2017-2018届上海市普陀区高三下学期4月二模理科数学试题及答案

2017-2018届普陀区高三二模数学试卷（理科）04一、填空题（共14题，每题4分，满分56分） 1.不等式01xx>-的解集为 . 2.若1m i i i+=+（i 为虚数单位），则实数m = . 3.若函数()()sinsin022xxf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω= .4.集合{{}2,4,RA x yB x y x x ====∈，则A B .5. 若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为 . 6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 .7.函数())1f x x ≤，若函数()2g x xax=+是偶函数，则()f a =.6第题图北ACB ∙D6010第题图8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 . 9.已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB = .10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ= （结果用最简分数作答）. 12.若正方形ABCD的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-=.13.已知复数12,z z 满足11z≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 . 14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 .二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥αC. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a bD.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b 16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 17.在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ ） A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i ja 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a Aa a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m+++= ；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n mn ma→∞+=.其中正确的个数是（ ）A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =.（1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值；（2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱1C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2xf x =的反函数为1()fx -（1）若11()(1)1fx f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；A1AB 1B C1C D1D E22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MONS k=，当P 变化时，求动点T 轨迹方程；23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log nn n bS a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若02nπθ<<，2tan nn n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式； （3）记12311112222nn ca a a a =-+-+-++- ，若对任意的*N n ∈，ncm ≥恒成立，求实数m 的取值范围.2017-2018届普陀区高三二模数学试卷（理科）答案04 一、填空题（共14题，每题4分，满分56分） 1.不等式01xx>-的解集为 ()0,1 . 2.若1m i i i+=+（i 为虚数单位），则实数m 1- . 3.若函数()()sinsin022xxf x ωπωω+=>的最小正周期为π，则ω=2 . 4. 集合{{}2,4,RA x yB x y x x ====∈，则A B []0,1 .5. 若0x π≤≤，则函数sin cos 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的单调递增区间为536ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， . 6.如图，若6OFB π∠=，6OF FB ⋅=-，则以OA 为长半轴，OB 为短半轴，F 为左焦点的椭圆的标准方程为 22182x y += .7.函数())1f x x =≤，若函数()2g x xax=+是偶函数，则()f a =6第题图北AC B ∙D6010第题图1 .8.一个圆锥与一个球的体积相等且圆锥的底面半径是球半径的2倍，若圆锥的高为1，则球的表面积为 . 9.已知直线l 和曲线Γ的极坐标方程分别为()sin cos 1ρθθ-=和1ρ=，若l 和Γ相交于两点,A B ，则AB =10.如图，机车甲、乙分别停在A B ，处，且=10AB km ，甲的速度为4千米/小时，乙的速度是甲的12，甲沿北偏东60︒的方向移动，乙沿正北方向移动，若两者同时移动100分钟，则它们之间的距离为 千米.11.一个袋子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中5个红色，2个黑色.从袋中随机地取出3个小球.其中取到黑球的个数为ξ，则E ξ= 67（结果用最简分数作答）.12.若正方形ABCD 的边长为1，且,,,AB a BC b AC c ===则326a b c +-=5 .13.已知复数12,z z 满足11z≤，21Re 1z -≤≤，21Im 1z -≤≤，若12z z z =+，则z 在复平面上对应的点组成的图形的面积为 π . 14.R x ∈，用记号()N x 表示不小于实数的最小整数，例如()2.53N =，(1N =-，()11N =；则函数()()13122f x N x x =+-+的所有零点之和为 4- .二、选择题（共4题，每题5分，满分20分）15. ,,a b c 表示直线，α表示平面，下列命题正确的是（ D ） A.若//a b ，//a α，则//b α B. 若a ⊥b ， b ⊥α，则a ⊥α C. 若a ⊥c ，b ⊥c ，则//a b D.若a ⊥α，b ⊥α，则//a b 16.”直线与抛物线相切”是“直线与抛物线只有一个公共点”的（ A ）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件 17.在*22)()nn N x∈的展开式中，若第五项的系数与第三项的系数之比为56：3，则展开式中的常数项是（ B ） A.第2项 B.第3项 C.第4项 D.第5项 18.已知,,,m n i j 均为正整数，记,i ja 为矩阵1,21,2,22,,1,2,12m m n mn n n m a a a a Aa a a ⨯⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎪⎝⎭中第i 行、第j 列的元素，且,,11i j i j a a ++=，2,1,,2i j i j i j a a a ++=+（其中2i n ≤-，2j m ≤-）；给出结论：①5,6134a =；②2,12,22,2m a a a m+++= ；③1,,12nn m n ma a +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭④若m 为常数，则,23lim 3n mn ma→∞+=.其中正确的个数是（ B ）A.0个B.1个C.2个D.3个三、解答题（本大题共5题，写出必要的文字说明与步骤） 19.（本题满分12分，第1小题6分，第2小题6分） 已知函数()2cos f x x =，()1cos 2g x x x =.（1）若直线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴，求()2g a 的值；（2）若02x π≤≤，求()()()h x f x g x =+的值域.解：（1）()21cos2cos 2xf x x +==， 其对称轴为2,,2k x k x k Z ππ==∈，因为直线线x a =是函数()y f x =的图像的一条对称轴， 所以,2k a k Z π=∈，又因为()122g x x =，所以()()()1122=22g a g k k ππ==+ 即()122g a =.(2)由（1）得()()()1cos2212sin 216h x f x g x x x x π=+=+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1710,,2,,sin 2,2266662x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎡⎤∈∴+∈+∈- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦所以()h x 的值域为122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.20.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1DD 的中点.（1）求直线BE 与平面11ABB A 所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱11C D 上是否存在一点F ，使得1//BF 平面1A BE ，若存在，指明点F 的位置，若不存在，请说明理由. 解：（1）（2）存在，F 在棱11C D 的中点.(提示：用空间向量)21.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 已知函数()2xf x =的反函数为1()fx -（1）若11()(1)1fx f x ----=，求实数x 的值；（2）若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]0,2内有解，求实数m 的取值范围；解：（1）23x =（2）92⎡⎤⎢⎥⎣⎦.A 1AB1B C1C D 1D E22.（本题满分16分，第1小题4分，第2小题7分，第3小题5分）如图，射线,OA OB 所在的直线的方向向量分别为()11,d k =，()()21,0d k k =->，点P 在AOB ∠内，PM OA ⊥于M ，PN OB ⊥于N ；（1）若1k =，31,22P ⎛⎫⎪⎝⎭，求OM 的值；（2）若()2,1P ，OMP ∆的面积为65，求k 的值；（3）已知k 为常数，,M N 的中点为T ，且1MONS k=，当P 变化时，求动点T 轨迹方程； 解：（1）（2）1122k =或；（3）设()()()1122,,,,,M x kx N x kx T x y -，120,00xx k >>>，，设直线OA 的倾斜角为α，则22tan ,sin21k k k αα==+，根据题意得()12112222x x x y x x k x x k y y x x OM x k ON x +⎧=⎪⎪⎧=+-⎪⎪⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎪=⎪⎩代入11sin22MONSOM ON k α∆==化简得动点T 轨迹方程为22211k x y x k ⎛⎫-=≥ ⎪⎝⎭.23.（本题满分18分，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且0n a >，()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭（1）若()21log nn n bS a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若02nπθ<<，2tan nn n a θ⋅=，求证：数列{}n θ为等比数列，并求出其通项公式； （3）记12311112222nn ca a a a =-+-+-++- ，若对任意的*N n ∈，ncm ≥恒成立，求实数m 的取值范围. 解：（1）*12,N nb n n =-∈(2)由tan 2tan 2nnn n n na a θθ⋅==得代入()*1N 4nn n a S n ⎛⎫⋅=∈ ⎪⎝⎭得12tan nnnSθ=，当2n ≥时，111112tan 2tan nn n nn n n aS S θθ---=-==，因为tan 2n nna θ=，代入上式整理得()1tan tan 2n n θθ-=，02n πθ<<所以1112,02n n n n θθθθ--==≠的常数. 当1n =时，111111111,,0,tan 1,424n aS a a a a πθθ⎛⎫=⋅=>∴===⎪⎝⎭所以数列{}nθ是等比数列，首项为 4π，公比为12，其通项公式为11*11,N 422n n n n πθπ-+⎛⎫⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭（3）由（2）得*11tan ,N 22nn n an π+=∈，它是个单调递减的数列， 所以 11111,0,2222n n n n a a a a a ≤=-≤∴-=- 123111122222n n n c a a a a n S =-+-+-++-=-对任意的*N n ∈，ncm ≥恒成立，所以()min n m c ≤.由111110222n n n n n cc n n S S a ++++⎛⎫---=- ⎝-≥⎪⎭=知，1n n c c +≥ 所以数列{}nc 是单调递增的，nc 最小值为10c =，()min 0n m c ≤=因此，实数m 的取值范围是(],0-∞.。