AB k =-，3BC k =设D 的坐标为(,)x y ，分以下三种情况： ①当BC 为对角线时，有CD AB k k =，BD AC k k =， 所以，125BD y k x -==- 得7x =，y=5.②当AC 为对角线时，有CD AB k k =，AD BC k k =， 所以，331AD y k x -==-- 得1x =-，9y =③当AB 为对角线时，有BD AC k k =，AD BC k k = 所以125BD y k x -==-，331AD y k x -==-- 得3x =，3y =-所以D 的坐标为(7,5)或(1,9)-或(3,3)-．B 组-[素养提升]1．（芜湖期末）已知直线l 方程为(,)0f x y =，11(P x ，1)y 和22(P x ，2)y 分别为直线l 上和l 外的点，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示( )A ．过点1P 且与l 垂直的直线B ．与l 重合的直线C ．过点2P 且与l 平行的直线D ．不过点2P ，但与l 平行的直线【分析】利用点在直线上推出1(f x ，1)0y =，判断2P 与方程的关系，利用直线的平移，推出结论． 【解答】解：由题意直线l 方程为(,)0f x y =，则方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，两条直线平行， 11(P x ，1)y 为直线l 上的点，1(f x ，1)0y =，(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =，化为(f x ，2)(y f x -，2)0y =，显然22(P x ，2)y 满足方程(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =， 所以(f x ，1)(y f x -，12)(y f x -，2)0y =表示过点2P 且与l 平行的直线． 故选：C ．2．（全国月考）中国古代近似计算方法源远流长，早在八世纪，我国著名数学家张遂在编制《大衍历》中发明了一种二次不等距插值算法：若函数()y f x =在1x x =，2x x =，3123()x x x x x =<<处的函数值分别为11()y f x =，22()y f x =，33()y f x =，则在区间1[x ，3]x 上()f x 可以用二次函数来近似代替：111212()()()()f x y k x x k x x x x =+-+--，其中21121y y k x x -=-，3232y y k x x -=-，131z k k k x x -=-．若令10x =，22x π=，3x π=，请依据上述算法，估算sin5π的值是( )A ．1425 B ．35C ．1625D ．1725【分析】根据题意设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，计算对应的1y 、2y 、和3y 的值，求出1k 、2k 和k 的值，代入题目中的二次函数计算即可． 【解答】解：设()sin y f x x ==，且10x =，22x π=，3x π=，则有10y =，21y =，30y =；所以11022k ππ-==-，0122k πππ-==--，224k π=-，由2111212244()()()()f x y k x x k x x x x x x ππ≈+-+--=-+，可得2244sin x x x ππ≈-+，224416sin()55525πππππ≈-⨯+⨯=． 故选：C ．3．（越城区校级期中）已知两点(1,2)A -，(,3)B m ．且实数[1m ∈-1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．【分析】分类讨论，当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，再利用正切函数的单调性求出倾斜角α的范围 【解答】解：①当1m =-时，直线AB 倾斜角2πα=；②当1m ≠-时，直线AB 的斜率为11m +，1[m +∈， 1(1k m ∴=∈-∞+，3[3，)+∞， [6πα∴∈，)(22ππ⋃，2]3π，综合①②知，直线AB 的倾斜角[6πα∈∈，2]3π．。
北师大版高中数学必修2课件：2-1-1直线的倾斜角和斜率 共17张 精品
引入新知
直线的倾斜角
y
.
Q
o
P
x
直线的倾斜角
定义：在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时， 把x轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋 转到和直线l重合所成的角叫作直线l的倾斜角.
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
30。
l与y轴平行 30。 l与x轴平行
坡度
坡面的铅直高度 水平长度
想一想
结论：坡度越大，楼梯越陡．
直线的斜率 y
O
x
定义：我们把一条直线的倾斜角 ( 90 )的正切值
叫作这条直线的斜率，通常用小写字母k来表示.
即：k tan
直线的斜率
k tan
y
0。 90。
y 90。 180。
k (0, )
O
x
(1)
y
90。
k (,0)
说法是正确的（ D,F ）
A.任一条直线都有倾斜角，也都有斜率； B.直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； C.平行于x轴的直线的倾斜角是0或π； D.两直线的斜率相等，它们的倾斜角相等； E.两直线的倾斜角相等，它们的斜率相等； F.直线斜率的范围是(－∞，＋∞).
例题解析
例3. 如图，直线l1 的倾斜角α1=300，
()
课堂小结
1. 直线的倾斜角和斜率的概念； 2. 根据倾斜角和斜率的概念解决
相关问题； 3. 利用斜率公式解决问题； 4. 数形结合思想，函数思想.
课后作业
作业:P76习题2-1 1，2， 3.
直线的倾斜角与斜率
题型分类·深度剖析
思想与方法
16.分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例：(12 分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、 AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠， 使 A 点落在线段 DC 上．若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在 直线的方程．
审题视角
规范解答
温馨提醒
题型分类·深度剖析
思想与方法
16.分类讨论思想在求直线方程中的应用
典例：(12 分)在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD，AB＝2，BC＝1，AB、 AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合．将矩形折叠， 使 A 点落在线段 DC 上．若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在 直线的方程．
(1)直线的倾斜角与斜率的 关系 斜率 k 是一个实数，当倾斜 角 α≠90°时，k＝tan α.直线 都有倾斜角，但并不是每条 直线都存在斜率，倾斜角为 90°的直线无斜率． (2)①求直线方程时，若不能 断定直线是否具有斜率时， 应对斜率存在与不存在加 以讨论．②在用截距式时， 应先判断截距是否为 0，若 不确定，则需分类讨论．
审题视角
规范解答
温馨提醒
解 (1)当 k＝0 时，此时 A 点与 D 点重合，折痕所在的直线方程为 y＝12. 2分 (2)当 k≠0 时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)， 4分
所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，
有 kAG·k＝－1，1ak＝－1⇒a＝－k.
6分
故 G 点坐标为 G(－k,1)，从而折痕所在的直线与 AG 的交点坐标(线段 AG
3.1直线的倾斜角与斜率解析
x
一、直线的倾斜角:
1、定义:
y
当直线l与x轴相交时，
我们取x轴作为基准，x轴
正向与直线l向上方向之间 o
所成的角 叫做直线的
倾斜角。
l
x
规定:1.当直线与x轴平行或重合时， 00 2.当直线与x轴垂直时， 900
按倾斜角分类，直线可分几类？
y
p
l
o
x
y
l
p
o x
y
ly
p
o
x
p
o
x
l
2、范围: 0 a 180
y
y2
P2 (x2, y2 )
k y2 y1
y1
P1(x1, y1)
x2 x1
o
x 答：斜率不存在，
因为分母为0。
三、直线的斜率公式:
经过两点 P1(x1, y1), P2 (x2, y2 ) (x1 x2 )
的直线的斜率公式：
k y2 y1 (或k y1 y2 )
x2 x1
x1 x2
（4）斜率公式：k
y2 x2
y1 x1
(或k
y1 y2 ) x1 x2
2、思想方法：类比；几何问题代数化
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准,x轴正方向与直线l向上 的方向所成的角叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率，常用k来表示.
P2 P1
P1 P2
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2 , y2 )的直线的斜率公式:
k
y2 x2
y1 x1
人教版选修一2.1.1直线的倾斜角与斜率课件
点、直线、圆等几何图形.
几何
问题
转化
代数
结果
代数
问题
小结提升 布置作业
教科书习题2.1第1，2，3，4，7，8题.
自主探索 建构概念
除90°外
一 一对应
一 一对应
坐标法
x2 x1
当直线P1P2与x轴平行或重合时，上述式子还
成立吗？为什么？
y2 y1
tan
x2 x1
自主探索 建构概念
我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用k表示,
即
k tan
当直线的倾斜角由0°逐渐增大到180°时，
其斜率如何变化？为什么？
除0°外
一个点、一个方向
2
自主探索 建构概念
下面我们利用直角坐标系进一步研究确定直线位置的几何要素.视察
经过定点P的直线束，这些直线的区分是什么？
你能利用直角坐标系中的一些元素将这些直线区分开来吗？
方向不同
相对于x轴的倾斜程度不同
与x轴所成的角不同
倾斜角：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与
直线 l 向上的方向之间所成的角α，叫做直线l的倾斜角.
自主探索 建构概念
你认为直线的倾斜角的取值范围是什么？
倾斜角的取值范围：
一
一
对
应
规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0°.
直线的倾斜角为180°可以么？说说你的理由.
自主探索 建构概念
设P1(x1,y1),P2(x2,y2)（其中x1≠x2）是直线 l 上的两点，由两点确定一条直线可知，直线
的斜率,并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
11.2直线的倾斜角和斜率 课件 (共22张PPT)
问题 5 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角 一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？
答 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角； 不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角 是相同的；因此，只有倾斜角不能确定直线的位置；确定 一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的 倾斜角，两者缺一不可．
(4)k＝－26－－－ 3 2＝0，所以倾斜角为 0°.
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为 1， －1，2 及－3 的直线 l1，l2，l3 及 l4.
解 设直线 l1 上的另一个点 A1 的坐标 为(x，y)，根据斜率公式有 1＝xy－－00， 所以 x＝y,令 x＝1，y=1，于是点 A1 的坐标为(1,1)．此时过原点和点 A1(1,1)，可作直线 l1,如图所示.同理, l2 是过原点及 A2(1，－1)的直线，l3 是 过原点及 A3(1,2)的直线，l4 是过原点及 A4(1，－3)的直线．可作直线 l2，l3，及 l4.
倾斜角 (范围)
斜率 (范围)
α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<
180°
斜率不存
0
大于 0
小于 0
在
问题探究点一 直线的倾斜角及斜率的概念 导引 对于平面直角坐标系内的一条直线 l，它的位置由哪
些条件确定呢？ 问题 1 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，
经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？ 答 不能确定． 问题 2 过一点 P 可以作无数条直线，它们都经过点 P，这 些直线区别在哪里呢？ 答 它们的倾斜程度不同．
3.1.1-2直线的倾斜角与斜率PPT课件
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时，取x轴作为基准， x轴正向与直线l向上方 向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角.
倾斜角不是900的直线，它的倾斜角的正切叫做 这条直线的斜率，常用k来表示.
经过两点P1(x1, y1), P2 (x2, y2 )的直线的斜率公式:
（1）若 1 k<1，求的范围
（2）若 < 3 ，求k的范围
4
4
点评：1、已知斜率k的范围，求倾斜角范围时，
从0点断开分类讨论.
2、已知倾斜角范围，求斜率k的范围时，
从900断开分类讨论.
例５，过点Ｐ(２，-１)作直线Ｌ与线段ＡＢ有 公共点，Ａ(-3，４),Ｂ(３，２)
（1）求直线l倾斜角的范围.
（2）求直线l的斜率k的范围.
4.判断正误:
(1)直线的倾斜角为,则直线的斜率为tan;( X )
(2)直线的斜率值为tan,则直线的倾斜角为;( X )
(3)因为所有的直线都有倾斜角,故所有的直线都有
斜率;( X )
(4)因为平行于y轴的直线斜率不存在,所以平行于y
轴的直线的倾斜角不存在;( X )
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率
k AB
22 84
0
.
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率
kBC
22 0 (8)
4 8
1 2
C
直线CA的斜率
kCA
2 (2) 40
4 4
1
∵ kAB 0 ∴直线AB的倾斜角为零度角。
必修二直线的倾斜角与斜率讲义
3.1 直线的倾斜角与斜率一、直线的倾斜角：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x ．轴正方向．．．．与直线．．．l 向上方向之间所成的角．．．．．．．．．．α叫做直线．．．．l 的倾斜角．．．．，当直线l 与x 轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为00，因此直线的倾斜角的取值范围为00≤α＜1800。
注意：（1）定义中的三个条件：①直线l 方向向上，②x 轴的正方向，③小于平角的最小正角；（2）直线的倾斜角可看作由x 轴按逆时针方向转动到直线时所成的角；（3）倾斜角α的取值范围：00≤α＜1800； （4）倾斜角是一个几何概念，它直观地描述且表现了直线相对于x 轴正方向的倾斜程度。
例1：下列四图中，表示直线的倾斜角正确的是( )【解析】：A二、直线的斜率：我们把一条直线的倾斜角．．．α的正切值．．．．叫做这条直线的斜率，通常用k 表示，即k ＝tan α。
特别地：当直线的斜率．．．．．．角为．．90．．0．时，直线没有斜率．．．．．．．．。
注意：（1）当倾斜角为900时，直线的斜率不存在，但并不是直线不存在，此时直线垂直于x 轴(平行于y 轴或与y 轴重合)；（2）所有的直线．．．．．都有倾斜角，但不是所有的直线有斜率；．．．．．．．．．．．．．．．．．．（3）倾斜角与斜率之间的关系以及函数图象（如图）例2：给出下列结论：（1）直线的倾斜角不是锐角就是直角或钝角；（2）如果直线的倾斜角是锐角，那么直线的斜率是正实数；（3）如果直线的倾斜角是钝角，那么直线的斜率是负实数；（4）如果直线的倾斜角是直角，那么直线上不同的两点的横坐标相等，而纵坐标不等。
其中，正确的结论是________________。
（填序号） 【解析】：（2）（3）（4）例3：下列说法中，正确的是（ ）A ：直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α B ：直线的斜率为tan θ，则此直线的倾斜角为θ C：若直线的倾斜角为α，则sin α＞0ACD ：任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率 【解析】：D例4：若直线l 的倾斜角300＜α＜600，则直线l 的斜率的范围为____________。
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课题：直线的倾斜角和斜率（第一课时）教案江西省吉安市安福县安福中学罗明铁【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义。
③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
（3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的作用。
【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程。
【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合。
【教学手段】多媒体辅助课堂教学。
【教学过程】创设情境，导入新课利用水上乐园的滑梯这情境，向学生设问坐哪个滑梯更刺激，速度更快？为什么？（学生回答）滑梯的陡峭与平缓反映滑梯的倾斜程度，这一节课我们要学习反映直线倾斜程度的两个几何量——倾斜角与斜率，从而揭示课题。
问题情境，形成概念问题1、在平面直角坐标系内，过两点可以画几条直线？过一点可以画几条直线？问题2、与x轴正方向成30º角的直线有多少条?过定点P且与x轴正方向成30º角直线有多少条？ylpoxy poxlpoy xlpoy xlααα(1) (2) (3)(4)引导学生得出倾斜角的意义和概念。
师生互动，新课探究一、 倾斜角的定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，把x 轴（正方向）按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l 重合所成的角，叫做直线l 的倾斜角。
规定：当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0º. 思考：把谁旋转，怎样旋转，旋转到什么位置？ 练习：下列四图中，表示直线的倾斜角的是( )问题3、在平面直角坐标系中，过点P 的直线的倾斜角可分为哪几类？当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 ，数形结合得出倾斜角的范围是0 ≤α＜180 回顾旧知，迁移应用(1)对于生活中斜坡，我们是用什么量刻画它的倾斜程度？ （坡角与坡度）(2)坡度定义是什么？tan ()αα==铅直高度坡度为坡角水平长度（3）坡度随坡角α变化如何变化？斜坡−−−→迁移平面直角坐标系中的直线 坡角−−−→对应直线的倾斜角 坡度−−−→对应直线的斜率。
二、直线的斜率上图图(1)中倾斜角为锐角，图中横坐标x 从0到1增加一个单位，纵坐标y 从0增加到k(k>0),我们称k 为这条直线的斜率。
tan APk OAα==，右图图(2)中倾斜角为钝角，当横坐标x 从0到1增加1个单位时，纵坐标y 从0减少了k （k>0），我们称－k 为这条直线的斜率。
倾斜角为钝角时，直线的斜率可转化到其补角(180º-α)来求. 思考：倾斜角为0º时，斜率是多少？倾斜角为90º时呢？2、直线的斜率：倾斜角不是90 的直线，其倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率。
斜率通常用k 表示，即k=tan α (0º≤α<90º或90º<α<180º)倾斜角是90 °的直线的斜率不存在。
讨论交流，加深理解问题4、当倾斜角变化时，斜率k 如何变化？（动画演示）新知演练 及时反馈例1 .直线 l 1、 l ２、 l ３ 、 l 4的斜率分别是k 1、 kpoyxlp oyxlαp oyxlαy poxlα直线平行于x 轴或与x 轴重合，此时直线的倾斜角为0°， k =0。
直线的倾斜角为锐角，k >0； 随着直线的倾斜角增大，k 值增大。
垂直于x 轴的直线的倾斜角为90°，但其斜率不存在。
o o90180α<<o o090α<<o90α=o0α=直线的倾斜角为钝角， k <0 ； 随着直线的倾斜角增大，k 值增大。
)180tan(tan APαθ-︒-=-=-=-=OAk k l 则斜率为：,45的倾斜角为例如：直线 l 145tan == k则斜率为：,120的倾斜角为直线 l 360tan 120tan -=-==k２、k ３、 k 4 ，试比较斜率的大小.巩固练习：下列说法正确的是（ D ） A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 ; B 、直线的倾斜角越大，斜率也越大; C 、平行于x 轴的直线的倾斜角是0º或180º; D 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等. 三、过两点的直线斜率计算公式问题5、在平面直角坐标系中，已知直线上两点P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）且x 1 ≠ x 2，怎样用P 1 、P 2的坐标来表示直线斜率k ？解：设直线P 1 P 2倾斜角为α（≠α90 ）,过点P 1作x 轴的平行线，过点P 2作y 轴的平行线，两线交于点Q ，则点Q 为（x 2，y 1） （1）当α为锐角时，21P QP ∠=α12121221tan tan x x y y Q P QP P QP k --==∠==α （2）当α为钝角时，180θα=-（设21P QP ∠=θ），αtan 0tan(180)tan αθ=--=- 12122112tan x x y y x x y y ---=--=θ 1212tan x x y y --=∴α 即1212x x yy k --= 综上，无论α为锐角或钝角，都有1212tan x x y y --=α，即1212x x y y k --=例2.（1）A （2, 3）,B （6,5） （2）A （－3,5）,B （4,－2） （3）A （3,2）,B （-4,2） （4）A （3，2），B （a ，4）.思考题：已知A （1，－5），B （5，3），C （－4，a ）在同一条直线上，求实数a 的值。
小结：1、直线的倾斜角的定义，范围：0 ≤α＜180 ； 2.直线斜率的定义：k=tan α（0≤α＜180且α≠90°）3．直线斜率的求法：（1）定义法: k=tan α（0 ≤α＜180 且 90≠α）（2）坐标法： 12()x x ≠ 板书设计直线的倾斜角与斜率2121.y y k x x -=-1、倾斜角的定义 范围0 ≤α＜180直线斜率定义：k=tan α（0 ≤α＜180 且 90≠α）3．斜率求法：（1）定义法: k=tan α（0 ≤α＜180 且 90≠α）（2）坐标法：12()x x ≠ 布置作业：课本P63：第1、3、5题说明一、授课内容的数学本质与教学目标定位直线的倾斜角和斜率属于解析几何初步的入门内容，解析几何的本质是用代数方法研究图形的几何特征，在这一主导思想的指导下，教材突出了代数语气描述的几何对象，将几何问题代数化的过程，正是认识与理解“几何→代数→几何”这一循环上升过程的体现，内容安排上重视几何直观，编排了探索确定直线的几何要素。
直线的倾斜角和斜率知识目标是让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念。
通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式。
能力目标是通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力。
通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想。
情感目标是通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位。
通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神。
二、学习本节内容的基础及今后的作用学习本节内容的基础。
高一学生已经学过数轴和平面直角坐标系知识，知道实数和数轴上的点一一对应，平面上的点和有序实数对一一对位。
在此基础上学2121.y y k x x -=-习直线的倾斜角和斜率，对理解直线和倾斜角之间的一一对应关系不是太难。
高一学生的认知水平从形象向抽象，从特殊向一般过渡，思维能力的提高是一个转折期，学生的自主意识强，有主动学习的愿望与能力。
学习本节内容对今后的用处。
首先利用直角坐标系中的不同直线，让学生直观感知确定直线的两个主要几何要素——一个点和一个方向（即倾斜角），并以此为基础引出用解析几何解决问题的基本方法，其次利用代数方法刻画直线的方向，从而定义直线的倾斜角和斜率，最后推导出过两点的直线的斜率的计算公式。
探索确定直线的几何要素的主要意图在于突出解析几何的直观性，让学生在充分把握几何特征的基础上学习如何利用代数方法刻画几何问题。
在给出直线的斜率定义前，利用生活中的实例给出了坡度定义，这样处理的目的有两个，一是考虑到知识所限，学生并没有学习正切函数，不能用倾斜角直接来定义斜率；二是用坡度来定义斜率，反映了当x轴方向上发生单位变化时y的变化，这种定义方式蕴涵了导数的思想，可以为将来导数的学习做铺垫。
斜率随倾斜角的变化规律是今后解决线性规划问题的基础。
在物理学中，研究斜面问题也与倾斜角有关。
所以在本节课的教学中，要注重知识的发生与发展过程，首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何元素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决问题，要通过学生的自主探索活动，使学生理解数学概念，结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法。
三、教学诊断分析学生对确定直线的两个要素比较容易理解，另外高一学生已经学过坡度的概念，所以利用坡度的概念来引出斜率的概念学生比较容易接受，有利于突破本节课的难点，学生容易误解的地方有：1、当直线与x轴平行或重合时，会误以为倾斜角可以为0°或180°。
2、学生容易误解为斜率总是正数。
3、学生对x=a这种直线把斜率不存在，误以为倾斜角也不存在。
4、当倾斜角0°≤α＜90°时，倾斜角越大，直线的斜率越大，当倾斜角90°＜α＜180°时，倾斜角越大，直线的斜率就越大，学生会误以为倾斜角在0°到180°时，倾斜角越大，斜率越大。