高三数学人教B版总复习课件6-2等差数列 78张
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2024届高考一轮复习数学课件(新人教B版)：等差数列
所以 Sn＋1－ Sn＝(n＋1) a1－n a1＝ a1(常数)，
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
所以数列{ Sn}是等差数列. ①②⇒③. 已知{an}是等差数列，{ Sn}是等差数列.
设数列{an}的公差为d， 则 Sn＝na1＋nn－ 2 1d＝12n2d＋a1－d2n.
因为数列{ Sn}是等差数列， 所以数列{ Sn}的通项公式是关于 n 的一次函数，
教材改编题
1.在等差数列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，则a10等于
A.－2
B.－1
√C.1
D.2
设等差数列{an}的公差为 d，由题意得151＝＝aa1＋1＋74dd，， 解得ad1＝＝－192，. ∴an＝－2n＋21. ∴a10＝－2×10＋21＝1.
教材改编题
2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝8，S8＝20，则a9＋a10＋a11＋a12
A.aa94＝－1
√C.aa93＝－1
B.aa83＝－1 D.aa140＝－1
由aa85＝－2 得 a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0， 所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0， 因为a5≠0，a6＝0， 所以 a3≠0，aa93＝－1.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例 4 (1)设等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，若对任意的
则 a1－d2＝0，即 d＝2a1，所以 a2＝a1＋d＝3a1. ②③⇒①. 已知数列{ Sn}是等差数列，a2＝3a1， 所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1. 设数列{ Sn}的公差为 d，d>0， 则 S2－ S1＝ 4a1－ a1＝d，得 a1＝d2， 所以 Sn＝ S1＋(n－1)d＝nd，
所以Sn＝n2d2， 所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是关于n的一 次函数，且a1＝d2满足上式， 所以数列{an}是等差数列.
高考数学一轮总复习第六章数列6.2等差数列课件理新人教B版
a2 λ
= 1 + ,所1 以
a1 λ a3 λ
=1
2
+
λ
0
1
,λ解得1 1λ =λ 1.
3
2
因为 1-
a n1 1
=1
an
1
-
1
=1
an
-
1
=1 =-3 ,a n
a n 1 2(an 1)
1 an 1
1 an 2(an 1)
1 2
3 an
又 1 =-1,所以存在一个实常数λ=1,使得数列
S 偶 a n1
b.若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an, S 奇 = n .
S偶 n 1
(4)若两个等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn,则 a n =S 2 n 1.
b n T 2n1
【知识拓展】 利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点: 1.等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d可变形为an=dn+(a1-d). 若d=0,则an=a1是常数函数; 若d≠0,则an是关于n的一次函数. (n,an)是直线y=dx+(a1-d)上一群孤立的点. 单调性:d>0时,{an}为单调递增数列;d<0时,{an}为单调递减数列.
3 an
(1)求a2,a3的值;
(2)是否存在一个实常数λ,使得数列 为1 等 差数列?请说明理由.
an
λ
解析 (1)a2= 1 ,a3=1 .
32
(2)存在.理由:
假设存在一个实常数λ,使得数列 为1 等 差数列,则 , 1, 成1等差数1 列,所以
高三高考数学复习 等差数列、等比数列PPT课件
(4)在等比数列中，若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
则 am·an＝ap·aq.特别地，若 m＋n＝2p 则 am·an＝ap2
(5)在等比数列中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列(n 为偶
数且 q＝－1 除外)．
高三数学名师课程
4.判断和证明数列是等差(比)数列的两种方法
小结：等差(比)数列基本运算的求解策略
(1)抓住基本量a1和公差d(公比q)． (2)把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组)，然后求解， 注意整体计算，以减少运算量.
如：由于等比数列的通项公式、前n项和公式中变量n在 指数位置，所以常采用两式相除(即比值的方式)或整体 化思想进行相关计算.
变式 1-1(2019·无锡调研)设 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和，
解：{an}为等差数列，设其公差为d.由a1＝－1，a4＝8＝a1＋3d＝－1＋3d，得d＝3 ，∴a2＝a1＋d＝－1＋3＝2. {bn}为等比数列，设其公比为q，由b1＝－1，b4＝8＝b1·q3＝－q3，得q＝－2，
∴b2＝b1·q＝2.则ab22＝22＝1.
变式1-3(2018·全国Ⅰ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若3S3＝S2＋S4，a1＝ 2，则a5＝__-1__0____. 解：法一 设等差数列{an}的公差为 d，
法二 设等差数列{an}的公差为 d，
∵3S3＝S2＋S4，
∴3S3＝S3－a3＋S3＋a4，
∴3a1＋3×2 2d＝d.
∴S3＝a4－a3，
∵a1＝2，∴d＝－3，
∴a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10.
方法归纳 (1)在等差(比)数列中，首项 a1 和公差 d(公比 q)是两个最基本 的元素，在进行等差(比)数列项与和的运算时，若条件和结论间 的联系不明显，则均可化成关于 a1 和 d(q)的方程组求解，但要注 意消元法及整体计算，以减少计算量． (2)解决数列与数学文化相交汇问题的关键：一是读懂题意， 即会“脱去”数学文化的背景，提取关键信息；二是构造模型， 即由题意构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型；三是 “解模”，即把文字语言转化为求数列的相关信息，如求指定项、 公比(或公差)、项数、通项公式或前 n 项和等．
高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列课件(理)
d＝0 时，{an}为_________．
4．等差数列的前 n 项和公式
(1)等差数列前 n 项和公式 Sn＝________＝_________.其推导方法是________．
(2){an}成等差数列，求 Sn 的最值：
若 a1＞0，d＜0，且满足aann＋1
， 时，Sn 最大；
若 a1＜0，d＞0，且满足aann＋1
第六章
数列
§6.2 等差数列
1. 等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它
的前一项的
等于同一个
，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列
的
，通常用字母 d 表示，即
＝
d(n∈N＋，且 n≥2)或
＝d(n∈N＋)．
2．等差中项
三个数 a，A，b 成等差数列，这时 A 叫做 a 与 b
的____________．
3．等差数列的通项公式
若{an}是等差数列，则其通项公式 an＝_________.
①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中 p＝_________，q＝_________，点(n，an)
是直线_________上一群孤立的点．
②单调性：d＞0 时，{an}为_________数列；d＜0 时，{an}为_________数列；
(2015·广东)在等差数列{an}中，若 a3＋ a4＋a5＋a6＋a7＝25，则 a2＋a8＝________.
解：∵{an}是等差数列，∴a3＋a7＝a4＋a6＝ a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，得 a5＝5，a2＋a8＝2a5＝10.故填 10.
(2015·全国新课标Ⅱ)设 Sn 是数列{an}的前 n 项和， 且 a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则 Sn＝________.
高考数学总复习 6-2等差数列课件 新人教B版
a＋b 2 .
a 和 b 的等差中项，即 A＝
二、等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项 an＝a1＋ (n－1) d＝am＋ (n－m) d. 推导方法：累加法 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 －a1)＋a1. 三、等差数列的前 n 项和公式 nn－1 na1＋an na1＋ 2 d 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 2 ＝ . 推导方法：倒序相加法．
Sn Sn，则数列 n 的前
A．－45 C．－55
B．－50 D．－66
na1＋an 解析：∵Sn＝ ，an＝1－2n， 2 Sn a1＋an ∴ ＝ ＝－n， n 2 ∴前 11 项的和为－66.
A．12 C．16
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意得
a1＋d＝2， a1＋2d＝4. a1＝0， 由此解得 d＝2.
a10＝a1＋9d＝18，选 D.
答案：D
等差数列的前 n 项和
[例 2] n 项和为
(文)等差数列{an}的通项公式是 an＝1－2n， 其前 11 项和为( )
(4)项数为 n 的等差数列中，n 为奇数时，S 奇－S 偶＝an＋1 ，
2
S奇 n＋1 ＝ .Sn＝na 中＝nan＋1 . 2 S偶 n－1 n n 为偶数时，S 偶－S 奇＝2d. (5)若{an}与 {bn}为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn 与 S2m－1 am S′n，则b ＝ S′2m－1 . m
考点典例讲练
等差数列的通项
[例 1]
在等差数列{an}中，a1、a2、a5 成等比数列，且 )
a1＋a2＋a5＝13，则数列{an}的公差为( A．2 C．2 或 0 B．0 1 D.2或 0
a 和 b 的等差中项，即 A＝
二、等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项 an＝a1＋ (n－1) d＝am＋ (n－m) d. 推导方法：累加法 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 －a1)＋a1. 三、等差数列的前 n 项和公式 nn－1 na1＋an na1＋ 2 d 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 2 ＝ . 推导方法：倒序相加法．
Sn Sn，则数列 n 的前
A．－45 C．－55
B．－50 D．－66
na1＋an 解析：∵Sn＝ ，an＝1－2n， 2 Sn a1＋an ∴ ＝ ＝－n， n 2 ∴前 11 项的和为－66.
A．12 C．16
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意得
a1＋d＝2， a1＋2d＝4. a1＝0， 由此解得 d＝2.
a10＝a1＋9d＝18，选 D.
答案：D
等差数列的前 n 项和
[例 2] n 项和为
(文)等差数列{an}的通项公式是 an＝1－2n， 其前 11 项和为( )
(4)项数为 n 的等差数列中，n 为奇数时，S 奇－S 偶＝an＋1 ，
2
S奇 n＋1 ＝ .Sn＝na 中＝nan＋1 . 2 S偶 n－1 n n 为偶数时，S 偶－S 奇＝2d. (5)若{an}与 {bn}为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn 与 S2m－1 am S′n，则b ＝ S′2m－1 . m
考点典例讲练
等差数列的通项
[例 1]
在等差数列{an}中，a1、a2、a5 成等比数列，且 )
a1＋a2＋a5＝13，则数列{an}的公差为( A．2 C．2 或 0 B．0 1 D.2或 0
福建高考数学总复习第六章数列6.2等差数列及其前n项和课件新人教版
-12-
考点1 考点2 考点3 考点4
(方法二)由������������-1=-2,Sm=0,������������+1=3,得 am=Sm-������������-1=2,������������+1 =
������������ +1 -Sm=3,
∴等差数列的公差为 d=������������+1-am=3-2=1.
关闭
故(S方13(Aa法=2���1.���)0581二(022=+,0)则a因191B8+a���.为湖���419+=29北aSd889=+=黄C,-a(1.���冈1���9+1=6+9期(2���9���D9=末)×.929,80=理).���2���37=),设a11+等.a差9=数2a列5,所{a以n}的a5=前3n. 项和为Sn,且
-2-
知识梳理 考点自测
2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的 一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列. (2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
则������12
12
−
������10 10
=d=2,
则
S2
018=2
018×(-2
008)+2
018×2 2
017×2=18
162.
18 162
关闭
关闭
解析 答案
考点1 考点2 考点3 考点4
-10-
考点 1 等差数列中基本量的求解
高三数学第一轮复习 第6编 2等差数列课件 新人教B版
a+c 2
,a,b,c成等差数列是2b=a+c的 充要条件 .
a1 + a n S n a1 + a 2 + …+ a n d 变式： = = = a1 + (n - 1)· . 2 n n 2
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5.等差数列{an}的一些常见性质 （1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*）, 则 am+an=ap+aq .
ห้องสมุดไป่ตู้返回目录
（1）等差数列{an}中, a15=33,a45=153,则d=
.
.
（2）等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3= （3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为
146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ） A.13 B.12 C.11 D.10
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考点2
等差数列的性质及应用
(1) ［2010年高考大纲全国卷Ⅱ］如果等差数列{an}
中,a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7= ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36, 则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27
返回目录
1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从 第2项起，每一项与前一 项的差都等于同一个常数 差数列.它具有如下特征：
，那么这个数列就叫做等
an+1-an=d（常数）或者an+2-an+1=an+1-an(n∈N*).
,a,b,c成等差数列是2b=a+c的 充要条件 .
a1 + a n S n a1 + a 2 + …+ a n d 变式： = = = a1 + (n - 1)· . 2 n n 2
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5.等差数列{an}的一些常见性质 （1）若m+n=p+q（m，n，p，q∈N*）, 则 am+an=ap+aq .
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（1）等差数列{an}中, a15=33,a45=153,则d=
.
.
（2）等差数列{an}中，a1+a2+a3+a4+a5=20，则a3= （3）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为
146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为 （ ） A.13 B.12 C.11 D.10
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考点2
等差数列的性质及应用
(1) ［2010年高考大纲全国卷Ⅱ］如果等差数列{an}
中,a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7= ( ) A.14 B.21 C.28 D.35 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36, 则a7+a8+a9=( ) A.63 B.45 C.36 D.27
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1.等差数列的概念 一般地，如果一个数列从 第2项起，每一项与前一 项的差都等于同一个常数 差数列.它具有如下特征：
，那么这个数列就叫做等
an+1-an=d（常数）或者an+2-an+1=an+1-an(n∈N*).
高中数学等差数列ppt课件
人教版·数学·必修5·第二章《数列》
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2.2.1等差数列（1）
复习回顾
数列： 按照一定顺序排成的一列数称为数列。
实质： 数式：如果数列{an}的第n项an与项数n之间的 关系可以用一个公式来表示,这个公式就叫做这个 数列的通项公式.(反映项与序号之间的关系)
1、等差数列的定义
一般地，如果一个数列a1， a2， a3，…， an， …从第二项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数d，
a2–a1=a3-a2=···=an-an-1=···=d 那么这个数列就叫做等差数列。常数d叫做等 差数列的公差。
等差数列定义的符号表示：
(1){an}是等差数列⇔an-an-1=d(n≥2，n ∈N*) (2){an}是等差数列⇔ an+1-an=d(n ∈N*)
又，当n=1时,等式成立 ∴ n∈N*时， an=a1+(n – 1)d
法二
∵{an}是等差数列，则有
an–an-1=d an-1–an-2=d an-2–an-3=d ……
累加法：
这一推导思想 在今后的数列 求和问题中也
a2–a1=d
有重要的应用
相加得：an – a1=(n–1)d
∴an=a1+(n–1)d
作差。 不能颠倒。 2、作差的结果要求是同一个常数。可以是正
数，也可以是0和负数。
温馨提示:
（1）从第二项起：如果一个数列，不从第2项起，而是从 第3项或第4项起，每一项与它前一项的差是同一个常数， 那么此数列不是等差数列，但可以说从第2项或第3项起是 一个等差数列。
（2）同一个常数:一个数列，从第2项起，每一项与它的 前一项的差，尽管等于一个常数，这个数列可不一定是等 差数列，因为这些常数可以不同，当常数不同时，当然不 是等差数列，因此定义中“同一个”常数，这个“同一个”十 分重要。
2019届高考数学一轮复习第六章数列6-2等差数列及其前n项和课件文PPT
(5)若{an}是等差数列，公差为 d，则 ak，ak＋m，ak＋2m，…(k， m∈N*)是公差为 md 的等差数列．
(6)数列 Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． 4．等差数列与函数的关系 (1)由等差数列的通项公式 an＝a1＋(n－1)d，可得 an＝dn＋(a1 －d)．当 d>0 时，{an}是递增数列；d<0 时，{an}是递减数列．d ＝0 时，{an}是常数列．
C．6
D．5
[解析] 由题意，7a12＋a7＝7×22a4＝35，所以 a4＝5.
[答案] D
5．已知{an}为等差数列，其前 n 项和为 Sn.若 a3＝6，S3＝12， 则公差 d 等于________．
[解析] 设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d， 由 a3＝6，S3＝12，得a31a＋1＋2d3＝d＝6，12， 解得da＝1＝22. ，
项和，若 a3＋a6＋a9＝60，则 S11＝( )
A．
B．110
C．55
D．50
[思路引导] (1) 由公差为2，S5＝25求a1 →
由a2m＝15列方程 → 解方程得m值
(2) 由a3＋a6＋a9＝60求a6 → 利用性质求S11
[解析] (1)S5＝5a1＋5×52－1×2＝25，解得 a1＝1. 所以 a2m＝a1＋(2m－1)×2＝1＋4m－2＝15，解得 m＝4，故 选 A. (2) 因 为 a3 ＋ a6 ＋ a9 ＝ 3a6 ＝ 60 ， 所 以 a6 ＝ 20 ， 则 S11 ＝ 11×a21＋a11＝11×22a6＝11×2 40＝220.故选 A.
[解析] A 项中未强调差是同一个常数，故 A 错． [答案] A
2．(2015·重庆卷)在等差数列{an}中，若 a2＝4，a4＝2，则 a6 ＝( )
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第六章 数列 第二节 等差数列
A.a8=0
B.a9=0
C.a1=S16
D.S8>S10
)
答案 (1)C
(2)BC
解析 (1)设{an}的公差为 d,因为 S4=24,S9=99,所以
41 +
91 +
4×3
2
9×8
2
= 24,
= 99,
即
21 + 3 = 12,
1 = 3,
解得
所以 a7=a1+6d=3+12=15.故选 C.
2
a1,公差
(3)由已知得Sn=2,S2n-Sn=6-2=4,因此Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n构成首项为2,公
差为2的等差数列,于是S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=2+4+6+8=20.
故选D.
(4)因为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为
.
-1
Sn,Tn,则
=
2 -1
2 -1
.
常用结论
1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是
Sn=an2+bn(a,b∈R).
3.在等差数列{an}中,若Sm=Sn,则Sm+n=0.
此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.
这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条
直线上.
4.等差中项
如果 x,A,y 是等差数列,那么称 A 为 x 与 y 的 等差中项 ,且 A=
B.a9=0
C.a1=S16
D.S8>S10
)
答案 (1)C
(2)BC
解析 (1)设{an}的公差为 d,因为 S4=24,S9=99,所以
41 +
91 +
4×3
2
9×8
2
= 24,
= 99,
即
21 + 3 = 12,
1 = 3,
解得
所以 a7=a1+6d=3+12=15.故选 C.
2
a1,公差
(3)由已知得Sn=2,S2n-Sn=6-2=4,因此Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,S4n-S3n构成首项为2,公
差为2的等差数列,于是S4n=Sn+(S2n-Sn)+(S3n-S2n)+(S4n-S3n)=2+4+6+8=20.
故选D.
(4)因为两个等差数列{an}和{bn}的前 n 项和分别为
.
-1
Sn,Tn,则
=
2 -1
2 -1
.
常用结论
1.数列{an}为等差数列的充要条件是an=kn+b(k,b∈R).
2.若数列{an}的前n项和为Sn,则数列{an}为等差数列的充要条件是
Sn=an2+bn(a,b∈R).
3.在等差数列{an}中,若Sm=Sn,则Sm+n=0.
此,当d>0时,{an}是递增数列;当d<0时,{an}是递减数列.
这也说明,当用直角坐标系中的点来表示等差数列时,所有的点一定在一条
直线上.
4.等差中项
如果 x,A,y 是等差数列,那么称 A 为 x 与 y 的 等差中项 ,且 A=
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走向高考· 数 学
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第六章
数
列
第六章
第二节 等 差 数 列
基础梳理导学
3
考点典例讲练
思想方法技巧
4
课堂巩固训练
5
课后强化作业
基础梳理导学
重点难点
引领方向
重点：等差数列的定义、通项、前 n 项的和与性质． 难点：等差数列性质的应用．
夯实基础 稳固根基 一、等差数列的概念 1． 定义： 如果一个数列从第 二 项起， 每一项与它的 前 一 项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列． 2．等差中项：如果三数 a、A、b 成等差数列，则 A 叫做
3.通项公式法： an＝kn＋b(k， b 是常数)(n∈N*)⇔{an}是等 差数列； 4.前 n 项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B 是常数)(n∈N*)⇔ {an}是等差数列． Sn 5.{an}是等差数列⇔{ }是等差数列． n
六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系 在等差数列中，若 p＋q＝m＋n，则有 ap＋aq＝am＋an； 若 2m＝p＋q，则有 ap＋aq＝ 2am ，(p，q，m，n∈N*)． Байду номын сангаас．任意两项的关系 在等差数列{an}中，m、n∈N*，则 am－an＝(m－n)d 或 am－an am＝an＋(m－n)d 或 ＝d. m－n
a＋b 2 .
a 和 b 的等差中项，即 A＝
二、等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项 an＝a1＋ (n－1) d＝am＋ (n－m) d. 推导方法：累加法 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 －a1)＋a1. 三、等差数列的前 n 项和公式 nn－1 na1＋an na1＋ 2 d 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 2 ＝ . 推导方法：倒序相加法．
四、用函数观点认识等差数列 1．an＝nd＋(a1－d)(一次函数)． d 2 d 2．Sn＝ n ＋(a1－ )n(常数项为零的二次函数)． 2 2 五、等差数列的判定方法及有关结论 1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列， 证明一个数列为等差数列，一般用定义法； 2.中项公式法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
A．12 C．16
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意得
a1＋d＝2， a1＋2d＝4. a1＝0， 由此解得 d＝2.
a10＝a1＋9d＝18，选 D.
答案：D
等差数列的前 n 项和
[例 2] n 项和为
(文)等差数列{an}的通项公式是 an＝1－2n， 其前 11 项和为( )
Sn Sn，则数列 n 的前
A．－45 C．－55
B．－50 D．－66
na1＋an 解析：∵Sn＝ ，an＝1－2n， 2 Sn a1＋an ∴ ＝ ＝－n， n 2 ∴前 11 项的和为－66.
思想方法技巧
一、函数思想 等差数列的通项是 n 的一次函数， 前 n 项和是 n 的二次函 数， 故有关等差数列的前 n 项和的最值问题， 数列的递增递减 问题等都可以利用函数的研究方法来解决．
二、等差数列的设项技巧与方程思想 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x ＋d，…，此时公差为 d； (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d， a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为 2d.
4．设等差数列{an}的公差为 d，那么 (1)d>0⇔{an}是递增数列， Sn 有最小值； d<0⇔{an}是递减 数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列． (2)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为 λd. (3)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an± bn}仍为等差数列．
(4)项数为 n 的等差数列中，n 为奇数时，S 奇－S 偶＝an＋1 ，
2
S奇 n＋1 ＝ .Sn＝na 中＝nan＋1 . 2 S偶 n－1 n n 为偶数时，S 偶－S 奇＝2d. (5)若{an}与 {bn}为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn 与 S2m－1 am S′n，则b ＝ S′2m－1 . m
3． 在等差数列中， 等距离取出若干项也构成一个等差列， 即 an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为 md. 等差数列的依次 n 项和也构成一个等差数列，即 Sn，S2n －Sn，S3n－S2n，……为等差数列，公差为 n2d. 即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相 同构成规律的项的和成等差数列．
疑难误区
点拨警示
1．用 an＝Sn－Sn－1 求 an 得到 an＝pn＋q 时，只有检验了 a1 是否满足 an，才能确定其是否为等差数列，前 n 项和是不 ． 含常数项 的 n 的二次函数时，{an}才是等差数列． ．．．． 2．在讨论等差数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值时，不要忽 视 n 是整数的条件及含 0 项的情形． 3．如果 p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则 ap＋aq＝2ar，而不是 ap＋aq＝a2r.
答案：C
(文)(2012· 福建理，2)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7， 则数列{an}的公差为( A．1 B．2 ) C ．3 D．4
解析：本题考查了等差数列的定义和性质． a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. ∴公差 d＝a4－a3＝2.
答案：B
(理)(2011· 重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝( ) B．14 D．18
考点典例讲练
等差数列的通项
[例 1]
在等差数列{an}中，a1、a2、a5 成等比数列，且 )
a1＋a2＋a5＝13，则数列{an}的公差为( A．2 C．2 或 0 B．0 1 D.2或 0
2 解析：由条件知，a2 2＝a1a5，∴(a1＋d) ＝a1(a1＋4d)，∴d
13 ＝0 或 d＝2a1.若 d＝0，则 an＝ 3 ，满足题意；若 d＝2a1，则 由 a1＋a2＋a5＝13 得，a1＝1，d＝2，也满足题设要求，故选 C.
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第六章
数
列
第六章
第二节 等 差 数 列
基础梳理导学
3
考点典例讲练
思想方法技巧
4
课堂巩固训练
5
课后强化作业
基础梳理导学
重点难点
引领方向
重点：等差数列的定义、通项、前 n 项的和与性质． 难点：等差数列性质的应用．
夯实基础 稳固根基 一、等差数列的概念 1． 定义： 如果一个数列从第 二 项起， 每一项与它的 前 一 项的差都等于同一个常数，这样的数列叫做等差数列． 2．等差中项：如果三数 a、A、b 成等差数列，则 A 叫做
3.通项公式法： an＝kn＋b(k， b 是常数)(n∈N*)⇔{an}是等 差数列； 4.前 n 项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A、B 是常数)(n∈N*)⇔ {an}是等差数列． Sn 5.{an}是等差数列⇔{ }是等差数列． n
六、等差数列的性质 1．下标和与项的和的关系 在等差数列中，若 p＋q＝m＋n，则有 ap＋aq＝am＋an； 若 2m＝p＋q，则有 ap＋aq＝ 2am ，(p，q，m，n∈N*)． Байду номын сангаас．任意两项的关系 在等差数列{an}中，m、n∈N*，则 am－an＝(m－n)d 或 am－an am＝an＋(m－n)d 或 ＝d. m－n
a＋b 2 .
a 和 b 的等差中项，即 A＝
二、等差数列的通项公式 等差数列{an}的通项 an＝a1＋ (n－1) d＝am＋ (n－m) d. 推导方法：累加法 an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2 －a1)＋a1. 三、等差数列的前 n 项和公式 nn－1 na1＋an na1＋ 2 d 等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 2 ＝ . 推导方法：倒序相加法．
四、用函数观点认识等差数列 1．an＝nd＋(a1－d)(一次函数)． d 2 d 2．Sn＝ n ＋(a1－ )n(常数项为零的二次函数)． 2 2 五、等差数列的判定方法及有关结论 1.定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}是等差数列， 证明一个数列为等差数列，一般用定义法； 2.中项公式法： 2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列；
A．12 C．16
解析：设等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，依题意得
a1＋d＝2， a1＋2d＝4. a1＝0， 由此解得 d＝2.
a10＝a1＋9d＝18，选 D.
答案：D
等差数列的前 n 项和
[例 2] n 项和为
(文)等差数列{an}的通项公式是 an＝1－2n， 其前 11 项和为( )
Sn Sn，则数列 n 的前
A．－45 C．－55
B．－50 D．－66
na1＋an 解析：∵Sn＝ ，an＝1－2n， 2 Sn a1＋an ∴ ＝ ＝－n， n 2 ∴前 11 项的和为－66.
思想方法技巧
一、函数思想 等差数列的通项是 n 的一次函数， 前 n 项和是 n 的二次函 数， 故有关等差数列的前 n 项和的最值问题， 数列的递增递减 问题等都可以利用函数的研究方法来解决．
二、等差数列的设项技巧与方程思想 (1)对于连续奇数项的等差数列，可设为：…，x－d，x，x ＋d，…，此时公差为 d； (2)对于连续偶数项的等差数列，通常可设为…，a－3d， a－d，a＋d，a＋3d，…，此时公差为 2d.
4．设等差数列{an}的公差为 d，那么 (1)d>0⇔{an}是递增数列， Sn 有最小值； d<0⇔{an}是递减 数列，Sn 有最大值；d＝0⇔{an}是常数数列． (2)数列{λan＋b}仍为等差数列，公差为 λd. (3)若{bn}，{an}都是等差数列，则{an± bn}仍为等差数列．
(4)项数为 n 的等差数列中，n 为奇数时，S 奇－S 偶＝an＋1 ，
2
S奇 n＋1 ＝ .Sn＝na 中＝nan＋1 . 2 S偶 n－1 n n 为偶数时，S 偶－S 奇＝2d. (5)若{an}与 {bn}为等差数列，且前 n 项和分别为 Sn 与 S2m－1 am S′n，则b ＝ S′2m－1 . m
3． 在等差数列中， 等距离取出若干项也构成一个等差列， 即 an，an＋m，an＋2m，…为等差数列，公差为 md. 等差数列的依次 n 项和也构成一个等差数列，即 Sn，S2n －Sn，S3n－S2n，……为等差数列，公差为 n2d. 即下标成等差的项成等差数列，下标和成等差的具有相 同构成规律的项的和成等差数列．
疑难误区
点拨警示
1．用 an＝Sn－Sn－1 求 an 得到 an＝pn＋q 时，只有检验了 a1 是否满足 an，才能确定其是否为等差数列，前 n 项和是不 ． 含常数项 的 n 的二次函数时，{an}才是等差数列． ．．．． 2．在讨论等差数列{an}的前 n 项和 Sn 的最值时，不要忽 视 n 是整数的条件及含 0 项的情形． 3．如果 p＋q＝2r(p、q、r∈N*)，则 ap＋aq＝2ar，而不是 ap＋aq＝a2r.
答案：C
(文)(2012· 福建理，2)等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7， 则数列{an}的公差为( A．1 B．2 ) C ．3 D．4
解析：本题考查了等差数列的定义和性质． a1＋a5＝2a3＝10，∴a3＝5. ∴公差 d＝a4－a3＝2.
答案：B
(理)(2011· 重庆高考)在等差数列{an}中，a2＝2，a3＝4，则 a10＝( ) B．14 D．18
考点典例讲练
等差数列的通项
[例 1]
在等差数列{an}中，a1、a2、a5 成等比数列，且 )
a1＋a2＋a5＝13，则数列{an}的公差为( A．2 C．2 或 0 B．0 1 D.2或 0
2 解析：由条件知，a2 2＝a1a5，∴(a1＋d) ＝a1(a1＋4d)，∴d
13 ＝0 或 d＝2a1.若 d＝0，则 an＝ 3 ，满足题意；若 d＝2a1，则 由 a1＋a2＋a5＝13 得，a1＝1，d＝2，也满足题设要求，故选 C.