高考数学一轮总复习6.7数学归纳法练习

—

解析 当 n = k +1 时，等式左边=1 + 3+ 5+-+ (2k + 1) + (2k + 3) = (k + 1) + (2k +

第七节数学归纳法

时间：45分钟分值：100分

［基 ［础|必| |做

一、选择题

111

1

1.已知 f (n ) = '+

+

+•••+=,则(

)

n n +1 n + 2

n

1 1

A. f (n )中共有 n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+ 3

2 3 1 1

B. f (n )中共有 n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + 3

1 1

C. f (n )中共有 n 2

— n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+-

2

1 1 1

D. f (n )中共有 n —n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + 3+ 4 2 1 1 1 解析 总项数为n —n + 1, f (2) = 2+ 3+ 4.故选D.

答案 D

2•用数学归纳法证明不等式

1 1 1 127 *

1 + - + 4 +…+ 2一1>64(n € N)成立，其初始值至少应取

( ) A. 7 C. 9

B. 8 D. 10

解析

1 1 1 1 +

2+ 4+…+ 产=

1 1 —

2 127 1>64， 1--

整理得2n

>128，解得n >7. •••初始值至少应取 8.

答案 B

3.用数学归纳法证明等式 1 + 3 + 5+-+ (2n + 1) = (n + 1)2

(n € N *)的过程中，第二步

假设n = k 时等式成立，则当 n = k + 1时应得到(

) 2

A. 1+ 3 + 5+-+ (2 k + 1) = k

B. 1 + 3 + 5+・・・+

(2 k + 3) = (k + 2)

C. 1 + 3 + 5+- + (2 k + 1) = (k + 2)

D. 1 + 3 + 5+- + (2 k + 3) = (k + 3)

答案 B

4•某个命题与自然数 n 有关，若n = k (k € N)时命题成立，那么可推得当n = k +1时该 命题也成立•现已知当 n =5时，该命题不成立，那么可推得 (

)

A. 当n = 6时，该命题不成立

B. 当n = 6时，该命题成立

C. 当n = 4时，该命题不成立

D. 当n = 4时，该命题成立

解析 因为当n = k 时命题成立可推出 n = k + 1时成立，所以n = 5时命题不成立，则n =4时命题也一定不成立.

答案 C

5•在数列｛a n ｝中，a i =扌，且S = n (2n — 1)勿，通过求a 2, a 3,a 4,猜想a n 的表达式为( )

1

B.

~2n + 1

1

2n — 1

2n +1

1

2n + 1

2n + 2 1

解析由 a 1 = 3, S= n (2 n — 1)a n , 得 S 2= 2(2 x 2— 1)a 2, 即 a 1+ a 2 = 6a 2.

二 a 2 =—=丄,S a = 3(2 x 3— 1)a 3,即〔+丄 + a s = 15a s .二 &3=丄=丄，同理可得 a 4

15 3x5 3 15 3

35 5X7

1

=7X9 .

答案 C 6.

下列代数式(其中k € N *)能被9整除的是

(

)

A. 6 + 6 ・7k

B. 2 + 7

k —1

— k +1

k

C. 2(2 + 7 )

D. 3(2 + 7)

解析(1)当k = 1时，显然只有3(2 + 7k

)能被9整除.

(2)假设当k = n (n € N)时，命题成立，即3(2 + 7n

)能被9整除，那么3(2 + 7n +1

) = 21(2

+ 7n

) — 36.

这就是说，k = n + 1时命题也成立.

A.

1

n — 1 n + 1

由(1)(2)可知，命题对任意 k € N *都成立.故选 D. 答案 D 二、填空题

7. 用数学归纳法证明"当 n 为正奇数时，x n

+ y n

能被x + y 整除”，当第二步假设 n =

2k — 1( k € N *)命题为真时，进而需证 n = _________ 时，命题亦真.

解析 t n 为正奇数，假设n = 2k — 1成立后，需证明的应为 n = 2k + 1时成立.

答案 2k +1

&若 f (n ) = 11 2 3

+ 22

+ 32

+…+ (2 n )2

,贝 U f (k + 1)与 f (k )的递推关系是 _________________ .

2 2 2

解析•/ f (k ) = 1 + 2 +…+ (2 k ),

f (k + 1) = 12

+ 22

+•••+ (2 k )2

+ (2 k + 1)2

+ (2 k + 2)2

,

••• f (k + 1) = f (k ) + (2 k +1)2

+ (2k + 2)2

.

答案 f (k + 1) = f (k ) + (2k + 1) + (2 k + 2)

9•在数列｛a n ｝中，a 1= 1,且S, S+ 1,2S 成等差数列($表示数列｛a n ｝的前n 项和)，则

S, S 3, S 4分别为 ___________ ，由此猜想S= ___________ .

解析 由$, S+1,2$成等差数列，得 2$+1= S+ 2S ,

T S = a 1 = 1 ,• 2S +1= S+ 2.

3 令 n =1,贝U 2S = S+ 2= 1 + 2= 3,「. S =空

7

15

同理，分别令n = 2, n = 3,可求得S 3= 4, $= ~. 1 2 3

, 2 — 1 3 2 — 1 7 2 — 1

由 s = 1 = 2。, S = 2= 21

, S = 4= 2 ,

—.11 .

2 一 1

S= £ = ，猜想 S n =

-1

三、解答题

10•用数学归纳法证明：

1

1 + 3 + 5 +…+ (2n — 1) = $n (4n — 1).

3

证明 (1)当n = 1时，左边=12

= 1,

1

右边=3X 1 X (4 — 1) = 1 ,等式成立.

1

⑵ 假设当 n = k (k € N)时等式成立，即

12

+ 32

+ 52

+…+ (2 k —1)2

= -k (4 k 2

— 1).

3

则当 n = k + 1 时，12

+ 32

+ 5 + …+ (2k — 1)2

+ (2k +1)2

1 2 2 1 2 2

=3k (4 k — 1) + (2 k + 1) = §k (4k — 1) + 4k + 4k + 1

4

15 2 — 1 3 7 15 2n

— 1

答案2 4, E 2n — 1