高考数学-等差数列典型例题
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解
2023高考数学----等差等比数列的交汇问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】在解决等差、等比数列综合问题时，要充分利用基本公式、性质以及它们之间的转化关系，在求解过程中要树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，并适时地采用“巧用性质，整体考虑”的方法．可以达到减少运算量的目的．【典型例题】例1．（2022·河南·一模（理））已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，()121n n a S n *+=+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，在数列{}n d 中是否存在3项,,m k p d d d （其中,,m k p 是公差不为0的等差数列）成等比数列？若存在，求出这3项；若不存在，请说明理由．【解析】（1）当2n ≥时，由121n n a S +=+得：121n n a S −=+，11222n n n n n a a S S a +−∴−=−=，则13n n a a +=，{}n a 为等比数列，∴等比数列{}n a 的公比为3；当1n =时，2112121a S a =+=+，11321a a ∴=+，解得：11a =，()13n n a n −*∴=∈N（2）假设存在满足题意的3项，由（1）得：13nn a +=，又()11n n n a a n d +=++，1113323111n n n n n n a a d n n n −−+−−⋅∴===+++； ,,m k p d d d 成等比数列，2km p d d d ∴=⋅，即()()()2211224323234311111k m p m p m p m p k −−−+−⋅⋅⋅⋅=⋅=+++++， ,,m k p 成等差数列，2k m p ∴=+，()()()2224343111m p m p m p k +−+−⋅⋅∴=+++，()()()2111121k m p mp m p mp k ∴+=++=+++=++，整理可得：2k mp =，又222m p k +⎛⎫= ⎪⎝⎭，222224m p m mp p mp +++⎛⎫∴== ⎪⎝⎭， 即()20m p −=，解得：m p =，则m p k ==，与已知中,,m k p 是公差不为0的等差数列相矛盾，∴假设错误，即不存在满足题意的3项.例2．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()12,2(1)N n n a n a n S n *=⋅=+⋅∈． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)判断数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】（1）N n *∈，2(1)n n n a n S ⋅=+⋅，则当2n ≥时，()12(1)−⋅−=+⋅n n n n S S n S ，即121−=⋅−n n S Sn n ，而121S =，因此，数列{}n S n 是公比为2的等比数列，则11221n n n S S n −=⋅=，即2n n S n =⋅，所以1(1)(1)22−+⋅==+⋅n nn n S a n n. （2）记231=−+nn n b a n ，由（1）知，123(1)2321−=−⋅+=−+n n n n n b n n ，不妨假设存在,,()<<m n p b b b m n p 三项成等差数列，则()2323232−=−+−n n m m p p ，因为(),,N m n p m n p *<<∈，所以1+≤n p ，令()()32N nnf n n *=−∈，则3()212⎡⎤⎛⎫=−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦n nf n ，于是有()f n 对N n *∈是递增的，则()(1)≥+f p f n ，即113232++−≥−p p n n ，因此()1123232323232++−=−+−≥−+−n n m m p p m m n n ，即332n m m −≥−，其左边为负数，右边为正数，矛盾，所以数列231⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭n n a n 中不存在成等差数列的三项． 例3．（2022·福建省福州华侨中学高三阶段练习）已知在正项等比数列{}n a 中13213,,22a a a 成等差数列，则2022202120202019a a a a +=+__________．【答案】9【解析】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，因为13213,,22a a a 成等差数列，所以31212322a a a ⨯=+，即211132a q a a q =+，又10a >，2230q q ∴−−=所以3q =或1q =−（不符合题意，舍去）.所以20212020322202220211120192018202020191191a a a q a q q q q a a a q a q q ++===+=+++， 故答案为：9.例4．（2022·湖北·高三期中）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，1111S =，573b b =，则6326log a b =______． 【答案】−1【解析】因为{}n a 是等差数列，且n S 是数列{}n a 的前n 项和，所以()1111161111112a a S a +===，解得61a =，因为{}n b 是等比数列，所以25763b b b ==，则633261log log 13a b ==−. 故答案为：1−.例5．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））已知等差数列{}n a 的前n 项利为n S ，若9S ，5a ，1成等比数列，且20400S ≥，则{}n a 的公差d 的取值范围为______． 【答案】[)2,+∞【解析】因为9S ，5a ，1成等比数列，所以()192595992a a a S a +===，所以59a =，即149a d +=，即194a d =−．由20400S ≥，得()1201902094190400a d d d +=⨯−+≥，解得2d ≥，即{}n a 的公差d 的取值范围为[)2,+∞． 故答案为：[)2,+∞．例6．（2022·上海·华东师范大学第一附属中学高三阶段练习）已知等差数列{}n a 的公差d 不为零，等比数列{}n b 的公比q 是小于1的正有理数．若1a d =，21b d =，且222123123a a ab b b ++++是正整数，则q 的值可以是______． 【答案】12【解析】由题意知：{}n a 是首项为d ，公差为d ，且0d ≠的等差数列，{}n b 是首项为2d ，公比为q ，且01q <<的等比数列，∴()()()2222222123222222212323141411d d d a a a d b b b d d q d q q q d q q ++++===++++++++， 要使222123123a a ab b b ++++为正整数，即2141q q ++为正整数，∵01q <<，201q <<，∴2113q q <++<，设2141q q n ++=，()0n >，即1413n <<，即14143n <<， 又∵21414141n q q n==++，∴n 为正整数，则满足范围的n 的值有：5，6，7，8，9，10，11，12，13， 又221314124q q q n ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭，即111222q =−=−=−又由题意知：01q <<，且为有理数，∴12q =−8n =时，满足题意，此时：111112222q =−−−+=.故答案为：12.例7．（2022·贵州·顶效开发区顶兴学校高三期中（理））对于集合A ，B ，定义集合{|}A B x x A x B −=∈∉且. 己知等差数列{}n a 和正项等比数列{}n b 满足14a =，12b =，212n n n b b b ++=+，332a b =+．设数列{}n a 和{}n b 中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A B −的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，则数列{}n c 的前30项和30S =_________. 【答案】1632【解析】{}n b 为正项等比数列，则2221222n n n n n n b b b b q b q b q q ++=+⇒=+⇒=+，解得2q =或1q =−（舍），∴1122n nn b b −==；{}n a 为等差数列，则331222a a d =+=+，∴3d =，∴()41331n a n n =+−⋅=+.由231,*nn m b a m n m =⇒=+∈N 、，可得当2468n =、、、时，152185m =、、、， 故数列{}n c 的前30项包含数列{}n a 前33项除去数列{}n b 第2、4、6项，()3043331334166416322S +⨯+⨯=−−−=.故答案为：1632例8．（2022·全国·模拟预测（文））设数列{}n a ，{}n b 满足2n n a =，38n b n =−，则它们的公共项由小到大排列后组成新数列{}n c ．在k c 和()1N*k c k +∈中插入k 个数构成一个新数列{}n e ：1c ，1，2c ，3，5，3c ，7，9，11，4c ，…，插入的所有数构成首项为1，公差为2的等差数列，则数列{}n e 的前20项和20T =______． 【答案】1589【解析】2nn a =，∴数列{}n a 是以2首项，公比为2的等比数列，12a ∴=，24a =，38a =，416a =，因为38n b n =−，所以15b =−，22b =−，31b =，44b = 知1a 显然不是数列{}n b 中的项．424a b ==，2a ∴是数列{}n b 中的第4项，设2kk a =是数列{}n b 中的第m 项，则238(k m k =−、*N )m ∈．112222(38)616k k k a m m ++==⨯=−=−， 1k a +∴不是数列{}n b 中的项．222424(38)3(48)8k k k a m m ++==⨯=−=−−，2k a +∴是数列{}n b 中的项．21c a ∴=，42c a =，63c a =，⋯，2n n c a =，∴数列{}n c 的通项公式是224n n n c ==．因为12345520+++++=，所以{}n e 的前20项包括n c 的前5项，以及21n −的前15项，所以 1234520444441329T =++++++++()()5414129151589142−+⨯=+=−故答案为：1589.。
高考数学《等差与等比数列》练习题
等差与等比数列一、单项选择题1．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，2S 8＝S 7＋S 10，则S 21＝( )A ．21B ．11C ．－21D ．02．在等比数列{}a n 中，若a 2 019＝4，a 2 021＝9，则a 2 020＝( )A ．6B ．－6C ．±6D ．1323．在等差数列{}a n 中，a 1＋a 8＋a 6＝15，则此等差数列的前9项之和为( )A ．5B ．27C ．45D ．904．等比数列{}a n 的公比为q ，前n 项和为S n ，设甲：q >0，乙：{}S n 是递增数列，则( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件5．已知等差数列{}a n 的项数为奇数，其中所有奇数项之和为319，所有偶数项之和为290，则该数列的中间项为( )A ．28B ．29C ．30D ．316．设{}a n 为等比数列，{}b n 为等差数列，且S n 为数列{}b n 的前n 项和，若a 2＝1，a 10＝16，且a 6＝b 6，则S 11＝( )A ．20B ．30C ．44D ．887．已知等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，等差数列{}b n 的前n 项和为T n .若S n T n ＝2n －1n ＋1 ，则a 5b 5＝( ) A ．1911 B ．1710 C ．32 D ．758．在等差数列{}a n 中，已知a 5>0，a 3＋a 8<0，则使数列{}a n 的前n 项和S n <0成立时n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．9D ．10二、多项选择题9．已知等比数列{}a n 的公比为q ，且a 5＝1，则下列选项正确的是( )A ．a 3＋a 7≥2B ．a 4＋a 6≥2C ．a 7－2a 6＋1≥0D ．a 3－2a 4－1≥010．已知无穷等差数列{}a n 的公差d ∈N *，且5，17，23是{}a n 中的三项，则下列结论正确的是( )A ．d 的最大值是6B ．2a 2≤a 8C ．a n 一定是奇数D ．137一定是数列{}a n 中的项11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，则下列说法正确的是( )A ．若S n ＝n 2－1，则{}a n 是等差数列B ．若S n ＝2n －1，则{}a n 是等比数列C ．若{}a n 是等差数列，则S 99＝99a 50D ．若{}a n 是等比数列，且a 1>0，q >0，则S 2n －1·S 2n ＋1>S 22n12．已知数列{}a n 是等比数列，下列结论正确的为( )A ．若a 1a 2>0，则a 2a 3>0B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0C ．若a 2>a 1>0，则a 1＋a 3>2a 2D ．若a 1a 2<0，则()a 2－a 1 ()a 2－a 3 <0三、填空题13．设等差数列{}a n 的前n 项和为S n ，若S 7＝28，则a 2＋a 3＋a 7的值为________．14．已知等比数列{}a n 的前n 项和为S n ，a 3＝7，S 3＝21，则公比q ＝________．15．已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3，a 5，a 10成等比数列，则S 7a 7＝________． 16．已知等差数列{}a n 的公差为d ()d >1 ，前n 项和为S n ，若a 7＝a 5＋3a 1，且a 2是S 4－1和a 1－1的等比中项，则d ＝________，S n ＝________．。
高考数学等差数列习题及答案doc
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．22．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．163．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11B ．10C ．6D ．34．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．495．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21B ．20C ．19D ．19或206．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．647．已知等差数列{}n a 中，前n 项和215n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）A ．7B ．8C ．7或8D ．98．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若S 2=8，38522a a a +=+，则a 1等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32011．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=B ．560a a +=C ．670a a +=D ．890a a +=12．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．3013．设等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若()*111,m m a a a m m N +-<<->∈，则必有（ ）A ．0m S <且10m S +>B ．0m S >且10m S +>C ．0m S <且10m S +<D ．0m S >且10m S +<14．已知递减的等差数列{}n a 满足2219a a =，则数列{}n a 的前n 项和取最大值时n =（ ）A ．4或5B ．5或6C ．4D ．515．若数列{}n a 满足121()2n n a a n N *++=∈，且11a =，则2021a =（ ） A ．1010 B ．1011 C ．2020D ．202116．已知数列{}n a 中，12(2)n n a a n --=≥，且11a =，则这个数列的第10项为（ ） A ．18B ．19C ．20D ．2117．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+D ．1111p q m nS S S S +>+ 18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若7916+=a a ，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．24019．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019B ．4040C ．2020D ．403820．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =23．题目文件丢失！24．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）A ．0,2,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数B ．1(1)1n n a -=-+C ．2sin2n n a π= D ．cos(1)1n a n π=-+25．设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，667711,01a a a a -><-，则下列结论正确的是（ ） A ．01q <<B ．681a a >C ．n S 的最大值为7SD ．n T 的最大值为6T26．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知450,5S a ==，则（ ） A ．25n a n =-B ．310na nC ．228n S n n =- D ．24n S n n =-27．公差不为零的等差数列{}n a 满足38a a =，n S 为{}n a 前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．110S =B ．10n n S S -=（110n ≤≤）C ．当110S >时，5n S S ≥D ．当110S <时，5n S S ≥28．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ） A ．244a a ⋅< B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅29．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列30．等差数列{}n a 的首项10a >，设其前n 项和为{}n S ，且611S S =，则（ ）A ．0d >B ．0d <C ．80a =D ．n S 的最大值是8S 或者9S【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得． 【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=， 故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 2．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 3．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 4．C 【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 5．B 【分析】 由题得出1392a d =-，则2202n dS n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由11101921a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392a d =-，10a <，0d ∴>，()211+2022n n n dS na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.故选：B. 【点睛】方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 6．B【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 7．C 【分析】215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．【详解】22152251524n S n n n ⎛⎫=-=--⎪⎝⎭，∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线21522524y x ⎛⎫=--⎪⎝⎭上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以152x =为对称轴，且1515|7822-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 8．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 9．C 【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出1a ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则3856522a a a a a +=+=+，解得652d a a =-=，212112228S a a a d a =+=+=+=，解得13a =故选：C 10．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
高考数学等差数列习题及答案百度文库
一、等差数列选择题1．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且132a a +=，422a a -=，则5S =（ ） A ．21B ．15C ．10D ．62．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若936S S =，则612SS =（ ） A ．177B ．83 C ．143D ．1034．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ）A ．214a =-B ．648211S S S =+ C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 5．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足：21<<m m m S S S ++，若0n S >，则n 的最大值为（ ） A ．2mB ．21m +C ．22m +D ．23m +6．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-7．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著，约成书于公元466-485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题：某女子善于织布，一天比一天织得快，且每日增加的数量相同.已知第一日织布4尺，20日共织布232尺，则该女子织布每日增加（ ）尺 A ．47B ．1629C ．815D ．458．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237n n S n T n =+，则63a b 的值为（ ） A ．511B ．38C ．1D ．29．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．1410．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10511．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ） A ．24B ．23C ．17D ．1613．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若718a a a -<<-，则必定有（ ） A ．70S >，且80S < B ．70S <，且80S > C ．70S >，且80S >D ．70S <，且80S <14．已知数列{}n a 是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前n 项和为n S .若p m n q <<<且()*,,,p q m n p q m n N +=+∈，则下列判断正确的是（ ）A ．22p p S p a =⋅B ．p q m n a a a a >C ．1111p q m n a a a a +<+ D ．1111p q m nS S S S +>+ 15．在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则这五个数为（ ） A ．3、8、13、18、23 B ．4、8、12、16、20 C ．5、9、13、17、21D ．6、10、14、18、2216．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()11213n n n n S S a n +++=+-+，现有如下说法：①541a a =；②222121n n a a n ++=-；③401220S =. 则正确的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．317．已知数列{}n a 中，11a =，22a =，对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，则10a 等于（ ）A ．10B C ．64D ．418．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项19．已知正项数列{}n a 满足11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，数列{}n b 满足1111n n nb a a +=+，记{}n b 的前n 项和为n T ，则20T 的值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．420．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n二、多选题21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 22．(多选)在数列{}n a 中，若221(2,,n n a a p n n N p *--=≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是（ ） A ．若{}n a 是等差数列，则{}n a 是等方差数列 B ．(){}1n- 是等方差数列C ．{}2n是等方差数列.D ．若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列23．题目文件丢失！24．题目文件丢失！25．若不等式1(1)(1)2n na n+--<+对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的可能取值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．226．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，512a =，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =- B ．122a =C ．3430a a +=D ．当且仅当11n =时，n S 取得最大值27．已知等差数列{}n a 的前n 项和为,n S 且15110,20,a a a 则（ ）A ．80a <B ．当且仅当n = 7时，n S 取得最大值C ．49S S =D ．满足0n S >的n 的最大值为1228．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ）A ．1(1)nn a =+-B ．2cos2n n a π= C ．(1)2sin2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--29．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <30．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大 B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大 C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．C 【分析】根据已知条件得到关于首项1a 和公差d 的方程组，求解出1,a d 的值，再根据等差数列前n 项和的计算公式求解出5S 的值. 【详解】因为134222a a a a +=⎧⎨-=⎩，所以122222a d d +=⎧⎨=⎩，所以101a d =⎧⎨=⎩，所以5154550101102S a d ⨯=+=⨯+⨯=， 故选：C. 2．D 【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 3．D 【分析】由等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，结合已知条件得633S S =和31210S S =计算得结果. 【详解】已知等差数列{}n a 的前项和为n S ，∴3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，所以()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =. 又()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，∴31210S S =，从而126103S S =. 故选：D 【点睛】 思路点睛：（1）利用等差数列前n 项和性质得3S ，63S S -，96S S -，129S S -构成等差数列，（2）()()633962S S S S S ⋅-=+-，且936S S =，化简解得633S S =， （3）()()()96631292S S S S S S ⋅-=-+-，化简解得31210S S =. 4．D 【分析】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-代入120nn n a S S -+=可推导出数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，确定该数列的首项和公差，可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，由221a S S =-可判断A 选项的正误；利用n S 的表达式可判断BC 选项的正误；求出n T ，可判断D 选项的正误. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，由1n n n a S S -=-， 由120n n n a S S -+=可得111112020n n n n n nS S S S S S ----+=⇒-+=， 整理得1112n n S S --=（2n ≥且n +∈N ）. 则1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为以2为首项，以2为公差的等差数列()12122n n n S ⇒=+-⋅=，12n S n ∴=. A 中，当2n =时，221111424a S S =-=-=-，A 选项正确； B 中，1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，显然有648211S S S =+，B 选项正确； C 中，记()()1212211221n n n n b S S n n n S ++=+-=+-++， ()()()1123111212223n n n n b S S S n n n ++++=+-=+-+++，()()()1111602223223n n n b b n n n n n n ++∴-=--=-<++++，故{}n b 为递减数列， ()1123max 111724612n b b S S S ∴==+-=+-=，C 选项正确； D 中，12n n S =，()()2212n n n T n n +∴==+，()()112n T n n +∴=++. ()()()()()()11112112111n n n n T T n n n n n n n n n n n n n n +-=⋅++⋅++=+--+++++222122212n n n n n n T =-++=+-≠，D 选项错误.故选：D ． 【点睛】关键点点睛：利用n S 与n a 的关系求通项，一般利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩来求解，在变形过程中要注意1a 是否适用，当利用作差法求解不方便时，应利用1n n n a S S -=-将递推关系转化为有关n S 的递推数列来求解. 5．C 【分析】首先根据数列的通项n a 与n S 的关系，得到10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++，再根据选项，代入前n 项和公式，计算结果. 【详解】由21<<m m m S S S ++得，10m a +>，2<0m a +，12+>0m m a a ++. 又()()()1212112121>02m m m m a a S m a +++++==+，()()()1232322323<02m m m m a a S m a +++++==+， ()()()()1222212211>02m m m m m a a S m a a ++++++==++.故选:C.【点睛】关键点睛：本题的第一个关键是根据公式11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩，判断数列的项的正负，第二个关键能利用等差数列的性质和公式，将判断和的正负转化为项的正负. 6．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 7．D 【分析】设该妇子织布每天增加d 尺，由等差数列的前n 项和公式即可求出结果 【详解】设该妇子织布每天增加d 尺， 由题意知2020192042322S d ⨯=⨯+=， 解得45d =． 故该女子织布每天增加45尺． 故选：D 8．C【分析】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则63a b 可得．【详解】令22n S n λ=，()37n T n n λ=+，可得当2n ≥时，()()221221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，()232n b n λ=+故622a λ=，322b λ=，故631a b =. 【点睛】由n S 求n a 时，11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 9．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 10．B 【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案. 【详解】根据题意可知正整数能被21整除余2，21+2n a n ∴=， 5215+2107a ∴=⨯=.故选：B. 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】 方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．A 【分析】 由题意可得5282045252a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】 解：根据题意，5282045252a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 13．A 【分析】根据已知条件，结合等差数列前n 项和公式，即可容易判断. 【详解】依题意，有170a a +>，180a a +< 则()177702a a S +⋅=>()()188188402a a S a a +⋅==+<故选：A . 14．D 【分析】利用等差数列的求和公式可判断A 选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B 选项的正误；利用p q m n a a a a <结合不等式的基本性质可判断C 选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D 选项的正误. 【详解】对于A 选项，由于()()1221222p pp p p p a a Sp a a pa ++==+≠，故选项A 错误；对于B 选项，由于m p q n -=-，则()()p q m n m n m n a a a a a p m d a q n d a a ⋅-⋅=+-⋅+--⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()()22m n m nm n a q n d a q n d a a q n a a d q n d =--⋅+--=----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()()2220q n n m d q n d =-----<，故选项B 错误；对于C 选项，由于1111p q m n m n p q p q p q m n m na a a a a a a a a a a a a a a a ++++==>=+⋅⋅⋅，故选项C 错误； 对于D 选项，设0x q n m p =-=->，则()()()20pq mn m x n x mn x n m x -=-+-=---<，从而pq mn <，由于222222p q m n p q pq m n mn +=+⇔++=++，故2222p q m n +>+.()()()()()()111111p q pq p q mn m n m n --=-++<-++=--，故()()22221122p q m n p q p q m n m nS S p q a d m n a d S S +--+--+=++>++=+.()()()()()221111112112224p q p p q q pq p q pq p q S S pa d qa d pqa a d d--+---⎡⎤⎡⎤⋅=+⋅+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()221121124mn m n mn p q mna a d d+---<++()()()221121124m n mn m n mn m n mna a d d S S +---<++=，由此1111p q m n p q p q m n m nS S S S S S S S S S S S +++=>=+，故选项D 正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示n a 、n S ，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断. 15．C 【分析】根据首末两项求等差数列的公差，再求这5个数字. 【详解】在1与25之间插入五个数，使其组成等差数列，则171,25a a ==，则712514716a a d --===-， 则这5个数依次是5，9，13，17，21. 故选：C 16．D 【分析】由()11213n n n n S S a n +++=+-+得到()11132n n n a a n ++=-+-，再分n 为奇数和偶数得到21262k k a a k +=-+-，22165k k a a k -=+-，然后再联立递推逐项判断. 【详解】因为()11213n n n n S S a n +++=+-+，所以()11132n n n a a n ++=-+-，所以()212621k k a a k +=-+-，()221652k k a a k -=+-， 联立得：()212133k k a a +-+=， 所以()232134k k a a +++=， 故2321k k a a +-=，从而15941a a a a ===⋅⋅⋅=，22162k k a a k ++=-，222161k k a a k ++=++，则222121k k a a k ++=-，故()()()4012345383940...S a a a a a a a a =++++++++，()()()()234538394041...a a a a a a a a =++++++++，()()201411820622k k =+⨯=-==∑1220，故①②③正确. 故选：D17．D 【分析】利用等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，根据11a =，22a =可求得数列{}3n a 的公差，可求得310a 的值，进而可求得10a 的值. 【详解】对*n N ∀∈都有333122n n n a a a ++=+，由等差中项法可知，数列{}3n a 为等差数列，由于11a =，22a =，则数列{}3n a 的公差为33217d a a =-=，所以，33101919764a a d =+=+⨯=，因此，104a .故选：D. 18．D 【分析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为{}n a ，则()8151157n a n n =+-=-，令1572020n a n =-≤，解得：213515n ≤， 所以该数列的项数共有135项. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题以数学文化为背景，考查等差数列，本题的关键是读懂题意，并能抽象出等差数列. 19．B 【分析】 由题意可得221114n na a +-=，运用等差数列的通项公式可得2143n n a =-，求得14n b =，然后利用裂项相消求和法可求得结果【详解】解：由11a =，1111114n n n n a a a a ++⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得221114n n a a +-=， 所以数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，所以2114(1)43nn n a =+-=-，因为0n a >，所以n a =，所以1111n n nb a a +=+=所以14n b ==，所以201220T b b b =++⋅⋅⋅+111339(91)244=++⋅⋅⋅+=⨯-=， 故选：B 【点睛】关键点点睛：此题考查由数列的递推式求数列的前n 项和，解题的关键是由已知条件得221114n n a a +-=，从而数列21n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以4为公差，以1为首项的等差数列，进而可求n a =，14n b ==，然后利用裂项相消法可求得结果，考查计算能力和转化思想，属于中档题 20．A 【分析】由已知等式分别求出数列的前三项，由2132a a a =+列出方程，求出公差，利用等差数列的通项公式求解可得答案． 【详解】11a =，()()1211n n n a a tn a ++=+,令1n =，则()()121211a a t a +=+，解得21a t =-令2n =，则()()2322121a a t a +=+，即()2311t a t -=-，若1t =，则20,1a d ==，与已知矛盾，故解得31a t =+{}n a 等差数列，2132a a a ∴=+，即()2111t t -=++，解得4t =则公差212d a a =-=，所以()1121n a a n d n =+-=-. 故选：A二、多选题21．AD 【分析】先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a .11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 11104n n n S S S -≠∴-= 因此数列1{}n S 为以114S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时111144(1)4(1)n n n a S S n n n n -=-=-=--- 所以1,141,24(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥-⎪⎩，即B ，C 不正确；故选：AD 【点睛】本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题. 22．BD 【分析】根据等差数列和等方差数列定义，结合特殊反例对选项逐一判断即可. 【详解】对于A ，若{}n a 是等差数列，如n a n =，则12222(1)21n n a a n n n --=--=-不是常数，故{}na 不是等方差数列，故A 错误；对于B ，数列(){}1n-中，222121[(1)][(1)]0n n n n a a ---=---=是常数，{(1)}n∴-是等方差数列，故B 正确； 对于C ，数列{}2n中，()()22221112234nn n n n a a ----=-=⨯不是常数，{}2n∴不是等方差数列，故C 错误； 对于D ，{}n a 是等差数列，1n n a a d -∴-=，则设n a dn m =+，{}n a 是等方差数列，()()222112(2)n n n n dn m a a a a d a d d n m d d dn d m --∴-=++++=+=++是常数，故220d =，故0d =，所以(2)0m d d +=，2210n n a a --=是常数，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点睛：本题考查了数列的新定义问题和等差数列的定义，解题的关键是正确理解等差数列和等方差数列定义，利用定义进行判断.24．无25．ABC 【分析】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立，即当n 为奇数时有12+a n-<恒成立，当n 为偶数时有12a n<-恒成立，分别计算，即可得解. 【详解】根据不等式1(1)(1)2n na n +--<+对于任意正整数n 恒成立， 当n 为奇数时有：12+a n-<恒成立，由12+n 递减，且1223n <+≤，所以2a -≤，即2a ≥-，当n 为偶数时有：12a n<-恒成立， 由12n -第增，且31222n≤-<， 所以32a <， 综上可得：322a -≤<， 故选：ABC . 【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想，有一定的计算量，属于中当题. 26．AC 【分析】先根据题意得等差数列{}n a 的公差2d =-，进而计算即可得答案. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ， 则52318312a a d d =+=+=，解得2d =-.所以120a =，342530a a a a +=+=，11110201020a a d =+=-⨯=， 所以当且仅当10n =或11时，n S 取得最大值.【点睛】本题考查等差数列的基本计算，前n 项和n S 的最值问题，是中档题. 等差数列前n 项和n S 的最值得求解常见一下两种情况：（1）当10,0a d ><时，n S 有最大值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +<且0n a >的n 的取值范围确定；（2）当10,0a d <>时，n S 有最小值，可以通过n S 的二次函数性质求解，也可以通过求满足10n a +>且0n a <的n 的取值范围确定； 27．ACD 【分析】由题可得16a d =-，0d <，21322n d d S n n =-，求出80a d =<可判断A ；利用二次函数的性质可判断B ；求出49,S S 可判断C ；令213022n d dS n n =->，解出即可判断D. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则()5111122+4++100a a a d a d +==，解得16a d =-，10a >，0d ∴<，且()21113+222n n n d d S na d n n -==-， 对于A ，81+7670a a d d d d ==-+=<，故A 正确；对于B ，21322n d d S n n =-的对称轴为132n =，开口向下，故6n =或7时，n S 取得最大值，故B 错误； 对于C ，4131648261822d d S d d d =⨯-⨯=-=-，9138191822d d S d =⨯-⨯=-，故49S S =，故C 正确；对于D ，令213022n d dS n n =->，解得013n <<，故n 的最大值为12，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：由于等差数列()2111+222n n n d d S na d n a n -⎛⎫==+- ⎪⎝⎭是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 28．AC 【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．对于选项A ，1(1)nn a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos 2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件； 故选：AC 29．AD 【分析】利用等差数列的通项公式可以求70a >，80a <，即可求公差0d <，然后根据等差数列的性质判断四个选项是否正确. 【详解】因为67S S <，所以7670S S a -=> ， 因为78S S >，所以8780S S a -=<， 所以等差数列{}n a 公差870d a a =-<， 所以{}n a 是递减数列，故1a 最大，选项A 正确；选项B 不正确；10345678910770S S a a a a a a a a -=++++++=>，所以310S S ≠，故选项C 不正确；当8n ≥时，80n a a ≤<，即0n a <，故选项D 正确； 故选：AD 【点睛】本题主要考查了等差数列的性质和前n 项和n S ，属于基础题. 30．AD 【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误. 【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列， ∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=,这在已知条件中是没有的，故C 错误.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.。
高考数学模拟试题与解析 专题16 等差数列(解析版)
专题16等差数列目录 (1)基础题型一：判断（证明）等差数列 ...................................................................................................................... 1 基础题型二：等差数列通项公式基本量计算 .......................................................................................................... 5 基础题型三：等差中项（下标和性质） .................................................................................................................. 7 基础题型四：等差数列前n 项和基本量计算 .......................................................................................................... 9 基础题型五：两个等差数列前n 项和比的问题 . (11) (14)提升题型一：等差数列单调性 ................................................................................................................................ 14 提升题型二：含绝对值的等差数列前n 项和 ........................................................................................................ 17 提升题型三：等差数列奇数项或偶数项和 ............................................................................................................ 21 提升题型四：n a 与n S的关系 ................................................................................................................................. 23 提升题型五：等差数列片段和性质 ........................................................................................................................ 26 提升题型六：等差数列前n 项和最值 .................................................................................................................... 27 提升题型七：根据等差数列前n 项和最值求参数 (31)基础题型一：判断（证明）等差数列1．（2022·湖南长沙·高三阶段练习）若数列{an }的前n 项和为232n S n n a =++，则“0a =”是“数列{an }为等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵232n S n n a =++，则115S a a ==+，n，1n=．112n，23=，3a=不是等差数列.基础题型二：等差数列通项公式基本量计算基础题型三：等差中项（下标和性质）【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为：116.7．（2022·上海市西南位育中学高二期末）等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +=_________ 【答案】180【详解】因为等差数列{}n a 中，3456755450++++==a a a a a a ， 所以590a =， 所以2852180+==a a a . 故答案为：180.基础题型四：等差数列前n 项和基本量计算【详解】2n n a a ++129151115,a a a a =+++12915292942a +⨯=⨯=故答案为：116.2022·黑龙江·哈尔滨德强学校高二期中）根据下列条件，求相应的等差数列基础题型五：两个等差数列前n 项和比的问题1．（2022·河南新乡·一模（文））设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，若3542n n S n T n +=-，则88a b =（ ） A ．2528B ．3539C ．5558D ．25292．（2022·宁夏·银川二中高三阶段练习（理））设等差数列n 与等差数列n 的前n 项和分别为n S ，n T ，若对任意自然数n 都有2343n n S n T n -=-，则935784a a b b b b +++的值为（ ）A ．37B ．79C ．1941D ．1-3．（2022·江苏·北大附属宿迁实验学校高二期中）已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为Sn 和Tn ，且n n S T =2703n n ++，则76a b 的值为（ ） A ．487B ．425C ．849D ．144．（2022·全国·高二课时练习）两等差数列{}n a 和{}n b ，前n 项和分别为n S ，n T ，且3n n T n =+，则220715a ab b ++的值为（ ）A ．14924B ．7914C ．165D ．51105．（2022·广东·南海中学高二阶段练习）已知等差数列n a 、n b ，其前项和分别为n S 、n T ，2331n n a n b n +=-，则1111S T = A ．1517B ．2532C ．1D ．26．（2022·云南昭通·高三期末（理））等差数列,n n a b 的前n 项和分别为132,,,221n n n n S n S T a T n -==+，则{}n b 的公差为___________. 【详解】32n n S n T n -=又112a S k ===⨯2(21)4=+=n T n n 116420=+==b 即{}n b 的公差为8. 故答案为：8.7．（2022·上海·高三专题练习）已知数列n 、n 均为正项等比数列，n 、n 分别为数列{}n a 、{}n b 的前n 项积，且ln 57ln 2n n P n Q n-=，则33ln ln a b 的值为___________.53,21n n A n B n +=-求这两个数列的第9项之比99.a b9．（2022·全国·高二课时练习）已知两个等差数列n a 和n b 的前n 项和分别为n 和n ，311n n A n B n +=+，求25837a a a b b +++的值．提升题型一：等差数列单调性1．（2022·全国·高二课时练习）设{}n a 是等差数列，则“123a a a <<”是“数列{}n a 是递增数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【详解】由题意可得公差21320d a a a a =-=->，所以数列{}n a 是递增数列，即充分性成立； 若数列{}n a 是递增数列，则必有123a a a <<，即必要性成立． 故选：C ．【详解】∵等差数列{}n a 是递增数列，且1233a a a ++≤，∴21,0a d ≤>，又∵()731113863228a a a d a d a -≤=+-+=-≤，∴14a ≥-，2105d a a <=-≤，4134a a d =+>-，42211011a a d =+≤+=，即4a 的取值范围为(]4,11-，故答案为(]4,11-.提升题型二：含绝对值的等差数列前n 项和2678,(6,N*)(+),(7,n n a a n n a a a a n n +++≤∈++-++≥∈2252=-n n n S ， 78，N*)，||.n a +27+，前,19216,10n n ，n ∈）设等差数列{}n a 的公差是是递减数列，因为512a a +舍去)，3d =-，解得d 9，则当9n 时，0n a ；当n >3)108=； 21)351(3)22n n ⨯-=-+9n 时，n T 235122n n -+，9n >时，T 11a ++…a +235122n n -+综上可得，19216,10n T n ，n ∈昆明一中高三阶段练习）已知数列12220n n a -++-.求数列{}n a 的通项公式；求数列{}n a 的前【答案】(1)16n a =22214,214n n n n -+-+12n n a -++12220+-=(2126n n a --++=-()12062n n +---+164n n =-，(1212162n n n a a a a +++=+++=0n a <，易知112a =，28a =，234523415n na a a a a a a a a a a +++++=+++---)()32314n a a a a a +-+++()()121642128402n n +-=⨯+++-2214n n =-4>. 高二期中）已知数列{}a 的前n 项和为{}a 的前n 项和为S n a ++，求(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.综2,171498,7n n n n -≤≤+> 山西省浑源中学高二阶段练习）表示n S 等差数列{}n a 的前n 项的和，且4S S =的通项n a 及n S ； n a ++14，n S n =78n ≤≥）解：设等差数列{综上所述，2213,171384,8nn n nTn n n⎧-≤≤=⎨-+≥⎩.提升题型三：等差数列奇数项或偶数项和23na-+++23n a -+++531a a -+++)(2321n n a a --++++上海南汇中学高二期末）在等差数列9960a ++=100a ++=__________.145【详解】等差数列{n a 12， 10013599246100a a a a a a a a a ++=+++++++++24610013599a a a a a d a d a d a d ++++=++++++++605085d =+=1231001260501452a a a a ++++=⨯+⨯=. 故答案为：145.5．（2022·江苏·高二课时练习）已知等差数列{}n a 中，前m （m 为奇数）项的和为中偶数项之和为33，且323=-+n提升题型四：na 与nS 的关系(2)90-(1)解：由题意可得()()22142132a S S k k k =-=---=-=，解得1k =，所以，2n S n n =-. 当1n =时，110a S ==，当2n ≥时，()()()2211122n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎣⎦， 10a =也满足22n a n =-，故对任意的N n *∈，22n a n =-.(2)解：()221010222120n n S a n n n n n -=---=-+，所以，当10n =或11时，n S 取得最小值，且最小值为90-.3．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n S n n =+，n ∈*N ，数列{}n b 满足24log 3n n a b =+，*n ∈N ．求,n n a b ；【答案】41n a n =-；12n n b -=【详解】由于n S =22n n +，当n ≥2时，1n n n a S S -=-=2222(1)(1)41n n n n n ⎡⎤+--+-=-⎣⎦，*n ∈N ．当n =1时，113a S ==；41n a n ∴=-， 由24log 3n n a b =+， 12n n b -∴=，*n ∈N ．4．（2022·全国·高三专题练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()1131n n n S n S n ++-+=+．（1）求证：{}n a 为等差数列； 【答案】（1）证明见解析；【详解】证明：（1）∵()()1131n n n S n S n ++-+=+， ∴()()12,2n n nS n S n n --+=≥，两式做差得：()()()1112321n n n n S n S n S +-+-+++=， ∴()()()()1111221n n n n n S n S n S n S +-+-+++-+=， ∴()()1121n n n a n a ++-+= ∴()111n n na n a --+=，两式做差得：()()()1112210n n n n a n a n a +-+-+++=， ∴1120n n n a a a +--+=， 即：112n n n a a a -+=+， ∴{}n a 为等差数列．n a ++，求77>(2N*n n -∈(1231315n n n a a a a a S +++=++++==()123123789n n a a a a a a a a a a ++++=++++-+++)()27123789721498n n a a a a a a a a S S n n ++-++++++++=-=-+.2,171498,7n n n n n -≤≤-+> 重庆市云阳县高阳中学高三阶段练习（理））已知数列{}n a 的前n 项和为12n S a =，)2112n n S nS n n --=+-．的通项公式;提升题型五：等差数列片段和性质4．（2022·宁夏·吴忠中学高二期中（理））设等差数列的前n 项和为48,8,20n S S S ==若，则9101112a a a a +++= . 【答案】16【详解】由等差数列性质知：484128,,S S S S S --也成等差， 所以1288,12,S S -成等差，即12816S S -=， 因此910111212816a a a a S S +++=-=,故答案为16.5．（2022·江苏南通·高二期中）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1020S =，3090S =，则20S =___________ 【答案】50【详解】由题设1020103020,,S S S S S --成等差数列， 所以20101030202()S S S S S -=+-，则20103033150S S S =+=， 所以2050S =. 故答案为：50提升题型六：等差数列前n 项和最值提升题型七：根据等差数列前n 项和最值求参数1．（2022·安徽·淮南第二中学高二开学考试）在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，已知678125a a a a ++=，且10a >，当n S 取得最大值时，n 的值为（ ） A ．17 B ．18C ．19D ．20【答案】C【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，12n na n -++的前n 项和为解得1202a≤≤，由于1a是整数，所以1a的可能取值是18,19,20.。
高考数学试卷等差数列
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 在等差数列{an}中，若a1=2，公差d=3，则a10的值为：A. 28B. 31C. 34D. 372. 已知等差数列{an}中，a1=1，a5=13，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 53. 在等差数列{an}中，若a1=3，a7=23，则该数列的通项公式为：A. an = 3nB. an = 3n + 2C. an = 3n - 2D. an = 3n + 14. 已知等差数列{an}的前三项分别为3，5，7，则该数列的第100项为：A. 299B. 300C. 301D. 3025. 在等差数列{an}中，若a1=2，S5=30，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 56. 等差数列{an}的前10项和为50，第11项为6，则该数列的公差d为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 等差数列{an}中，a1=5，a6=19，则该数列的前5项和为：A. 15B. 20C. 25D. 308. 在等差数列{an}中，若a1=1，S10=55，则公差d为：A. 5B. 4C. 3D. 29. 等差数列{an}的前5项和为25，第6项为13，则该数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 510. 在等差数列{an}中，若a1=3，a10=31，则该数列的前9项和为：A. 81B. 90C. 99D. 100二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 在等差数列{an}中，若a1=4，d=2，则a8的值为______。
12. 等差数列{an}的前4项和为16，第5项为10，则公差d为______。
13. 已知等差数列{an}的前5项和为30，第3项为7，则公差d为______。
14. 在等差数列{an}中，若a1=5，S10=60，则第10项a10为______。
15. 等差数列{an}的前6项和为36，第7项为14，则公差d为______。
高考数学等差数列习题及答案
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且71124a a -=，则5S =（ ） A ．15B ．20C ．25D ．302．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-B ．8C ．12D ．143．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，15a =，且满足122527n na a n n +-=--，若p ，*q ∈N ，p q >，则p q S S -的最小值为（ ）A ．6-B ．2-C ．1-D ．0 4．在等差数列{a n }中，a 3+a 7＝4，则必有（ ）A ．a 5＝4B ．a 6＝4C ．a 5＝2D ．a 6＝25．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列 D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()12n n n S +=，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项的和为（ ） A ．89B ．910C ．1011D ．11127．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10B ．9C ．8D ．78．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．169．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则3810b b b =（ )A ．1B ．8C ．4D ．210．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32011．已知等差数列{}n a ，且()()35710133248a a a a a ++++=，则数列{}n a 的前13项之和为（ ）A ．24B ．39C ．104D ．5212．已知等差数列{}n a 的公差d 为正数，()()111,211,n n n a a a tn a t +=+=+为常数，则n a =（ ）A ．21n -B ．43n -C ．54n -D ．n13．在等差数列{}n a 中，若n S 为其前n 项和，65a =，则11S 的值是（ ） A ．60B ．11C ．50D ．5514．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46515．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{} n a ，则5a =（ ） A ．103B ．107C ．109D ．10516．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36B ．48C ．56D ．7217．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7218．等差数列{}n a 中，若26a =，43a =，则5a =（ ） A ．32B ．92C ．2D ．919．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等.问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）.这个问题中，戊所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．23钱 D ．53钱 20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，2n ≥且*n ∈N ，满足120n n n a S S -+=，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则下列说法中错误的是（ ） A ．214a =-B ．648211S S S =+C ．数列{}12n n n S S S +++-的最大项为712D ．1121n n n n nT T T n n +-=++ 二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为,n S 且13522,a a S +=下列结论中正确的是（ ） A ．7S 最小B ．130S =C ．49S S =D ．70a =23．已知数列{}n a 满足0n a >，121n n n a na a n +=+-(N n *∈)，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ）A ．11a =B ．121a a =C ．201920202019S a =D ．201920202019S a >24．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，则下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则50a >，60a <；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15；C ．若150S >，160S <，则{}n S 中7S 最大；D ．若89S S <，则78S S <.25．无穷等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 1＞0，d ＜0，则下列结论正确的是（ ） A ．数列{}n a 单调递减 B ．数列{}n a 有最大值 C ．数列{}n S 单调递减D ．数列{}n S 有最大值26．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =C ．95S S >D ．6S 与7S 均为n S 的最大值27．定义11222n nn a a a H n-+++=为数列{}n a 的“优值”.已知某数列{}n a 的“优值”2nn H =，前n 项和为n S ，则（ ）A ．数列{}n a 为等差数列B ．数列{}n a 为等比数列C ．2020202320202S = D ．2S ，4S ，6S 成等差数列28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2229．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d .已知312a =，120S >，70a <则（ ） A ．60a > B ．数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列C ．0nS <时，n 的最小值为13D ．数列n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭中最小项为第7项 30．首项为正数，公差不为0的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，现有下列4个命题中正确的有（ ）A ．若100S =，则280S S +=；B ．若412S S =，则使0n S >的最大的n 为15C ．若150S >，160S <，则{}n S 中8S 最大D ．若78S S <，则89S S <【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】设出数列{}n a 的公差，利用等差数列的通项公式及已知条件，得到124a d +=，然后代入求和公式即可求解 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由已知可得()()111261024a d a d a d +-+=+=，所以()5115455254202S a d a d ⨯=+=+=⨯= 故选：B 2．D 【分析】利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】147446=32a a a a a ++=∴=，则()177477142a a S a +=== 故选：D 3．A 【分析】 转化条件为122527n na a n n +-=--，由等差数列的定义及通项公式可得()()2327n a n n =--，求得满足0n a ≤的项后即可得解.【详解】 因为122527n n a a n n +-=--，所以122527n na a n n +-=--， 又1127a =--，所以数列27n a n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1-为首项，公差为2的等差数列， 所以()1212327na n n n =-+-=--，所以()()2327n a n n =--， 令()()23270n a n n =--≤，解得3722n ≤≤， 所以230,0a a <<，其余各项均大于0， 所以()()()3123min13316p q S S a a S S =-=+=⨯-+--⨯=-.故选：A. 【点睛】解决本题的关键是构造新数列求数列通项，再将问题转化为求数列中满足0n a ≤的项，即可得解. 4．C 【分析】利用等差数列的性质直接计算求解 【详解】因为a 3+a 7＝2a 5＝4，所以a 5＝2. 故选：C 5．D【分析】根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 6．C 【分析】首先根据()12n n n S +=得到n a n =，设11111n n n b a a n n +==-+，再利用裂项求和即可得到答案. 【详解】当1n =时，111a S ==， 当2n ≥时，()()11122n n n n n n n a S S n -+-=-=-=. 检验111a S ==，所以n a n =. 设()1111111n n n b a a n n n n +===-++，前n 项和为n T ， 则10111111101122310111111T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭…. 故选：C 7．A 【分析】利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由467811a a a =⎧⇒⎨+=⎩444812311a d a d a d =⎧⇒=-⎨+++=⎩，24210a a d ∴=-=. 故选：A 8．A 【分析】将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22n n n λ+≥，求出()max22nn n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n n n a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max 22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦. 由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 9．B 【分析】根据等差数列的性质，由题中条件，求出72a =，再由等比数列的性质，即可求出结果. 【详解】因为各项不为0的等差数列{}n a 满足26780a a a -+=，所以27720a a -=，解得72a =或70a =（舍）；又数列{}n b 是等比数列，且772b a ==，所以33810371178b b b b b b b ===.故选：B. 10．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
高考数学等差数列习题及答案
一、等差数列选择题1．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2938a a a +=+，则15S =（ ） A ．60B ．120C ．160D ．2402．等差数列{}n a 中，已知14739a a a ++=，则4a =（ ） A ．13B ．14C ．15D ．163．在等差数列{}n a 中，3914a a +=，23a =，则10a =（ ） A ．11 B ．10C ．6D ．34．定义12nn p p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为12n ，又2n n a b =，则1223910111b b b b b b +++=（ ） A ．817 B ．1021C ．1123 D ．9195．等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为,n n S T ，若231n n a n b n =+，则2121S T 的值为（ ）A ．1315B ．2335C ．1117 D ．496．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12a =，315S =，则8a =（ ） A ．11B ．12C ．23D ．247．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n nn S a b n =---⨯+，*n N ∈，则存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列C ．·n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 8．已知等差数列{}n a ，其前n 项的和为n S ，3456720a a a a a ++++=，则9S =（ ） A ．24B ．36C ．48D ．649．南宋数学家杨辉《详解九张算法》和《算法通变本末》中，提出垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差不相等，但是逐项差数之差或者高次成等差数列.在杨辉之后一般称为“块积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别1，7，15，27，45，71，107，则该数列的第8项为（ ） A ．161B ．155C ．141D ．13910．已知数列{}n a 中，132a =，且满足()*1112,22n n n a a n n N -=+≥∈，若对于任意*n N ∈，都有n a nλ≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．8D ．1611．在函数()y f x =的图像上有点列{},n n x y ，若数列{}n x 是等比数列，数列{}n y 是等差数列，则函数()y f x =的解析式可能是（ ） A ．3(4)f x x =+B ．2()4f x x =C ．3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．4()log f x x =12．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为（ ） A ．2B ．43C ．4D ．4-13．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织390尺”，则从第2天起每天比前一天多织（ ） A ．12尺布 B ．518尺布 C ．1631尺布 D ．1629尺布 14．在数列{}n a 中，129a =-，()*13n n a a n +=+∈N ，则1220a a a +++=（ ）A ．10B ．145C ．300D ．32015．冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{}n a ，已知11a =，22a=，且满足()211+-=+-nn n a a （n *∈N ），则该医院30天入院治疗流感的共有（ ）人A ．225B ．255C ．365D ．46516．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且310179a a a ++=，则19S =（ ） A ．51B ．57C ．54D ．7217．已知等差数列{}n a 中，7916+=a a ，41a =，则12a 的值是（ ） A ．15B ．30C ．3D ．6418．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且11112n n n x x x -++=(n ≥2)，则x n 等于（ ） A ．(23)n －1B ．(23)n C ．21n + D ．12n + 19．数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{},n a 则该数列共有（ ） A ．132项B ．133项C ．134项D ．135项20．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31567a a a +=+，则23S =（ ） A ．121B ．161C ．141D ．151二、多选题21．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，….，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．68a =B ．733S =C ．135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=D ．22212201920202019a a a a a ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+= 22．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n= B ．数列{}n a 的通项公式为14(1)n a n n =+C ．数列{}n a 为递增数列D ．数列1{}nS 为递增数列 23．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>024．(多选题)已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的值不可能为（ ） A ．2B ．5C ．3D ．425．已知递减的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，57S S =，则（ ） A ．60a > B ．6S 最大 C ．130S >D ．110S >26．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ） A ．4B ．5C ．7D ．827．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）A ．244a a ⋅<B ．224154a a +≥C ．15111a a +> D ．1524a a a a ⋅>⋅28．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ()*n N ∈，公差0d ≠，690S=，7a 是3a 与9a 的等比中项，则下列选项正确的是（ ） A ．2d =-B ．120a =-C ．当且仅当10n =时，n S 取最大值D ．当0nS <时，n 的最小值为2229．下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题，其中的真命题为（ ）. A ．数列{}n a 是递增数列 B ．数列{}n na 是递增数列 C ．数列{}na n是递增数列 D ．数列{}3n a nd +是递增数列30．设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1718S S =，则下列各式的值为0的是（ ） A ．17aB ．35SC ．1719a a -D ．1916S S -【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等差数列选择题 1．B 【分析】根据等差数列的性质可知2938a a a a +=+，结合题意，可得出88a =，最后根据等差数列的前n 项和公式和等差数列的性质，得出()11515815152a a S a +==，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，2938a a a +=+，由等差数列的性质可知2938a a a a +=+，则88a =， 故()1158158151521515812022a a a S a +⨯====⨯=. 故选：B. 2．A 【分析】利用等差数列的性质可得1742a a a +=，代入已知式子即可求解.【详解】由等差数列的性质可得1742a a a +=， 所以1474339a a a a ++==，解得：413a =， 故选：A 3．A 【分析】利用等差数列的通项公式求解1,a d ，代入即可得出结论. 【详解】由3914a a +=，23a =， 又{}n a 为等差数列， 得39121014a a a d +=+=，213a a d =+=，解得12,1a d ==， 则101+92911a a d ==+=； 故选：A. 4．D 【分析】由题意结合新定义的概念求得数列的前n 项和，然后利用前n 项和求解通项公式，最后裂项求和即可求得最终结果. 【详解】设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由题意可得：12n n S n=，则：22n S n =， 当1n =时，112a S ==，当2n ≥时，142n n n a S S n -=-=-， 且14122a =⨯-=，据此可得 42n a n =-， 故212nn a b n ==-，()()111111212122121n n b b n n n n +⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭， 据此有：12239101111111111233517191.21891919b b b b b b +++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=⨯= 故选：D【分析】利用等差数列的求和公式，化简求解即可 【详解】2121S T ＝12112121()21()22a ab b ++÷＝121121a a b b ++＝1111a b ＝2113111⨯⨯+＝1117.故选C 6．C 【分析】由题设求得等差数列{}n a 的公差d ，即可求得结果. 【详解】32153S a ==，25a ∴=， 12a =，∴公差213d a a =-=， 81727323a a d ∴=+=+⨯=，故选：C. 7．D 【分析】由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---⨯+=+-⋅-+，∴当1n =时，有110S a a ==≠；当2n ≥时，有11()2n n n n a S S a bn b --=-=-+⋅， 又当1n =时，01()2a a b b a =-+⋅=也适合上式，1()2n n a a bn b -∴=-+⋅，令n b a b bn =+-，12n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；因为11()22n n n a a b bn --+=-⋅⋅，0b ≠，所以{}12n bn -⋅即不是等差数列，也不是等比数列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.【分析】利用等差数列的性质进行化简，由此求得9S 的值. 【详解】由等差数列的性质，可得345675520a a a a a a ++++==，则54a =19592993622a a aS +=⨯=⨯= 故选：B 9．B 【分析】画出图形分析即可列出式子求解. 【详解】所给数列为高阶等差数列,设该数列的第8项为x ，根据所给定义：用数列的后一项减去前一项得到一个新数列，得到的新数列也用后一项减去前一项得到一个新数列，即得到了一个等差数列，如图：由图可得：3612107y x y -=⎧⎨-=⎩ ，解得15548x y =⎧⎨=⎩.故选：B. 10．A 【分析】 将11122n n n a a -=+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出22n n n a +=，从而得出()22nn n λ+≥，求出()max22n n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最值，即可得出答案. 【详解】 因为2n ≥时，11122n n n a a -=+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{}2nn a 是首项为3公差为1的等差数列，故22nn a n =+，从而22n nn a +=. 又因为n a n λ≥恒成立，即()22nn n λ+≥恒成立，所以()max22n n n λ+⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦.由()()()()()()()1*121322,221122n n nn n n n n n n n n n n +-⎧+++≥⎪⎪∈≥⎨+-+⎪≥⎪⎩N 得2n = 所以()()2max2222222n n n +⨯+⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 11．D 【分析】把点列代入函数解析式，根据{x n }是等比数列，可知1n nx x +为常数进而可求得1n n y y +-的结果为一个与n 无关的常数，可判断出{y n }是等差数列． 【详解】对于A ，函数3(4)f x x =+上的点列{x n ，y n }，有y n ＝43n x +，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝()()()()114343441n n n n n x x x x x q +++-+=-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于B ，函数2()4f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝24n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数，因此1n n y y +-＝()222214441n n n x x x q +-=-这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于C ，函数3()4xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭上的点列{x n ，y n }，有y n ＝3()4n x ，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝133()()44n n x x+-＝33()()144n qx⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，这是一个与n 有关的数，故{y n }不是等差数列；对于D ，函数4()log f x x =上的点列{x n ，y n }，有y n ＝4log n x，由于{x n }是等比数列，所以1n nx x +为常数， 因此1n n y y +-＝114444log log log log n n n nx x x x q ++-==为常数，故{y n }是等差数列；故选：D ． 【点睛】方法点睛：判断数列是不是等差数列的方法：定义法，等差中项法. 12．C 【分析】由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：()11111611111322a a S a+⨯===，612a ∴=，又5620a a +=，58a ∴=，654d a a ∴=-=.故选：C ． 13．D 【分析】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，根据15a =，30390S =可求得d 的值. 【详解】设该女子第()N n n *∈尺布，前()N n n *∈天工织布n S 尺，则数列{}n a 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得30130293015015293902S a d d ⨯=+=+⨯=，解得1629d =.故选：D. 14．C 【分析】由等差数列的性质可得332n a n =-，结合分组求和法即可得解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考数学-等差数列典型例题
【例1】 在100以内有多少个能被7个整除的自然数？
解 ∵100以内能被7整除的自然数构成一个等差数列，其中a 1=7，d ＝7，a n ＝98．
代入a n ＝a 1＋(n －1)d 中，有
98＝7＋(n －1)·7
解得n ＝14
答 100以内有14个能被7整除的自然数．
【例2】 在－1与7之间顺次插入三个数a ，b ，b 使这五个数成等差数列，求此数列．
解 设这五个数组成的等差数列为{a n }
由已知：a 1＝－1，a 5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d ＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
【例3】 53122在等差数列－，－，－，－，…的相邻两项之间1
2
插入一个数，使之组成一个新的等差数列，求新数列的通项．
解 d =312 (5) d =d =3
4原数列的公差－＝，所以新数列的公差′
，期通项为
--3
21
2
a n n n n =-+-=--53413423
4
234
()即 a =34n
【例4】 在[1000，2000]内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？ 解 设a n =3n ，b m ＝4m －3，n ，m ∈N
令，则＝－＝为使为整数，令＝，a =b 3n 4m 3n n m 3k n m ⇒-43
3m
得n ＝4k －1(k ∈N)，得{a n }，{b m }中相同的项构成的数列{c n }的通项c n ＝12n －3(n ∈N)．
则在[1000，2000]内{c n }的项为84·12－3，85·12－3，…，166·12－3 ∴n ＝166－84＋1=83 ∴共有83个数．
【例5】 三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数． 解 设三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ．
则－＋＋＋－＋＋＋(x d)x (x d)=15(x d)x (x d)=83
222⎧⎨⎩ 解得x ＝5，d ＝±2
∴ 所求三个数为3、5、7或7、5、3
说明 注意学习本题对三个成等差数列的数的设法．
【例6】 已知a 、b 、c 成等差数列，求证：b ＋c ，c ＋a ，a ＋b 也成等差数列． 证 ∵a 、b 、c 成等差数列
∴2b=a ＋c
∴(b ＋c)＋(a ＋b)＝a ＋2b ＋c
＝a ＋(a ＋c)＋c
＝2(a ＋c)
∴b ＋c 、c ＋a 、a ＋b 成等差数列．
说明 如果a 、b 、c 成等差数列，常化成2b ＝a ＋c 的形式去运用；反之，如果求证a 、b 、c 成等差数列，常改证2b=a ＋c ．本例的意图即在让读者体会这一点．
【例7】 a b a b 若、、成等差数列，且≠，求证：、、、不111a b c
c 可能是等差数列．
分析 直接证明a 、b 、c 不可能是等差数列，有关等差数列的知识较难运用，这时往往用反证法．
证 假设a 、b 、c 是等差数列，则2b=a ＋c
又∵、、成等差数列，∴，即＝＋．111211a b c b a c
=+2ac b(a c) ∴2ac ＝b(a ＋c)=2b 2，b 2＝ac ．
又∵ a 、b 、c 不为0，
∴ a 、b 、c 为等比数列，
又∴ a 、b 、c 为等差数列，
∴ a 、b 、c 为常数列，与a ≠b 矛盾，
∴ 假设是错误的．
∴ a 、b 、c 不可能成等差数列．
【例8】 解答下列各题：
(1)已知等差数列{a n }，a n ≠0，公差d ≠0，求证：
①对任意k ∈N ，关于x 的方程
a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0有一公共根；
②若方程的另一根为，求证数列是等差数列；在△中，已知三边、、成等差数列，求证：、、也成等差数列．x (2)ABC a b c k {}cot cot cot 112
22+x A B C k
分析与解答
(1)a k x 2＋2a k+1x ＋a k+2＝0
∵{a n }为等差数列，∴2a k+1＝a k ＋a k+2
∴a k x 2＋(a k ＋a k+2)x ＋a k+2＝0
∴(a k x ＋a k+2)(x ＋1)=0，a k ≠0
∴＝－或＝－ x 1x k a a x a a a a a a d k k
k k k
k k k k ++++=-=-=-22211112 ∵{a n }为等差数列，d 为不等于零的常数
∴方程有一公共根－，数列是等差数列1{}11+x k
(2)由条件得 2b=a ＋c
∴4RsinB ＝2RsinA ＋2RsinC ，2sinB ＝sinA ＋sinC
∴∵＋＋＝π∴∴4sin B 2cos B 2=2sin A +C 2cos A C 2
A B C sin A +C 2=cos B 2
2sin B 2=cos A 2
--C 分析至此，变形目标需明确，即要证
2cot B 2=cot A 2cot C 2
＋ 由于目标是半角的余切形式，一般把切向弦转化，故有
cot cot cos sin cos sin sin sin sin sin (cos cos )()cos sin sin cot A C A A C C A C A C A C A C A C B B B B 222222222
21222
22222
22+=+=+=+-+--=--=将条件代入 ∴、、成等差数列．cot A 2cot B 2cot C 2
【例9】 若正数a 1，a 2，a 3，…a n+1成等差数列，求证：
1111223111a a a a a a n a a n n n ++++++=+-+… 分析11111a a a a a a a a d n n n n n n n n +=--=--++++ 证明 设该数列的公差为d ，则
a 1－a 2=a 2－a 3＝…＝a n －a n+1=－d
∴a 1－a n+1=－nd
∴－左式…d =a =a 11---+--++--+++a n a a a a a a a a a a a n n n n n 1212232311 =
--=--=
+=++++a a d a a a a n
n a a n n n n 111111
11右式 ∴ 原等式成立．
【例10】 设x ≠y ，且两数列x ，a 1，a 2，a 3，y 和b 1，x ，
b b y b 234，，，均为等差数列，求．b b a a 4321-- 分析解 d =y x
51(1)=y x
52
(2)可采用＝由a a m n
a a
b b m n
----------2143
3264 (2)(1)÷，得b b a a 43218
3--=。