《图形认识初步》知识点串讲及考点透视

《图形认识初步》知识点串讲及考点透视江苏刘顿II 口一8请同学们先看一看如图1的几幅图案：处图1通过观察，同学们一定会体会到我们生活在图形的世界里•我们刚学过的《图形认识初步》不都是我们生活中所见到过的吗？为了能让我们一起再去光顾一下《图形认识初步》，从而进一步欣赏丰富多彩的图形世界，体会更多的立体图形与平面图形，了解立体图形与平面图形之间的关系，希望你还喜欢•一、目标要求1, 经历观察、测量、折叠、模型制作与图案设计等活动，进一步发展空间概念；能从生活周围熟悉的物体入手，加深对物体的形状的认识，并从感性逐步上升到抽象的几何图形，并通过从不同方向看立体图形和展开立体图形，初步认识立体图形与平面图形的联系，在此基础上进一步认识一些简单的平面图形一一直线、射线、线段和角2，进一步认识角，以及角的表示方法，角的度量，角的画法•角的比较，补角和余角等内容•会进行线段或角的比较，能估计一个角的大小，会进行角的单位的简单换算3, 从实物出发，感受到图形世界的无处不在，弓I起学习的兴趣•能区分直线、射线、线段的概念，并体会它们的一些性质，结合生活情景认识角并知道周角、平角等概念4, 能借助三角尺、量角器、方格纸等工具，会画角、线段、垂线，能进行简单的图案设计，并能了解直线、线段等有关性质；积累操作活动经验，发展有条理的思考与表达，经历在操作活动中探索图形性质的过程丰富数学学习的成功体验二、知识网络点、线、面、体平面图形展开立体图形线段大小的比较二、要点解读直线、射线、线段声角的度量两点确定一条直线 两点之间、线段最短角的大小比较与运算角和平分线余角和补角等角的补角相等 等角的余角相等立体图形平面图形几何图形从不同方向看立体图形（一）知识总揽本章内容都是研究的简单的基本图形，是以后学习的重要基础， 其中如何结合立体图形与平面图形的互相转化的学习， 来发展空间观念以及一些重要的概念、 性质等是本章的重点；建立和发展空间观念是空间与图形学习的核心目标之一， 能由实物形状想象出几何图形，由几何图形想象出实物形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的相互转化是培养空间观念 的重要方面，更有利于创新能力的培养•（二）疑点和易错点这一章内容的概念比较多， 概念之间的联系又比较密切， 因此，如何从具体事物中抽象 出几何图形，把握几何图形的本质特征， 区分一些相近的概念， 对图形的表示方法以及对几 何语言的认识与运用，都复习的疑点和易错点 •具体地说：1,通常画一个立体图形要分别从正面看、从左面看、从上面看 •如从不同方向看图 2就可得到图3中的三个图形•同样由图3的三个图形也可以画出图 2•如果不能认真的观察分析 立体图形的特征，就不能正确画出相应的平面图形2, 在研究直线、线段、射线的有关概念时，容易出现延长直线或延长射线之类的错误， 在用两个大写字母表示射线时，忽视第一个字母表示的是这条射线的顶点3,直线有这样一个重要性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线.即两点确定一条直线•线段有这样一条重要性质：两点的所有连线中，线段最短 •简单说成：两点之间，线段最短•这两个性质是研究几何图形的基础，复习时应抓住性质中的关键性字眼，不能出现似是而非的错误•4，注意线段的中点是指把线段分成相等的两条线段的点； 而连结两点间的线段的长度，叫做这两点的距离•这里应特别注意线段与距离的区别是，即距离是线段的长度，是一个量； 线段则是一种图形，它们之间是不能等同的•5, 在复习角的概念时，应注意理解两种方式来描述，即一种是从一些实际问题中抽象 地概括出来，即有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角；另一种是用旋转的观点来定义，即一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角•角的两种定义都告诉我们这样一些事实：（1）角有两个特征：一是角有两条射线， 二是角的两条射线必须有公共 端点，两者缺一不可；（2 ）由于射线是向一方无限延伸的，所以角的两边无所谓长短，即角 的大小与它的边的长短无关； （3）当角的大小一旦确定， 它的大小就不因图形的位置、 图形 的放大或缩小而改变•如一个37°的角放在放大或缩小若干倍的放大镜下它仍然是 37°不能误认为角的大小也放大或缩小若干倍 •另外对角的表示方法中， 当用三个大写字母来表示时，顶点的字母必须写在中间， 在角的两边上各取一点， 将表示这两个点的字母分别写在顶点字 母的两旁，两旁的字母不分前后6,在研究互为余角和互为补角时，容易混淆这两个概念•常常误认为互为余角的两个角的和等于180°,互为补角的两个角的和等于90°三、思想方法—— □从正面看从左面看 从上面看图3图2复习《图形认识初步》这部分内容除了要注意基础知识的巩固和典型习题的训练，还要注意数学思想方法的训练与运用•具体地说：2一、分类思想.在过平面上若干点可以画多少条直线，应注意这些点的分情况讨论；或 在画其它的图形时，应注意图形的各种可能性例1两条相交直线与另外一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）A.1B.2C.3 或 2D.1 或 2 或 3二、 方程思想.在处理有关角的大小，线段大小的计算时常需要通过列方程来解决 . 例2如果一个角的补角是 150°求这个角的余角.分析 若设这个角的大小为 x °则这个角的余角是 90° — x ,于是由这个角的补角是 150 可列出方程求解.解 设这个角为x °则这个角的余角是 90。

— x ，根据题意，得 180 °— x = 150 ° 解得：x = 30 ° 即 90° — x = 60° 故这个角的余角是 60°.三、 图形变换思想.在研究角的概念时要充分体会对射线旋转的认识，在处理图形时应 注意转化思想的运用，如立体图形与平面图形的互相转化的学习例3请画出正六棱柱表面展开图 .分析要将一个立体图形转化为平面图形，只要按照立体图形的折叠原理即可求解 .解正六棱柱表面展开图如图5所示四、 化归思想.在进行线段、射线、直线、角以及相关图形的计数时总要化归到公式的具体运用上来例4若点C 、D 、E 、F 是线段AB 上的四个点.则这个图形中共有多少条线段？ 分析 已知线段上除了端点外， 还有4个点，即这条线段共有6个点，这样要求这个图解 因为依题意已知线段上共有 6个点，所以这个图形中共有线段的为:6 6 1=15.四、考点解密（所选例题均出自2006年全国部分省市中考试卷） 考点1从不同方向看立体图形形中共有多少条线段，则由代数式即求.例5 （河北省）图1中几何体的主视图是如图 7所示中的（分析 主视图是从下面看的，由于图 球的下面是一个长方体，这样问题就简单了 解因为要画出的是从正面看到的主视图，而已知的立体图形是由两个部分组成的，上面是一个球，球的下面是一个长方体， 所以我们从正面看到的上面是一个圆， 下面是一个长方形•又因为原立体图形中上面的球是放在中间的，所以正确的平面图形应该是C.故应选C.分析观察这四个平面图形，A 、C 、D 能围成一个正方体，只有 B 不能围成正方体• 解应选B. 说明判断一个图形能否围成正方体，关键是要看这个平面图形是否是某一个正方体的 侧面展开图，如果是，即能围成一个正方体，否则就不是 •另外，一个立体图形可以有不同 的平面展开图•也就是说，同一个立体图形，按不同方式展开得到的平面展开图是不一样的 反之，一些平面图形也可以围成立体图形，就是说，平面图形可以围成立体图形 •但要注意， 并不是所有的平面图形都能够围成多面体 •考点3确定平面图形的个数例3 （绍兴市）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角形” ，则如图9中以BC 为公共边的“共边三角形”有（）A2对B.3对C.4对D.6对分析 要知道有多少“共边三角形”，只要能依据图形写出所有的满足题意的三角形即 可•例4 （大连市）如图10,/ PQR 等于138° SQ 丄QR , QT 丄PQ.则/ SQT 等于（说明要画出从不同方向看到的平面图形， 看一个立体图形的平面图形 •考点2立体图形的侧面展开图例2 （嘉兴市）如图8所示的图形中，不能通常画出分别从正面看、 经过折叠围成正方体的是从左面看、从上面B ）解 结合图形，满足题意的三角形是：△△ ABC ，共3对.故应选B.ABC 与厶 DBC ，△ DBC 与厶 EBC ，△ EBC 与说明求解本题一定要注意抓住以 字眼•BC 为公共边的“共边三角形”，不能忽视关键性的)6中的图形是由两个部分组成的，上面是一个球,AD考点4图形角度大小的计算R）A.42 °B.64 °C.48 °D.24 °分析 要求/ SQT 的大小，由于 SQ 丄QR , QT 丄PQ ,可知/ PQS =Z RQT ，进而即可 求得• 解 因为 SQ 丄 QR , QT 丄 PQ ,所以/ PQS+ / SQT =Z SQT+ / RQT = 90° 即/ PQS = / RQT ,又/ PQS+ / SQT + / RQT = 138° 所以/ PQS =Z RQT = 48°,所以/ SQT = 138° — 2 X 48° = 42°.故应选 A.说明在进行图形的有关计算时，除了要能灵活运用所学的知识外， 还要能从图形中捕捉求解的信息.考点5互为余角与互为补角1-少20°.则这个角为（2A.2B.4C.8D.10 分析要求图中阴影部分的面积，由于由剪到拼可知阴影部分的面积应是原正方形面积 的四分之一，于是即求.解 根据题意“小别墅”的图中阴影部分的面积应等于正方形面积的四分之一， 而正方形的面积是16,所以阴影部分的面积应等于4.故应选B.说明 本题的图形在操作过程中，虽然形状发生了改变，但是图形的面积却没有变化， 抓住这一点问题就可以简洁求解例5 （内江市）一个角的余角比它的补角的 A.30 °B.40 °C.60分析 若设这个角为x ,则这个角的余角是 即可求解. 解 设这个角为x ,则这个角的余角是 90° — x ,补角是180° — x.1则根据题意，得 -（180 °— x ）— （90 °— x ） = 20°解得：x = 40°故应选B. 说明 处理有关互为余角与互为补角的问题， 除了要弄清楚它们的概念， 通常情况下不要引进未知数，构造方程求解 .考点6平面图形的操作问题例6 （旅顺口区）如图11,将一块正方形纸片沿对角线折叠一次，然后在得到的三角形 的三个角上各挖去一个圆洞，最后将正方形纸片展开，D.7590。