学年高中数学 3-4不等式的实际应用同步检测 新人教B版必修5
(人教B版必修5)3.4不等式的实际应用学案(含答案)
3.4 不等式的实际应用1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案．2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立．3．对于形如y ＝x ＋kx(k >0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解．(1)当x >0时，f (x )＝x ＋kx≥2k (k >0)，当x ＝k 时取“＝”．另外，我们还可以证明f (x )在区间(0，k ]上为减函数，在区间[k ，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域．(2)当x <0时，∵f (x )＝x ＋kx(k >0)(x ≠0)为奇函数．∴f (x )在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数．一、构建一元二次不等式模型解决 实际问题方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义．例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？解 设在一个星期内大约应该生产x 辆摩托车， 根据题意，得－2x 2＋220x >6 000.移项整理，得x 2－110x ＋3 000<0，解得50<x <60. 因为x 只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆之间时，这家工厂能够获得6 000元以上的收益．二、利用均值不等式解决实际问题方法链接：均值不等式：ab ≤a ＋b2(a ，b 是正实数)在求最值问题中有着广泛的应用．应用时一定要注意“一正、二定、三相等”的要领．例2如图，某农厂要修建3个矩形养鱼塘，每个面积为10 000 m 2，鱼塘前面要留4 m 宽的运料通道，其余各边为2 m 宽的堤埂，问每个鱼塘的长、宽各为多少时占地面积最少？解 设每个鱼塘的宽为x m ，则x >0，且AB ＝3x ＋8，AD ＝10 000x＋6，总面积y ＝AB ·AD ＝(3x ＋8)⎝⎛⎭⎫10 000x ＋6＝30 048＋80 000x＋18x≥30 048＋280 000x ·18x ＝32 448，当且仅当18x ＝80 000x ，即x ＝2003时，等号成立，此时10 000x＝150.答 鱼塘的长为150 m ，宽为2003m 时，占地面积最少．三、利用函数单调性求最值问题方法链接：对于形如y ＝x ＋a 2x的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解．例3 某工厂有旧墙一面，长14米，现在准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形、面积为126平方米的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a4元；③拆去1米旧墙，用所得材料建1米新墙的费用为a2元．经讨论有两种方案：(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形厂房一面的边长；(2)矩形厂房利用旧墙的一面边长x ≥14；问如何利用旧墙，即x 为多少米时，建造费用最省？(1)、(2)两种方案哪个更好？分析 以建造总费用为目标函数，通过函数求最小值来解本题． 解 设利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则矩形的另一面边长为126x米．(1)利用旧墙的一段x 米(x <14)为矩形一面边长，则修旧墙费用为x ·a4元．将剩余的旧墙拆得的材料建新墙的费用为(14－x )·a2元，其余建新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋2×126x －14a 元．故总费用为y ＝x ·a 4＋14－x2·a ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ＝a ⎝⎛⎭⎫74x ＋252x －7＝7a ⎝⎛⎭⎫x 4＋36x －1 (0<x <14) ≥7a ·⎝⎛⎭⎫2x 4·36x －1＝35a ， 当且仅当x 4＝36x，即x ＝12时，y min ＝35a 元．(2)若利用旧墙的一面矩形边长x ≥14，则修旧墙的费用为a 4·14＝72a 元．建新墙的费用为⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a ， 故总费用为y ＝72a ＋⎝⎛⎭⎫2x ＋252x －14a＝72a ＋2a ⎝⎛⎭⎫x ＋126x －7 (x ≥14)． 设14≤x 1<x 2，则⎝⎛⎭⎫x 1＋126x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋126x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1－126x 1x 2.∵14≤x 1<x 2，∴x 1－x 2<0，x 1·x 2>196.从而1－126x 1x 2>0，所以函数y 在[14，＋∞)上为增函数．故当x ＝14时，y min ＝72a ＋2a ⎝⎛⎭⎫14＋12614－7 ＝35.5a >35a .综上所述，采用第(1)种方案，利用旧墙12米为矩形的一面边长时，建墙总费用最省，为35a 元．四、函数、数列、不等式在实际问题中的综合应用方法链接：不等式的知识，尤其是解不等式、均值不等式求最值常常融于函数、数列应用题中加以考查．一般是先建立函数模型或数列模型，再利用不等式的知识求某些量的范围或最值．例4 2009年推出一种新型家用轿车，购买时费用为14.4万元，每年应交付保险费、养路费及汽油费共0.7万元，汽车的维修费为：第一年无维修费用，第二年为0.2万元，从第三年起，每年的维修费均比上一年增加0.2万元．(1)设该辆轿车使用n 年的总费用(包括购买费用、保险费、养路费、汽油费及维修费)为f (n )，求f (n )的表达式；(2)这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年，年平均费用最少)?解 (1)由题意得：每年的维修费构成一等差数列，n 年的维修总费用为n [0＋0.2(n －1)]2＝0.1n 2－0.1n (万元)所以f (n )＝14.4＋0.7n ＋(0.1n 2－0.1n ) ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4(万元)(2)该辆轿车使用n 年的年平均费用为f (n )n ＝0.1n 2＋0.6n ＋14.4n ＝0.1n ＋0.6＋14.4n≥20.1n ·14.4n＋0.6＝3(万元)．当且仅当0.1n ＝14.4n时取等号，此时n ＝12.答 这种汽车使用12年报废最合算． 五、均值不等式在物理学科中的应用方法链接：均值不等式在物理学科中的电学、力学部分中经常用到，应用时也要注意验证等号是否取到．例5如图所示，电路中电源的电动势为ε，内阻为r ，R 1为固定电阻，求可变电阻R 2调至何值时，它所消耗的电功率最大，其最大电功率是多少？分析 依据物理知识，建立数量关系，借助二元均值不等式求出最大值． 解 由电学公式，电功率P ＝UI ，有P 2＝U 2I 2＝U 2(ε－U 2)r ＋R 1.∵U 2(ε－U 2)≤⎣⎡⎦⎤U 2＋(ε－U 2)22＝ε24(定值)，∴仅当U 2＝ε－U 2，即2U 2＝ε时，P 2达到最大值，最大值为ε24(r ＋R 1).在ε＝2U 2的两端除以I (＝I 1＝I 2)，得2R 2＝r ＋R 2＋R 1. ∴R 2＝r ＋R 1.∴可变电阻R 2调至r ＋R 1时，所消耗的电功率最大，最大电功率是ε24(r ＋R 1).利用均值不等式时忽略等号成立条件而致错例 甲、乙两地相距s km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地速度不得超过每小时c km ，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v (km/h)的平方成正比，比例系数为b ，固定部分为a 元．(1)将全程运输成本y (元)表示为速度v 的函数，并指出该函数的定义域； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？[错解] (1)依题意知，汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，因此全程运输成本为y ＝(a ＋b v 2)·s v ＝⎝⎛⎭⎫av ＋b v s ， ∵a >0，b >0，s >0，v >0，∴定义域为(0，c ]．(2)由(1)知：y ＝⎝⎛⎭⎫a v ＋b v s ≥2av ·b v ·s ＝2s ab .当a v ＝b v ，即v 2＝a b ，v ＝a b 时，取“＝”．所以，汽车以 abkm/h 的速度行驶时，全程运输成本最少．[点拨] 本题中的a ，b ，c 均为字母常量，且为正实数，v 是全程运输成本函数中的自变量，v ∈(0，c ]，但是 ab与c 的大小不确定，上述解答中的最小值2s ab 不一定能取到，应当按 ab与c 的大小分类讨论．[正解] (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为sv ，全程运输成本为y ＝a ·s v ＋b v 2·s v ＝s ⎝⎛⎭⎫a v ＋b v ， 故所求函数及其定义域为y ＝s ⎝⎛⎭⎫av ＋b v ，v ∈(0，c ]．(2)∵s ，a ，b ，v 都是正数，∴⎝⎛⎭⎫a v ＋b v s ≥2s ab (当且仅当a v ＝b v ，即v ＝ab 时取“＝”)∴①若 a b ≤c ，则v ＝ab 时全程运输成本最少．②若 a b >c ，函数y ＝a v ＋b v 在⎝⎛⎦⎤0， a b 上是减函数，证明如下：设0<v 1<v 2≤ a b ，y 1－y 2＝a v 1＋b v 1－av 2－b v 2＝a v 2－a v 1v 1v 2＋b (v 1－v 2)＝(v 1－v 2)⎝⎛⎭⎫b －av 1v 2＝(v 1－v 2)b v 1v 2－av 1v 2＝b (v 1－v 2)⎝⎛⎭⎫v 1v 2－a b v 1v 2∵v 1<v 2，∴v 1－v 2<0.又∵v 1< a b ，v 2< ab∴v 1v 2<a b ，∴v 1v 2－ab <0，∴y 1－y 2>0，即y 1>y 2，∴函数y ＝a v ＋b v 在⎝⎛⎦⎤0， a b 上是减函数．又∵c < ab，∴函数在(0，c ]上也是减函数．∴v ＝c 时，全程运输成本最小．综上可知：当 a b ≤c 时，v ＝ab时全程运输成本最少；当ab>c 时，v ＝c时全程运输成本最少．例如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)?解 方法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab，其中k >0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)，得b ＝30－a 2＋a (0<a <30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k －a ＋32－64a ＋2＝k 34－⎝⎛⎭⎫a ＋2＋64a ＋2≥k 34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k18. 当且仅当a ＋2＝64a ＋2时取等号，y 取得最小值.这时a ＝6或a ＝－10(舍去)，将a ＝6代入①式得b ＝3，故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．方法二 依题意，即所求的a 、b 值使ab 最大． 由题设知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)．∵a ＋2b ≥22ab ，∴22·ab ＋ab ≤30. 当且仅当a ＝2b 时，上式取等号． 由a >0，b >0，解得0<ab ≤18，即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. ∴2b 2＝18.解得b ＝3，a ＝6.故当a 为6米，b 为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．(1)将y 表示为x 的函数；(2)试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 (1)设矩形的另一边长为a m ， 则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a＝225x ＋360a －360.由已知xa ＝360，得a ＝360x，所以y ＝225x ＋3602x－360(x >2)．(2)∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x－360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m ，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．赏析 本小题主要考查函数和不等式等基础知识，考查用均值不等式求最值和运用数学知识解决实际问题的能力．。
高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用课后训
3.4 不等式的实际应用课后训练1．张先生买了一部手机，欲使用中国移动“神州行”卡或加入中国联通130网，经调(若张先生每月拨打本地电话的时间是长途电话时间的5倍，且每月通话时间(分钟)在区间(40，50)内，则选择较为省钱的网络为( )．A ．甲B ．乙C ．甲或乙D ．分情况而定2．用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是( )．A ．(38-m 3B ．16 m 3C ．3D ．14 m 33．有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产基地以相同的价格购进粮食，他们各购进粮食三次，各次的粮食价格不同，甲每次购粮10 000千克，乙每次购粮花费10 000元，在三次统计中，购粮的平均价格较低的是( )．A ．甲B ．乙C ．一样低D ．不确定4．如图所示，足球比赛场地的宽为a 米，球门AB 的宽为b 米，在足球比赛中，甲方边锋带球过人沿直线l (紧贴球场边线)向前推进，该边锋在距乙方底线__________米时起脚射门，可命中角最大．5．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，则仓库底面积S 的最大允许值是__________平方米．6．商店经销某商品，年销售量为D 件，每件商品库存费用为I 元，每批进货量为Q 件，每次进货所需的费用为S 元．再假定商店在卖完该货物时立即进货，使库存量为平均2Q 件，则每批进货量Q 为多大时，总费用最省？7．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？(2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？8．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x 台(x ∈N ＋)，且每批均需运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输和保管费用总计43 600元，现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？求出结论，并说明理由．100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)根据题中的条件写出m 的值；(2)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(3)要使此项税收在税率调整后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．参考答案1. 答案：B解析：设张先生每月拨打长途电话的时长为x 分钟，则有40＜5x ＋x ＜50，即202533x <<，使用甲和乙方式应付话费的差为12＋0.36×5x ＋0.06×10x －(0.6×5x ＋10x ×0.07)＝12－1.3x＞0.2. 答案：B解析：设长为b m ，高为a m ，由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32.∴1621a b a -=+. ∴2162221a a V a b a -⋅⋅⋅+==. 设t ＝a ＋1，则182********V t t ⎛⎛⎫--≤-= ⎪ ⎝⎭⎝＝. 3. 答案：B解析：设第一、二、三次购粮时粮食价格分别为a ，b ，c (元/千克)，则甲三次购粮的平均价格为10000300003a b c a b c(++)++=， 乙三次购粮的平均价格为 300003100001000010000111a b c a b c=++++， 由于a ，b ，c 互不相同，故3a b c ++ 又111a b c ++>=， ∴3111a b c <++，∴31113a b c a b c++>++. 故甲三次购粮的平均价格比乙高．4. 答案：2解析：设球离乙方底线水平距离为DC ＝x ，由对称性知，2a b AD +＝，2a b BD -＝，记足球对于球门的张角∠ACB ＝θ，于是tan∠ACD ＝2a b x +，tan∠BCD ＝2a b x -，tan θ＝tan(∠ACD －∠BCD )＝2222214a b a b x x a b x +---+＝2224b a b x x-+. 当且仅当224a b x x-=，即x =时，tan θ最大， 由于正切函数y ＝tan θ是π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上的增函数，所以此时θ也最大．即该边锋在距乙方底线2米时起脚射门，可命中角最大． 5. 答案：100解析：设铁栅长为x 米，一堵砖墙长为y 米，则有S ＝xy .由题意，得40x ＋2×45y ＋20xy ＝3 200.由均值不等式，得3200xy ≥＝20xy ＝20S ，∴S ＋16＞0S ≤100.当且仅当x ＝15，203y =时，等号成立． 6. 解：设总费用为y 元，则y 含有两部分，一部分是库存费用2Q ·I ，另一部分是进货费用D Q ·S ，因此2Q D y I S Q =⋅+⋅，其中D ，I ，S 均为定值，Q 为变量．∵D ，I ，S ，Q ＞0，∴2Q D y I S Q =⋅+⋅≥=当且仅当2IQ DS Q=，即Q =时，总费用y 最省． 7. 解：(1)设t 小时后蓄水池中的水量为y 吨，则y ＝400＋60t －；＝x ，则x 2＝6t ，即y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，所以当x ＝6，即t＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时，蓄水池水量最少，只有40吨．(2)依题意400＋10x 2－120x ＜80，解得4＜x ＜8，即4＜8，83＜t ＜323，即有323－83＝8，所以每天约有8小时供水紧张． 8. 解：设总费用为y 元，保管费用与每批电视机总价值的比例系数为k (k ＞0)，每批购入x 台，则y ＝3600x×400＋k ·(2 000·x )， 当x ＝400时，y ＝43 600，解出k ＝0.05.∴360040010024000y x x ⨯=+≥=. 当且仅当3600400x ⨯＝100x ，即x ＝120时取到等号．因此只需每批购入120台，便可使资金够用．9. 解：(1)m ＝200.(2)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)，由题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0＜x ＜10)． (3)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2，即x 的取值范围是0＜x ≤2.。
高中数学人教B版必修5 3.4 同步练习 《3.4不等式的实际应用》(人教B)
《3.4不等式的实际应用》同步练习就减少20个，为获得最大利润，售价应定在()A．每个95元B．每个100元C．每个105元D．每个110元2．在面积为S(S为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ 半径为r时，扇形周长最小，这时θ、r的值分别是()A．θ＝1 r＝S B．θ＝2 r＝4SC．θ＝2 r＝3S D．θ＝2，r＝S3．设计用32m2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m34．做一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6 mB ．4.8 mC ．5 mD ．5.2 m5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110 要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块。
(参考数据：lg2＝0.3010 lg3＝0.4771)6．一个矩形的周长为l 面积为S 给出下列实数对：①(4,1) ②(8,6) ③(10,8) ④(3，12) 其中可作为(l ，S)的取值的实数对的序号是________。
7．某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元。
计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？8．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元。
(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船。
问哪种方案最合算？。
人教新课标版数学高二B版必修5规范训练 3.4 不等式的实际应用
双基达标 (限时20分钟)1．某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ，则( )．A ．x ＝a ＋b2B ．x ≤a ＋b2C ．x >a ＋b 2D ．x ≥a ＋b2解析 由题意知A (1＋x )2＝A (1＋a )(1＋b ) 即x ＝(1＋a )(1＋b )－1≤1＋a ＋1＋b 2－1＝a ＋b2.答案 B2．某产品的总成本为C (万元)，它与产量x (台)的关系是C ＝3 000＋20x －0.1x 2，其中x ∈(0,240)且x 为正整数，若每台售价为25万元，那么生产厂家不亏本的最低产量是( )．A ．60台B ．90台C ．120台D ．150台解析 由题意得25x －C ≥0，即25x －(3 000＋20x －0.1x 2)≥0， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)． 答案 D3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站 ( )．A ．5千里B ．4公里C ．3公里D ．2公里解析 设仓库到车站距离为x ，则y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x且 k 1＝20，k 2＝45，∴S ＝20x ＋45x ≥8，当且仅当20x ＝45x .即x ＝5时，两项费用之和最小为8万元． 答案 A4．建造一个容积为8 m 3，深为2 m 的长方体无盖水池，若池底每平方米120元，池壁的造价为每平方米80元，这个水池的最低造价为________元．解析 设水池的总造价为y 元，池底长为x m ，则宽为4xm ，由题意可得：y ＝4×120＋2(2x ＋8x )·80＝480＋320·(x ＋4x )≥480＋320·2x ·4x＝480＋320·24＝1 760.当x ＝4x，即x ＝2时，y min ＝1 760(元)．故当池底长为2 m 时，这个水池的造价最低，最低造价为1 760元． 答案 1 7605．某校要建一个面积为392 m 2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m 和4 m 的小路(如图所示)，则占地面积的最小值为 m 2.解析 设游泳池的长为x m ，则游泳池的宽为392xm ，又设占地面积为y m 2，依题意，得y ＝(x ＋8)(392x ＋4)＝424＋4(x ＋784x )≥424＋224＝648.当且仅当x ＝784x，即x ＝28时，取“＝”．答案 6486．某大型超市预计从明年初开始的前x 个月内，某类服装的销售总量f (x )(千件)与月份数x 的近似关系为f (x )＝1150x (x ＋1)(35－2x )(x ∈N *，x ≤12)．(1)写出明年第x 个月的需求量g (x )(千件)与月份数x 的函数关系； (2)求出哪个月份的需求量超过1.4千件，并求出这个月的需求量． 解 (1)第一个月销售量为g (1)＝f (1)＝1125.当x ≥2时，第x 个月的销售量为g (x )＝f (x )－f (x －1)＝125(－x 2＋12x )，当x ＝1时，g (1)也适合上式， ∴g (x )＝125(－x 2＋12x )(x ∈N *，x ≤12)．(2)由题意可知：125(－x 2＋12x )>1.4，解得5<x <7，∵x ∈N *，∴x ＝6. ∴g (6)＝1.44.∴第6个月销售量超过1.4千件，为1.44千件．综合提高 (限时25分钟)7．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量S n (万件)近似地满足S n ＝n90(21n －n 2－5)(n ＝1,2，…，12)．按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是( )．A ．5月、6月B ．6月、7月C ．7月、8月D ．8月、9月解析 n 个月累积的需求量为S n ，∴第n 个月的需求量为a n ＝S n －S n －1＝n90(21n －n 2－5)－n －190＝130(－n 2＋15n －9)． ∵a 1＝S 1＝16<1.5，∵a n >1.5即满足条件，∴130(－n 2＋15n －9)>1.5， 6<n <9(n ＝1,2,3，…，12)，∴n ＝7或n ＝8. 答案 C8．某汽车运输公司买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图)，则每辆客车营运的年平均利润最大时，营运了( )．A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年解析 设y ＝a (x －6)2＋11，由条件知7＝a (4－6)2＋11，∴a ＝－1. ∴y ＝－(x －6)2＋11＝－x 2＋12x －25.∴每辆客车营运的年平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x ＝－(x ＋25x)＋12≤－225＋12＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时等号成立．答案 C9．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝ 吨．解析 设一年总费用为y 万元，每年购买次数为400x 次，则y ＝400x ·4＋4x ＝1 600x＋4x ≥21 600x ·4x ＝2 6 400＝160.当且仅当1 600x＝4x ，即x ＝20时等号成立，故x ＝20. 答案 2010．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x 的最小值是 .解析 七月份的销售额为500(1＋x %)，八月份的销售额为500(1＋x %)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2，根据题意有3 860＋500＋2≥7 000，即25(1＋x %)＋25(1＋x %)≥66，令t ＝1＋x %，则25t 2＋25t －66≥0，解得t ≥65或者t ≤－115(舍去)，故1＋x %≥65，解得x ≥20.答案 2011．据预测，某旅游景区游客人数在500至1 300人之间，游客人数x (人)与游客的消费总额y (元)之间近似地满足关系：y ＝－x 2＋2 400x －1 000 000.(1)若该景区游客消费总额不低于400 000元时，求景区游客人数的范围；(2)当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．解 (1)－x 2＋2 400x －1 000 000≥400 000 x 2－2 400x ＋1 400 000≤0，得1 000≤x ≤1 400. 又500≤x ≤1 300.所以景区游客人数的范围是1 000至1 300人． (2)设游客的人均消费为y 则y ＝－x 2＋2 400x －1 000 000x ＝－(x ＋1 000 000x )＋2 400≤400.当且仅当x ＝1 000时等号成立．即当景区游客的人数为1 000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元．12．(创新拓展)如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米．已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比．现有制箱材料60平方米．问当a 、b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A 、B 孔的面积忽略不计)?解 法一 设y 为流出的水中杂质的质量分数，则y ＝kab ，其中k >0为比例系数，依题意，即所求的a 、b 值使y 值最小．根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)， 得b ＝30－a 2＋a(0<a <30)．①于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k－a ＋32－64a ＋2＝k34－(a ＋2＋64a ＋2)≥k34－2(a ＋2)·64a ＋2＝k 18.当且仅当a＋2＝64a＋2时取等号，y取得最小值．这时a＝6或a＝－10(舍去)，将a＝6代入①式得b＝3，故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．法二依题意，即所求的a、b值使ab最大．由题设知4b＋2ab＋2a＝60(a>0，b>0)，即a＋2b＋ab＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab，∴22·ab＋ab≤30.当且仅当a＝2b时，上式取等号．由a>0，b>0，解得0<ab≤18，即当a＝2b时，ab取得最大值，其最大值为18.∴2b2＝18.解得b＝3，a＝6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小．。
高二数学必修5(人教B版)第三章同步检测3-4
3.4 不等式的实际应用基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元[答案] A[解析] 设每个涨价x 元，则利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000，∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4S C ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S[答案] D[解析] S ＝12θr 2⇒θ＝2Sr2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋S r ≥4S ， 当P 最小时，r ＝Sr ⇒r ＝S ，此时θ＝2.3．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m，则车厢的最大容积是()A．(38－373)m3B．16m3C．42m3D．14m3[答案] B[解析]设长方体长为a m，高为h m，则有2a＋2(2h)＋2(ah)＝32，即a＋2h＋ah＝16，∴16≥22ah＋ah，即(ah)2＋22·ah－16≤0，解得0<ah≤22，∴ah≤8，∴V＝2ah≤16.4．做一个面积为1m2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是() A．4.6m B．4.8mC．5m D．5.2m[答案] C[解析]设直角三角形两直角边长分别为x，y，则12xy＝1，即xy＝2.周长l＝x＋y＋x2＋y2≥2xy＋2xy＝(1＋2)×2≈4.83，当且仅当x＝y时取等号．考虑到实际问题，故选C.二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[答案]11[解析]设至少需要经过这样的n块玻璃板，则，(1－110)n<13，即n·lg910<lg13∴n>lg 1 3lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.47712×0.4771－1≈10.45.又∵n∈N＋，∴n＝11.6．建造一个容积为8m3，深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．[答案]1760[解析]设水池的底面长、宽分别为x m，y m，则2xy＝8，xy＝4.水池造价为z元．则z＝120xy＋2(2x＋2y)×80＝480＋320(x＋y)≥480＋320×4＝1760.三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1)仓库底面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？[解析](1)设正面铁栅长x m，侧面长为y m，总造价为z元，则z＝40x＋2×45y＋20xy＝40x＋90y＋20xy，仓库面积S＝yx.由条件知z≤3 200，即4x＋9y＋2xy≤320.∵x>0，y>0，∴4x＋9y≥24x·9y＝12xy.∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的最大允许值为100m 2.(2)当S ＝100m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的最大允许值是100m 2，此时正面铁栅长15m. 8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数．(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)? [解析] (1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R (x )－0.5－0.25x (0≤x ≤5)R (5)－0.5－0.25x (x ＞5)，∴y ＝⎩⎨⎧－12x 2＋4.75 x －0.5(0≤x ≤5)12－0.25x (x ＞5).(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.78125∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y ＞0即⎩⎨⎧0≤x ＜5－12x 2＋4.75 x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0x ≥5. 2．65＜x ＜5或5≤x ＜48，即2.65＜x ＜48. ∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．能力提升一、选择题1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是( )A ．计算机行业好于化工行业B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张 [答案] B[解析] 就业情况＝应聘人数招聘人数，计算机就业形式＝215830124620＞1，化工业就业形式＝应聘人数70436＜6528070436＜1，则A 不合适．同理，建筑行业就业形式＝应聘人数76516＜6528076516＜1，物流业就业形式＝74570招聘人数＞7457070436＞1.2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：基础工资的25%，到2008年底这位职工的工龄至少是() A．2年B．3年C．4年D．5年[答案] C[解析]设这位职工工龄至少为x年，400x＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x＋1600＞3025，即x＞3.5625，所以至少为4年．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是__________．[答案]100＜x＜400[解析]由题意可列式5%<7%×200＋4%×x 200＋x <6%，即5<1400＋4x 200＋x <6解得100<x <400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________． [答案] 3－2 2[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则直角三角形的面积S ＝12ab .由已知，得a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋a 2＋b 2＝2， ∴2＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ， ∴ab ≤22＋2＝2－2，∴ab ≤(2－2)2＝6－42， ∴S ＝12ab ≤3－22，当且仅当a ＝b ＝2－2时，S 取最大值3－2 2.三、解答题5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围．[解析] 税率降低后是(8－x )%，收购量为m (1＋2x %)万担，税收为120m(1＋2x %)(8－x )%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x %)(8－x )%≥120m·8%·78% 即x 2＋42x －88≤0解之得－44≤x ≤2，又x ＞0，∴0＜x ≤2 ∴x 的取值范围是(0,2]．6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm 2.问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 由题意得xy ＋14x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)．于是，框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(22x ) ＝(32＋2)x ＋16x ≥46＋4 2. 当(32＋2)x ＝16x ，即x ＝8－42时等号成立． 此时，x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省．7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f(n)，则f(n)＝50n－[12＋16＋…＋(8＋4n)]－98＝40n－2n2－98.(1)由f(n)>0得，n2－20n＋49<0，∴10－51<n<10＋51，又∵n∈N，∴n＝3,4， (17)即从第3年开始获利；(2)①年平均收入＝f(n)n＝40－2(n＋49n)≤40－2×14＝12，当且仅当n＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)．②f(n)＝－2(n－10)2＋102.因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。
11-12学年高中数学 3.4 不等式的实际应用优化训练 新
3.4 不等式的实际应用 优化训练1．银行计划将某资金给项目M 和N 投资一年，其中40%的资金给项目M,60%的资金给项目N ，项目M 能获得10%的年利润，项目N 能获得35%的年利润，年终银行必须回笼资金，同时按一定的回扣率支付给储户．为了使银行年利润不小于给M 、N 总投资的10%而不大于总投资的15%，则给储户回扣率的最小值为( )A ．5%B ．10%C ．15%D ．20%解析：选 B.设共有资金a 元，给储户的回扣率为x ，由题意，得0.1a ≤0.1×0.4a ＋0.35×0.6a －xa ≤0.15a ，解得0.1≤x ≤0.15.2．《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表分段计算：全月应纳税所得额 税率 不超过500元的部分 5% 超过500元至2000元的部分 10% 超过2000元至5000元的部分 15%…… …某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于( ) A ．800～900元 B ．900～1200元 C ．1200～1500元 D ．1500～2800元解析：选C.分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元，20元，70元，200元．∵20<26.78<70，所以某人当月工资、薪金所得介于1200～1500元．3.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营．据市场分析，每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运多少年，营运的年平均利润最大( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.求得函数式为y ＝－(x －6)2＋11， 则营运的年平均利润 y x ＝－x －62＋11x＝12－(x ＋25x)≤12－225＝2，此时x ＝25x，解得x ＝5.4．某公司一年购买某种货物400 t ，每次都购买x t ，运费为每次4万元，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________t.解析：设一年的总费用为y 万元，则y ＝4×400x ＋4x ＝1600x＋4x≥21600x·4x ＝160.当且仅当1600x＝4x ，即x ＝20时等号成立．答案：205．国家原计划以2400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%.解：设税率调低后“税收总收入”为y 元． y ＝2400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0＜x ≤8)．依题意，得y ≥2400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2400m ×8%×78%，整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2.根据x 的实际意义，知0＜x ≤8，所以0＜x ≤2为所求．1．某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤30，t ∈N )；销售量g (t )与时间的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则这种商品日销售金额的最大值是( )A ．505元B ．506元C ．510元D ．600元解析：选B.销售金额ω＝f (t )g (t )＝(t ＋10)(－t ＋35)＝－t 2＋25t ＋350＝－(t －252)2＋6254＋350， 当t ＝12或13时，ωmax ＝506.2．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个．每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定为( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元解析：选A.设每个涨价x 元，则所获利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000＝－20(x －5)2＋4500，∴当x ＝5时，y 值最大．∴涨价5元即每个售价95元能获得最大利润．3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析：选A.设仓库到车站的距离为x 千米，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x . 当x ＝10时，y 1＝2，y 2＝8， ∴k 1＝20，k 2＝0.8.∴y 1＋y 2＝20x＋0.8x ≥20.8x ·20x＝8.当且仅当0.8x ＝20x，即x ＝5时，(y 1＋y 2)min ＝8，因此应选A.4．如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19 km ，那么在8天内，它的行程就超过2200 km ，如果它每天的行程比原来少12 km ，那么它行同样的路程就得花9天多时间，那么这辆汽车原来行程的千米数为( )A ．259＜x ＜260B ．258＜x ＜260C ．257＜x ＜260D ．256＜x ＜260 解析：选D.设原来每天行x km ， 则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋19·8＞2200x －12·9＜x ＋19·8， 解得256＜x ＜260.5．某债券市场常年发行三种债券，A 种面值为1000元，一年到期本息和为1040元；B 种面值为1000元，但买入价为960元，一年到期本息和为1000元；C 种面值为1000元，半年到期本息和为1020元．设这三种债券的年收益率分别为a 、b 、c ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a ＝c 且a ＜bB ．a ＜b ＜cC ．a ＜c ＜bD ．c ＜a ＜b解析：选C.一年到期的年收益率分别为a ＝401000＝0.04，b ＝40960＝0.0416，c ＝(1＋2%)2－1＝0.0404，所以a <c <b .6．某城市为控制用水，计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0<q <p )( )A ．先提价p %，再提价q %B ．先提价q %，再提价p %C ．分两次都提价 q 2＋p 22%D ．分两次都提价p ＋q2%解析：选C.主要考查公式21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22的应用．7．市场上常有这样一个规律：某商品价格愈高，购买的人愈少；价格愈低，购买的人愈多．现有某杂志，若定价每本10元，则可以发行20万本，若每本价格提高x 元，发行量就减少12500x 本．要使总收入不低于210万元，则杂志的定价范围是____________．解析：由题意可列不等式(10＋x )(200000－12500x )≥2100000，即x 2－6x ＋8≤0. ∴2≤x ≤4,12≤x ＋2≤14， ∴杂志的定价范围是[12,14]． 答案：[12,14]8．一批救灾物资随26辆汽车从某市以x km/h 的速度匀速开往400 km 处的灾区，为安全起见，每两辆汽车的前后间距不得小于(x20)2km ，问这批物资全部到达灾区，最少需要________ h.解析：设全部物资到达灾区所需时间为t h ，由题意可知，t 相当于最后一辆车行驶了25×(x 20)2＋400(km)所用的时间，因此，t ＝25×x202x＋400x≥225x 400×400x＝10，当且仅当25x 400＝400x， 即x ＝80时取“＝”号． 答案：109．一服装厂生产某种风衣，月销售x (件)与售价P (元/件)之间的关系为P ＝160－2x ，生产x 件的成本总数R ＝500＋30x ，若月获得的利润不少于1300(元)，则该厂的月产量范围为____________．解析：由月获利y ＝(160－2x )·x －(500＋30x )＝－2x 2＋130x －500由－2x 2＋130x －500≥1300，解得20≤x ≤45. 答案：[20,45]10．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，求至少需这样的玻璃的块数．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110x ≤13，x ≥lg 13lg 910＝10.4. ∴至少需这样的玻璃为11块．11．某单位用2160万元购得一块空地，计划在该块地上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房，经测算，如果将楼房建为x (x ≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x (单位：元)，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积)解：设楼房每平方米的平均综合费用为y 元，则y ＝(560＋48x )＋2160×100002000x ＝560＋48x ＋10800x(x ≥10，x ∈N ＋)，因为48x ＋10800x≥248×10800＝1480， 所以y ≥560＋1480＝2000，当且仅当48x ＝10800x，即x ＝15时，y 取最小值2000.所以，为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为15层．12．(2020年洛阳高二检测)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂，第一年共支出12万元，以后每年支出增加4万元，从第一年起每年蔬菜销售收入50万元．设f (n )表示前n 年的纯利润总和(f (n )＝前n 年的总收入－前n 年的总支出－投资额)．(1)该厂从第几年开始盈利？(2)若干年后，投资商为开发新项目，对该厂有两种处理方案： ①年平均纯利润达到最大时，以48万元出售该厂；②纯利润总和达到最大时，以16万元出售该厂．问哪种方案更合算？解：由题意知f (n )＝50n －[12n ＋n n －12×4]－72＝－2n 2＋40n －72.(1)由f (n )＞0，即－2n 2＋40n －72＞0，解得2＜n ＜18， 由n ∈N 知，从第三年开始盈利． (2)方案①：年平均纯利润 f n n ＝40－2(n ＋36n)≤16，当且仅当n ＝6时等号成立． 故方案①共获利6×16＋48＝144(万元)，此时n ＝6.方案②：f(n)＝－2(n－10)2＋128.当n＝10，f(n)max＝128.故方案②共获利128＋16＝144(万元)．比较两种方案，获利都是144万元，但由于第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①种方案更合算．。
高中数学 第三章 不等式 3.4 不等式的实际应用同步精选测试 新人教B版必修5
同步精选测试 不等式的实际应用(建议用时：45分钟)[基础测试]一、选择题1.某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本.如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( )A.2B.3C.4D.5 【解析】 设这种书的最高定价应当为x 元， 由题意得：80 000－x －2.50.1×2 000×x ≥200 000，解得52≤x ≤4，所以最高定价为4元.【答案】 C2.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N ＋)为二次函数关系(如图343所示)，则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大( )图343A.3B.4C.5D.6【解析】 设y ＝a (x －6)2＋11，将(4,7)代入求得a ＝－1，∴平均利润为：y x ＝－x －2＋11x＝－x －25x＋12≤－2×5＋12＝2，当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立. 【答案】 C3.某商品在最近30天内的价格f (t )与时间t (单位：天)的函数关系是f (t )＝t ＋10(0＜t ≤20，t ∈N )；销售量g (t )与时间t 的函数关系是g (t )＝－t ＋35(0＜t ≤30，t ∈N )，则使这种商品日销售金额不小于500元的时间t 满足( )A.15≤t ≤20B.10≤t ≤15C.10＜t ＜15D.0＜t ≤10【解析】 由题意知日销售金额为(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得10 ≤t ≤15. 【答案】 B4.某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产x 件(x ＞0)，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )【导学号：18082117】A.60件B.80件C.100件D.120件【解析】 记平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和为f (x )，则f (x )＝800＋x8×x ×1x ＝800x ＋x8≥2800x ×x 8＝20，当且仅当800x ＝x8，即x ＝80件(x ＞0)时，f (x )取最小值，故选B.【答案】 B5.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润.已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件.那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A.12元B.16元C.12元到16元之间D.10元到14元之间【解析】 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则：y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间. 【答案】 C 二、填空题6.某地每年销售木材约20万m 3，每m 3价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________.【导学号：18082118】【解析】 设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2).令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5. 【答案】 [3,5]7.现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________.【解析】 依题意，得5%＜x ·4%＋200·7%x ＋200＜6%，解得x 的范围是(100,400). 【答案】 (100,400)8.如图344，有一张单栏的竖向张贴的海报，它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分)，上下空白各宽2 dm ，左右空白各宽1 dm ，则四周空白部分面积的最小值是______dm 2.图344【解析】 设阴影部分的高为x dm ，则宽为72xdm ，四周空白部分的面积是y dm 2.由题意，得y ＝(x ＋4)⎝ ⎛⎭⎪⎫72x＋2－72＝8＋2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋144x ≥8＋2×2x ·144x＝56(dm 2).当且仅当x ＝144x，即x ＝12 dm 时等号成立. 【答案】 56 三、解答题9.甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x ≤10)，每小时可获得利润是100×⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x 元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.【解】 (1)根据题意， 200⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x ≥3 000，整理得5x －14－3x≥0，即5x 2－14x －3≥0，又1≤x ≤10，可解得3≤x ≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3 000元，x 的取值范围是[3,10]. (2)设利润为y 元，则y ＝900x·100⎝ ⎛⎭⎪⎫5x ＋1－3x＝9×104⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋1x －3x 2＝9×104⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －162＋6112， 故x ＝6时，y max ＝457 500元.即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克 该产品获得的利润最大，最大利润为457 500元.10.某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m 2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m ，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m 宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m 宽的通道，如图345.设矩形温室的室内长为x (单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积．．．为S (单位：m 2).图345(1)求S 关于x 的函数关系式； (2)求S 的最大值.【导学号：18082119】【解】 (1)由题设，得S ＝(x －8)⎝ ⎛⎭⎪⎫900x －2＝－2x －7 200x ＋916，x ∈(8,450).(2)因为8＜x ＜450， 所以2x ＋7 200x≥22x ×7 200x＝240.当且仅当x ＝60时等号成立，从而S ≤676.故当矩形温室的室内长为60 m 时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m 2.[能力提升]1.在如图346所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )图346A.[15,20]B.[12,25]C.[10,30]D.[20,30]【解析】 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x . ∵xy ≥300， ∴x (40－x )≥300， ∴x 2－40x ＋300≤0， ∴10≤x ≤30. 【答案】 C2.某公司租地建仓库，每月土地费用与仓库到车站距离成反比，而每月货物的运输费用与仓库到车站距离成正比.如果在距离车站10 km 处建仓库，则土地费用和运输费用分别为2万元和8万元，那么要使两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A.5 km 处B.4 km 处C.3 km 处D.2 km 处【解析】 设仓库建在离车站x km 处，则土地费用y 1＝k 1x(k 1≠0)，运输费用y 2＝k 2x (k 2≠0)，把x ＝10，y 1＝2代入得k 1＝20，把x ＝10，y 2＝8代入得k 2＝45，故总费用y ＝20x＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时等号成立. 【答案】 A3.有纯农药液一桶，倒出8升后用水补满，然后又倒出4升后再用水补满，此时桶中的农药不超过容积的28%，则桶的容积的取值范围是________.【解析】 设桶的容积为x 升，那么第一次倒出8升纯农药液后，桶内还有(x －8)(x ＞8)升纯农药液，用水补满后，桶内纯农药液的浓度为x －8x. 第二次又倒出4升药液，则倒出的纯农药液为x －x升，此时桶内有纯农药液⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －－x －x升. 依题意，得(x －8)－x －x≤28%·x .由于x ＞0，因而原不等式化简为 9x 2－150x ＋400≤0， 即(3x －10)(3x －40)≤0. 解得103≤x ≤403.又∵x ＞8，∴8＜x ≤403.【答案】 ⎝⎛⎦⎥⎤8，4034.如图347所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过点C ，已知AB ＝3米，AD ＝2米.图347(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ (2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值.【导学号：18082120】【解】 (1)设DN 的长为x (x ＞0)米， 则|AN |＝(x ＋2)米. ∵|DN ||AN |＝|DC ||AM |，∴|AM |＝x ＋x ，∴S 矩形AMPN ＝|AN |·|AM |＝x ＋2x.由S 矩形AMPN ＞32，得x ＋2x＞32.又由x ＞0，得3x 2－20x ＋12＞0，解得0＜x ＜23或x ＞6.即DN 的长的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(6，＋∞). (2)由(1)知，矩形花坛AMPN 的面积为S 矩形AMPN ＝x ＋2x＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12(x ＞0)≥23x ·12x＋12＝24.当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛的面积最小为24平方米.。
人教新课标版数学高二-人教B版必修5练习 3.4 不等式的实际应用
§3.4 不等式的实际应用一、基础过关1.如图所示，某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N )为二次函数关系．则每辆客车营运多少年，其营运的年平均利润最大 ( )A ．3年B ．4年C ．5年D ．6年2．把长为12 cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.323 cm 2 B ．4 cm 2 C ．3 2 cm 2 D ．2 3 cm 23．王宏同学将过年时父母给的压岁钱1 000元，按一年定期存在妈妈处，并约定以银行的年存款利率的5倍利息．到期后连本带利取出，王宏同学用其中200元帮助本班的特困生买书，剩余的部分又按原规定存在妈妈处．如果第二年到期后本利总额不低于990元，则银行的年存款利率不低于( )A ．1.8%B ．2%C ．2.5%D ．3% 4．某公司欲将一批新鲜蔬菜用汽车从甲地运往相距125千米的乙地，运费为每小时30元，装缷费为1 000元．蔬菜在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)的2倍，为使运输的总费用(包括运费、装缷费和损耗费)不超过1 200元，则汽车速度v (km/h)的取值范围是 ( )A ．20≤v ≤80B ．30≤v ≤75C ．25≤v ≤75D ．25≤v ≤855．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比．如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处6．有纯农药液一桶，倒出8升后用水加满，然后又倒出4升后，再用水加满，此时桶中所含的纯农药药液不超过桶的容积的28%.则桶的容积最大为________升．7．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．8．据预测，某旅游景区游客人数在500至1 300人之间，游客人数x (人)与游客的消费总额y (元)之间近似地满足关系：y ＝－x 2＋2 400x －1 000 000.(1)若该景区游客消费总额不低于400 000元时，求景区游客人数的范围；(2)当景区游客的人数为多少人时，游客的人均消费最高？并求游客的人均最高消费额．二、能力提升9．如果0<m <b <a ，那么( ) A ．cos b ＋m a ＋m <cos b a <cos b －m a －mB ．cos b a <cos b －m a －m <cos b ＋m a ＋mC ．cosb －m a －m <cos b a <cos b ＋m a ＋m D ．cos b ＋m a ＋m <cos b －m a －m<cos b a 10．做一个面积为1平方米，形状为直角三角形的框架，有下列四种长度的钢管供选用，其中最合理(够用且最省料)的是 ( )A ．4.7米B ．4.8米C ．4.9米D ．5米11．某工厂第一年的产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年的增长率为b .这两年的平均增长率为x ，则x 与a ＋b 2的大小关系为________． 12．如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知AB ＝3米，AD ＝2米．(1)要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？(2)当DN 的长度为多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值．三、探究与拓展13.某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200 m2的十字型地域．现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数关系式；(2)计划至少要投入多少元，才能建造这个休闲小区．答案1．C 2.D 3.B 4.C 5.A6.4037．解 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )， 税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.(2)∵f (P )＝80(80－10P ) (2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，f (2)＝4 800(万元)．(3)∵0<P <8，g (P )＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．8．解 (1)－x 2＋2 400x －1 000 000≥400 000x 2－2 400x ＋1 400 000≤0，得1 000≤x ≤1 400，又500≤x ≤1 300，所以景区游客人数的范围是1 000至1 300人．(2)设游客的人均消费额为y ，则y ＝－x 2＋2 400x －1 000 000x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋1 000 000x ＋2 400≤400.当且仅当x ＝1 000时等号成立．即当景区游客的人数为1 000时，游客的人均消费最高，最高消费额为400元．9．A10．C11．x ≤a ＋b 212．解 (1)设DN 的长为x (x >0)米，则AN ＝(x ＋2)米∵DN AN ＝DC AM， ∴AM ＝3(x ＋2)x， ∴S AMPN ＝AN ·AM ＝3(x ＋2)2x由S AMPN >32，得3(x ＋2)2x>32，又x >0， 得3x 2－20x ＋12>0，解得：0<x <23或x >6， 即DN 长的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，23∪(6，＋∞)． (2)矩形花坛AMPN 的面积为y ＝3(x ＋2)2x ＝3x 2＋12x ＋12x＝3x ＋12x＋12 ≥23x ·12x ＋12＝24，当且仅当3x ＝12x，即x ＝2时，矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．13．解 (1)设DQ ＝y ，则x 2＋4xy ＝200，y ＝200－x 24x. S ＝4 200x 2＋210×4xy ＋80×4×12y 2 ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2 (0<x <102)．(2)S ＝38 000＋4 000x 2＋400 000x 2≥38 000＋216×108＝118 000，当且仅当4 000x 2＝400 000x 2， 即x ＝10时，S min ＝118 000(元)．即计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.4 不等式的实际应用基础巩固一、选择题1．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，每涨价1元，其销售量就减少20个，为获得最大利润，售价应定在( )A ．每个95元B ．每个100元C ．每个105元D ．每个110元[答案] A[解析] 设每个涨价x 元，则利润y ＝(x ＋10)(400－20x )＝－20x 2＋200x ＋4000， ∴当x ＝20040＝5时，y 取得最大值．故每个售价为95元时利润最大．2．在面积为S (S 为定值)的扇形中，当扇形中心角为θ，半径为r 时，扇形周长最小，这时θ、r 的值分别是( )A ．θ＝1，r ＝SB ．θ＝2，r ＝4S C ．θ＝2，r ＝3S D ．θ＝2，r ＝S[答案] D[解析] S ＝12θr 2⇒θ＝2S r2，又扇形周长P ＝2r ＋θr ＝2⎝⎛⎭⎪⎫r ＋S r ≥4S ， 当P 最小时，r ＝S r⇒r ＝S ，此时θ＝2.3．设计用32m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通规定车厢宽为2m ，则车厢的最大容积是( )A ．(38－373)m 3B ．16m 3C ．42m 3D ．14m 3[答案] B[解析] 设长方体长为a m ，高为h m ，则有2a ＋2(2h )＋2(ah )＝32，即a ＋2h ＋ah ＝16， ∴16≥22ah ＋ah ，即(ah )2＋22·ah －16≤0， 解得0<ah ≤22，∴ah ≤8， ∴V ＝2ah ≤16.4．做一个面积为1m 2，形状为直角三角形的铁架框，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是( )A ．4.6mB ．4.8mC ．5mD ．5.2m[答案] C[解析] 设直角三角形两直角边长分别为x ，y ，则12xy ＝1，即xy ＝2.周长l ＝x ＋y ＋x 2＋y 2≥2xy ＋2xy ＝(1＋2)×2≈4.83， 当且仅当x ＝y 时取等号． 考虑到实际问题，故选C. 二、填空题5．光线透过一块玻璃，其强度要减弱110.要使光线的强度减弱到原来的13以下，至少需这样的玻璃板________块．(参考数据：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)[答案] 11[解析] 设至少需要经过这样的n 块玻璃板，则， (1－110)n <13，即n ·lg 910<lg 13∴n >lg 13lg 910＝－lg32lg3－1＝－0.47712×0.4771－1≈10.45.又∵n ∈N ＋，∴n ＝11.6．建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方形无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低造价为__________元．[答案] 1760[解析] 设水池的底面长、宽分别为x m ，y m ，则2xy ＝8，xy ＝4.水池造价为z 元． 则z ＝120xy ＋2(2x ＋2y )×80＝480＋320(x ＋y ) ≥480＋320×4＝1760. 三、解答题7．某单位决定投资3200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧用砖墙，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元．计算：(1)仓库底面积S 的最大允许值是多少？(2)为使S 达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？ [解析] (1)设正面铁栅长x m ，侧面长为y m ，总造价为z 元，则z ＝40x ＋2×45y ＋20xy ＝40x ＋90y ＋20xy ，仓库面积S ＝yx .由条件知z ≤3 200，即4x ＋9y ＋2xy ≤320. ∵x >0，y >0，∴4x ＋9y ≥24x ·9y ＝12xy . ∴6S ＋S ≤160，即(S )2＋6S －160≤0. ∴0<S ≤10，∴0<S ≤100. 故S 的最大允许值为100m 2.(2)当S ＝100m 2时，4x ＝9y ，且xy ＝100. 解之得x ＝15(m)，y ＝203(m)．答：仓库面积S 的最大允许值是100m 2，此时正面铁栅长15m.8．某企业生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本(即需另增加投入)0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售的收入函数为R (x )＝5x －12x 2(万元)，(0≤x ≤5)，其中x 是产品生产并售出的数量．(单位：百台)(1)把利润表示为年产量的函数． (2)年产量为多少时，企业所得利润最大？ (3)年产量多少时，企业才不亏本．(不赔钱)? [解析] (1)设利润为y .则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧R x －0.5－0.25x 0≤x ≤5 R 5 －0.5－0.25x x ＞5 ，∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－12x 2＋4.75 x －0.5 0≤x ≤5 12－0.25x x ＞5.(2)y ＝－12(x －4.75)2＋10.78125∴x ＝4.75时即年产量为475台时企业所得利润最大．(3)要使企业不亏本，须y ＞0 即⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＜5－12x 2＋4.75 x －0.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧12－0.25x ＞0x ≥5.2．65＜x ＜5或5≤x ＜48，即2.65＜x ＜48. ∴年产量在265台至4800台时，企业才会不亏本．能力提升一、选择题1．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下：数据，就业形势一定是( )A ．计算机行业好于化工行业B ．建筑行业好于物流行业C ．机械行业最紧张D ．营销行业比贸易行业紧张 [答案] B[解析] 就业情况＝应聘人数招聘人数，计算机就业形式＝215830124620＞1，化工业就业形式＝应聘人数70436＜6528070436＜1，则A 不合适．同理，建筑行业就业形式＝应聘人数76516＜6528076516＜1，物流业就业形式＝74570招聘人数＞7457070436＞1.2．某公司从2006年起每人的年工资主要由三个项目组成并按下表规定实施：年底这位职工的工龄至少是( )A ．2年B ．3年C ．4年D ．5年[答案] C[解析] 设这位职工工龄至少为x 年，400x ＋1600＞10000·(1＋10%)2×25%，即400x ＋1600＞3025，即x ＞3.5625，所以至少为4年．二、填空题3．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是__________．[答案] 100＜x ＜400 [解析] 由题意可列式5%<7%×200＋4%×x 200＋x <6%，即5<1400＋4x 200＋x <6解得100<x <400.4．周长为2的直角三角形的面积的最大值为________． [答案] 3－2 2[解析] 设直角三角形的两直角边分别为a 、b ，斜边为c ，则直角三角形的面积S ＝12ab .由已知，得a ＋b ＋c ＝2，∴a ＋b ＋a 2＋b 2＝2， ∴2＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝(2＋2)ab ， ∴ab ≤22＋2＝2－2，∴ab ≤(2－2)2＝6－42，∴S ＝12ab ≤3－22，当且仅当a ＝b ＝2－2时，S 取最大值3－2 2.三、解答题5．假设国家收购某种农副产品的价格是120元/担，其中征税标准是每100元征税8元(叫做税率是8个百分点，即8%)，计划收购m 万担，为了减轻农民负担，决定税率降低x 个百分点，预计收购量可增加2x 个百分点，要使此项税收在税率降低后不低于原计划的78%，试确定x 的取值范围．[解析] 税率降低后是(8－x )%，收购量为m (1＋2x %)万担，税收为120m(1＋2x %)(8－x )%万元，原来的税收为120m·8%万元．根据题意可得120m(1＋2x %)(8－x )%≥120m·8%·78% 即x 2＋42x －88≤0解之得－44≤x ≤2，又x ＞0，∴0＜x ≤2 ∴x 的取值范围是(0,2]．6.某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y (单位：m)的矩形．上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积8cm 2.问x 、y 分别为多少时用料最省？(精确到0.001m)[解析] 由题意得xy ＋14x 2＝8，∴y ＝8－x 24x ＝8x －x4(0＜x ＜42)．于是，框架用料长度为l ＝2x ＋2y ＋2(22x ) ＝(32＋2)x ＋16x≥46＋4 2. 当(32＋2)x ＝16x ，即x ＝8－42时等号成立． 此时，x ≈2.343，y ＝22≈2.828.故当x 为2.343m ，y 为2.828m 时，用料最省．7．某渔业公司年初用98万元购买一艘捕鱼船，第一年各种费用为12万元，以后每年增加4万元，每年捕鱼收益50万元．(1)问第几年开始获利？(2)若干年后，有两种处理方案：①年平均获利最大时，以26万元出售该渔船；②总纯收入获利最大时，以8万元出售该渔船．问哪种方案最合算？[解析] 由题设知每年的费用是以12为首项，4为公差的等差数列．设纯收入与年数的关系为f (n )，则f (n )＝50n －[12＋16＋…＋(8＋4n )]－98＝40n －2n 2－98.(1)由f (n )>0得，n 2－20n ＋49<0， ∴10－51<n <10＋51， 又∵n ∈N ，∴n ＝3,4，…，17. 即从第3年开始获利； (2)①年平均收入＝f n n ＝40－2(n ＋49n)≤40－2×14＝12， 当且仅当n ＝7时，渔船总收益为12×7＋26＝110(万元)． ②f (n )＝－2(n －10)2＋102.因此当n＝10时，f(n)max＝102，总收益为102＋8＝110万元，但7<10，所以第一种方案更合算．。