《离散控制系统》PPT课件
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自动控制原理第7章离散控制系统
差分方程描述了系统在离散时间点的行为，通过求解差分方程可 以预测系统未来的输出。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
Z变换
01
Z变换是分析离散时间信号和系统 的有力工具，它将离散时间信号 或系统转化为复平面上的函数或 传递函数。
02
Z变换的基本思想是通过将离散时 间信号或系统进行无限次加权和 ，将其转化为一个复数域上的函 数或传递函数。
离散状态方程
离散状态方程是描述离散控制系统动 态行为的数学模型，它的一般形式为 $mathbf{dot{x}}(k) = Amathbf{x}(k) + Bu(k)$，其中 $mathbf{x}(k)$表示在时刻$k$的系 统状态向量，$u(k)$表示在时刻$k$ 的输入向量，$A$和$B$是系统的系 数矩阵。
稳态误差主要来源于系统本身的结构 和参数，以及外部干扰和测量噪声。
离散控制系统的动态响应分析
动态响应定义
动态响应是指系统在输入信号作 用下，系统输出信号随时间变化 的特性。
动态响应的描述方
式
动态响应可以通过系统的传递函 数、频率特性、根轨迹图等方式 进行描述。
优化动态响应的方
法
通过调整系统参数、改变系统结 构、引入反馈控制等方法，可以 优化系统的动态响应。
离散控制系统的仿真工具与实例
仿真工具介绍
离散控制系统的仿真工具用于模拟和测试系统的性能和稳定性。常见的仿真工具包括MATLAB/Simulink、 LabVIEW等。这些工具提供了丰富的数学函数库和图形化界面，方便用户进行系统建模和仿真。
仿真实例分析
通过具体的仿真实例，可以深入了解离散控制系统的性能和特点。例如，可以设计一个温度控制系统，通过调整 系统参数和控制算法，观察系统在不同工况下的响应特性和稳定性。通过对比不同方案，可以评估各种参数和控 制策略对系统性能的影响，为实际应用提供参考和依据。
现代控制原理2-3离散系统
−T −T −T
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
−T −T
−T
)
−T
z 2 − (1 + e −T ) z + e −T
)
0 x( k + 1) = −T -e
0 x ( k ) + u( k ) −T 1+ e 1 1
y( k ) = 1 − e −T − Te − T
T − 1 + e −T x( k )
x(k+1) = [I +TA]x(k) + TBu(k) G = I +TA H =TB
17
0 1 0 & 的近似离散化方程。 例2-13 求 x = x + 1 u 的近似离散化方程。 0 −2
解： G = I + TA = 1 0 + 0 − T = 1 − T 0 1 0 − 2T 0 1 − 2T
x( k + 1) = G ( k ) x( k ) + H ( k )u( k ) y( k ) = C ( k ) x ( k ) + D( k )u( k )
2
2.结构图 2.结构图
3
3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 3.差分方程和脉冲传递函数与离散状态空间表 达式之间的转换 在单变量离散系统中， 在单变量离散系统中，数学模型分为差分方程 和脉冲传递函数两类， 和脉冲传递函数两类，它们与离散状态空间表达式 之间的变换，和连续系统分析相类似。 之间的变换，和连续系统分析相类似。 离散 差分方程 连续 D.E
x1 ( k ) y ( k ) = [1 −4 ] + u( k ) x2 ( k )
自动控制原理第6章 离散系统控制理论
F(z)
f (kT )z k
e akT z k
(e aT z) k
k 0
k 0
k 0
Z[e at ]
1
z
1 (e aT z) 1 z e aT
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 19
f (k) ak , k 0
F (z) f (kT )zk ak zk (a1z)k
k 0
k 0
k 0
Z[ak ] 1 z 1 az 1 z a
f (kT) sin kT
k 0,1,2,
F (z) f (kT )z k sin kTz k
k m
i0
1
zm f (kT )zk zm f (iT )zi
k m
i0
1
z m [ f (kT )z k F (z)] k m
Z[ f (t mT)] z m F(z)
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 22
Z[ f (t mT )] zmF (z) f (t) 0,t 0
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 21
滞后定理的证明
Z[ f (t mT)] f (kT mT)z k
k 0
1
f (kT )zkm f (iT )zim
0T
《自动控制原理》国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所 5
第6章 离散系统控制理论
6.1 信号的采样与保持
6.2 差分方程 6.3 Z 变换 6.4 Z传递函数 6.5 稳定性分析 6.6 暂态性能分析 6.7 稳态误差分析 6.8 数字PID控制 6.9 MATLAB在离散系统分析中的应用
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
y(n) y(n 1) 0
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
01.09离散控制系统
t
e*(t)
t
t
t
t
c(t)
r(t)
+
A/D
计算机
uc*(t)
D/A
uc(t)
控制对象
b(t)
测量元件
负反馈
计算机控制系统框图
离散系统的差分方程描述
差分方程 用差分方程描述离散系统 差分方程的解法
差分方程
差分方程： 用t时刻变量差值来代替微分方程中的变 量微分所得到的方程。 当系统的微分方程为n阶时，则差分方程可 写为一般形式：
应用综合除法得
E( z) 10z 1 30z 2 70z 3
所以
e* (t ) 0 10 (t T ) 30 (t 2T ) 70 (t 3T )
例4-6 已知之变换
3z 2 z E( z) 2 z 2z 1
试利用部分分式法求其z反变换。
k 0
e(kT ) z
k
1 z 1(4-28)
0
(2)单位阶跃信号
设e(t)=1(t)，求z变换E(z)。
E( z )
k 0
1(kT ) z 1 z z (4-29)
k 1 2
这是一个公比为 z 的等比级数，当 z 1 即 时，级数收敛,则式(4-29)可写成闭合形式
1
1
z 1
1 z E( z) ( z 1) （4-30） 1 z 1 1 z
(3)单位理想脉冲序列 设 e(t ) (t ) (t kT) ，求z变换E(z)。
T k 0
E( z )
k 0
1(kT ) z 1 z z z
控制原理--离散控制系统
输出信号：理想脉冲序列
*
e (t ) e(t ) T (t ) e(t ) (t - nT) e(t ) (t - nT) e(nT)(t - nT)
n - n0 n0
e* (t ) e(nT)(t - nT)
n0
如右图所示
* k 0
-k
z变换
1、定义法(级数求和法)
知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x*(t)，按定义求。 例1：求 x1 (t ) u(t ) 和 x2 ( t ) ( t - kT ) 的z变换表达式。
k 0
解：
X 1 ( z ) x( kT )z
k 0
采样过程及其数学描述
2、单位脉冲函数 (t )为单位脉冲函数，为方便描述，其定义 如下： 1 t 0 (t ) 0 t 0 3、单位脉冲序列函数 下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉冲 函数的序列。
T (t )
k -
(t - kT ) (t ) (t - T ) (t T ) (t - kT ) (t kT )
注意：本课程中的讲述如无特别说明均为均匀采样过程。
§6.1 信号的采样与保持
信号的采样过程：通过采样开关将连续
信号离散化，转变为脉冲序列信号；
信号的保持过程：通过信号保持器将离
散信号连续化；
基本概念
1.采样信号：定义在离散时间轴上的离散信号，以脉冲或数 码的形式呈现。
t
(a) 连续信号 (b) 离散信号
k 0
求拉氏变换，得
原连续信号
- kTs
1 1 -Ts xh ( s ) x( kT )e - e s s k 0
*
e (t ) e(t ) T (t ) e(t ) (t - nT) e(t ) (t - nT) e(nT)(t - nT)
n - n0 n0
e* (t ) e(nT)(t - nT)
n0
如右图所示
* k 0
-k
z变换
1、定义法(级数求和法)
知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x*(t)，按定义求。 例1：求 x1 (t ) u(t ) 和 x2 ( t ) ( t - kT ) 的z变换表达式。
k 0
解：
X 1 ( z ) x( kT )z
k 0
采样过程及其数学描述
2、单位脉冲函数 (t )为单位脉冲函数，为方便描述，其定义 如下： 1 t 0 (t ) 0 t 0 3、单位脉冲序列函数 下式为单位脉冲序列函数，它是单位脉冲 函数的序列。
T (t )
k -
(t - kT ) (t ) (t - T ) (t T ) (t - kT ) (t kT )
注意：本课程中的讲述如无特别说明均为均匀采样过程。
§6.1 信号的采样与保持
信号的采样过程：通过采样开关将连续
信号离散化，转变为脉冲序列信号；
信号的保持过程：通过信号保持器将离
散信号连续化；
基本概念
1.采样信号：定义在离散时间轴上的离散信号，以脉冲或数 码的形式呈现。
t
(a) 连续信号 (b) 离散信号
k 0
求拉氏变换，得
原连续信号
- kTs
1 1 -Ts xh ( s ) x( kT )e - e s s k 0
离散系统的稳定性条件和瞬态响应课件
非线性离散系统的稳定性条件
局部稳定性
对于非线性离散系统，局部稳定性是其重要的稳定性条件。 这意味着在系统的小扰动下，其状态轨迹应能逐渐恢复到原 始状态。
全局稳定性
全局稳定性是指无论系统受到多大的扰动，其状态轨迹都能 逐渐恢复到原始状态。对于非线性离散系统，全局稳定性的 条件通常更为严格。
稳定性条件的分析和计算方法
控制器优化
在满足稳定性条件的前提下，通 过优化控制算法，提高控制器的
性能和效率。
仿真实验
通过仿真实验，验证基于稳定性 条件和瞬态响应的综合控制方案
的有效性和优越性。
06
总结与展望
研究成果与贡献
建立了离散系统稳定性判据，证明了系统稳定的充分必要条件，为离散系统稳定性 分析提供了新的理论依据。
针对离散系统的瞬态响应问题，提出了新的优化算法，有效提高了系统的瞬态性能 ，为离散系统优化设计提供了新的思路。
稳定性的性质
稳定性具有等价性、传递性和不变性三个基本性质。
稳定性在离散系统中的重要性
01
02
03
保证系统正常运行
在离散系统中，稳定性是 保证系统正常运行的基础 ，只有稳定的系统才能避 免出现故障或崩溃。
优化系统性能
稳定性是优化系统性能的 前提，只有稳定的系统才 能发挥出其最佳性能。
保障安全
稳定性也是保障系统安全 的重要因素，不稳定的系 统容易遭受攻击或崩溃。
基于模型的方法
一种常用的协同优化方法是基于模型的方法。该方法通过 建立离散系统的数学模型，并采用优化算法来同时满足稳 定性和瞬态响应的约束条件。
实验设计法
另一种协同优化方法是实验设计法。该方法通过实验来探 索离散系统在不同参数下的稳定性和瞬态响应性能，并据 此选择合适的参数以实现协同优化。
自动控制原理第7章 离散控制系统
b(t )
H (s)
图7.5 数字控制系统的简化框图
2019/2/19
7
数字控制系统较之一般的连续控制系统具有如下一 些优点： 能够保证足够的计算精度； 在数字控制系统中可以采用高精度检测元件和执 行元件，从而提高整个系统的精度； 数字信号或脉冲信号的抗干扰性能好，可以提高 系统的抗干扰能力； 可以采用分时控制方式，提高设备的利用率，并 且可以采用不同的控制规律进行控制； 可以实现一些模拟控制器难以实现的控制律，特 别对复杂的控制过程，如自适应控制、最优控制、 智能控制等，只有数字计算机才能完成。
2019/2/19
9
7.2.1 采样过程及其数学描述
将连续信号通过采样开关(或采样器)变换成离 散信号的过程称为采样过程。相邻两次采样的时间 间隔称为采样周期T。 采样频率：f s 1/ T 采样角频率： s 2 /T 采样可分为：
等速采样:采样开关以相同的采样周期T动作，又 称为周期采样 多速采样:系统中有n个采样开关分别按不同周期 动作 随机采样:采样开关动作是随机的 本章仅限于讨论等速同步采样过程。
j t xj ( ) xt () e d t
1 X( s ) Xs ( j k s) T k
*
2019/2/19
(7-7)
15
X ( j )
max
2max
(a)
o
max
图7.7 连续信号及离散信号的频谱
式中ω s=2π/T为采样频率，X(s)为x(t)的拉氏变 换。若X*(s)的极点全都位于s左平面，可令s=jω ， 求得x*(t)的傅氏变换为
离散控制系统最常见形式是数字控制系统。图 7.4是数字控制系统的结构图。图中用于控制的计算 机D工作在离散状态，被控对象G(s)工作在模拟状态。
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1
ck T
T T
2 2
T
(t
)e
jkst
dt
在 t T 2 到 t T 2 期间，T (t) 只在 t 0 出现一个单位脉冲，在其他时间里都为零，
根据脉冲函数的性质有
ck
1 T
T2
T 2 T
(t)e
jkst dt
1 T
0 0
T
(t)e
jkst dt
1 T
0
(t)dt
1
0
T
于是有T
(t)
1 T
k
e
jkst
。根据 e*(t)
e(t)
k 0
(t
kT )
，有
e (t) 1 e(t)e jkst
T k
对上式作拉氏变换，并用复位移定理有
E*(s)
1 T
k
第七章 采样控制系统
典型的计算机控制系统方框图如下图所示。 计算机控制系统中，计算机只能在离散的时间点上测量和处理数据，控制作用也只有在 离散的时间点才进行修改。这种系统中一处或几处的信号仅定义在离散的时间点上的系统被 称为离散时间控制系统或采样控制系统。
r(t) e(t) A/ D
计算机
u(t)
c(t)
E(s
k
jks ) ,
E (
j)
1 T
k
E[
j(
ks
)]
设连续信号 e(t) 的频谱 E( j) 为一带宽有限的连续频谱，如下图（a）所示。而采样信 号 e (t) 的频谱 E ( j) 具有以采样频率 s 为周期的无穷多个频谱分量，如下图（b）所 示，图中 k 0 的分量 (1 T ) E( j) 称为 E ( j) 的主分量，其余 k 0 的分量称为 E ( j) 的补分量，补分量是在采样过程中引进的高频分量。
E*(s) L[e*(t)] L[ e(kT) (t kT)]
k 0
根据拉氏变换的位移定理，有
L(
(t
kT ))
ekTs
0
(t)estdt
ekTs
所以，采样信号的拉氏变换
E*(s) e(nT )enTs
k 0
如果用拉氏变换法研究离散系统，尽管可以得到 eTs 的有理函数， 但却是一个复变量s的超越函数，不便于进行分析和设计。为克 服这一困难，通常采用z变换法研究离散系统。z变换可以把离散 系统的s超越方程，变换为变量z的代数方程。
后一记号是为了书写方便，并不意味着连续信号 e(t) 的 z 变换，而是仍指采样信号 e*(t) 的 z 变换。
应当指出，z 变换仅是一种在采样拉氏变换中，取 z esT 的变量置换。通过这种置换，可将 s 的超越函数 转换为 z 的幂级数或 z 的有理分式。
二、采样定理
要使采样信号能反映连续时间信号的变化规律，采样频率就应足够高。设连
E*(s) e(nT )enTs
k 0
为便与应用，令变量 z esT 式中，T 为采样周期；z 是在复数平面上定义的一个复变量，通常称为 z 变换算子。 则采样信号 e*(t) 的 z 变换定义为
记作
E(z)
E*(s)
s 1 lnz T
e(nT )zn
n0
E(z) Z[e*(t)] Z[e(t)]
后得到采样信号 e (t) ，现在研究一下 e (t) 的频谱函数。如前所述，采样过程可
以理解为一个信号的调制过程，调制波是被采样的信号，载波是单位脉冲串。单
位脉冲串是以采样周期T 为周期的周期信号，可以展开成富氏级数
T (t)
ck e jkst
k
式中s 2 T 为采样频率， ck 为富氏级数的系数，且
T 2T 3T
0
t
e(t)
e (t)
0
T
2T t
e*(t) e(kT ) (t kT ) e(t) (t kT ) e(t) (t kT )
k 0
k 0
k 0
容易看出，物理上的采样开关比理想的采样开关存在一定的差别。
采样信号的拉氏变换
对采样信号 e*(t) 进行拉氏变换，可得
当采样频率 s 2max 时，离散信号 e (t) 的频谱是由无穷多个孤立频谱组成的，其中 k 0 对应的就是被采样的原连续信号的频谱，只是幅度为原来的1 T ，其他各频谱都是由
续信号 e(t) 的频谱是有限的，最高频率分量的频率为max ，若要求采样信号不丢
失连续信号所包含的信息，采样频率s 应满足
s
2
T
2max
即采样频率应大于连续信号最高频率分量频率的 2 倍，这便香农采样定理。下面
是简单的说明。
设连续时间信号 e(t) 的频谱函数为 E( j) 。连续时间信号 e(t) 经过采样开关
e(kT )[1(t kT ) 1(t kT )] k 0
式中，[1(t kT ) 1(t kT )] 表示在 kT 时间出现的高度为 1、宽度为 、面积为 的矩形脉， 可进一步用 kT 时刻强度为 的脉冲函数近似，即
[1(t kT) 1(t kT )] (kT)
把连续时间信号转换成离散时间信号的过程称为采样过程，实现采样的装置称为采样器或 采样开关。
物理上可以实现的采样开关，它的输入、输出关系如下图所示。
e(t)
e (t)
e(t)
பைடு நூலகம்
e (t)
0
t
T
0 TT
t
e*(t) e(0)[1(t) 1(t )] e(T )[1(t T ) 1(t T )] e(2T )[1(t 2T ) 1(1 2T )]
D/ A
被控对象
测量装置
将模拟量到数字量的转换过程用采样器来描述，数字量到模拟量的转换过程用保持器来 描述，则上图所示的计算机控制系统可以抽象为下图所示的采样控制系统的典型结构图。
采样器
r(t)
e(t)
e* (t)
u (t)
u(t)
c(t)
控制器
保持器
被控对象
T
测量装置
§7-1 采样器和保持器 一、采样器
于是有
e(t) e(kT ) t - kT k 0
理想的采样开关，它的输入、输出关系如下图所示，可以理解为一个信号的调制过程，
调制波是被采样的信号 e(t) ，载波是单位脉冲串
T (t) t - kT k 0
e (t)
e (t)
T 载波
调制波