应用回归分析课后习题参考答案

应用回归分析课后习题参

考答案

The following text is amended on 12 November 2020.

第二章一元线性回归分析

思考与练习参考答案

一元线性回归有哪些基本假定

答：假设1、解释变量X 是确定性变量，Y 是随机变量；

假设2、随机误差项£具有零均值、同方差和不序列相关性:

E （（：i ）=O i=l, 2,…，n Var （£ J 」 i=l, 2, •: n Covfe,. Q ）二0

iHj i,j= 1,2,…，n

假设3、随机误差项£与解释变量X 之间不相关：

Cov （Xi, £ J =0 i=l, 2,…，n

假设4、£服从零均值、同方差、零协方差的正态分布

£「N （0, ' ）

i=l, 2, •： n

考虑过原点的线性回归模型

「0比"1=1, 2,…,n

误差6 （Ul,2,…，n ）仍满足基本假定。求 厲的最小二乘估计 解：

2=£（岭-*）_£（岭$址）2

f.l /.I

=_2£（岭-6/）£ =0 J-1 £（3）

=——

r«l

0 = £（乙_£）2=£（匕_（瓦 +AX»

I 1 得：

证明

证明:

其中：X=Bo+B\Xj 耳=并一£

丫（九+険厂耳）=0

B|J ：

ei =0 , e 広 =0

回归方程E =0。+0/的参数 仏,已的最小二乘估计与最大似然估计在什

么条件下等价给出证明。 答：由于£ i ~N(0, 2 )

i=l, 2,・・・，n

所以乙二Qo+ 0也+ £，3(0。+0比，2) 最大似然函数：

L(/?o ,^,,

2b i.i

伤,b2)} = -£ln(2勿■Z)-[乙 _(0。+戸£,XJ]2

2 2b i.i

使得Ln (L)最大的久，恳就是0”伙的最大似然估计值。 同时发现使得Ln (L)最大就是使得下式最小，

0 = f(ZT)2=f 厲―(A O +EXJ)2

1 1

上式恰好就是最小二乘估计的LI 标函数相同。值得注意:的是：最大似然估 计是在£氷0,')的假设下求得，最小二乘估计•则不要求分布假设。

所以在£汀(0, 2

)的条件下，参数0。，已的最小二乘估计与最大似 然估计等价。

证明久是介的无偏估计。

八 _ _ J n _n X _乂

证明：£（A ）= ^（r-A^）= E ［-22Y, — 乙）

“ I*1

i ・l （XT

n | _ x — Y

n

1 _ V _

=E ［另（一_ X 十二）乙］=E ［》（_ _ X 十二一）（0。+ 0X + 令）］

17 “ 厶rx /*1 刃 厶rx

n | _ Y, _ Y ,l

1 _ Y — X

=E 【0o + 丫（一 - X - ）£ ］ = 0o + 另（一 -X ）E （勺）=0。 仁« L 疥 W n L 证明

1Z

-、 A X’ 、2 2」\

巾"戸°）=（一+ -------- ）b 「= a （- + -—）

1-1

XX

XX 证明:

八n j _ X — X n 1 — X — X

WN0J = W/r［g（- - X违二）乙］=［石（厂来十二_）2 s（角 + A X、+ 勻）］

证明平方和分解公式：SST二SSE+SSR

证明：SST =£优一［/_*) + (£ _彷

1.1 1.1 =壬何-巧+ 2

乂 -斤)& -刃+ £也-

F. ))2

f.l r-1 f-1

仗-可+£(K-2))2 = SSR + SSE

i-l i-1

验证三种检验的关系，即验证：

(1),吒E；⑵ F= SSR/1 =込“

VT77SSE/(n-2)&2

证明：(1)

/ _ Lu _ B _ 『_ 冷匚厂. _ yjn — 2r _ y/n — 2r

^7

~ _ 一- QEfd) ~ yfSSE/^-l) ~ ^SSE/SST ~

SSR = i(y,-y)2=i (A+M-y)2 = Z(y+A 3 -元)-刃2必(4 (召一 ^))2 =叽r-l r-1 /-I r-1

.—SSR/1 _BU_?

'' SSE 心-2) cr

验证()式：Var(e t ) = ( 1 一丄一—__◎-)

" L xx

证明：

var(ej = var(升-y.) = var(>\) + var(y.)-2 cov(y., y.)

4 A 入

=var(y.) + var(0()+ 0$)_2cov(｝；.,y+ /?,(%. -x))

=6卩(儿，丄£”)+ (曲 一 x)Cov(yi

厂1)

” /■! ^xx

证明:

1

72-2

——(77-2)<72

=cr 2

n-2

为了调查某广告对销售收入的影响，某商店记录了5个月的销售收入y （万 元）和广告费用X （万元），数据见表，要求用手工计算： 表 月份

1 2

3 4 5 X 1 2

3 4 5 Y

10

10

20

20

40

（1） 画散点图（略）

（2） X 与Y 是否大致呈线性关系

答：从散点图看，X 与Y 大致呈线性关系。

（3）用最小二乘法估计求出回归方程。

计算表

X Y (X _只)2

(r,-F)2

(X.-xxy,-n

(r.-Fr

dr 1

10 4 100 20 6 (-14): (-4) 2 2

10 1 100 10 13 (-7):

(3) 3

3 20 0 0 0 20 0 0

4

20

1

27

72

V

其中: 宀XI

用第9题证明 "-2是2

的无偏估计量

z,

1 ;r

)

gvar^)—g[l--