宁夏银川市第二中学2021届高三年级上学期统练测试(三)数学(文)试题(解析版)
宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二 文(含解析)
宁夏银川市第二中学2021届高三数学上学期统练试题二文（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合A={x|x2-x-6≤0}，B={x|x＞1}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.设x∈R，则“|x|＞3”是“2x＞8”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.已知函数则的值为（）A. B. 2 C. D. 94.已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5.已知函数f（x）的定义域为R，，对任意的x∈R满足f'（x）＞4x，当α∈[0，2π]时，不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为（）A. B. C. D.6.已知cos（+α）=，α∈（，π），则cosα=（）A. B. C. D.7.函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 58.要得到y=sin x函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（）A. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度B. 横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度C. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向右平移个单位长度D. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变,再向左平移个单位长度9..若，则=（）A. B. C. D.10.已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则使f（a+x）﹣f（a﹣x）＝0成立的a的最小正值为（）A. B. C. D.11.已知方程x2+3ax+3a+1=0（a＞1）的两根分别为tanα，tanβ，且，则α+β=（）A. 或B. 或C.D.12.函数y=ln|x|+1的图象大致为（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x-4）=-f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[-8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4= ______ ．14.函数y=tan（2x+）的最小正周期是______ ．15.已知角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，M（，）为其终边上一点，则cos2α=______16.已知，tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°，则sinα=______三、解答题（本大题共7小题）17.已知函数f（x）=ln x-ax，g（x）=x2．a∈R．（1）求函数f（x）的极值点；（2）若f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围．18.已知函数的部分图象如图所示．（1）求A，ω的值；（2）求f（x）的单调增区间；（3）求f（x）在区间上的最大值和最小值．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，．（1）求cos B；（2）若a=2，求△ABC的面积．20.已知函数f（x）=（1）求f（x）的对称中心（2）若x，f（x）=，求cos2x的值21.已知函数f(x)＝e x cos x－x.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间[0，]上的最大值和最小值．22.直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），曲线．（1）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（2）射线与C1异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．23.设函数f（x）=|x+a|+|x-a2-a|（a∈R）．（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≤5的解集；（Ⅱ）若存在a∈[-1，0]，使得不等式f（x）≥b对一切x∈R恒成立，求实数b 的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：对于集合A，由x2-x-6≤0得，所以，（x+2）（x-3）≤0，解得，x∈[-2，3]，即A={x|-2≤x≤3}，而B={x|x＞1}，所以，A∩B={x|1＜x≤3}，故选：B．先解出集合A，由（x+2）（x-3）≤0得出A={x|-2≤x≤3}，再确定A∩B即可．本题主要考查了交集及其运算，涉及一元二次不等式的解法和集合的表示，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：|x|＞3，则x＜-3或x＞3，所以2x＞8或0＜2x，故充分性不成立；若2x＞8，则x＞3，所以|x|＞3，故必要性成立，所以“|x|＞3”是“2x＞8”的必要不充分条件，故选：B．分别解出不等式，利用充要条件的判定方法即可得出．本题考查了不等式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：∵∴f（）==-2，则=f（-2）==9故选：D．先根据已知函数可求f（）==-2，然后代入可求=f（-2）本题主要考查了分段函数在函数求值中的应用，属于基础是试题4.【答案】A【解析】解：由题意，可知：a=log27＞log24=2，b=log38＜log39=2，c=0.30.2＜1，∴c＜b＜a．故选：A．本题可根据相应的对数式与指数式与整数进行比较即可得出结果．本题主要考查对数式与指数式的大小比较，可利用整数作为中间量进行比较．本题属基础题．5.【答案】A【解析】解：令g（x）=f（x）+1-2x2，则g′（x）=f′（x）-4x＞0，故g（x）在R上单调递增，又g（）=f（）+1-2×=-+1-=0，∴g（x）＞0的解集为x＞，∵cos2α=1-2sin2α，故不等式f（sinα）+cos2α＞0等价于f（sinα）+1-2sin2α＞0，即g（sinα）＞0，∴sinα＞，又α∈[0，2π]，∴＜α＜．故选：A．令g（x）=f（x）+1-2x2，求导可得g（x）单调递增，且g（）=0，故不等式f（sinα）+cos2α＞0的解集为g（sinα）＞0的解集．本题考查了利用导数研究函数单调性，考查函数单调性的应用，根据所求不等式构造函数是解题关键，属于中档题．6.【答案】C【解析】解：已知cos（+α）=，α∈（，π），所以：，故cos．故选：C．直接利用三角函数诱导公式的应用和同角三角函数关系式的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，同角三角函数关系式的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】【分析】本题考查了函数的零点与方程的根的关系应用，考查数形结合法，属于基础题．解函数f（x）=2sin x-sin2x=0，在[0，2π]的解，即2sin x=sin2x令左右为新函数h （x）和g（x），作图求两函数在区间的交点即可．【解答】解：函数f（x）=2sin x-sin2x在[0，2π]的零点个数，即：2sin x-sin2x=0在区间[0，2π]的根个数，即2sin x=sin2x，令左右为新函数h（x）和g（x），h（x）=2sin x和g（x）=sin2x，作图求两函数在区间[0，2π]的图象可知：h（x）=2sin x和g（x）=sin2x，在区间[0，2π]的图象的交点个数为3个．故选：B．8.【答案】A【解析】解：∵只需将函数的图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得y=sin（x+）函数的图象；再向右平移个单位长度，可得y=sin x函数的图象，故选：A．由题意利用函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：cos（2α+）=-sin2α=-=-=-2×=-，故选：A．由cos（2α+）=-sin2α=-=-，再代值计算即可．本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：结合图象可知，A=2，f（x）=2sin（ωx+φ），∵f（0）=2sinφ=1，∴sinφ=，∵|φ|＜，∴φ=，f（x）=2sin（ωx+），结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+），其对称轴x=，k∈z，∵f（a+x）-f（a-x）=0成立，∴f（a+x）=f（a-x）即f（x）的图象关于x=a对称，结合函数的性质，满足条件的最小值a=故选：B．结合图象由最值可求A，由（0）=2sinφ=1，可求φ，结合图象及五点作图法可知，ω×+=2π，可求ω，再求出函数的对称轴方程即可求解．本题主要考查了由y=A sin（ωx+φ）的图象求解函数解析式，解题的关键是正弦函数性质的灵活应用．11.【答案】D【解析】解：∵方程x2+3ax+3a+1=0两根tanα、tanβ，∴tanα+tanβ=-3a，tanαtanβ=3a+1，∴tan（α+β）==1，又∵α，β∈（-，），ta nα+tanβ=-3a＜0，tanαtanβ=3a+1＞0，∴tanα＜0，tanβ＜0，∴α，β∈（-，0），∴α+β∈（-π，0），结合tan（α+β）=1，∴α+β=-，故选：D．由韦达定理和两角和的正切公式可得tan（α+β）=1，进一步缩小角的范围可得α+β∈（-π，0），则α+β可求．本题考查两角和与差的正切函数，涉及韦达定理的应用，属中档题．12.【答案】A【解析】解：∵函数的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，以-x代替x，函数值不变．∴函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．在（0，+∞）上单调递增，过点（1，1），x趋向0时，y趋向-∞，结合图象可知，应选A．故选：A．分析解析式特点，可得函数是个偶函数，函数图象关于y轴对称，且与y轴无交点．再根据在（ 0，+∞）上单调递增，图象过点（1，1），选出满足条件的选项．本题考查利用函数解析式分析函数图象的特征，注意利用奇偶性、单调性、特殊点及函数值的范围．13.【答案】-8【解析】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x-4）=-f（x）=f（-x），∴f（x）的图象关于直线x=-2对称，又f（x-4）=-f（x），∴f（x）=-f（x+4），∴f（x-4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=-6对称，两个关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+x4=-6×2+2×2=-8．故答案为：-8．由条件“f（x-4）=-f（x）”得f（x+8）=f（x），说明此函数是周期函数，又是奇函数，且在[0，2]上为增函数，由这些画出示意图，由图可解决问题．本题主要考查方程根的应用，根据条件结合函数的周期性和奇偶性，利用数形结合是解决本题的关键．14.【答案】【解析】解：∵y=tan（2x+），∴函数的周期T=，故答案为：．根据正切函数的周期公式即可得到结论．本题主要考查三角函数的周期的计算，利用三角函数的周期公式是解决本题的关键，比较基础．15.【答案】【解析】解：∵角α的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边过点M（，），|OM|=，∴cosα=，则cos2α=2cos2α-1=2×=．故答案为：．利用任意角的三角函数的定义求得cosα，再由二倍角公式求cos2α．本题考查任意角的三角函数的定义，训练了倍角公式的应用，是基础题．16.【答案】【解析】解：∵tanα=sin76°cos46°-cos76°sin46°=sin（76°-46°）=sin30°=，即，∴cosα=2sinα，又sin2α+cos2α=1，解得sinα=．故答案为：．由已知求得tanα，再由同角三角函数基本关系式求解sinα．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及两角差的正弦，是基础题．17.【答案】解：（1）f′（x）=-a=（x＞0），当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（0，+∞）单调增，不存在极值点；当a＞0，f′（x）=0，则x=a，x∈（0，a），f′（x）＜0，x∈（a，+∞），f′（x）＞0，∴x∈（0，+∞），有极小值，无极大值．且极小值f（a）=ln a-a2；（2）f（x）≤g（x）恒成立，即ln x-ax≤x2（x＞0），可得a≥，令h（x）=（x＞0），则h′（x）═=，令t（x）=1-x2-ln x（x＞0），t′（x）=-2x-，∵x＞0，t′（x）＜0恒成立，即函数t（x）在（0，+∞）单调递减，而t（1）=1-12-ln1=0，所以x∈（0，1），t（x）＞0，x∈（1，+∞），t（x）＜0，即x∈（0，1），h′（x）＞0，x∈（1，+∞），h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）递增，在（1，+∞）单调递减．所以函数h（x）在（0，+∞），h（x）≤h（1）=-1，所以a的取值范围（-∞，-1]．【解析】（1）先求导，再利用参数的范围求极值点；（2）函数恒成立转化为a大于等于一个函数，求出另一个函数的最大值，进而求出a 的取值范围．考查参数的取值不同得到的极值，恒成立问题分离出参数大于等于另一个函数，转化为求另一个函数的最大值问题，属于中难度题．18.【答案】解：（1）由图象知A=1，由图象得函数的最小正周期为，则由得ω=2（2）∵，∴．∴．所以f（x）的单调递增区间为．（3）∵，∵，∴．∴．当，即时，f（x）取得最大值1；当，即时，f（x）取得最小值．【解析】（1）通过函数的图象直接求A，利用函数的周期即可求出ω的值；（2）根据函数的单调增区间，直接求f（x）的单调增区间即可；（3）通过x∈，求出函数的相位的范围，利用正弦函数的最值，直接求解f（x）的最大值和最小值．本题考查函数解析式的求法，正弦函数的单调性的应用，正弦函数的最值的求法，考查计算能力．19.【答案】解：（1）∵2sin B=sin A，∴2b=a，即a=．又∵c=b，∴cos B=．（2）∵a=2，∴c=3．∵cos B=，∴sin B=，∴S△ABC=．【解析】（1）由2sin B=sin A，可得2b=a，再利用余弦定理求出cos B即可；（2）利用S△ABC=a•c•sin B求出三角形的面积．本题考查三角形的正余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属基础题．20.【答案】解：（1）f（x）=====．由，得x=，k∈Z．∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z；（2）由f（x）=，得，∴sin（2x-）=，∵x，∴2x-∈[-，]，则cos（2x-）=±．当cos（2x-）=时，cos2x=cos[（2x-）+]=cos（2x-）cos-sin（2x-）sin==；当cos（2x-）=-时，cos2x=cos[（2x-）+]=cos（2x-）cos-sin（2x-）sin=．【解析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由相位终边落在y轴上求得x值，则答案可求；（2）由f（x）=求得sin（2x-）=，分类求出cos（2x-），再由cos2x=cos[（2x-）+]，展开两角和的余弦求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：（1）函数f（x）=e x cos x-x的导数为=e x（cos x-sin x）-1，可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为，,切点为（0，1），曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；（2）函数f（x）=e x cos x-x的导数为=e x（cos x-sin x）-1，令g（x）=e x（cos x-sin x）-1，则g（x）的导数为=e x（cos x-sin x-sin x-cos x）=-2e x•sin x，当x∈[0，]，可得=-2e x•sin x≤0，即有g（x）在[0，]上单调递减，可得g（x）≤g（0）=0，即,则f（x）在[0，]上单调递减，即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0-0=1；最小值为f（）=cos-=-．【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、最值，考查化简整理的运算能力，正确求导是解题的关键，属于较易题．（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C1：（α为参数）化为普通方程为x2+y2=2x，所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+2sin2θ）=3．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点的极径为，重点中学试卷可修改欢迎下载射线与曲线C2的交点的极径满足，解得，所以．【解析】（1）根据曲线C1的参数方程，消去α得出普通方程，再化为极坐标方程，由曲线C2的普通方程得出极坐标方程；（2）将射线方程分别代入曲线C1和C2，求出ρ1和ρ2，作差得到弦长AB的长度．本题考查参数方程与普通方程，以及普通方程和极坐标方程的互化，以及利用极坐标方程求弦长的问题，属于中档题目．23.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x-2|=，x≤-1时，不等式f（x）≤5化为-2x+1≤5，解得x≥-2，即-2≤x≤1；1-1＜x＜2时，不等式f（x）≤5化为3≤5，不等式恒成立，即-1＜x＜2；x≥2时，不等式f（x）≤5化为2x-1≤5，解得x≤3，即2≤x≤3；综上所述，不等式f（x）≤5的解集为{x|-2≤x≤3}；（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，∴f（x）min≥b，∵f（x）=|x+a|+|x-a2-a|≥|（x+a）-（x-a2-a）|=|a2+2a|，∴f（x）min=|a2+2a|≥b对任意a∈[-1，0]恒成立，∵|a2+2a|=|（a+1）2-1|，∴当a=0时，|a2+2a|取得最小值为0，∴实数b的取值范围是（-∞，0]．【解析】（Ⅰ）a=1时，根据绝对值不等式的定义去掉绝对值，求不等式f（x）≤5的解集即可；（Ⅱ）不等式f（x）≥b的解集为R，等价于f（x）min≥b，求出f（x）min在a∈[-1，0]的最小值即可．本题考查了绝对值不等式的解法与应用问题，也考查了函数绝对值三角不等式的应用问题，是中档题．11。
宁夏银川二中2020届高三上学期统练三数学(文)试题 (含答案)
宁夏银川二中2020届高三（上）统练试卷（三）数学（文科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．23．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．2978．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．19．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P【解答】解：依题意P＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），又∵M＝{x|x＞1}，所以M∪P＝P，故选：B．2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：∵，∴z1•z2＝（1+i）（x2﹣i）＝（x2+1）+（x2﹣1）i，由z1•z2为实数，得x2﹣1＝0，即x＝±1．故选：C．3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣【解答】解：如图，E是AB中点；∴，；∴＝．故选：B．4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＝4，，∴a3a6＝a4a5＝a2•a7＝4×＝，故a3a6+a4a5 ＝+＝，故选：C．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），∴＝（﹣3，2），＝（﹣3，3），∴＝（﹣3）×（﹣3）+2×3＝15；|＝＝3；则向量在向量上的投影为，＝＝．故选：D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为T＝π．由于f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值为．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7＝3a1+9d＝39，得a1+3d＝13①，由a3+a6+a9＝3a1+15d＝27，得a1+5d＝9②，②﹣①得d＝﹣2，把d＝﹣2代入①得到a1＝19，则前9项的和S9＝9×19+×（﹣2）＝99．故选：B．8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．1【解答】解：如图所示，＝＝﹣．∴m＝﹣，n＝，∴，故选：C．9．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝sin ax+cos ax＝sin（ax+），∵T＝＝1，则a＝2π，∴f（x）＝sin（2πx+）∵令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得：k﹣≤x≤k+，k∈Z，∴f（x）的递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z．故选：D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos A＝＝，sin A＝＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝，∵由正弦定理，可得AB＝＝，∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝×1×＝．故选：A．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）为奇函数且单调递增，∵f（﹣cos600°）＝f（），f（﹣log）＝f（），∵f（），∴f（﹣cos600°）＞f（﹣log），故选：B．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，且△ABC的面积为S，且∴＝，∴，且0＜∠ABC＜π，∴．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．【解答】解：，则|z|＝＝＝＝．故答案为：．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵sin（+θ）＝，即+＝，平方可得+sin2θ＝，解得 sin2θ＝﹣，故答案为﹣．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【解答】解：根据题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝60°，DC⊥AC，∴∠DBC＝30°，∠BDA＝∠A＝15°，∴BD＝AB＝10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝10×＝5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷＝10海里/小时故答案为：10．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．．【解答】解：∵，x＞0，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，∵b＞a＞3，∴b＞＞＞a＞3，∴f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．故答案为：f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．【解答】解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴①cos x＝0时，sin x cos x＝0；②cos x≠0时，，∴，∴或，∴，综上得，sin x cos x＝0或；（2）＝＝＝，解，得f（x）的对称轴方程为，k∈Z，＝＝＝＝＝．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得a1+a1q+a1q2＝7，6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝，则a n＝2n﹣1或a n＝23﹣n；（2）当q＞1时，b n＝1+log2a n＝1+log22n﹣1＝1+n﹣1＝n，a n+b n＝2n﹣1+n，则前n项和T n＝（1+2+4++2n﹣1）+（1+2+3++n）＝+n（n+1）＝2n﹣1+．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为．∴×2ac cos B＝ac sin B，解得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵A+C＝，∠C为钝角，∴A∈（0，），可得tan A∈（0，），∈（，+∞）∴＝＝•∈（2，+∞），故的取值范围为（2，+∞）．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，由（1）知lnx++x﹣3≥0．即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以f（x）不存在极值．证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．由（1）知lnx++x﹣3≥0．则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．所以f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，将，代入得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，则d＝＝，当sin（）＝﹣1时，d有最小值，所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．（1分）当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜﹣}．（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，当且仅当x＝时等号成立．所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）。
宁夏银川二中2020届高三数学上学期统练三试题文(含解析)
1
A. 2
B. 0
1
C. 2
D. 1
【答案】C
【解析】
EF
EA
AC
CF
1
AB
AC
1
BC
由题意得，如图所示
2
3
1
AB
AC
1
(BA
AC)
1
AB
2
AC
2
3
6
3,
m 1,n 2
mn 1
所以
6 3 ，所以
2 ，故选 C.
9.函数 f (x) sin ax cos ax(a 0) 的最小正周期为 1，则 f (x) 的递增区间为（ ）
AB
=
CB
CA
由题可知
2
,进而求解即可
【详解】解:如图,
E 是 AB 中点,
CE
=
1
(CB
+ CA),
AB
=
CB
CA
∴
2
,
CE AB
1
(CB
+
CA)
CB CA
=
1
2 (CB
2 CA
)
7
2
2
2
故选:B
【点睛】本题考查向量的线性运算,考查数量积的运算
4.等比数列
由正弦定理求出 c ，
3 3 B. 4
3 3 C. 8
3 3 D. 4
tan A 1 sin A 10
【详解】 A 是三角形内角，
3 ，∴
10 ，
c a sin C 1 sin150 10
ac
sin A
10
2
由正弦定理 sin A sin C 得
宁夏银川市第二中学2021届高三上学期数学统练一试题
宁夏银川市第二中学2021届高三上学期数学统练一试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}|24A x x =-<<，{}|lg(2)B x y x ==-，则()R A B =（ ）A ．()2,4B ．()2,4-C ．()2,2-D ．(]2,2-2．已知a 、b 都是实数，那么>是“ln ln a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．如果角α的终边过点(2sin30,2cos30)︒-︒，则sin α的值等于（ ）A ．12B ．12-C ．D ．3-4．已知 πsin()4α+=则 3πsin()4α-的值为 ( )．A ．BC ．－12D ．125．在一座50m 高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60，塔底俯角为45，那么这座塔的高为（ ）A ．501m ⎛+ ⎝⎭B ．(501m +C ．50mD ．50m6．已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足(2)()f x f x +=，当[)0,1x ∈时，()41=-x f x ，则( 5.5)-f 的值为（ ）A ．2B ．1-C ．12-D ．17．函数y ＝f(x)的导函数y ＝f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①－3是函数y ＝f(x)的极值点；②－1是函数y ＝f(x)的最小值点； ③y ＝f(x)在区间(－3,1)上单调递增； ④y ＝f(x)在x ＝0处切线的斜率小于零． 以上正确命题的序号是( ) A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④8．设3log 42a =，则4a -=（ ） A ．116B ．19C ．18D ．169．已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin21cos2αα-=,则cos α（ ）A ．15B C D 10．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．12π11．函数y =A sin(ωx +φ)(A ＞0,ω＞0)的部分图象如图所示,则f (1)+f (2)+f (3)++f (11)的值等于A ．2B ．2+C ．2+D ．2--12．已知函数()2cos 2f x x x m =+-在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点12,x x ，则12tan2x x +的值为（ ）A B ．2C D二、填空题13．曲线ln 1y x x =++的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.14．已知函数1133(0)()(0)x x f x log x x +⎧⎪=⎨>⎪⎩，则不等式()1f x >的解集为______.15．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 16．已知cos α=，10sin()βα，α，β均为锐角，则sin β=___________.三、解答题17．在ABC ∆中，设内角,,A B C 的对边分别为222,,,a b c a b c ab +-=. （1）求C ∠的大小；（2）若2sin c A B ==，求ABC ∆的面积.18．已知函数2()2cos cos f x x x x a =++，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值为2.（1）求a 的值，并求()f x 的单调递增区间；（2）先将函数()y f x =的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移12π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程()4g x =在区间02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上所有根之和.19．在ABC 中,,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边,且3cos 5B =,()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=.(1)求边b 的值;(2)求ABC 的周长的最大值. 20．已知函数1()()xf x ax x R e =-∈. （1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且1≥x 时，()ln f x x ≤，求a 的取值范围. 21．已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f′（x ）为f （x ）的导数．（1）证明：f′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点；（2）若x ∈[0，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，曲线C 的极坐标方程为4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）过点()1,0P 作倾斜角为45的直线l 与圆C 交于,A B 两点，试求11PA PB+的值．23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.参考答案1．D 【分析】 先求出B R，再由交集的概念，即可得出结果.【详解】因为{}{}|lg(2)|2B x y x x x ==-=>，所以{}|2B x x =≤R，又{}|24A x x =-<< 因此(]()2,2R AB =-.故选：D ． 【点睛】本题主要考查交集和补集的运算，涉及对数型函数的定义域，属于基础题型. 2．B 【分析】>ln ln a b >”的充要条件,再分析即可.【详解】>0a b >≥,当ln ln a b >时有0a b >>.故>是“ln ln a b >”的必要不充分条件. 故选：B 【点睛】本题主要考查了充分与必要条件的判定,需要根据题意先求出两个命题的充要条件再分析.属于基础题. 3．C 【分析】由题知，角α的终边过点(1, ，求出此点到原点的距离，再有任意角三角函数的定义直接求出sin α的值即可选出正确选项 【详解】解：由题意()(2sin30,2cos301,︒-︒= ，点(1,到原点的距离 2r ==，由定义知sin y r α== 故选：C ． 【点睛】本题考查任意角三角函数的定义，解题的关键是理解任意角三角函数的定义，由定义直接得出三角函数值，属于基础题. 4．B 【分析】 ：用已知角π4α+，去表示未知角为3πππ44αα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简即可． 【详解】 ：因为3πππ44αα⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，所以3πππsin πsin 4442sin ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选B 【点睛】：用已知角去表示未知角是求三角值常见的一种处理技巧，利用角之间的和差、以及特殊角的关系进行配凑从而简化计算，三角诱导公式的口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 5．B 【分析】作出图形，根据特殊角的三角函数值求得CE 、DE ，进而可求得这座塔的塔高为CD CE DE =+，即可得解.【详解】 如下图所示：观测台的台高为50AB m =，由题意可得45CAE ∠=，且90AEC ∠=，ACE ∴为等腰直角三角形，易知四边形ABCE 为正方形，50AE CE AB m ∴===，在Rt ADE △中，60DAE ∠=，tan 6050DE AE ∴==，因此，这座塔的塔高为(501CD CE DE m =+=. 故选：B. 【点睛】本题考查测量高度问题，考查计算能力，属于基础题. 6．D 【分析】根据条件确定周期，再根据周期以及函数解析式求结果. 【详解】(2)()2f x f x T +=∴=0.5( 5.5)( 5.523)(0.5)41211f f f ∴-=-+⨯==-=-=故选：D 【点睛】本题考查函数周期、求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 7．C 【详解】试题分析：根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．根据导函数图象可知：当x ∈（-∞，-3）时，f'（x ）＜0，在x ∈（-3，1）时，()0f x '≥ ∴函数y=f （x ）在（-∞，-3）上单调递减，在（-3，1）上单调递增，故③正确； 则-3是函数y=f （x ）的极小值点，故①正确；∵在（-3，1）上单调递增∴-1不是函数y=f （x ）的最小值点，故②不正确； ∵函数y=f （x ）在x=0处的导数大于0∴切线的斜率大于零，故④不正确. 故选C.考点：利用导数研究曲线上某点切线斜率；函数的单调性与导数的关系；函数极值的判定. 8．B 【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解 【详解】由3log 42a =可得3log 42a=，所以49a =，所以有149a-=， 故选：B. 【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目. 9．D 【分析】由2sin 22sin cos ,cos22cos 1ααααα==-,代入已知式子中,可求出2sin cos αα=,再结合22sin cos 1αα+=即可求解. 【详解】 解:2sin21cos2αα-=,24sin cos 1cos22cos αααα∴=+=即2sin cos αα=.又22sin cos 1αα+= cos α∴=0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos 0α∴> cos α∴=故选:D. 【点睛】本题考查了二倍角公式的应用.熟练掌握二倍角公式以及公式的逆向运用.当求角的三角函数值时,易错点在于由限制角的范围,确定三角函数值的符号. 10．C 【分析】cos(2)y x ϕ=+在对称轴处取得最值有2cos()13πϕ+=±，结合||2ϕπ<，可得3πϕ=，易得曲线E 的解析式为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭，结合其对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭可得()26k k Z ππθ=-∈即可得到θ的最小值. 【详解】 ∵直线3x π=是曲线C 的一条对称轴.2()3k k πϕπ∴⨯+=∈Z ，又||2ϕπ<. 3πϕ∴=.∴平移后曲线E 为cos 223y x πθ⎛⎫=++⎪⎝⎭. 曲线E 的一个对称中心为04π⎛⎫⋅⎪⎝⎭. 22()432k k Z πππθπ∴⨯++=+∈.()26k k Z ππθ=-∈，注意到0θ> 故θ的最小值为3π. 故选：C. 【点睛】本题考查余弦型函数性质的应用，涉及到函数的平移、函数的对称性，考查学生数形结合、数学运算的能力，是一道中档题. 11．C 【解析】由图可知，2A =，函数的周期为2π8T ω==，所以π4ω=.φ=0.所以()π2sin 4f x x =.所()1f =()()()()92102,3f f f f ====()()114f f =()0,5f =()6f =2-(),7f =()8f =0.所以()()()()123112f f f f ++++=+故选C.12．D 【分析】化简()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，由02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，π，可得72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，利用函数零点的对称性可得12222662x x ππππ+++=⨯=，即可求得123x x π+=，进而求出12tan2x x +的值. 【详解】()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为02x π≤≤，所以72666x πππ≤+≤， 因为()2sin 26f x x m π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在02π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有两个零点12,x x ， 所以12222662x x ππππ+++=⨯=，所以123x x π+=，所以12tantan 263x x π+==故选：D 【点睛】本题考查了辅助角公式，考查了三角函数的图象与性质，着重考查了函数的零点，求得12x x +最关键，属于中档题.13．2y x = 【分析】设切线的切点坐标为00(,)x y ，对函数求导，利用0|2x y '=，求出0x ，代入曲线方程求出0y ，得到切线的点斜式方程，化简即可. 【详解】设切线的切点坐标为001(,),ln 1,1x y y x x y x=++'=+， 00001|12,1,2x x y x y x ='=+===，所以切点坐标为(1,2)， 所求的切线方程为22(1)y x -=-，即2y x =. 故答案为：2y x =. 【点睛】本题考查导数的几何意义，属于基础题. 14．11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】由已知中分段函数的解析式，分当0x 时，和当0x >时，两种情况分别解不等式()1f x >，最后综合讨论结果，可得答案． 【详解】解：当0x 时，由131x +>得：10x +>，解得：1x >-，10x ∴-<； 当0x >时，由131log x >得：103x <<， 103x ∴<<，综上所述，不等式()1f x >的解集为1(1,)3-，故答案为：11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式，分段函数，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键，属于中档题． 15．34π. 【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ． 【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．16．2【分析】利用同角三角函数的基本关系以及两角和的正弦公式即可求解. 【详解】由于,αβ都是锐角，所以22ππαβ-<-<，所以sin α==，cos()βα-== 所以sinsin[()]sin cos()cos sin()5105102⎛⎫=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，需熟记公式，属于基础题.17．（1）π3；（2）【解析】试题分析：（1）利用余弦定理求出角C ；（2）根据正弦定理将sin 2sin A B =转化为2a b =，再根据余弦定理求出b ，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求的值. 试题解析：（1）∵222a b c ab +-=∴2221cos 22a b c C ab +-==∵0C π<<π3C ∴=（2）sin 2sin A B =2a b ∴=2222cos c a b ab C =+-(2222142232b b b b b ∴=+-⋅⋅⋅= 2b ∴= 4a ∴=1sin 2ABC S ab C ∆∴== 18．（1）2a =，单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ；（2）3π【分析】（1）化简可得()2sin(2)16f x x a π=+++，由题意易得112a -++=，解方程可得a 值，解不等式222262k x k πππππ-++可得单调区间；（2）由函数图象变换可得()2sin(4)36g x x π=-+，可得1sin(4)62x π-=，解方程可得12x π=或4x π=，相加即可．【详解】解：（1）化简可得2()2cos cos f x x x x a =++cos2122sin(2)16x x a x a π=++=+++，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 2[66x ππ∴+∈，7]6π， 所以1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()f x ∴的最小值为112a -++=，解得2a =，()2sin(2)36f x x π∴=++， 由222262k x k πππππ-++可得36k x k ππππ-+，()f x ∴的单调递增区间为,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，()k ∈Z ；（2）由函数图象变换可得()2sin(4)36g x x π=-+，由()4g x =可得1sin(4)62x π-=， 4266x k πππ∴-=+或54266x k πππ-=+， 解得212k x ππ=+或24k x =+ππ，()k ∈Z ， [0x ∈，]2π，12x π∴=或4x π=，∴所有根之和为1243πππ+=．【点睛】本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属于中档题．19．(1) 1b =；(2) 1.【详解】(1)由()sin cos cos sin 0A B c A B --⋅=,得sin cos cos sin sin A B A B c B +=. ∴sin sin C c B =,即sin sin CB c=. 由正弦定理得sin sin B Cb c=,故1b =. (2)由余弦定理得22262cos 15a cb ac B ac +=+=+.∴()22161611552a c a c ac +⎛⎫+=+≤+ ⎪⎝⎭,∴a c +≤.所以当a c =时,ABC 1.20．（1）单调递减区间为(,2)ln -∞-，递增区间为(2,)ln -+∞．（2）1a e【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （2）问题转化为10x lnx ax e -+．令1()0(0)xg x lnx ax a e =-+>，通过函数的单调性求出a 的范围即可． 【详解】 解：（1）当2a =-时，1()2x f x x e=+， 1()2x f x e ∴'=-+．令1()20x f x e '=-+=，得122x ln ln ==-． 当2x ln <-时，()0f x '<； 当2x ln >-时，()0f x '>．∴函数()f x 的单调递减区间为(,2)ln -∞-，递增区间为(2,)ln -+∞．（2）当1x 时，()f x lnx 等价于1x ax lnx e -，即10x lnx ax e-+．(*) 令1()(0)x g x lnx ax a e =-+>，则11()0xg x a x e '=++>， ∴函数()g x 在[1，)+∞上单调递增．()()11g x g a e∴=-+．要使(*)成立，则10a e -+，得1a e．【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档题． 21．（1）见解析； （2）(],0a ∈-∞. 【分析】（1）求导得到导函数后，设为()g x 进行再次求导，可判断出当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0g x '<，从而得到()g x 单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数()()h x f x ax =-，通过二次求导可判断出()()min 2h x h a π''==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭；分别在2a ≤-，20a -<≤，202a π-<<和22a π-≥的情况下根据导函数的符号判断()h x 单调性，从而确定()0h x ≥恒成立时a 的取值范围.【详解】（1）()2cos cos sin 1cos sin 1f x x x x x x x x '=-+-=+-令()cos sin 1g x x x x =+-，则()sin sin cos cos g x x x x x x x '=-++= 当()0,x π∈时，令()0g x '=，解得：2x π=∴当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<()g x ∴在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()0110g =-=，1022g ππ⎛⎫=->⎪⎝⎭，()112g π=--=-即当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x >，此时()g x 无零点，即()f x '无零点 ()02g g ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭0,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =又()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 0x x ∴=为()g x ，即()f x '在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的唯一零点 综上所述：()f x '在区间()0,π存在唯一零点（2）若[]0,x π∈时，()f x ax ≥，即()0f x ax -≥恒成立 令()()()2sin cos 1h x f x ax x x x a x =-=--+ 则()cos sin 1h x x x x a '=+--，()()cos h x x x g x '''== 由（1）可知，()h x '在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 且()0h a '=-，222h a ππ-⎛⎫'=-⎪⎝⎭，()2h a π'=-- ()()min 2h x h a π''∴==--，()max 222h x h a ππ-⎛⎫''==- ⎪⎝⎭①当2a ≤-时，()()min 20h x h a π''==--≥，即()0h x '≥在[]0,π上恒成立()h x ∴在[]0,π上单调递增()()00h x h ∴≥=，即()0f x ax -≥，此时()f x ax ≥恒成立②当20a -<≤时，()00h '≥，02h π⎛⎫'>⎪⎝⎭，()0h π'< 1,2x ππ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10h x '=()h x ∴在[)10,x 上单调递增，在(]1,x π上单调递减又()00h =，()()2sin cos 10h a a ππππππ=--+=-≥()0h x ∴≥在[]0,π上恒成立，即()f x ax ≥恒成立③当202a π-<<时，()00h '<，2022h a ππ-⎛⎫'=->⎪⎝⎭20,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()20h x '=()h x ∴在[)20,x 上单调递减，在2,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增()20,x x ∴∈时，()()00h x h <=，可知()f x ax ≥不恒成立④当22a π-≥时，()max 2022h x h a ππ-⎛⎫''==-≤⎪⎝⎭()h x ∴在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减00h x h可知()f x ax ≥不恒成立 综上所述：(],0a ∈-∞ 【点睛】本题考查利用导数讨论函数零点个数、根据恒成立的不等式求解参数范围的问题.对于此类端点值恰为恒成立不等式取等的值的问题，通常采用构造函数的方式，将问题转变成函数最值与零之间的比较，进而通过导函数的正负来确定所构造函数的单调性，从而得到最值.22．（1）22880x y x y +--=；（2）7. 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的互化公式进行求解 ；（2）求出直线l 的参数方程，与圆的直角坐标方程联立，根据韦达定理利用直线参数方程中参数的几何意义求解. 【详解】解：（1）将曲线C 的极坐标方程，两边同乘ρ得2sin 4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭， 即28sin 8cos ρρθρθ=+，将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得：22880x y x y +--=；（2）直线l的参数方程为：12(2x ty t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数)，将其代入22880x y x y +--=中得：270t --=，设在直线l 的参数方程中，点,A B 所对应的参数分别为12,t t ，则127t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，所以12121211117t t PA PB t t t t -+=+==⋅. 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化，考查了弦长问题的求解，难度一般.一般地，解决弦长问题可采用直线参数方程中t 的几何意义求解. 23．（1）12x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭；（2）(]0,2 【解析】分析：(1)将1a =代入函数解析式，求得()11f x x x =+--，利用零点分段将解析式化为()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，然后利用分段函数，分情况讨论求得不等式()1f x >的解集为12x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭；(2)根据题中所给的()0,1x ∈，其中一个绝对值符号可以去掉，不等式()f x x >可以化为()0,1x ∈时11ax -<，分情况讨论即可求得结果.详解：（1）当1a =时，()11f x x x =+--，即()2,1,2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为12x x⎧⎫⎨⎬⎩⎭．（2）当()0,1x ∈时11x ax x +-->成立等价于当()0,1x ∈时11ax -<成立． 若0a ≤，则当()0,1x ∈时11ax -≥； 若0a >，11ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(]0,2．点睛：该题考查的是有关绝对值不等式的解法，以及含参的绝对值的式子在某个区间上恒成立求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，需要会用零点分段法将其化为分段函数，从而将不等式转化为多个不等式组来解决，关于第二问求参数的取值范围时，可以应用题中所给的自变量的范围，去掉一个绝对值符号，之后进行分类讨论，求得结果.。
宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练试题三 文(含解析)
宁夏银川二中2021届高三数学上学期统练试题三文（含解析）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．23．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．2978．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．19．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．2021-2022宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（文科）（三）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M＝{x|x＞1}，P＝{x|x2＞1}，则下列关系式正确的是（）A．M＝P B．M∪P＝P C．M∪P＝M D．M∩P＝P【解答】解：依题意P＝（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），又∵M＝{x|x＞1}，所以M∪P＝P，故选：B．2．设复数，若z1•z2为实数，则x＝（）A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．2【解答】解：∵，∴z1•z2＝（1+i）（x2﹣i）＝（x2+1）+（x2﹣1）i，由z1•z2为实数，得x2﹣1＝0，即x＝±1．故选：C．3．在△ABC中，已知∠ACB＝90°，CA＝3，CB＝4，点E是边AB的中点，则•＝（）A．2 B．C．D．﹣【解答】解：如图，E是AB中点；∴，；∴＝．故选：B．4．等比数列{a n}中，a2＝4，，则a3a6+a4a5的值是（）A．1 B．2 C．D．【解答】解：∵等比数列{a n}中，a2＝4，，∴a3a6＝a4a5＝a2•a7＝4×＝，故a3a6+a4a5 ＝+＝，故选：C．5．若三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），则向量在向量上的投影为（）A．B．C．D．【解答】解：∵三点A（1，1），B（1，2），C（4，﹣1），∴＝（﹣3，2），＝（﹣3，3），∴＝（﹣3）×（﹣3）+2×3＝15；|＝＝3；则向量在向量上的投影为，＝＝．故选：D．6．设函数，若x1x2＜0，且f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值是（）A．B．C．D．【解答】解：函数，所以函数的最小正周期为T＝π．由于f（x1）＝﹣1，f（x2）＝0，则|x2﹣x1|的最小值为．故选：B．7．在等差数列{a n}中，若a1+a4+a7＝39，a3+a6+a9＝27，则S9＝（）A．66 B．99 C．144 D．297【解答】解：由a1+a4+a7＝3a1+9d＝39，得a1+3d＝13①，由a3+a6+a9＝3a1+15d＝27，得a1+5d＝9②，②﹣①得d＝﹣2，把d＝﹣2代入①得到a1＝19，则前9项的和S9＝9×19+×（﹣2）＝99．故选：B．8．设E，F分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且，，如果（m，n为实数），那么m+n的值为（）A．B．0 C．D．1【解答】解：如图所示，＝＝﹣．∴m＝﹣，n＝，∴，故选：C．9．函数f（x）＝sin ax+cos ax（a＞0）的最小正周期为1，则f（x）的递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）＝sin ax+cos ax＝sin（ax+），∵T＝＝1，则a＝2π，∴f（x）＝sin（2πx+）∵令2kπ﹣≤2πx+≤2kπ+，k∈Z，解得：k﹣≤x≤k+，k∈Z，∴f（x）的递增区间为：[k﹣，k+]，k∈Z．故选：D．10．在△ABC中，若，则△ABC的面积S＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴cos A＝＝，sin A＝＝，∴sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+sin C cos A＝×（﹣）+×＝，∵由正弦定理，可得AB＝＝，∴S△ABC＝AB•BC•sin B＝×1×＝．故选：A．11．已知定义域为R的函数f（x）满足f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，则必有（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）+f（x）＝0，且对任意正实数x1，x2（x1≠x2）恒有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，故函数f（x）为奇函数且单调递增，∵f（﹣cos600°）＝f（），f（﹣log）＝f（），∵f（），∴f（﹣cos600°）＞f（﹣log），故选：B．12．已知△ABC的面积为S满足条件，且，则∠ABC的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：∵，∴，∴，且△ABC的面积为S，且∴＝，∴，且0＜∠ABC＜π，∴．故选：C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，一共20分）13．i为虚数单位，若，则|z|＝．【解答】解：，则|z|＝＝＝＝．故答案为：．14．设sin（+θ）＝，则sin2θ＝﹣．【解答】解：∵sin（+θ）＝，即+＝，平方可得+sin2θ＝，解得 sin2θ＝﹣，故答案为﹣．15．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【解答】解：根据题意得：AB＝10，∠ADC＝75°，∠BDC＝60°，DC⊥AC，∴∠DBC＝30°，∠BDA＝∠A＝15°，∴BD＝AB＝10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝10×＝5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷＝10海里/小时故答案为：10．16．若b＞a＞3，f（x）＝，则f（a），f（b），f（），f（）按照由小到大的顺序排列为f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．．【解答】解：∵，x＞0，则f′（x）＝，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数单调递减，∵b＞a＞3，∴b＞＞＞a＞3，∴f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．故答案为：f（b）＜f（）＜f（）＜f（a）．三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分17．已知A、B、C三点的坐标分别为A（3，0）、B（0，3）、C（cosα，sinα），α∈（，）（1）若||＝||，求角α的值；（2）若•＝﹣1，求的值．【解答】解：，．（1）∵，∴．化简得：sinα＝cosα，∴tanα＝1．又，故．（2）∵，∴（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1，化简得：，两边平方得：，∴，故sinα﹣cosα＞0，而，∴，18．设向量，的坐标为．（1）若||，求sin x cos x的值；（2）若函数f（x）＝，求f（x）的对称轴方程和的值．【解答】解：（1）∵，∴，∴①cos x＝0时，sin x cos x＝0；②cos x≠0时，，∴，∴或，∴，综上得，sin x cos x＝0或；（2）＝＝＝，解，得f（x）的对称轴方程为，k∈Z，＝＝＝＝＝．19．设{a n}是公比为q的等比数列，S n为数列{a n}的前n项和，已知S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当q＞1时，令b n＝1+log2a n，求数列{a n+b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，可得a1+a1q+a1q2＝7，6a2＝a1+3+a3+4，即6a1q＝a1+a1q2+7，解得a1＝1，q＝2或a1＝4，q＝，则a n＝2n﹣1或a n＝23﹣n；（2）当q＞1时，b n＝1+log2a n＝1+log22n﹣1＝1+n﹣1＝n，a n+b n＝2n﹣1+n，则前n项和T n＝（1+2+4++2n﹣1）+（1+2+3++n）＝+n（n+1）＝2n﹣1+．20．在△ABC△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求∠B；（2）若∠C为钝角，求的取值范围．【解答】解：（1）∵△ABC的面积为．∴×2ac cos B＝ac sin B，解得：tan B＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵A+C＝，∠C为钝角，∴A∈（0，），可得tan A∈（0，），∈（，+∞）∴＝＝•∈（2，+∞），故的取值范围为（2，+∞）．21．已知函数f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a．（1）若a＝，求函数f（x）的所有零点；（2）若a≥，证明函数f（x）不存在极值．【解答】（1）解：当a＝时，f（x）＝（x+2）lnx+x2﹣4x+，函数f（x）的定义域为（0，+∞），（1分）且f′（x）＝lnx++x﹣3．设g（x）＝lnx++x﹣3，则g′（x）＝﹣+1＝＝，（x＞0）．当0＜x＜1时，g′（x）＜0；当x＞1时，g′（x）＞0，即函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞0时，g（x）≥g（1）＝0（当且仅当x＝1时取等号）．即当x＞0时，f′（x）≥0（当且仅当x＝1时取等号）．所以函数f（x）在（0，+∞）单调递增，至多有一个零点．因为f（1）＝0，x＝1是函数f（x）唯一的零点．所以若a＝，则函数f（x）的所有零点只有x＝1．（2）证法1：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4．当a≥时，f′（x）≥lnx++x﹣3，由（1）知lnx++x﹣3≥0．即当x＞0时，f′（x）≥0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增．所以f（x）不存在极值．证法2：因为f（x）＝（x+2）lnx+ax2﹣4x+7a，函数f（x）的定义域为（0，+∞），且f′（x）＝lnx++2ax﹣4设m（x）＝lnx++2ax﹣4，则m′（x）＝﹣+2a＝，（x＞0）．设h（x）＝2ax2+x﹣2，（x＞0），则m′（x）与h（x）同号．当a≥时，由h（x）＝2ax2+x﹣2＝0，解得x1＝＜0，x2＝＞0．可知当0＜x＜x2时，h（x）＜0，即m′（x）＜0，当x＞x2时，h（x）＞0，即m′（x）＞0，所以f′（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．由（1）知lnx++x﹣3≥0．则f′（x2）＝lnx2++x2﹣3+（2a﹣1）x2≥（2a﹣1）x2≥0．所以f′（x）≥f′（x2）≥0，即f（x）在定义域上单调递增．所以f（x）不存在极值．（二）选考题：共10分，请在第22，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（θ为参数），以原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线C的极坐标方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，﹣2），M是曲线C上任意一点，求△ABM面积的最小值．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，（θ为参数），∴曲线C的直角坐标方程为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝4，将，代入得曲线C的极坐标方程为：ρ2﹣6ρcosθ﹣8ρsinθ+21＝0．（2）设点M（3+2cosθ，4+2sinθ）到直线AB：x+y+2＝0的距离为d，则d＝＝，当sin（）＝﹣1时，d有最小值，所以△ABM面积的最小值S＝＝9﹣2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|﹣a．（1）当a＝1时，解不等式f（x）＞x+1；（2）若存在实数x，使得f（x）＜f（x+1）成立，求实数a的取值范围．【解答】解（1）当a＝1时，由f（x）＞x，得|2x﹣1|﹣1＞x+1．（1分）当x≥时，2x﹣1﹣1＞x+1，解得x＞3．当x时，1﹣2x﹣1＞x+1，解得x＜﹣．综上可知，不等式f（x）＞x+1的解集为 {x|x＞3或x＜﹣}．（2）因为||2x﹣1|﹣|2x+1||≤|（2x﹣1）﹣（2x+1）|，即﹣2≤|2x﹣1|﹣|2x+1|≤2，则|2x﹣1|﹣|2x+1|≥﹣2．所以g（x）＝|2x﹣1|﹣|2x+1|+|2x﹣1|≥﹣2+|2x﹣1|≥﹣2，当且仅当x＝时等号成立．所以g（x）min＝﹣2．所以实数a的取值范围为（﹣2，+∞）．。
2020-2021学年宁夏银川二中高三(上)统练数学试卷(一)(附答案详解)
2020-2021学年宁夏银川二中高三（上）统练数学试卷（一）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−2<x<4}，B={x|y=lg(x−2)}，则A∩(∁R B)=()A. (2,4)B. (−2,4)C. (−2,2)D. (−2,2]2.已知a，b都是实数，那么“√a>√b”是“ln a>ln b”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3.若α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，则sinα的值为()A. 12B. −12C. −√32D. −√334.已知sin(π4+α)=√32，则sin(3π4−α)值为()A. 12B. −12C. √32D. −√325.在一座50m高的观测台台顶测得对面一水塔塔顶仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为()A. 50(1+√33)m B. 50(1+√3)mC. 50(√6+√2)mD. 50(√6+√2)m6.已知f(x)是定义在R上满足f(x+2)=f(x)，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，则f(−5.5)的值为()A. 2B. −1C. −12D. 17.函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①−3是函数y=f(x)的极值点；②−1是函数y=f(x)的最小值点；③y=f(x)在区间(−3,1)上单调递增；④y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零．以上正确命题的序号是()A. ①②B. ③④C. ①③D. ②④8.设alog34=2，则4−a=()A. 1B. 1C. 1D. 19. 已知α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，则cosα=( )A. 15B. √55C. √33D. 2√55 10. 已知曲线C ：y =cos(2x +φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x =π3，曲线C 向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标别(π4,0)，则θ的最小值是( )A. π6B. π4C. π3D. π1211. 函数y =Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的部分图象如图所示，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(11)的值等于( )A. √2B. 2+√2C. 2+2√2D. −2−2√212. 已知函数f(x)=√3sin2x +cos2x −m 在[0,π2]上有两个零点x 1，x 2，则tanx 1+x 22的值为( )A. √3B. √22 C. √32 D. √33二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 曲线y =lnx +x +1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______． 14. 已知函数f(x)={3x+1(x ≤0)log 13x(x >0)，则不等式f(x)>1的解集为 ．15. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.已知bsinA +acosB =0，则B = ．16. 已知cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，则sinβ=______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17. 在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a 2+b 2−c 2=ab ．(1)求∠C 的大小；(2)若c =2√3,sinA =2sinB ，求△ABC 的面积．18. 已知函数f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a ，且当x ∈[0,π2]时，f(x)的最小值为2． (1)求a 的值，并求f(x)的单调递增区间；(2)先将函数y =f(x)的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的12，再将所得图象向右平移π12个单位，得到函数y =g(x)的图象，求方程g(x)=4在区间[0,π2]上所有根之和．19. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，且cosB =35，sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0． (1)求边b 的值；(2)求△ABC 的周长的最大值．20. 已知函数f(x)=1e x −ax(x ∈R)．(1)当a =−2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若a >0且x ≥1时，f(x)≤lnx ，求a 的取值范围．21.已知函数f(x)=2sinx−xcosx−x，f′(x)为f(x)的导数．(1)证明：f′(x)在区间(0,π)存在唯一零点；(2)若x∈[0,π]时，f(x)≥ax，求a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴，曲线C的极坐标方程为ρ=8√2sin(θ+π4).(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过点P(1,0)作倾斜角为45°的直线l与圆C交于A，B两点，试求1|PA|+1|PB|的值．23.已知f(x)=|x+1|−|ax−1|．(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查集合的交集和补集的运算，考查对数函数的定义域，属于基础题．进行补集和交集的运算即可．【解答】解：∵B={x|y=lg(x−2)}={x|x−2>0}={x|x>2}，∴∁R B={x|x≤2}，∴A∩(∁R B)=(−2,2]．故选：D．2.【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义，结合对数函数的性质，从而得到答案．本题考查了充分必要条件，考查了对数函数的性质，是一道基础题．【解答】解：∵lna>lnb⇒a>b>0⇒√a>√b，是必要条件，而√a>√b，如a=1，b=0则lna>lnb不成立，不是充分条件，故选：B．3.【答案】C【解析】解：因为α的终边过点P(2sin30°,−2cos30°)，点P即为(1,−√3)，则sinα=−√32=−√32．故选C．本题考查三角函数的定义，基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：sin(π4+α)=√32，sin(3π4−α)=sin(π−π4−α)=sin(π4+α)=√32故选：C．直接利用诱导公式化简sin(3π4−α)，求出sin(π4+α)的形式，求解即可．本题是基础题，考查三角函数的诱导公式，整体思想，考查计算能力．5.【答案】B【解析】解：如图，由已知可得：AD=DC=50m，∴BD=ADtan60°=50√3m，∴塔高为CD+BD=50(1+√3)m．故选：B．在直角三角形ABD中根据BD=ADtan60°求得BD，进而可得答案．本题主要考查解三角形在实际中的应用．属基础题．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了函数的周期性，考查运算求解能力，是基础题．根据题意得，函数周期为2推导出f(−5.5)=f(0.5)，由此能求出结果．【解答】解：∵f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)=f(x)，则函数是周期为2的周期函数，当x∈[0,1)时，f(x)=4x−1，∴f(−5.5)=f(−5.5+6)=f(0.5)=2−1=1．故选：D．7.【答案】C【解析】解：根据导函数图象可知当x∈(−∞,−3)时，f′(x)<0，在x∈(−3,1)时，f′(x)≤0∴函数y=f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−3,1)上单调递增，故③正确则−3是函数y=f(x)的极小值点，故①正确∵在(−3,1)上单调递增，∴−1不是函数y=f(x)的最小值点，故②不正确；∵函数y=f(x)在x=0处的导数大于0，∴切线的斜率大于零，故④不正确故选：C．根据导函数图象可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点，以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数即为在该点处的切线斜率．本题主要考查了导函数图象与函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值、和切线的斜率等有关知识，属于中档题．8.【答案】B【解析】【分析】本题考查了对数和指数的运算性质，属于基础题．直接根据对数和指数的运算性质即可求出．【解答】解：因为alog34=2，则log34a=2，则4a=32=9则4−a=14 a =19，故选：B．9.【答案】D【解析】解：∵α∈(0,π2),2sin2α−1=cos2α，∴4sinαcosα−1=2cos2α−1，可得2sinαcosα=cos2α，∵cosα>0，∴可得sinα=12cosα，∴解得：cosα=2√55．故选：D．由已知利用二倍角公式可得2sinαcosα=cos2α，结合cosα>0，根据同角三角函数基本关系即可解得cosα的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系在三角函数化简求值中到应用，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：曲线C：y=cos(2x+φ)(|φ|<π2)的一条对称轴方程为x=π3，∴2×π3+φ=kπ，k∈Z，∴φ=π3，曲线C：y=cos(2x+π3).把曲线C向左平移θ(θ>0)个单位长度，得到曲线E：y=cos(2x+2θ+π3)的图象，∵曲线E的一个对称中心的坐标别(π4,0)，∴2×π4+2θ+π3=nπ+π2，n∈Z．则θ的最小值为π3，此时，n=1，故选：C．由题意利用函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，求出θ的最小值．本题主要考查函数y=Acos(ωx+φ)的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题．11.【答案】C【解析】解：由函数y=Asin(ωx+ϕ)(A>0,ω>0)的部分图象可得A=2，ϕ=0，且12×2πω=4−0，∴ω=π4．∴函数y=2sin(π4x)，且函数的周期为8．由于f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(8)=0，∴f(1)+f(2)+f(3)+⋯f(11)=f(1)+f(2)+f(3)=2sinπ4+2sinπ2+2sin3π4=2+2√2，根据所给的三角函数的图象，可以看出函数的振幅和周期，根据周期公式求出ω的值，写出三角函数的形式，根据函数的图象过点(2,2)，代入点的坐标，整理出初相，点的函数的解析式，根据周期是8和特殊角的三角函数求出结果．本题考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定函数的解析式，考查特殊角的三角函数值，本题解题的关键是看出要求结果的前八项之和等于0，要理解好函数的中的周期、振幅、初相等概念，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m=2(√32sin2x+12cos2x)−m=2sin(2x+π6)−m，∵x∈[0,π2]，∴2x+π6∈[π6,7π6]，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴−1≤2sin(2x+π6)≤2，∵f(x)=√3sin2x+cos2x−m在[0,π2]上有两个零点x1，x2，∴正弦y=m与f(x)=√3sin2x+cos2x在[0,π2]上有两个交点，如图：∴x1+x2=π3，∴tan x1+x22=tanπ6=√33，故选：D．利用两角和与差的正弦将f(x)化简为f(x)=2sin(2x+π6)−m，由x∈[0,π2]⇒2x+π6∈[π6,7π6]，利用正弦函数的单调性可求对应区间上f(x)=2sin(2x+π6)−m的值域，结合题意可从而可得答案．本题考查两角和与差的正弦，考查三角函数的图象与性质，着重考查函数的零点与半角三角函数，求得x1+x22是关键，属于中档题．13.【答案】y=2x【解析】【分析】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查直线方程的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．求得函数y=lnx+x+1的导数，设切点为(m,n)，可得切线的斜率，解方程可得切点，进而得到所求切线的方程．【解答】解：y=lnx+x+1的导数为y′=1x+1，设切点为(m,n)，可得k=1+1m=2，解得m=1，即有切点(1,2)，则切线的方程为y−2=2(x−1)，即y=2x，故答案为：y=2x．14.【答案】(−1,13)【解析】【分析】由已知中分段函数的解析式，分当x≤0时，和当x>0时，分别解不等式f(x)>1，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是指数不等式和对数不等式，分段函数，熟练掌握指数函数和对数函数的单调性是解答的关键．【解答】解：当x≤0时，由3x+1>1得：x+1>0，解得：x>−1，∴−1<x≤0；当x>0时，由log13x>1得：0<x<13，∴0<x<13，综上所述，不等式f(x)>1的解集为(−1,13)，故答案为：(−1,13)15.【答案】3π4【解析】 【分析】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．由正弦定理化简已知等式可得sinAsinB +sinAcosB =0，由于sinA >0，化简可得tanB =−1，结合范围B ∈(0,π)，可求B 的值为3π4． 【解答】解：∵bsinA +acosB =0，∴由正弦定理可得：sinAsinB +sinAcosB =0， ∵A ∈(0,π)，sinA >0，∴可得：sinB +cosB =0，可得：tanB =−1， ∵B ∈(0,π)，∴B =3π4．故答案为3π4．16.【答案】√22【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求sinα，cos(β−α)的值，进而根据两角和的正弦函数公式可求sinβ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题． 【解答】解：∵cosα=√55，sin(β−α)=−√1010，α，β均为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=2√55，∴β−α∈(−π2,π2)，∴cos(β−α)=√1−sin 2(β−α)=3√1010，∴sinβ=[(β−α)+α]=sin(β−α)cosα+cos(β−α)sinα=(−√1010)×√55+3√1010×2√55=√22． 故答案为：√22．17.【答案】解：(1)a 2+b 2−c 2=abcosC =a2+b 2−c 22ab=12，C ∈(0,π)，∴C =π3．(2)∵sinA =2sinB ， ∴a =2b ，∵c 2=a 2+b 2−2abcosC ，∴(2√3)2=4b 2+b 2−2⋅2bb ⋅12=3b 2，∴b =2， ∴a =4，∴S △ABC =12absinC =2√3．【解析】(1)利用余弦定理，化简求解即可．(2)利用正弦定理以及余弦定理，求出b ，a ，然后求解三角形底面积．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的面积的求法，考查计算能力．18.【答案】解：(1)化简可得f(x)=2cos 2x +2√3sinxcosx +a=cos2x +1+√3sin2x +a =2sin(2x +π6)+a +1， ∵x ∈[0,π2]，∴2x +π6∈[π6,7π6]，∴f(x)的最小值为−1+a +1=2，解得a =2， ∴f(x)=2sin(2x +π6)+3，由2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得kπ−π3≤x ≤kπ+π6， ∴f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，(k ∈Z)；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，由g(x)=4可得sin(4x −π6)=12， ∴4x −π6=2kπ+π6或4x −π6=2kπ+5π6，解得x =kπ2+π12或x =kπ2+π4，(k ∈Z)，∵x ∈[0,π2]， ∴x =π12或x =π4， ∴所有根之和为π12+π4=π3．【解析】(1)化简可得f(x)=2sin(2x +π6)+a +1，由题意易得−1+a +1=2，解方程可得a 值，解不等式2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2可得单调区间；(2)由函数图象变换可得g(x)=2sin(4x −π6)+3，可得sin(4x −π6)=12，解方程可得x =π12或x =π4，相加即可． 本题考查三角函数和差角的公式和三角函数图象的变换，属中档题．19.【答案】解：(1)由sinAcosB −(c −cosA)⋅sinB =0得sinAcosB +cosAsinB =csinB ． ∴sinC =csinB ，即sinC c =sinB ． 由正弦定理得sinB b=sinC c，故b =1．(2)由余弦定理得，a 2+c 2=b 2+2accosB =1+65ac ． ∴(a +c)2=1+165ac ≤1+165(a+c 2)2，∴a +c ≤√5．所以当a =c 时，△ABC 的周长的最大值为√5+1．【解析】(1)利用两角和与差的三角函数以及正弦定理化简求解即可．(2)利用余弦定理化简通过基本不等式求出a +c 的最大值，然后求解三角形的周长的最大值．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查计算能力．20.【答案】解：(1)∵当a =−2时，f(x)=1e x +2x ，∴f′(x)=−1e x +2.令f′(x)=−1e x +2=0，得x =ln 12=−ln2．当x<−ln2时，f′(x)<0；当x>−ln2时，f′(x)>0．∴函数f(x)的单调递减区间为(−∞,−ln2)，递增区间为(−ln2,+∞)．(2)当x≥1时，f(x)≤lnx等价于1e x −ax≤lnx，即lnx−1e x+ax≥0.(∗)令g(x)=lnx−1e x +ax(a>0)，则g′(x)=1x+1e x+a>0，∴函数g(x)在[1,+∞)上单调递增．∴g(x)≥g(1)=−1e+a．要使(∗)成立，则−1e +a≥0，得a≥1e．【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；(2)问题转化为lnx−1e x +ax≥0.令g(x)=lnx−1e x+ax≥0(a>0)，通过函数的单调性求出a的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题．21.【答案】(1)证明：∵f(x)=2sinx−xcosx−x，∴f′(x)=2cosx−cosx+xsinx−1=cosx+xsinx−1，令g(x)=cosx+xsinx−1，则g′(x)=−sinx+sinx+xcosx=xcosx，当x∈(0,π2)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，当x∈(π2,π)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，∴当x=π2时，极大值为g(π2)=π2−1>0，又g(0)=0，g(π)=−2，可知函数在(0,π2)上无零点，在(π2,π)上有唯一零点，∴g(x)在(0,π)上有唯一零点，即f′(x)在(0,π)上有唯一零点；(2)解：由(1)知，f′(x)在(0,π)上有唯一零点x0，使得f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)>0，当x∈(x0,π)时，f′(x)<0，∴f(x)在[0,x0)递增，在(x0,π]递减，结合f(0)=0，f(π)=0， 可知f(x)≥0在[0,π]上恒成立，令ℎ(x)=ax ，表示横过定点(0,0)的直线， ∵f(x)≥ℎ(x)恒成立，∴直线y =ax 的斜率a 小于等于0， ∴a ∈(−∞,0]．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性、零点和恒成立问题，属于较难题． (1)令g(x)=f ′(x)，对g(x)再求导，研究其在(0,π)上的单调性，结合极值点和端点值不难证明；(2)利用(1)的结论，可设f ′(x)的零点为x 0，并结合f ′(x)的正负分析得到f(x)≥0在[0,π]上恒成立，即得出结论．22.【答案】解：(1)由ρ=8√2sin(θ+π4)得ρ2=8√2ρ(sinθcos π4+cosθsin π4)，即，将代入上式可得x 2+y 2−8x −8y =0． (2)直线l 的参数方程为{x =1+√22t y =√22t(t 为参数)，将其代入圆C 的方程可得：t 2−7√2t −7=0， 设A ，B 对应的参数分别是t 1，t 2， 则t 1+t 2=7√2，t 1t 2=−7<0， 所以1|PA|+1|PB|=1|t 1|+1|t 2|=|t 1−t 2||t 1t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2|t 1t 2|=3√147．【解析】本题考查了简单曲线的极坐标方程，属于中档题． (1)两边同乘ρ，利用两角和的正弦公式和互化公式可得；(2)先得到直线l 的参数方程，联立直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，根据参数的几何意义可得．23.【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=|x +1|−|x −1|={2,x >12x,−1≤x ≤1−2,x <−1，由不等式f(x)>1，得{−2>1x <−1或{2x >1−1≤x ≤1或{2>1x >1， 解得x >12，故不等式f(x)>1的解集为(12,+∞)； (2)当x ∈(0,1)时不等式f(x)>x 成立，∴当x ∈(0,1)时，|x +1|−|ax −1|−x >0恒成立， 即：当x ∈(0,1)时，x +1−|ax −1|−x >0恒成立， 即：当x ∈(0,1)时，|ax −1|<1恒成立， ∴当x ∈(0,1)时，−1<ax −1<1成立， ∴当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立， 由x ∈(0,1)， 可知a >0， ∴a <2x ， ∵2x >2，∴0<a ≤2，故a 的取值范围为(0,2]．【解析】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了运算能力，属于中档题． (1)去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集； (2)由题意，可得：当x ∈(0,1)时，0<ax <2成立，即可得解．。
宁夏银川二中2021届高三上学期统练二数学(文)试题含答案
绝密★启用前银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练二数学（文科）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC 中，“A B >”是“sin sin A B >”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．充分必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．已知集合{}2230,A x x x x Z =--≤∈，集合{0}B x x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．83．已知向量(2,0)a =，||1b =，1a b ⋅=-，则a 与b 的夹角为（ ） A ．23π B ．3π C ．4π D ．6π 4．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）A B C ． D ．5．在等差数列{}n a 中，()()35710133224a a a a a ++++=，则该数列前13项的和是（ ）A ．13B ．26C ．52D ．1566．如图，在ABC 中，14BN BC =，设AB a =，AC b =，则AN =（ ）A ．1344a b -B ．3144a b -C ．3144a b +D ．1344a b + 7．若3cos 45πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin2α=（ ） A ．725 B ．15 C ．15- D ．725- 8．若函数2()1f x ax bx =++是定义在[1,2]a a --上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．29．已知在ABC 中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且4,5,60a b c A =+==︒，则ABC 的面积为（ ） A 3 B ．33 C 33 D ．3410．()f x 是R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，当[2,0]x ∈-时，()31x f x =-，则(9)f =（ ）A ．2-B ．2C ．23-D ．2311．在锐角ABC 中，1,2,BC B A AC =∠=∠的取值范围为（ ）A ．2)B ．3)C ．(0,2]D ．2,3)12．已知函数2()322cos 1f x x x =-+，将()f x 的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若()()129g x g x =，则12x x -的值可能为（ ）A ．3πB ．2πC ．34πD ．54π 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '+的值为______14．已知(1,1)a =-，(2,1)b =-，(1,2)c =，若a b c λμ=+，则λμ=______ 15．函数()sin sin 22f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为_____ 16．n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且11a =，621S =，记[]lg n n b a =，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]0=，[lg99]1=1，则数列{}n b 的前100项和为_____．三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分12分）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．18．（本题满分12分）如图，已知O 为坐标原点，向量(3cos ,3sin )OA x x =，(3cos ,sin )OB x x =，(3,0)OC =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．（1）求证：AB OC ⊥；（2）若2CA CB ⋅=，求tan x 的值．19．（本题满分12分）“伦敦眼”坐落在英国伦敦泰晤士河畔，是世界上首座观景摩天轮，又称“千禧之轮”，该摩天轮的半径为6（单位：10m ），游客在乘坐舱P 升到上半空鸟瞰伦敦建筑BC ，伦敦眼与建筑之间的距离AB 为12（单位：10m ），游客在乘坐舱P 看建筑BC 的视角为θ．（1）当游客在乘坐舱P 与伦敦眼M 在同一水平面看建筑BC 的视角θ为60︒时，拍摄效果最好．若此时测得建筑物BC 的高度为310m ），求视线PC 的长度． （2）当乘坐舱P 在伦敦眼的最高点D 时，视角30θ︒=，求建筑BC 的高度； 20．（本题满分12分）在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且sin sin sin A b c B C b a+=--．（1）求角C 的大小；（2）点D 在CA 的延长线上，且A 为CD 的中点，线段BD 长度为2，求2a b +的最大值．21．（本题满分12分）已知函数()ln ()a f x x a R x=-∈ （1）讨论()f x 在定义域上的单调性．（2）若()f x 在[1,]e 上的最小值为2，求a 的值．选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(6)25x y ++=．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C 的极坐标方程；（Ⅱ）直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，l 与C 交与A ，B 两点，||AB =，求l 的斜率． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正实数，且满足 1a b c ++=．证明： （Ⅰ）11|1|22a b c -++-； （Ⅱ）()3332221113a b c ab c ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 绝密★启用前银川二中2020-2021学年第一学期高三年级统练二数学（文科）参考答案一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【答案】B 2．【答案】D 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】B6．【答案】C 7．【答案】D 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】D11．【答案】D 12．【答案】B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．【答案】1- 14．【答案】3-15．【答案】9816．【答案】92 三、解答题：（共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．【答案】（1）29n a n =-，（2）28n S n n =-，最小值为16-．答案：（1）省略（219．【答案】（1）省略（2）12（单位：10m ）；20．【答案】（1）3π；（2）4． 21．【答案】（1）省略（2）a e =-选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑．22．【答案】（1）省略（2） 23．省略。
宁夏银川市第二中学高三数学上学期统练试题(三)理
银川二中2015-2016学年第一学期高三年级统练三数 学 试 卷（理科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{}01032>-+=x x x A ,{}52≤≤-=x x B 则B A C R I )(等于( ) A ．{}25-≤≤-x x B ．{}22≤≤-x x C ．{}52≤≤-x x D ．{}55≤≤-x x 2. 在平行四边形ABCD 中，下列结论中错误的是 （ ） A ．DC AB = B ．AC AB AD =+ C ．BD AD AB =- D ．BD CD AD =+3．若b a <<0且1=+b a ，则下列四个数中最大的是 （ ）A ．12B ．22a b +C ．ab 2D ．a4．设一个球的表面积为1S ，它的内接正方体的表面积为2S ，则21S S 的值等于 ( ) A.π2 B. 2π C. π6 D. 6π 5.若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≤-010x y x y x 则y x z 2+=的最大值为( )A ．0B ．1C ．23 D ．26．定义在R 上的函数()f x 满足)()6(x f x f =+．当)1,3[--∈x 时，2)2()(+-=x x f ,当)3,1[-∈x 时，x x f =)(，则(1)(2)(3)(2015)f f f f ++++=L （ ） A.336 B.355 C.1676 D.2015 7．已知等比数列{}n a ,且dx x a a ⎰-=+22844,则)2(10626a a a a ++的值为( )A ．2π B ．4 C ．π D ．π9-8.设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 9. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（ ）A ．168π+B ．88π+C ．1616π+D ．816π+10. 在ABC ∆中,2π>C ,若函数)(x f y =在[]1,0上为单调递减函数,则下列命题正确的是( )A. )(cos )(cos B f A f >B. )(sin )(sin B f A f >C. )(cos )(sin B f A f >D. )(cos )(sin B f A f <11．如图)(x f y =是可导函数，直线l ：2+=kx y 是曲线)(x f y =在3=x 处的切线，令)(),()(x g x xf x g '=是)(x g 的导函数，则=')3(g （ ）A ．1-B ．0C ．2D ．412.若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，且2,,-b a 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9二、填空题(请将答案填入答题纸填空题的相应位置上,每小题5分,共20分) 13. 已知向量)1,2(=a ，),3(m b =，若)2(b a -与平行，则m 的值是 _ 14．已知tan 2α=，则2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--= 15. 若数列{}n a 是正项数列，且)(3...221*∈+=+++N n n n a a a n ，则=++++1 (322)1n a a a n16.给出下列四个命题：①函数x x x f +-=2ln )(在区间),1(e 上存在零点； ②要得到函数x y sin =的图象，只需将函数)3cos(π-=x y 的图象向左平移6π个单位； ③若1-≥m ，则函数)2(log 221m x x y --=的值城为R ；④“1=a ”是“函数xxae e a x f +-=1)(在定义域上是奇函数”的充分不必要条件;⑤已知{}n a 为等差数列，若11011-<a a ,且它的前n 项和n S 有最大值，那么当n S 取得最小正值时，20=n 。
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绝密★启用前
宁夏银川市第二中学
2021届高三年级上学期统练测试(三)
数学(文)试题
(解析版)
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. 设集合M ={x ||x -1|<1}，N ={x |x <2}，则M ∩N =（ ）
A. (-1，1)
B. (-1，2)
C. (0，2)
D. (1，2) 【答案】C
【解析】
【分析】
先由绝对值不等式的解法求得集合M ，再由集合的交集运算可得选项. 【详解】
{}{}{}{}{}{}()|11|02|2|02|2|0202M x x x x N x x M N x x x x x x =-<=<<=<∴⋂=<<⋂<=<<=，，，，
故选：C .
【点睛】本题考查集合的交集运算，属于基础题.
2. 已知sin α=，α为第二象限角，则tan α的值是（ ）
A. B. C. 12- 【答案】A
【解析】
【分析】 根据题中条件，由同角三角函数基本关系，即可求出结果.
【详解】因为sin α=，α为第二象限角，
所以1cos 2α===-，
因此sin 2tan 1
cos 2
ααα===-故选：A.
【点睛】本题主要考查由正弦求正切，熟记同角三角函数基本关系即可，属于基础题型.
3. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）
A. 1
B. 2
C. 4
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据等差数列的通项公式与求和公式，列出关于首项与公差的方程组，解方程组即可得到公差．
【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，
则45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，
611656615482S a d a d ⨯=+=+=， 联立11
272461548a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得4d =. 故选：C.
【点睛】本题考查了等差数列通项公式与求和公式的简单应用,注意计算,属于基础题．
4. 在ABC 中
,AC =1BC =, 60B =︒,则ABC 的面积为（ ）。