三角函数复习讲义2

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新高考数学A版讲义：三角函数第2节三角函数及其基本关系

第2节三角函数的概念及基本关系要点一：三角函数的概念知识点一任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，α∈R ，它的终边OP 与单位圆相交于点P (x ，y )，点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y ；点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数，记作cos α，即cos α＝x ；把点P 的纵坐标与横坐标的比值y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝yx (x ≠0)．正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，分别记为：正弦函数y ＝sin x ，x ∈R ；余弦函数y ＝cos x ，x ∈R ；正切函数y ＝tan x ，x ≠π2＋k π(k ∈Z )．思考三角函数值的大小与点P 在角α终边上位置是否有关？答案三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P 在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．知识点二正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号 1．图示：2．口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点三公式一sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos α，tan(α＋2k π)＝tan α，其中k ∈Z . 终边相同的角的同一三角函数的值相等．题型一、任意角三角函数的定义及应用例1 (1)已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)，则tan α＝ . 解析因为点P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)在单位圆上，则925＋y 2＝1，所以y ＝－45，所以tan α＝－43. (2)已知角α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上，求sin α，cos α的值．解设射线y ＝2x (x ≥0)上任一点P (x 0，y 0)，则|OP |＝r ＝x 20＋y 20，∵y 0＝2x 0，∴r ＝5x 0，∴sin α＝y 0r ＝255，cos α＝x 0r ＝55.延伸探究1．若将本例(1)中条件“α的终边与单位圆的交点为P ⎝⎛⎭⎫35，y (y <0)”改为“α的终边经过点P (－3，－4)”，求角α的正弦、余弦和正切值．解由已知可得|OP |＝(－3)2＋(－4)2＝5.如图所示，设角α的终边与单位圆交于点P 0(x ，y )．分别过点P ，P 0作x 轴的垂线PM ，P 0M 0，则|MP |＝4，|M 0P 0|＝－y ，|OM |＝3，|OM 0|＝－x ， △OMP ∽△OM 0P 0，于是，sin α＝y ＝y 1＝－|M 0P 0||OP 0|＝－|MP ||OP |＝－45；cos α＝x ＝x 1＝－|OM 0||OP 0|＝－|OM ||OP |＝－35；tan α＝y x ＝sin αcos α＝43.2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y ＝2x (x ≥0)上”，换为“α的终边落在直线y ＝2x 上”，其结论又如何呢？解 (1)若α的终边在第一象限内，设点P (a ,2a )(a >0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝5a 所以sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55.(2)若α的终边在第三象限内，设点P (a ,2a )(a <0)是其终边上任意一点，因为r ＝|OP |＝a 2＋4a 2＝－5a (a <0)，所以sin α＝y r ＝2a －5a ＝－255，cos α＝x r ＝a －5a ＝－55.反思感悟利用三角函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，常用的解题方法有以下两种：①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后利用三角函数的定义求出相应的三角函数值． ②注意到角的终边为直线，所以应分两种情况来处理，取射线上任一点坐标(a ，b )(a ≠0)，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝a a 2＋b 2，正切值tan α＝b a .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 已知角α的终边过点P (－3a ,4a )(a ≠0)，则2sin α＋cos α＝ . 解析因为r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |，①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限．sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1.②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限，sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35.所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.题型二、三角函数值符号的运用例2 (1)已知点P (tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 (2)下列各式：①sin(－100°)；②cos(－220°)；③tan(－10)；④cos π.其中符号为负的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析 (1)因为点P 在第四象限，所以有⎩⎪⎨⎪⎧tan α>0，cos α<0，由此可判断角α的终边在第三象限．(2)－100°在第三象限，故sin(－100°)<0；－220°在第二象限，故cos(－220°)<0；－10∈⎝⎛⎭⎫－72π，－3π，在第二象限，故tan(－10)<0，cos π＝－1<0. 反思感悟判断三角函数值正负的两个步骤 (1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．跟踪训练2 已知点P (sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限答案 C题型三、公式一的应用例3 计算下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5tan 4π. 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64. (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12. 反思感悟利用诱导公式一求解任意角的三角函数的步骤跟踪训练3 (1)cos 405°的值是( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22解析 cos 405°＝cos(45°＋360°)＝cos 45°＝22. (2)sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝ . 解析 sin25π3＋tan ⎝⎛⎭⎫－15π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋8π＋tan ⎝⎛⎭⎫π4－4π＝sin π3＋tan π4＝32＋1.要点二：同角三角函数的基本关系1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin 2α＋cos 2α＝1.2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即sin αcos α＝tan α其中α≠k π＋π2(k ∈Z )．思考同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？答案平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，α≠k π＋π2，k ∈Z .题型一、已知一个三角函数值求另两个三角函数值例1 (1)已知α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，tan α＝2，则cos α＝ . 解析由已知得⎩⎪⎨⎪⎧sin αcos α＝2，①sin 2α＋cos 2α＝1，②由①得sin α＝2cos α代入②得4cos 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝15，又α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以cos α<0，所以cos α＝－55. (2)已知cos α＝－817，求sin α，tan α的值．解 ∵cos α＝－817<0，∴α是第二或第三象限的角．如果α是第二象限角，那么sin α＝1－cos 2α＝1－⎝⎛⎭⎫－8172＝1517，tan α＝sin αcos α＝1517－817＝－158. 如果α是第三象限角，同理可得sin α＝－1－cos 2α＝－1517，tan α＝158.反思感悟已知一个三角函数值求其他三角函数值的方法(1)若已知sin α＝m ，可以先应用公式cos α＝±1－sin 2α，求得cos α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值． (2)若已知cos α＝m ，可以先应用公式sin α＝±1－cos 2α，求得sin α的值，再由公式tan α＝sin αcos α求得tan α的值．(3)若已知tan α＝m ，可以应用公式tan α＝sin αcos α＝m ⇒sin α＝m cos α及sin 2α＋cos 2α＝1，求得cos α＝±11＋m 2，sin α＝±m1＋m 2的值．跟踪训练1 已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．解 ∵sin α＋3cos α＝0，∴sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴(－3cos α)2＋cos 2α＝1，即10cos 2α＝1，∴cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号，∴角α的终边在第二或第四象限．当角α的终边在第二象限时，cos α＝－1010，sin α＝31010；当角α的终边在第四象限时，cos α＝1010，sin α＝－31010. 题型二、化简求值与恒等式的证明例2 (1)化简：tan α1sin 2α－1，其中α是第二象限角； (2)化简：sin α1－cos α·tan α－sin αtan α＋sin α.解 (1)因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0. 故tan α1sin 2α－1＝tan α1－sin 2αsin 2α＝tan αcos 2αsin 2α＝sin αcos α·⎪⎪⎪⎪cos αsin α＝sin αcos α·－cos αsin α＝－1.(2)原式＝sin α1－cos α·sin αcos α－sin αsin αcos α＋sin α＝sin α1－cos α·1－cos α1＋cos α＝sin α1－cos α·(1－cos α)21－cos 2α＝sin α1－cos α·1－cos α|sin α|＝±1.反思感悟同角三角函数关系化简常用方法 (1)化切为弦，减少函数名称；(2)对含根号的，应先把被开方式化为完全平方，再去掉根号；(3)对含有高次的三角函数式，可借助于因式分解，或构造平方关系，以降幂化简．跟踪训练2 求证：sin α1－cos α·cos α·tan α1＋cos α＝1.证明 sin α1－cos α·cos αtan α1＋cos α＝sin α1－cos α·cos α·sin αcos α1＋cos α＝sin α1－cos α·sin α1＋cos α＝sin 2α1－cos 2α＝sin 2αsin 2α＝1.题型三、sin θ±cos θ型求值问题例3 已知sin θ＋cos θ＝15，θ∈(0，π)，求：(1)tan θ；(2)sin θ－cos θ.解 (1)由sin θ＋cos θ＝15，得cos θ＝15－sin θ.又sin 2θ＋cos 2θ＝1，代入得sin 2θ＋⎝⎛⎭⎫15－sin θ2＝1，整理得sin 2θ－15sin θ－1225＝0，即⎝⎛⎭⎫sin θ＋35⎝⎛⎭⎫sin θ－45＝0，解得sin θ＝－35或sin θ＝45. 又θ∈(0，π)，所以sin θ>0，故sin θ＝45.所以cos θ＝15－sin θ＝15－45＝－35，故tan θ＝sin θcos θ＝－43.(2)方法一由(1)可知，sin θ－cos θ＝45－⎝⎛⎭⎫－35＝75. 方法二因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，又sin θ＋cos θ＝15，两边平方，整理得sin θcos θ＝－1225<0，所以cos θ<0.又(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋2425＝4925，∴sin θ－cos θ＝75.反思感悟 (1)sin θ＋cos θ，sin θcos θ，sin θ－cos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”．(2)求sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的值，要注意判断它们的符号．跟踪训练3 若sin θ－cos θ＝2，则tan θ＋1tan θ＝ .解析由已知得(sin θ－cos θ)2＝2，∴sin θcos θ＝－12.∴tan θ＋1tan θ＝sin θcos θ＋cos θsin θ＝1sin θcos θ＝－2.化切求值的方法技巧典例已知tan α＝3，求下列各式的值：(1)4sin α－cos α3sin α＋5cos α；(2)sin 2α－2sin α·cos α－cos 2α4cos 2α－3sin 2α；(3)34sin 2α＋12cos 2α.解 (1)原式＝4tan α－13tan α＋5＝4×3－13×3＋5＝1114.(2)原式＝tan 2α－2tan α－14－3tan 2α＝32－2×3－14－3×32＝－223.(3)原式＝34sin 2α＋12cos 2αsin 2α＋cos 2α＝34tan 2α＋12tan 2α＋1＝34×32＋1232＋1＝2940.[素养提升](1)已知tan α＝m ，可以求a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α或a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2αd sin 2α＋e sin αcos α＋f cos 2α的值，将分子分母同除以cos α或cos 2α，化成关于tan α的式子，从而达到求值的目的．(2)对于a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α的求值，可看成分母是1，利用1＝sin 2α＋cos 2α进行代替后分子分母同时除以cos 2α，得到关于tan α的式子，从而可以求值． (3)齐次式的化切求值问题，体现了数学运算的核心素养．三角函数1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝⎛⎭⎫－32，－12，则sin α的值为( ) A ．－32 B ．－12 C.32 D.12答案 B 2．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ,2)，则P 点的横坐标x 是( ) A ．2 3 B ．±2 3 C ．－2 2 D ．－23 解析因为cos α＝－32<0，所以x <0，又r ＝x 2＋22，由题意得x x 2＋22＝－32，所以x ＝－2 3.故选D.3．有下列命题，其中正确的个数是( ) ①终边相同的角的同名三角函数值相等； ②同名三角函数值相等的角也相等；③终边不相同，它们的同名三角函数值一定不相等； ④不相等的角，同名三角函数值也不相等． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析对于①，由诱导公式一可得正确；对于②，由sin 30°＝sin 150°＝12，但30°≠150°，所以②错误；对于③，如α＝60°，β＝120°的终边不相同，但sin 60°＝sin 120°＝32，所以③错误；对于④，由③中的例子可知④错误． 4．代数式sin(－330°)cos 390°的值为( ) A ．－34 B.34 C ．－32 D.14解析由诱导公式可得，sin(－330°)cos 390°＝sin 30°×cos 30°＝12×32＝34，故选B.5．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是( ) A ．(2k π，2k π＋π)，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π，k ∈Z D ．[2k π，2k π＋π]，k ∈Z 解析由sin x ≥0，－cos x ≥0，得x 为第二象限角或y 轴正半轴上的角或x 轴负半轴上的角，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π，k ∈Z .6．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为．解析由三角函数定义知，tan 420°＝－a4，又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝3，∴－a4＝3，∴a ＝－4 3.7．点P (tan 2 019°，cos 2 019°)位于第象限．解析因为2 019°＝5×360°＋219°，所以2 019°与219°终边相同，是第三象限角，所以tan 2 019°>0，cos 2 019°<0，所以点P 位于第四象限．8．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是．解析由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，解得－2<a ≤3. 9．已知角α的终边过点P (12，a )，且tan α＝512，求sin α＋cos α的值．解根据三角函数的定义，tan α＝a 12＝512，所以a ＝5，所以P (12,5)．这时r ＝13，所以sin α＝513，cos α＝1213，从而sin α＋cos α＝1713.10．化简下列各式：(1)sin 72π＋cos 52π＋cos(－5π)＋tan π4；(2)a 2sin 810°－b 2cos 900°＋2ab tan 1 125°.解 (1)原式＝sin 32π＋cos π2＋cos π＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a 2sin 90°－b 2cos 180°＋2ab tan 45°＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.11．如果点P (sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析 ∵P 点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ<0，sin θ·cos θ>0，则有sin θ<0且cos θ<0，∴角θ位于第三象限．12．某点从点(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫－12，32B.⎝⎛⎭⎫－32，－12C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12解析由三角函数定义可得Q ⎝⎛⎭⎫cos 2π3，sin 2π3，cos 2π3＝－12，sin 2π3＝32.13．如果cos x ＝|cos x |，那么角x 的取值范围是．解析因为cos x ＝|cos x |，所以cos x ≥0，所以角x 的终边落在y 轴或其右侧，从而角x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2，k ∈Z . 14．已知角α的顶点为坐标原点，以x 轴的非负半轴为始边，它的终边过点⎝⎛⎭⎫12，－32，则sin α＝，cos α＝ . 解析由三角函数的定义得r ＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫－322＝14＋34＝1，则sin α＝y r ＝－32，cos α＝12.15．α是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则α2所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析因为α是第三象限角，所以2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .所以k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z .所以α2在第二、四象限．又因为⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，所以cos α2<0.所以α2在第二象限． 16．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点是M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值．解 (1)由1|sin α|＝－1sin α可知sin α<0由lg(cos α)有意义可知cos α>0，所以角α是第四象限角． (2)∵|OM |＝1，∴⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45.又α是第四象限角，故m <0，从而m ＝－45. 由正弦函数的定义可知sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.三角函数的基本关系1．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝35，则tan α等于( )A.34 B ．－34 C.43 D ．－43解析由sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π得cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝－34，故选B.2．化简sin 2α＋cos 4α＋sin 2αcos 2α的结果是( )A.14B.12 C ．1 D.32解析原式＝sin 2α＋cos 2α(cos 2α＋sin 2α)＝sin 2α＋cos 2α＝1.3．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝23，则此三角形是( ) A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形解析将sin α＋cos α＝23两边平方，得1＋2sin αcos α＝49，即2sin α·cos α＝－59. 又α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，所以α为钝角．4．化简cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ得( ) A ．－2tan 2θ B.2tan 2θ C ．－2tan θ D.2tan θ解析 cos θ1＋cos θ－cos θ1－cos θ＝cos θ(1－cos θ)－cos θ(1＋cos θ)1－cos 2θ＝－2cos 2θsin 2θ＝－2tan 2θ. 5．已知sin θ＋cos θ＝43⎝⎛⎭⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ等于( ) A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝169，得2sin θcos θ＝79，则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝29，由0<θ<π4，知sin θ－cos θ<0，所以sin θ－cos θ＝－23. 6．已知sin α＝1213，且α为第二象限角，则tan α的值为．解析 ∵α是第二象限角，sin α＝1213，∴cos α＝－513.于是tan α＝－125. 7．已知cos α＝－35，且tan α>0，则sin αcos 2α1－sin α＝ . 解析由cos α<0，tan α>0知α是第三象限角，且sin α＝－45，故原式＝sin αcos 2α1－sin α＝sin α(1－sin 2α)1－sin α＝sin α(1＋sin α)＝⎝⎛⎭⎫－45×⎝⎛⎭⎫1－45＝－425. 8．已知tan α＝2，则4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝ .解析 4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2α＝4sin 2α－3sin αcos α－5cos 2αsin 2α＋cos 2α＝4tan 2α－3tan α－5tan 2α＋1＝4×4－3×2－54＋1＝55＝1. 9．已知tan α＝23，求下列各式的值： (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α； (2)1sin αcos α. 解 (1)cos α－sin αcos α＋sin α＋cos α＋sin αcos α－sin α＝1－tan α1＋tan α＋1＋tan α1－tan α＝1－231＋23＋1＋231－23＝265. (2)1sin αcos α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝tan 2α＋1tan α＝136. 10．化简：(1)cos 36°－1－cos 236°1－2sin 36°cos 36°； (2)sin θ－cos θtan θ－1. 解 (1)原式＝cos 36°－sin 236°sin 236°＋cos 236°－2sin 36°cos 36°＝cos 36°－sin 36°(cos 36°－sin 36°)2 ＝cos 36°－sin 36°|cos 36°－sin 36°|＝cos 36°－sin 36°cos 36°－sin 36°＝1. (2)原式＝sin θ－cos θsin θcos θ－1＝cos θ(sin θ－cos θ)sin θ－cos θ＝cos θ.11．若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为( ) A ．－32 B.32 C ．－52 D.52解析由题意知θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以sin θ－cos θ>0，sin θ－cos θ＝(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝52，故选D. 12.1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°的值为( ) A ．1B ．－1C ．sin 10°D ．cos 10° 解析1－2sin 10°cos 10°sin 10°－1－sin 210°＝(cos 10°－sin 10°)2sin 10°－cos 210°＝|cos 10°－sin 10°|sin 10°－cos 10°＝cos 10°－sin 10°sin 10°－cos 10°＝－1. 13．化简：⎝⎛⎭⎫1sin α＋1tan α(1－cos α)＝ .解析原式＝⎝⎛⎭⎫1sin α＋cos αsin α(1－cos α)＝1＋cos αsin α(1－cos α)＝1－cos 2αsin α＝sin 2αsin α＝sin α. 14．若α是第三象限角且cos α＝－33，则sin α＝，tan α＝ . 解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－33，∴sin α＝－1－cos 2α＝－63；∴tan α＝sin αcos α＝ 2.15．在△ABC 中，2sin A ＝3cos A ，则角A 等于( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析由题意知cos A >0，即A 为锐角．将2sin A ＝3cos A 两边平方得2sin 2A ＝3cos A ，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)．∴A ＝π3. 16．证明：sin α(1＋tan α)＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋1tan α＝1sin α＋1cos α.证明左边＝sin α⎝⎛⎭⎫1＋sin αcos α＋cos α⎝⎛⎭⎫1＋cos αsin α＝sin α＋sin 2αcos α＋cos α＋cos 2αsin α ＝sin 2α＋cos 2αsin α＋sin 2α＋cos 2αcos α＝1sin α＋1cos α＝右边．即原等式成立．。

高考解答题专项突破(二) 三角函数的综合问题--2025年高考数学复习讲义及练习解析

[考情分析]以三角形、三角函数为载体，以三角函数的图象与性质、正弦定理、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查三角函数的综合问题是高考的热点题型，主要考查内容有正、余弦定理、三角形面积的计算、三角恒等变换和三角函数的性质．解题时要充分利用三角函数的图象与性质，交替使用正弦定理、余弦定理，利用数形结合、函数与方程思想等进行求解．考点一三角函数图象与性质的综合例1已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ(1)求f (x )＝2的解集；(2)求函数g (x )＝f 解(1)由图象可知，周期T ＝5π12＋7π12＝π，∴ω＝2ππ＝2，∵，∴A 2×5π12＋0，∴0，解得5π6＋φ＝π＋2k π，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝π6，∵点(0，1)在函数图象上，∴A sin π6＝1，A ＝2，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝x由f (x )＝x 2，得x 1，即2x ＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ＝π6＋k π，k ∈Z ，∴f (x )＝2|x ＝π6k π，k ∈(2)g (x )＝由(1)知f (x )＝xg (x )＝2sin 2＋π6－2sin 2＋π6＝2sin2x －2sinx ＝2sin2x －x ＋32cos2sin2x －3cos2x＝x 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，∴函数g (x )＝f k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .解决三角函数图象与性质综合问题的方法利用图象讨论三角函数的性质，应先把函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω>0)的形式，然后通过换元法令t ＝ωx ＋φ，转化为研究y ＝A sin t 或y ＝A cos t 的性质．1.已知函数f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－4sin 2ωx 2sin φ(ω>0，|φ|<π)，其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差π4，________，从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中．①函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y 轴对称且f (0)<0；②函数f (x )的图象的一条对称轴为直线x ＝－π3且f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若x ∈π2，3π4，函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2，求x 1＋x 2的值．解(1)f (x )＝2sin ωx cos φ＋2sin φ－2(1－cos ωx )sin φ＝2sin(ωx ＋φ)，又函数f (x )的最小正周期为T ＝4×π4＝π，所以ω＝2πT＝2，若选条件①：将函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度得到的图象关于y 轴对称，所得函数为y ＝2sin 2φ＝x ＋π3＋由函数y ＝2sin x ＋π3＋y 轴对称，可得π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝xf (0)＝1，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x f (0)＝2sin π6＝1，不符合题意．所以f (x )＝x若选条件②：因为函数f (x )图象的一条对称轴为直线x ＝－π3，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，因为|φ|<π，所以φ的可能取值为－5π6，π6，若φ＝－5π6，则f (x )＝x则2<f (1)，符合题意；若φ＝π6，则f (x )＝x则2sin π2＝2>f (1)，不符合题意．所以f (x )＝x(2)令t ＝2x －5π6∈π6，2π3，此时函数h (x )＝f (x )－a 存在两个不同零点x 1，x 2等价于直线y ＝a 与函数y ＝2sin t ，t ∈π6，2π3的图象有两个不同交点．当t ＝π2时，函数取到最大值，所以t 1＋t 2＝π，即2x 1－5π6＋2x 2－5π6＝π，所以x 1＋x 2＝4π3.考点二三角函数与解三角形的综合例2(2023·河北石家庄二中模拟)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)，该函数图象上相邻两个最高点间的距离为4π，且f (x )为偶函数．(1)求ω和φ的值；(2)已知角A ，B ，C 为△ABC 的三个内角，若(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，求[f (A )]2＋[f (C )]2的取值范围．解(1)因为f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象上相邻两个最高点间的距离为4π，所以2πω＝4π，解得ω＝12，所以f (x )＝2sin ＋又因为f (x )为偶函数，所以φ＝k π＋π2，k ∈Z .又因为0<φ<π，所以φ＝π2.(2)因为(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )，又因为A ＋B ＋C ＝π，且0<A <π，所以sin(B ＋C )＝sin A ≠0，所以cos B ＝12，因为0<B <π，所以B ＝π3，则A ＋C ＝2π3，即C ＝2π3－A ，由(1)知，函数f (x )＝2cos 12x ，所以[f (A )]2＋[f (C )]2＝2cos 212A ＋2cos 212C ＝cos A ＋cos C ＋2＝cos A ＋2＝cos A －12cos A ＋32sin A ＋2＝32sin A ＋12cos A ＋2＝2，因为0<A <2π3，所以π6<A ＋π6<5π6，所以1，则23，即[f (A )]2＋[f (C )]23.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两个方面：(1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形；(2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用．2.设f (x )＝sin x cos x －cos x ∈[0，π]．(1)求f (x )的单调递增区间；(2)在锐角三角形ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若0，a ＝1，求△ABC面积的最大值．解(1)由题意，得f (x )＝12sin2x －12cos x 1＝sin2x －12，因为0≤x ≤π，所以0≤2x ≤2π，由正弦函数的单调性可知，当0≤2x ≤π2或3π2≤2x ≤2π，即0≤x ≤π4或3π4≤x ≤π时，函数f (x )＝sin2x －12单调递增，所以f (x )的单调递增区间是0，π4和3π4，π.(2)由题意，得sin A －12＝0，所以sin A ＝12，因为△ABC 为锐角三角形，所以A 故A ＝π6.由余弦定理，得b 2＋c 2－2bc cos A ＝a 2，故b 2＋c 2－3bc ＝1，由基本不等式，得b 2＋c 2≥2bc ，故bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时，等号成立．因此S △ABC ＝12bc sin A ≤2＋34，当且仅当b ＝c 时，△ABC 的面积取得最大值2＋34.考点三三角函数与平面向量的综合例3已知向量a ＝(sin x ，3sin(π＋x ))，b ＝(cos x ，－sin x )，函数f (x )＝a ·b －32.(1)求f (x )的最小正周期及f (x )图象的对称轴方程；(2)先将f (x )的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移π3个单位长度得到函数g (x )的图象，若函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，求m 的取值范围．解(1)因为f (x )＝a ·b －32sin x cos x ＋3sin 2x －32＝12sin2x －32cos2x ＝x 故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由2x －π3＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋5π12，k ∈Z ，所以f (x )的最小正周期为π，对称轴方程为x ＝k π2＋5π12，k ∈Z .(2)由(1)，知f (x )＝x由题意，得g (x )＝sin x .函数y ＝g (x )－m 在区间π6，5π6内有两个零点，转化为函数y ＝sin x ，x ∈π6，5π6的图象与直线y ＝m 有两个交点．由图象可得，m 的取值范围为12，当题目条件给出的向量坐标中含有三角函数的形式时，首先运用向量数量积的定义、向量共线、向量垂直等，得到三角函数的关系式，然后利用三角函数的图象、性质解决问题．3.已知向量a x b ＝(cos x ，－1)．(1)当a ∥b 时，求2cos 2x －sin2x 的值；(2)求f (x )＝(a ＋b )·b 在－π2，0上的单调递增区间．解(1)由a ∥b ，得(－1)sin x ＝32cos x ，所以tan x ＝－32，所以2cos 2x －sin2x ＝2cos 2x －2sin x cos x cos 2x ＋sin 2x ＝2－2tan x 1＋tan 2x ＝2＋31＋94＝2013.(2)f (x )＝a ·b ＋b 2＝sin x cos x －32＋cos 2x ＋1＝12sin2x ＋1＋cos2x 2－12＝22sin x 当x ∈－π2，0时，2x ＋π4∈－3π4，π4，令－π2≤2x ＋π4≤π4，得－3π8≤x ≤0.故函数f (x )在－π2，0上的单调递增区间为－3π8，0.考点四解三角形与平面向量的综合例4(2024·四川成都调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n .(1)求角A 的大小；(2)D 是线段BC 上的点，且AD ＝BD ＝2，CD ＝3，求△ABD 的面积．解(1)因为m ＝(2b ＋c ，a )，n ＝(cos A ，cos C )，m ⊥n ，所以m ·n ＝(2b ＋c )cos A ＋a cos C ＝0，由正弦定理可得2sin B cos A ＋(sin A cos C ＋cos A sin C )＝0，即2sin B cos A ＋sin(A ＋C )＝0，又A ＋C ＝π－B ，所以2sin B cos A ＋sin B ＝0，又B ∈(0，π)，则sin B >0，所以cos A ＝－12，又A ∈(0，π)，因此A ＝2π3.(2)设B ＝θ，因为A ＝2π3，则C ＝π－2π3－θ＝π3－θ，因为AD ＝BD ＝2，所以∠BAD ＝B ＝θ，∠ADC ＝2θ，∠DAC ＝2π3－θ，在△ACD 中，由正弦定理可知AD sin C ＝CD sin ∠DAC，即23即θ－12sin θ＋12sin 化简可得5sin θ＝3cos θ，即tan θ＝35，所以sin2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝5314，所以S △ABD ＝12AD ·BD sin(π－2θ)＝12AD ·BD sin2θ＝12×22×5314＝537.解决解三角形与平面向量综合问题的关键：准确利用向量的坐标运算化简已知条件，将其转化为三角函数的问题解决．4.(2023·广东广州天河区模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足b cos B ＋C 2＝a sin B .(1)求A ；(2)若a ＝19，BA →·AC →＝3，AD 是△ABC 的中线，求AD 的长．解(1)因为cos B ＋C 2＝sin A 2，所以b sin A 2＝a sin B .由正弦定理，得sin B sin A 2＝sin A sin B .因为sin B ≠0，所以sin A 2＝sin A .所以sin A 2＝2sin A 2cos A 2.因为A ∈(0，π)，A 2∈所以sin A 2≠0，所以cos A 2＝12.所以A 2＝π3.所以A ＝2π3.(2)因为BA →·AC →＝3，所以bc cos(π－A )＝3.又A ＝2π3，所以bc ＝6.由余弦定理，得b 2＋c 2＝a 2＋2bc cos A ＝13.又AD →＝12(AB →＋AC →)，所以|AD →|2＝14(AB →＋AC →)2＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝74.所以|AD →|＝72，即AD 的长为72.课时作业1．(2023·广东佛山模拟)已知函数f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递减区间；(2)已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝1，BC 边的中线AD 的长为7，求△ABC 面积的最大值．解(1)∵f (x )＝cos 4x ＋23sin x cos x －sin 4x ＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x ＝x 故f (x )的最小正周期T ＝π，由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)得，f (A )＝A 1，即A ＝12，∵0<A <π，∴2A ＋π6＝5π6，∴A ＝π3，又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AD →2＝14(AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →)，∴7＝14(c 2＋b 2＋2bc cos A )＝14(b 2＋c 2＋bc )，∵b 2＋c 2≥2bc ，∴b 2＋c 2＋bc ≥3bc ，∴bc ≤283，当且仅当b ＝c ＝2213时取等号，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×283＝733，∴△ABC 面积的最大值为733.2.(2024·江西南昌模拟)如图为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ>0，ω>0，|φ|<π2，x ∈(1)求函数f (x )的解析式和单调递增区间；(2)若将y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位长度，然后再将横坐标缩短为原来的12得到y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间－π4，π12上的最大值和最小值．解(1)由图象知，A ＝2，T 4＝π3－π12＝π4，T ＝π，又ω>0，则ω＝2ππ＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)，，2，得π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π3，k ∈Z ，因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f (x )＝x 令－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为－5π12＋k π，π12＋k π(k ∈Z )．(2)将f (x )＝2sin x 的图象向右平移π12个单位长度，得2sin 2＋π3＝2sin x ，然后再将横坐标缩短为原来的12，得g (x )＝2sin x ．因为x ∈－π4，π12，则4x ＋π6∈－5π6，π2，所以－1≤x 1.故当4x ＋π6＝－π2，即x ＝－π6时，g (x )取得最小值，为－2；当4x ＋π6＝π2，即x ＝π12时，g (x )取得最大值，为2.3．设函数f (x )＝m ·n ，其中向量m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )(x ∈R )．(1)求f (x )的最小值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知f (A )＝2，b ＝1，△ABC 的面积为32，求b sin B的值．解(1)因为m ＝(2cos x ，1)，n ＝(cos x ，3sin2x )，所以f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝x 1，所以当x 1，即2x ＋π6＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－π3＋k π，k ∈Z 时，f (x )取得最小值，为－1.(2)由f (A )＝2，得A 1＝2，则A ＝12，又A ∈(0，π)，所以2A ＋π6∈故2A ＋π6＝5π6，则A ＝π3，由S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝32，可得c ＝2，在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝1＋4－2×1×2×12＝3，所以a ＝3，所以b sin B ＝a sin A ＝332＝2.4．(2023·四川成都模拟)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且f (C )＝3，c ＝1，ab ＝23，求△ABC 的周长．解(1)依题意，f (x )＝2cos 2x ＋3sin2x ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＝x 1，由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (C )＝C 1＝3，即C 1，而C ∈(0，π)，则2C ＋π6∈于是2C ＋π6＝π2，解得C ＝π6，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得1＝(a ＋b )2－(2＋3)ab ＝(a ＋b )2－23×(2＋3)，解得a ＋b ＝2＋3，所以△ABC 的周长为3＋ 3.5．(2023·福建福州模拟)已知向量m 23sin x 4，n cos x 4，cos(1)若m ·n ＝2，求cos (2)记f (x )＝m ·n ，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围．解(1)m ·n ＝23sin x 4cos x 4＋2cos 2x 4＝3sin x 2＋cos x 2＋1＝ 1.因为m ·n ＝2，所以＝12.所以1－2sin ＝12.(2)因为f (x )＝m ·n ＝1，所以f (A )＝ 1.因为(2a －c )cos B ＝b cos C ，由正弦定理，得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C .所以2sin A cos B －sin C cos B ＝sin B cos C ，所以2sin A cos B ＝sin(B ＋C )．因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(B ＋C )＝sin A ，且sin A ≠0.所以cos B ＝12.因为B ∈(0，π)，所以B ＝π3.所以0<A <2π3.所以π6<A 2＋π6<π2，12<sin ，故f (A )的取值范围是(2，3)．6．(2024·湖北黄冈调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知向量m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，且m ·n ＝0.(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求3a ＋c 的最大值．解(1)在△ABC 中，因为m ＝(b ，a )，n ＝(sin A ，3cos(A ＋C ))，m ·n ＝0，所以b sin A －3a cos B ＝0.由正弦定理，得sin A sin B ＝3sin A cos B ，又sin A >0，所以sin B ＝3cos B ，即tan B ＝ 3.又0<B <π，所以B ＝π3.(2)由(1)，知B ＝π3，b ＝3，由正弦定理，得a sin A ＝c sin C ＝b sin B＝2，即a ＝2sin A ，c ＝2sin C .又C ＝2π3－A ，所以3a ＋c ＝6sin A ＋2sin C ＝6sin A ＋7sin A ＋3cos A ＝213sin(A ＋θ)，其中锐角θ由tan θ＝37确定，又0<A <2π3，所以θ<A ＋θ<2π3＋θ.则当且仅当A ＋θ＝π2，即tan A ＝＝733时，sin(A ＋θ)取最大值1，所以3a ＋c 的最大值为213.7．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x .(1)求f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间0，π2上的值域；(3)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若0，a ＝2，求△ABC 面积的最大值．解(1)依题意，f (x )＝(cos 2x ＋sin 2x )(cos 2x －sin 2x )－sin2x ＝cos2x －sin2x ＝2sinx 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；由2k π－π2≤2x ＋3π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－5π8≤x ≤k π－π8，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为k π－5π8，k π－π8(k ∈Z )．(2)由x ∈0，π2，得2x ＋3π4∈3π4，7π4，则－1≤x ≤22，即－2≤f (x )≤1，所以函数f (x )在区间0，π2上的值域为[－2，1]．(3)由(1)知，＝2sin 0，而0<A <π，即有3π4<A ＋3π4<7π4，则A ＋3π4＝π，解得A ＝π4，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得4＝b 2＋c 2－2bc ≥2bc －2bc ，于是bc ≤4＋22，当且仅当b ＝c 时等号成立，因此S △ABC ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值为2＋1.8．(2024·重庆永川北山中学模拟)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，cos(A－C )＋cos B ＝32，设m ＝(b ，c )，n ＝(a ，b )且m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)延长BC 至D ，使BD ＝5，若△ACD 的面积S ＝3，求AD 的长．解(1)由cos(A －C )＋cos B ＝32，可知cos(A －C )－cos(A ＋C )＝32，即cos A cos C ＋sin A sin C －cos A cos C ＋sin A sin C ＝32，可得sin A sin C ＝34.由m ∥n 可得b 2－ac ＝0，由正弦定理可知sin 2B ＝sin A sin C ＝34，因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝32，因此B ＝π3或2π3.分别代入cos(A －C )＋cos B ＝32，可知当B ＝2π3时，cos(A －C )＝2，不成立．因此B ＝π3.(2)由B ＝π3可知cos(A －C )＝1，即A ＝C ，因此△ABC 为等边三角形，即a ＝b ＝c ，S △ACD ＝12AC ·CD sin ∠ACD ＝12b (5－a )sin 2π3＝34a (5－a )＝3，整理可得a (5－a )＝4，即a 2－5a ＝－4，在△ABD 中，由余弦定理可知，AD 2＝AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos π3＝c 2＋25－5c ＝a 2＋25－5a ＝21，因此AD 的长为21.。

高一数学三角函数章节复习2(学生版)

学科教师辅导讲义【点拨】上述所给出的两种解法，均体现了一种转化与化归的数学思想方法，实际上，也给出了对求形如sin cos a x by c x d+=+值域的两种通法，另外，若以后学过《解析几何》之后，利用斜率的概念，还可以给出本题的另外一种数形结合的解题方法。

2、数形结合思想数形结合的思想，就是把问题的数量关系和空间形式结合起来考察的思想，根据解决问题的需要，可以把数量关系的问题转化为图形的性质问题去讨论，或者把图形的性质问题转化为数量关系的问题来研究，简言之“数形互相取长补短”。

例2、定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x =+，当[]3,5x ∈时，()24f x x =--，则（） A 、sincos 66f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B 、()()sin1cos1f f > C 、22cossin 33f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭D 、()()cos2sin 2f f > 【分析】由()()2f x f x =+知()f x 是以2T =为周期的函数，又Q []3,5x ∈时，()24f x x =--，可知，当[]3,4x ∈，()2f x x =-；当(]4,5x ∈时，()6f x x =-+，如第一个图所示，知()f x 在[]1,0-上是增函数，在[]0,1上是减函数，由第二个图可知0cos2sin 2<<3、换元思想方法在求函数的定义域、周期、单调区间时，都可能用到了整体换元的思想方法。

例3、求函数()()43sin 43cos 16y x x =---的最值。

【分析】将函数式展开发现出现sin cos ,sin cos x x x x +，从而可以运用代数换元，转化为二次函数问题。

必修四三角函数复习(图像和性质)讲义

三角函数的图象及性质复习考纲要求三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用重难点归纳1考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用2三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用♦ ()k x ASin y Sinx y ++==ϕω变化为怎样由？振幅变化：Sinx y = ASinx y = 左右伸缩变化：x ASin y ω= 左右平移变化 )(ϕω+=x ASin y 上下平移变化 k x ASin y ++=)(ϕω 周期问题◆ ()()()(), 0 , 0A , T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , 2T , 0 , 0A , >>+==>>+==>>+==>>+=ωϕωωπωϕωωπωϕωωπωϕωx ACos y x ASin y x ACos y x ASin y❖()()ωπωϕωωπωϕω=>>+==>>+=T , 0 , 0A , tan T , 0 , 0A , tan x A y x A y 典型题例示范讲解（一）对三角函数性质的考查：题型一：最值问题例1.（全国理15）已知函数()4cos sin()16f x x x π=+-。

（Ⅰ）求()f x 的最小正周期：（Ⅱ）求()f x 在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值。

练习：1（2011汕头模拟）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 在11[,]424ππ上的最大值和最小值.2（2011佛一模）．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为A ．4πB ．2π C ．πD ．2π3.（本小题满分12分）（2011广一模）已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R ). (1) 当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值; (2) 若θ为锐角，且83f πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求tan θ的值.题型二：对称性问题例1．（本小题满分12分）（2010广一模）已知函数()sin cos cos sin f x x x ϕϕ=+（其中x ∈R ，0ϕπ<<）．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）若函数24y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像关于直线6x π=对称，求ϕ的值．2．（2011佛一模）定义运算a bc d,ad bc =-则函数()f x =2sin 12cos x x -图像的一条对称轴方程是( )A ．2x π=B ．4x π=C ．x π=D ．0x =练习1.（2010深圳）已知函数f(x)=3sin(x-)(>0)6πωω和g(x)=2cos(2x+)+1ϕ的图象的对称轴完全相同。

(完整word版)三角函数专题讲义

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-．当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数．在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函数性质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。

三角函数讲义(适用于高三第一轮复习)

三角函数1．同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+αα αααtan cos sin = 2．诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）ααπsin )sin(-=+ ααπcos )cos(-=+ ααπtan )tan(=+ ααπsin )sin(=- ααπcos )cos(-=- ααπtan )tan(-=-ααπcos )2sin(=+ ααπsin )2cos(-=+ ααπcos )2sin(=-ααπsin )2cos(=- ααsin )sin(-=- ααcos )cos(=- 3．两角和与差的公式βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-4．倍角公式 αααcos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=αααααααα2tan 1tan 22tan -=5．降幂公式 22cos 1sin 2αα-= 22cos 1cos 2αα+= ααα2sin 21cos sin =6．幅角公式 x b x a ωωcos sin +)sin(22ϕω++=x b a ，其中ab=ϕtan8．补充公式 ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±， 2cos2sinsin 1ααα±=±知识点睛一．三角函数的图象与性质图象]1,1[-]1,1[-最值当且仅当22ππ+=k x 时取到最大值1；当且仅当22ππ-=k x 时取到最小值1-当且仅当πk x 2=时取到最大值1；当且仅当ππ-=k x 2时取到最小值1-周期最小正周期为π2最小正周期为π2奇偶性奇函数偶函数单调性在]22,22[ππππ+-k k 上单调增；在]232,22[ππππ++k k 上单调减在]2,2[πππk k -上单调增；在]2,2[πππ+k k 上单调减对称轴2ππ+=k x ；对称中心)0,(πk对称轴πk x =；对称中心)0,2(ππ+k说明：表格中的k 都是属于Z ，在选择“代表”的区间或点时，先尽量选择离坐标原点近的，再尽量选择正的。

初三精英班第2讲勾股定理与三角函数

tan 60 DF=BD-OE=41 3 10(米)
CF=DF+CD=41 3-10+40=41 3+3（0 米） EF=CF tan =41 3 30 41 1.7 99.7 100(米) 答：点E离地面的高度EF是100米
中考专练
1.(2014 年山东泰安）如图，∠ACB=90°，D 为 AB 的中点，连接 DC 并
延长到 E，使 CE= 1 CD，过点 B 作 BF∥DE，与 AE 的延长线交于点 F．若
3
AB=6，则 BF 的长为（）
A.6 B.7 C.8
D.10
解： ACB 90 ，D为AB的中点，AB 6
CD 1 AB 3．又CE 1 CD
2
3
CE 1
ED CE CD 4 又 BF DE，点D是AB的中点
2X
x
2X
x
3.（2015•牡丹江）在△ABC 中，AB=12 2 ，AC=13，cos∠B= 2 ， 2
则 BC 边长为（
）
A．7 B．8
C．8 或 17
D．7 或 17
4. 如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90º，AC＝3，BC＝4，将边 AC 沿 CE 翻折，使点 A 落在 AB 上的点 D 处；再将边 BC 沿 CF 翻折，使点 B 落在 CD 的延长线上的点 B′处，两条折痕与斜边 AB 分别交于点 E、F，则线段 B′F 的长为（）
锐角 A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦；锐角 A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切。
即：
sinA
（斜对），cosA
=（斜邻），tanA
对
=（邻）
2.特殊角的三角函数值
锐角 α

2高考复习指导讲义第二章三角、反三角函数

高考复习指导讲义第二章三角、反三角函数一、考纲要求1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确进行弧度和角度的互换。

2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期的意义。

3.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。

4.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简，求值和恒等式的证明。

5.了解正弦函数、余弦函数，正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数，余弦函数和函数y=Asin(wx+ϕ)的简图，理解A 、w 、ϕ的物理意义。

6.会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx 、arccosx 、arctgx 表示。

7.掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决三角形的计算问题。

8.理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图像得出反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题。

9.能够熟练地写出最简单的三角方程的解集。

二、知识结构1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA 由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按一定方向旋转到另一位置OB ，就形成了角α。

其中射线OA 叫角α的始边，射线OB 叫角α的终边，O 叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角：2k π＜α＜2k π+2π,k ∈Z 第二象限角：2k π+2π＜α＜2k π+π,k ∈Z 第三象限角：2k π+π＜α＜2k π+23π,k ∈Z第四象限角：2k π+23π＜α＜2k π+2π,k ∈Z(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内(而且只有这样的角)，可以表示为k ²360°+α，k ∈Z 。

(5)特殊角的集合：终边在坐标轴上的角的集合｛α｜α＝2πk ，k ∈Z ｝终边在一、三象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π+4π，k ∈Z ｝终边在二、四象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝终边在四个象限角平分线上角的集合｛α｜α＝k π-4π，k ∈Z ｝2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式--2025年高考数学复习讲义及练习解析

第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：01sin 2α＋cos 2α＝1．(2)cos α2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角α＋k ·2π(k ∈Z )π＋α－απ－απ2－απ2＋α正弦sin α－sin α－sin αsin αcos αcos α余弦cos α－cos αcos α－cos αsin α－sin α正切tan αtan α－tan α－tan α——口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限记忆规律奇变偶不变，符号看象限1．和积互化变形：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.2．弦切互化变形：sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1，cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1，sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1.1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.()(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．()(3)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝13.()答案(1)×(2)×(3)×2．小题热身(1)已知α为锐角，且sin α＝45，则cos(π＋α)＝()A ．－35B ．35C ．－45D ．45答案A解析因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝35，故cos(π＋α)＝－cos α＝－35.故选A.(2)(人教B 必修第三册7.2.3练习B T2改编)已知tan α＝2，则3sin α－cos αsin α＋2cos α＝()A ．54B ．－54C ．53D ．－53答案A解析原式＝3tan α－1tan α＋2＝3×2－12＋2＝54.故选A.(3)下列三角函数的值中(k ∈Z )，与sin π3的值相同的个数是()①πk πk πcos (2k ＋1)π－π6；⑤sin (2k ＋1)π－π3.A ．1B ．2C ．3D ．4答案C解析对于①，πsin (k ＋1)π＋π3，当k 为奇数时，sin (k ＋1)π＋π3＝sin π3；当k为偶数时，sin (k ＋1)π＋π3＝－sin π3，不满足题意．对于②，k πcos π6＝sin π3满足题意．对于③，k πsin π3，满足题意．对于④，cos (2k ＋1)π－π6＝cosπ6＝－sin π3，不满足题意．对于⑤，sin (2k ＋1)π－π3＝sin π3，满足题意．故选C.(4)(人教A 必修第一册习题5.3T5改编)－α)的结果为________．答案sin α解析原式＝sin αcos α·cos α＝sin α.考点探究——提素养考点一同角三角函数基本关系式的应用(多考向探究)考向1“知一求二”问题例1已知角α的终边在第三象限，且tan α＝2，则sin α－cos α＝()A ．－1B ．1C ．－55D ．55答案C解析由角α的终边在第三象限，则sin α<0，cos α<0，2，cos 2α＝1，解得cos α＝－55，sin α＝－255，所以sin α－cos α＝－255＋55＝－55.故选C.【通性通法】利用同角基本关系式“知一求二”的方法注意：由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，当利用“平方关系”公式求平方根时，会出现两解，需根据角所在的象限判断三角函数值的符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．【巩固迁移】1．(2024·广东梅州模拟)已知cos α＝13，且α为第四象限角，则tan α＝()A ．－22B ．±22C ．±23D ．23答案A解析∵α为第四象限角，∴sin α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.故选A.考向2“弦切互化”问题例2已知tan θ＝2，则1sin 2θ－cos 2θ的值为()A ．34B ．23C ．53D ．2答案C解析由题意，得1sin 2θ－cos 2θ＝sin 2θ＋cos 2θsin 2θ－cos 2θ＝tan 2θ＋1tan 2θ－1＝22＋122－1＝53.故选C.【通性通法】若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，这是同角三角函数关系中的一类基本题型，形如a sin x ＋b cos xc sin x ＋d cos x，a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 等类型可进行弦化切．【巩固迁移】2．(2023·苏州模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋sin αcos α＝()A ．35B ．－35C ．－3D ．3答案A解析由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α＝35.故选A.考向3sin α±cos α，sin αcos α之间关系的应用例3(2023·广东潮州模拟)已知π2<x <π，sin x ＋cos x ＝15，则sin x －cos x ＝________．答案75解析由(sin x ＋cos x )2＝1＋2sin x cos x ＝125，得2sin x cos x ＝－2425，所以(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，因为π2<x <π，所以sin x >cos x ，故sin x －cos x ＝75.【通性通法】“sin α±cos α，sin αcos α”关系的应用sin α±cos α与sin αcos α通过平方关系联系到一起，即(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，sin αcos α＝(sin α＋cos α)2－12，sin αcos α＝1－(sin α－cos α)22.因此在解题时已知一个用方程思想可求另外两个．【巩固迁移】3．(2023·山东聊城模拟)已知α－π2，sin α＋cos α＝55，则tan α的值为________．答案－12解析∵sin α＋cos α＝55，∴sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos α＝15，∴sin αcos α＝－25，∴sin 2α＋cos 2α－2sin αcos α＝95＝(sin α－cos α)2，又sin αcos α<0，α－π2，α－π2，sin α<0，cos α>0，∴cos α－sin α＝355，∴sin α＝－55，cos α＝255，∴tan α＝－12.考点二诱导公式的应用例4()A ．－2B ．－1C ．1D ．2答案B解析原式＝－tan αcos α(－cos α)cos(π＋α)[－sin(π＋α)]＝tan αcos 2α－cos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.故选B.(2)已知＝23，其中α________．答案－23解析－2π3＋＝－23.【通性通法】1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角；(2)角中含有加减π2的整数倍时，用公式去掉π2的整数倍．2．常见的互余和互补的角(1)互余的角：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等；(2)互补的角：π3＋θ与2π3－θ；π4＋θ与3π4－θ等．【巩固迁移】4．(2024·湖南长郡中学高三质量检测)已知f (α)________．答案12解析因为f (α)＝－sin αcos αcos α－cos αsin α＝cos α，所以cos π3＝12.考点三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用例5(1)已知＝13，且α则cos ()A ．13B ．－13C ．223D ．－223答案C解析由sin π＝13，而α，∴5π6－α－π6，＝223.故选C.(2)(2023·辽宁葫芦岛模拟)若sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝12，则tan θ＝________．答案－3解析因为sin(π－θ)＋cos(θ－2π)sin θ＋cos(π＋θ)＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝12，所以tan θ＋1tan θ－1＝12，解得tan θ＝－3.【通性通法】利用诱导公式与同角三角函数基本关系解题的思路和要求(1)思路：①分析结构特点，选择恰当的公式；②利用公式化成同角三角函数；③整理得最简形式．(2)要求：①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．【巩固迁移】5．已知cos167°＝m ，则tan193°＝()A ．1－m2B ．1－m 2m C ．－1－m 2m D ．－m 1－m 2答案C解析tan193°＝tan(360°－167°)＝－tan167°＝－sin167°cos167°＝－sin167°m，因为cos167°＝m ，所以sin167°＝1－m 2，所以tan193°＝－1－m 2m.故选C.6．已知cos α＝－513，且α________．答案1312解析∵cos α＝－513，α∴sin α＝1－cos 2α＝1213，∴coscos(α＋＝cos α－cos α(－sin α)＝1sin α＝1312.课时作业一、单项选择题1．(2023·广西桂林模拟)sin9330°的值为()A ．22B ．－12C ．12D ．－22答案B解析sin9330°＝sin(360°×25＋330°)＝sin330°＝sin(360°－30°)＝－sin30°＝－12.故选B.2．(2023·吉林长春质检)已知＝13，θ∈(0，π)，则tan θ＝()A ．22B ．24C ．－22D ．－24答案C解析依题意，得cos θ＝13，则cos θ＝－13.由于θ∈(0，π)，所以sin θ＝1－cos 2θ＝223，所以tan θ＝sin θcos θ＝－2 2.故选C.3．已知＝13，则cos ()A ．223B ．－223C ．13D ．－13答案D解析∵π4＋α＝π2，∴cos π2＋＝－13.故选D.4．(2023·江西南昌模拟)已知sin(θ＋π)＝0，θ∈(－π，0)，则sin θ＝()A ．－31010B ．－1010C ．31010D ．1010答案A解析∵sin(θ＋π)＝0，∴3cos θ－sin θ＝0，∵θ∈(－π，0)，sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴sin θ＝－31010.故选A.5．若tan θ＝－2，则cos 2θ－sin 2θ＝()A ．－45B ．35C ．－35D ．45答案C解析解法一：由题意知tan θ＝－2，θ＝sin θcos θ＝－2，2θ＋cos 2θ＝1，解得cos 2θ＝15，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－(1－cos 2θ)＝2cos 2θ－1＝2×15－1＝－35.故选C.解法二：已知tan θ＝－2，所以cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.故选C.6．已知sin α，cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两个根，则实数a 的值为()A ．56B ．－56C ．43D ．34答案B解析由题意，得sin α＋cos α＝23，sin αcos α＝a3，所以sin 2α＋cos 2α＝(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝49－2a 3＝1，解得a ＝－56.故选B.7．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin3，－2cos3)，则角α的弧度数为()A ．3－π2B ．π2－3C ．π－3D ．3π2－3答案A解析tan α＝－2cos32sin3＝－又0<3－π2<π2，α为锐角，所以α＝3－π2.故选A.8．已知sin α＋cos α＝15，则tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝()A ．－17524B ．17524C ．－2524D ．2524答案C解析由题意知sin α＋cos α＝15，有2sin αcos α＝－2425，所以tan(π＋α)＋12sin 2α＋sin2α＝tan α＋12sin α(sin α＋cos α)＝sin α＋cos αcos α·12sin α(sin α＋cos α)＝12sin αcos α＝－2524.故选C.二、多项选择题9．已知3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，θ－π3，θ的值可能是()A ．－π6B ．－π3C ．π3D ．5π6答案AD解析∵3sin(π＋θ)＝cos(2π－θ)，∴－3sin θ＝cos θ，∴tan θ＝－33，∵θ－π3，θ＝－π6或θ＝5π6.故选AD.10．在△ABC 中，下列结论正确的是()A ．sin(A ＋B )＝sinC B ．sinB ＋C 2＝cosA2C ．tan(A ＋B )＝－tanD ．cos(A ＋B )＝cos C 答案ABC解析在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π，则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确；sinB ＋C2＝cos A2，B 正确；tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C 正确；cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．故选ABC.11．给出下列四个结论，其中正确的是()A ．sin(π＋|α|)＝－sin α成立的条件是角α是锐角B ．若cos(n π－α)＝13(n ∈Z )，则cos α＝13C ．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝－1tan αD ．若sin α＋cos α＝1，则sin n α＋cos n α＝1答案CD解析由诱导公式，知sin(π＋|α|)＝－sin|α|sin α，α≥0，α，α<0，所以A 错误．当n ＝2k (k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos(－α)＝cos α，此时cos α＝13，当n ＝2k ＋1(k ∈Z )时，cos(n π－α)＝cos[(2k＋1)π－α]＝cos(π－α)＝－cos α，此时cos α＝－13，所以B 错误．若α≠k π2(k ∈Z )，则＝cos α－sin α＝－1tan α，所以C 正确．将等式sin α＋cos α＝1两边平方，得sin αcos α＝0，所以sin α＝0或cos α＝0.若sin α＝0，则cos α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1；若cos α＝0，则sin α＝1，此时sin n α＋cos n α＝1，故sin n α＋cos n α＝1，所以D 正确．故选CD.三、填空题12．已知＝32，且|φ|<π2，则tan φ＝________．答案－3解析∵＝32，∴－sin φ＝32，∴sin φ＝－32，∵|φ|<π2，∴cos φ＝12，∴tan φ＝sin φcos φ＝－ 3.13．(2023·河南平顶山联考)已知tan θ＝2，则1＋sin θcos θ的值为________．答案75解析∵tan θ＝2，∴1＋sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ＋1tan 2θ＋1＝22＋2＋122＋1＝75.14．(2023·全国乙卷)若θtan θ＝12，则sin θ－cos θ＝________．答案－55解析因为θ则sin θ>0，cos θ>0，又因为tan θ＝sin θcos θ＝12，则cos θ＝2sin θ，且cos 2θ＋sin 2θ＝4sin 2θ＋sin 2θ＝5sin 2θ＝1，解得sin θ＝55或sin θ＝－55(舍去)，所以sin θ－cos θ＝sin θ－2sin θ＝－sin θ＝－55.15．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来．数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为a ，则()A ．12B ．－12C ．32D ．－32答案D解析根据“数字黑洞”的定义，任取数字串2024，经过第一步之后变为404，经过第二步之后变为303，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即a ＝123，所以cos π6＝－32.故选D.16．(多选)已知角α满足sin αcos α≠0，则表达式sin(α＋k π)sin α＋cos(α＋k π)cos α(k ∈Z )的取值为()A ．－2B ．－1C ．2D ．1答案AC解析当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.所以原表达式的取值为－2或2.故选AC.17．(多选)已知角θ和φ都是任意角，若满足θ＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，则称θ与φ广义互余．若sin(π＋α)＝－14，则下列角β中，可能与角α广义互余的是()A ．sin β＝154B ．cos(π＋β)＝14C ．tan β＝15D ．tan β＝155答案AC解析若α与β广义互余，则α＋β＝π2＋2k π(k ∈Z )，即β＝π2＋2k π－α(k ∈Z )．又由sin(π＋α)＝－14，可得sin α＝14若α与β广义互余，则sin β＝2k π－cos α＝±1－sin 2α＝±154(k ∈Z )，故A 正确；若α与β广义互余，则cosβ＝2k π－sin α＝14(k ∈Z )，而由cos(π＋β)＝14，可得cos β＝－14，故B 错误；由A ，B 可知sin β＝±154，cos β＝14，所以tan β＝sin βcos β＝±15，故C 正确，D 错误．故选AC.18．已知f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α，α为第二象限角．(1)若f (α)＝3，求43sin 2α＋cos 2α的值；(2)若cos 2αf (α)＝12，求cos(2023π＋α)＋cos 解(1)因为α为第二象限角，所以|cos α|＝－cos α，f (α)＝1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝(1＋sin α)2(1－sin α)(1＋sin α)－(1－sin α)2(1＋sin α)(1－sin α)＝(1＋sin α)21－sin 2α－(1－sin α)21－sin 2α＝1＋sin α|cos α|－1－sin α|cos α|＝2sin α|cos α|＝－2tan α.若f (α)＝3，则－2tan α＝3，所以tan α＝－32，所以43sin 2α＋cos 2α＝43sin 2α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α＝43tan 2α＋1tan 2α＋1＝43×＋1＋1＝1613.(2)cos 2αf (α)＝cos 2α×(－2tan α)＝－cos 2α×2sin αcos α＝－2sin αcos α.因为cos 2αf (α)＝12，则－2sin αcos α＝12，所以sin αcos α＝－14.又α为第二象限角，所以sinα>0，cosα<0，sinα－cosα>0.所以cos(2023π＋α)＋cos(π＋α)＋cosα＋sinα＝(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋2×14＝6 2 .。

《三角函数的图象与性质》讲义

《三角函数的图象与性质》讲义一、引言三角函数是数学中的重要概念，其图象和性质在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

掌握三角函数的图象与性质，对于理解和解决相关问题具有关键意义。

二、三角函数的定义在直角三角形中，正弦（sin）、余弦（cos）和正切（tan）分别定义为：正弦（sin）：对边与斜边的比值。

余弦（cos）：邻边与斜边的比值。

正切（tan）：对边与邻边的比值。

用角度θ表示，即：sinθ ＝对边／斜边cosθ ＝邻边／斜边tanθ ＝对边／邻边三、常见的三角函数1、正弦函数：y ＝ sin x定义域：R（全体实数）值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 sin(x ＋2π) ＝ sin x奇偶性：奇函数，即 sin(x) ＝ sin x图象特点：图象是一条波浪线，在 x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ π/2 （k∈Z）处取得最小值－1。

2、余弦函数：y ＝ cos x定义域：R值域：－1, 1周期性：周期为2π，即 cos(x ＋2π) ＝ cos x奇偶性：偶函数，即 cos(x) ＝ cos x图象特点：图象也是一条波浪线，在 x ＝kπ（k∈Z）处取得最大值 1，在 x ＝kπ ＋π（k∈Z）处取得最小值－1。

3、正切函数：y ＝ tan x定义域：｛x ｜x ≠ kπ ＋π/2，k∈Z}值域：R周期性：周期为π，即 tan(x ＋π) ＝ tan x奇偶性：奇函数，即 tan(x) ＝ tan x图象特点：图象是由一系列不连续的曲线组成，在每个周期内，在x ＝kπ ＋π/2 （k∈Z）处有垂直渐近线。

四、三角函数图象的变换1、平移变换对于正弦函数 y ＝ sin(x ＋φ)，当φ ＞ 0 时，图象向左平移φ个单位；当φ ＜ 0 时，图象向右平移|φ|个单位。

对于余弦函数 y ＝ cos(x ＋φ)，规律与正弦函数相同。

2、伸缩变换对于正弦函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)，A 决定了图象的振幅，ω决定了图象的周期。

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三角函数复习讲义（2）
三角函数的图象和性质
一、复习要点：
1．主要内容：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数()sin y A x ωϕ=+的图象和图象变换，已知三角函数值求角。

2．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。

3．常用方法：
（1）求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；（2）求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。

二、基础训练：
1．将函数()sin y f x x =的图象向右平移
4
π
个单位后再作关于x 轴对称的曲线，得到函数212sin y x =-的图象，则()f x 可以是
（）
A ．cos x
B ．2cos x
C ．sin x
D ．2sin x
2．函数()sin cos f x a x b x =-图象的一条对称轴是直线4
x π=，则常数a 与b 满足（）
A ．0a b +=
B ．0a b -=
C
．0a =
D ．
0a =
3．如果α、β,2ππ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，且tan cot αβ<，那么必有（）
A ．αβ<
B ．αβ>
C ．32παβ+<
D ．32
π
αβ+> 4．函数()()
()
sin ,
sin cos cos ,
sin cos x x x f x x x x ≥⎧⎪=⎨
<⎪⎩，给出下列四个命题，其中正确的是
（）
A ．()f x 的值域为[]1,1-
B ．()f x 是以π为周期的周期函数
C ．当且仅当()22
x k k Z π
π=+
∈时()f x 取得最大值 D ．当且仅当()3222
k x k k Z π
πππ+<<+∈时()0f x <
5．函数3sin 34cos 344y x x ππ⎛⎫
⎛
⎫=+
++ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭的最小正周期是．
6．如果α、β、γ均为锐角，1sin 3α=，tan β=3
cos 4
γ=，则,,αβγ从小到大的顺序为． 7．设甲：“1sin 2α=”，乙：“6
π
α=”，则甲是乙的条件。

三、例题分析：
例1 已知函数()426cos 5sin 4
cos2x x f x x
+-=，求()f x 的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。

例2 若()2
122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为 ()g a ，
（1）求()g a 的表达式；（2）求使()1
2
g a =的a 的值，并求当a 取此值时()f x 的最大值。

四、课后作业：
1．给出下列命题： ①存在实数x ，使sin cos 1x x =成立；
②存在实数x ，使3
sin cos 2
x x +=成立；
③函数5sin 22y x π⎛⎫
=-
⎪⎝⎭
是偶函数；
④直线8
x π
=
是函数5sin 24
y x π⎛
⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象的一条对称轴； ⑤若α和β都是第一象限角，且αβ>，则tan tan αβ>．
其中真命题的序号是（把你认为是真命题的序号都填上）．
2．函数sin 3cos cos 3cos 3633y x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
的图象的一条对称轴方程是（）
A ．4
x π=
B ．8
x π=
C ．4
x π
=-
D ．2
x π
=-
3．如果()()f x f x π+=-，且()()f x f x -=，则()f x 可以是（）
A ．sin 2x
B ．cos x
C ．sin ||x
D ．|sin |x
4．要得到sin
2x y =的图象，只需将函数cos 24x y π⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
的图象（）
A ．向左平移
4π个单位 B ．向右平移4π
个单位
C ．向左平移2π个单位
D ．向右平移2
π
个单位
5．若()sin f x x 是周期为π的奇函数，则()f x 可以是（）
A ．sin x
B ．cos x
C ．sin 2x
D ． cos2x
6．函数sin 2sin 23y x x π⎛⎫
=-
- ⎪⎝
⎭
的一个单调递增区间是（）
A ．,63ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦ B ．5,36ππ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦ C ．513,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ． 7,1212ππ⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦ 7．已知,αβ以及αβ+均为锐角，()sin ,sin sin ,cos cos x y z αβαβαβ=+=+=+，那么,,x y z 的大小关系是（）
A ．x y z <<
B ．y x z <<
C ．x z y <<
D ．y z x <<
8．函数(),f x x R ∈是奇函数，且当0x ≥时，()2
sin f x x x =+，则当0x <时，()f x 等
于．
9．已知函数()2
2cos sin sin cos 3f x x x x x x π⎛⎫
=+
-+ ⎪⎝
⎭
，（1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大值和最小值；（3）求()f x 的递增区间。

10．已知函数()()sin 0,0,||2f x A x A πωθωθ⎛
⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
的图象与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为()0,3x ，()02,3x π+-，（1）求函数()y f x =的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数sin y x =的图象依
次经过哪些变换而得到的。