高中物理-第一宇宙速度推导过程
三个宇宙速度的多种推导及教学启示
龙源期刊网 三个宇宙速度的多种推导及教学启示作者：汪计朝李兴来源：《中学物理·高中》2015年第03期高中物理（必修2）中的《宇宙航行》一节对三个宇宙速度概念的描述及第一宇宙速度的推导，这一内容的引入对于中学阶段的学生来说具有非常重要的意义，也是对人类飞天从梦想到圆梦这一历史进程的回顾.教参及高考都明确要求学生掌握三个宇宙速度的含义和数值，并且会推导第一宇宙速度.然而笔者在教学过程中发现，许多学生在学完第一宇宙速度之后，总是在不断询问和疑惑另外两个宇宙速度的推导过程.笔者觉得，作为一名合格的高中物理教师，不仅仅要传授给学生必备的高考知识，更应该去帮助学生答疑解惑，并且以此来激发学生的科学探究精神，进而来拓展他们想象和思考的空间，而不是单纯的把问题留给学生.下面笔者分别采用多种方法来推导这三个宇宙速度，以期起到抛砖引玉的作用.1第一宇宙速度v1=7.9 km/s的推导法一当一颗卫星被发射后在地球表面附近绕地球做匀速圆周运动而不落回地面，此时卫星具有的速度即为第一宇宙速度v1.设地球质量为M，卫星质量为m，卫星到地心的距离为r，由圆周运动知识得3第三宇宙速度v3=16.7 km/s的推导在思考第三宇宙速度的求解方法时，许多同学都倍感困惑，感到是“老虎吃天——无从下口”.其实，从推导第二宇宙速度的解法模型中我们可以知道：如何求将一个离太阳1.5亿公里的相对于太阳静止的物体脱离太阳引力束缚需要的速度v1′的方法；再考虑到地球公转速度的因素，发射速度会相应的减小到v2′；最后再将发射时地球引力的影响因素考虑进去，还需要克服地球引力做功，速度再相应的增大至某一速度，这个速度就是第三宇宙速度v3.根据以上的分析不难得一个地球上的物体要想摆脱太阳的引力束缚，同时还要摆脱地球的引力束缚，其发射速度必须大于或者等于16.7 km/s，因此第三宇宙速度又叫逃逸速度.综上所述，对三个宇宙速度的推导过程中，不仅要涉及到物理上的运动的合成与分解、能量守恒定律、圆周运动规律以及参考系的选取，还要用到数学上的微积分知识等.这些规律的综合运用，必然对于完善学生的知识结构、激发学生的求知探索能力大有脾益，特别是对于尖子生的培养将会起到极大的促进作用.。
高中物理必修二 第三章 第四节 宇宙速度与航天
甲
乙
答案 由 Gmr地2m＝mvr2＝mω2r＝m4Tπ22r 可知，卫星的线速度大小、角
速度、周期与其轨道半径有关.
知识深化
1.人造地球卫星 (1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步 轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以 和赤道平面成任意角度，如图所示. (2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向 心力，所以卫星圆轨道的圆心必定是地心.
D.36 km/s
由 GMRm2 ＝mvR2得，v＝
GM R
又MM月 地＝811，RR地月＝14
故月球和地球的第一宇宙速度之比v月＝ v地
MM月地·RR月地＝
811×41＝29
故 v 月＝7.9×29 km/s≈1.8 km/s，
即该探月卫星绕月运行的最大速率约为1.8 km/s，因此B项正确.
针对训练
知识深化
2.近地卫星、同步卫星、极地卫星和月球 (1)近地卫星：地球表面附近的卫星，r≈R；线速度大小v≈7.9 km/s、 周期T＝2πvR ≈85 min，分别是人造地球卫星做匀速圆周运动的最大 速度和最小周期. (2)同步卫星：位于地球赤道上方，相对于地面静止不动，它的角速 度跟地球的自转角速度相同，广泛应用于通信，又叫同步通信卫星. 同步卫星离地面高度约为36 000 km.
由万有引力提供，GMRm2 ＝mvR2，解得 v＝
GM R.
导学探究
(3)已知地球半径R＝6 400 km，地球表面的重力加速 度g＝10 m/s2，则物体环绕地球表面做圆周运动的速 度多大？ 答案 当其紧贴地面飞行时，r≈R，由 mg＝mvR2得 v＝ gR＝8 km/s.
知识深化
1.第一宇宙速度
答案 当抛出速度较小时，物体做平抛运动.当物体刚好不落回地面时， 物体做匀速圆周运动.当抛出速度非常大时，物体不能落回地球.
1第一宇宙速度的推导
1.第一宇宙速度的推导人造卫星在地面附近绕地球做匀速圆周运动时，其轨道半径近似等于地球半径R ，其向心力为地球对卫星的万有引力，其向心加速度近似等于地面处的重力加速度，设地球质量为M .根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得G 2RMm =m R v 2解得v =624111037.61089.51067.6⨯⨯⨯⨯=-R GM m/s=7.9 km/s 或mg =m Rv 2解得v =61037.68.9⨯⨯=gR m/s=7.9 km/s2.人造卫星的加速度、速度、角速度、周期跟轨道半径的关系人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的向心力为地球对卫星的万有引力.根据万有引力定律和匀速圆周运动的规律可得 G 2R Mm =ma =m r v 2=m ω2r =m r T224π 所以a =rGM ，随着轨道半径的增大，卫星的向心加速度减小. v =rGM ，随着轨道半径的增大，卫星的线速度减小.第一宇宙速度是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，是发射卫星的最小速度.ω=3r GM，随着轨道半径的增大，卫星的角速度减小.T =2πGMr 3，随着轨道半径的增大，卫星绕地球运动的周期增大.近地卫星的轨道半径最小（近似看作等于地球半径），所以，近地卫星的周期最小.近地卫星的周期约为84.4min ，所有绕地球运行的卫星的周期都不会小于84.4min.3.卫星的轨道卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道.卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律.这类问题在中学物理中很少讨论.卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以，地心必然是卫星圆轨道的圆心.卫星的轨道平面可以在赤道平面内（如同步卫星），也可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度.4.同步卫星同步卫星指在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运动的卫星，同步卫星又叫通讯卫星.同步卫星有以下几个特点：（1）周期一定：同步卫星在赤道上空相对地球静止，它绕地球的运动与地球自转同步，它的运动周期就等于地球自转的周期，即T =24h .（2）角速度一定：同步卫星绕地球运动的角速度等于地球自转的角速度.（3）轨道一定：由于同步卫星绕地球的运动与地球的自转同步，这就决定了同步卫星的轨道平面应与赤道平面平行.又由于同步卫星绕地球运动的向心力是地球对卫星的万有引力，这又决定了同步卫星圆周运动的圆心为地心.所以，所有同步卫星的轨道必在赤道平面内.由于所有同步卫星的周期都相同，由r =3224GMT 知，所有同步卫星的轨道半径都相同，即同步卫星都在同一轨道上绕地球做匀速圆周运动，其轨道离地面的高度约为3.５９×１０４ km.(4)环绕速度大小一定：所有同步卫星绕地球运动的线速度的大小是一定的，都是３.０８ km/s.（5）向心加速度大小一定：所有同步卫星由于到地心距离相同，所以，它们绕地球运动的向心加速度大小都相同，约为0.23 m/s 2.。
第一宇宙速度计算方法
第一宇宙速度计算方法
本文将介绍第一宇宙速度的计算方法。
第一宇宙速度是指一个物体能够逃离地球引力的最低速度，也是进入太空必须达到的速度。
其计算公式如下：
v1 = √(GM/r)
其中，G为引力常数，M为地球质量，r为物体距离地心的距离。
通过这个公式，我们可以计算出第一宇宙速度。
例如，当物体距离地心的距离为6371千米时，其第一宇宙速度为7.9千米/秒；当物体距离地心的距离为200千米时，其第一宇宙速度为11.2千米/秒。
需要注意的是，这里的计算结果是理论值，实际情况中可能会受到多种因素的影响，如大气阻力、重力势阱等。
因此，在实际工程中需要考虑这些因素，进行相应的修正和控制。
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三大宇宙速度的推导公式
三大宇宙速度的推导公式首先来推导地球绕太阳公转的速度。
地球绕太阳公转的速度可以通过以下公式推导得到：F=G*(M*m)/r²其中，F表示太阳对地球的引力，G表示万有引力常量，M表示太阳的质量，m表示地球的质量，r表示地球距离太阳的距离。
太阳对地球的引力提供了地球沿着椭圆轨道绕太阳公转的向心力。
根据在圆周运动中的向心力和离心力平衡的条件，可以得到公式为：F=m*v²/r其中，v表示地球绕太阳公转的速度。
将上面两个公式联立，可以得到：G*(M*m)/r²=m*v²/r消去m，可以得到：v=√(G*M/r)这个公式表示地球绕太阳公转的速度与太阳的质量、地球与太阳的距离有关。
接下来推导地球自转的速度。
地球自转的速度可以通过以下公式推导得到：v=2πr/T其中，v表示地球自转的速度，r表示地球的半径，T表示地球自转一周所花费的时间。
地球的半径可以用平均半径r0来近似表示，T可以用地球的自转周期T0来近似表示。
因此，地球的自转速度可以近似表示为：v=2πr0/T0最后推导地球脱离太阳的逃逸速度。
地球脱离太阳的逃逸速度可以通过以下公式推导得到：E=K+U其中，E表示地球相对于太阳的总机械能，K表示地球的动能，U表示地球受到太阳引力的势能。
地球相对于太阳的总机械能为负值，因为地球处于太阳的引力场中，所以E小于0。
动能K可以用1/2mv²表示，其中m表示地球的质量，v表示地球脱离太阳的速度。
势能U可以用-GMm/r表示，其中G表示万有引力常量，M表示太阳的质量，r表示地球与太阳的距离。
将上面两个公式联立，可以得到：E = 1/2mv² - GMm/rE小于0，所以：1/2mv² < GMm/r消去m，可以得到：v²<2GM/r地球脱离太阳的逃逸速度v可以近似表示为：v=√(2GM/r)这个公式表示地球脱离太阳的逃逸速度与太阳的质量、地球与太阳的距离有关。
第一宇宙速度计算公式
第一宇宙速度计算公式
1.地球的质量：我们用M表示地球的质量。
2.地球的半径：我们用R表示地球的半径。
根据万有引力定律，任何两个物体之间的引力大小可以通过以下公式计算：
F=G*(m1*m2)/r^2
其中，F表示物体之间的引力，m1和m2分别表示两个物体的质量，r 表示两个物体之间的距离。
现在我们考虑一个质量为m的小物体，它位于地球表面上的半径为R 的点上，距离地球中心的距离为R，即r=R。
这个小物体受到的引力可以通过以下公式计算：
F=G*(m*M)/R^2
另一方面，根据牛顿第二定律，这个小物体的向心加速度可以通过以下公式计算：
F=m*a_c
其中，a_c表示向心加速度。
将上述两个公式联立起来，可以得到以下结果：
G*(m*M)/R^2=m*a_c
通过简单的变换，我们可以得到以下结果：
a_c=G*M/R^2
再根据圆周运动的加速度公式
a_c=v^2/R
将上述两个公式联立起来，可以得到以下结果：
v^2/R=G*M/R^2
通过简单的变换，可以得到以下结果：
v^2=G*M/R
最后，将地球的半径R和质量M代入上述公式，根据相关的物理常数，可以得到第一宇宙速度的计算公式：
v = sqrt(G * M / R)
其中，sqrt表示开方操作。
这个公式可以帮助我们计算出一个物体在重力场中所需要的最小速度，以便绕地球轨道运行。
需要注意的是，该公式仅适用于在地球附近的轨道
运动，其他星球和天体的第一宇宙速度需要根据其质量和半径重新计算。
同时，上述公式忽略了大气阻力和其他影响因素，因此只适用于理想情况
下的理论计算。
三种宇宙速度的计算方法
三种宇宙速度的计算方法一、第一宇宙速度。
1.1 概念理解。
第一宇宙速度啊，那可是个很奇妙的东西。
简单来说呢，就是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度。
想象一下啊，就像有个小卫星，紧紧地贴着地球表面飞行，但又不掉下来，这个速度就是第一宇宙速度。
从理论上讲呢，这个速度能让物体刚刚好克服地球的引力，进入到一种圆周运动的状态。
就好比一个调皮的小孩，在地球这个大操场的边缘，以刚刚好的速度跑圈，既不会飞出去，也不会掉进来。
1.2 计算方法。
那这个速度怎么算呢？咱们得用到一些物理知识。
根据万有引力提供向心力这个原理，咱们有公式G(Mm)/(R^2) = mfrac{v^2}{R}。
这里面G是引力常量，M是地球的质量，m是卫星的质量，R是地球的半径，v就是咱们要求的第一宇宙速度啦。
经过计算啊，v=√(frac{GM){R}}。
把地球的质量M = 5.97×10^24kg，地球半径R = 6371km = 6.371×10^6m，引力常量G = 6.67×10^11N· m^2/kg^2代入进去，就能算出第一宇宙速度大约是7.9km/s。
这就像是解开了一道神秘的密码，这个速度就是进入地球轨道的入门钥匙呢。
二、第二宇宙速度。
2.1 概念剖析。
第二宇宙速度呢，它比第一宇宙速度更厉害。
如果说第一宇宙速度是让物体在地球周围转圈的速度，那第二宇宙速度就是让物体彻底摆脱地球引力束缚的速度。
就像一个勇敢的探险家，想要离开地球这个家，到更广阔的宇宙空间去闯荡，那他就得达到这个速度才行。
这时候啊，物体就不再被地球的引力拉着做圆周运动了，而是可以飞向远方，“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的感觉。
2.2 计算原理。
它的计算也有自己的门道。
第二宇宙速度v_2和第一宇宙速度v_1是有关系的。
实际上v_2=√(2)v_1。
咱们前面算出了第一宇宙速度v_1 = 7.9km/s，那么第二宇宙速度v_2=√(2)×7.9km/s≈11.2km/s。
星球第一宇宙速度计算公式
星球第一宇宙速度计算公式星球第一宇宙速度是指一个物体需要达到的速度，以克服该星球引力而能够离开其表面的最小速度。
这是一个非常有趣和重要的概念，因为它关乎到人类探索宇宙的能力和其他星球的可达性。
在本文中，我们将介绍星球第一宇宙速度的计算公式，并解释其背后的原理。
首先，让我们来看看星球第一宇宙速度的计算公式。
根据物理学原理和牛顿第二定律，我们可以得到以下公式：v = √(2GM/r)其中，v表示需要达到的速度，G是万有引力常数，M是星球的质量，r是物体离开表面的距离。
这个公式告诉我们，星球第一宇宙速度与星球质量和物体距离的平方根成正比。
也就是说，当星球质量增加或者物体离星球表面距离减小时，第一宇宙速度也会增加。
这是因为质量大的星球会产生更强的引力，需要更高的速度才能克服它，而离星球表面更近的物体则能感受到更大的引力，同样需要更高的速度才能逃逸。
了解了计算公式，我们可以进一步了解星球第一宇宙速度的意义和指导意义。
首先，星球第一宇宙速度是人类探索宇宙的基础。
只有达到了该速度，人造卫星、火箭或者宇宙飞船才能够逃离地球引力束缚，进入太空并进行宇宙探索任务。
其次，了解星球第一宇宙速度可以帮助我们设计和计划探测任务。
通过计算星球质量和物体离表面距离，我们可以确定所需的第一宇宙速度，从而决定推进器的尺寸、能源需求等。
这对于实施太空任务的成功非常重要。
另外，星球第一宇宙速度不仅仅与探测任务有关，还与宇宙旅行和殖民其他星球的可行性相关。
如果我们打算前往其他星球定居或者进行长期宇宙旅行，了解星球第一宇宙速度可以帮助我们评估和规划任务的可行性。
我们可以计算出离开地球或其他星球所需的速度，从而确定所需的推进器性能和燃料储备。
这对于保证航天器的可持续性和任务的成功至关重要。
综上所述，星球第一宇宙速度是一个重要的概念，涉及到人类的航天探索、宇宙旅行和星球殖民等方面。
通过计算公式，我们可以确定所需的速度，从而规划任务和设计航天器。