量子力学习题集及答案

量子力学习题集及答案09光信息量子力研究题集一、填空题1.__________2.设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为6.125A。

XXX的量子化条件为∫pdq=nh，应用这量子化条件求得一维谐振子的能级En=(nωℏ)。

3.XXX假说的正确性，在1927年为XXX和革末所做的电子衍射实验所证实，德布罗意关系为E=ωℏ和p=ℏk。

4.ψ(r)=(三维空间自由粒子的归一化波函数为e^(ip·r/ℏ))，其中p为动量算符的归一化本征态。

5.∫ψ*(r)ψ(r)dτ=(δ(p'-p))，其中δ为狄拉克函数。

6.t=0时体系的状态为ψ(x,0)=ψ_n(x)+2ψ_2(x)，其中ψ_n(x)为一维线性谐振子的定态波函数，则ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+2ψ_2(x)e^(-5iωt/2))。

7.按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w=(|Ψ|^2)，几率流密度j=(iℏ/2μ)(Ψ*∇Ψ-Ψ∇Ψ*)。

其中Ψ(r)描写粒子的状态，Ψ(r)是粒子的几率密度，在Ψ(r)中F(x)的平均值为F=(∫Ψ*F(x)Ψdx)/(∫Ψ*Ψdx)。

8.波函数Ψ和cΨ是描写同一状态，Ψe^(iδ)中的e^(iδ)称为相因子，e^(iδ)不影响波函数Ψ的归一化，因为e^(iδ)=1.9.定态是指能量具有确定值的状态，束缚态是指无穷远处波函数为零的状态。

10.E1=E2时，Ψ(x,t)=Ψ_1(x)exp(-iE1t)+Ψ_2(x)exp(-iE2t)是定态的条件。

11.这时几率密度和几率流密度都与时间无关。

12.粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。

13.无穷远处波函数为零的状态称为束缚态，其能量一般为分立谱。

14.ψ(x,t)=(ψ(x)e^(-iωt/2)+ψ_3(x)e^(-7iωt/2))。

2.15.在一维无限深势阱中，粒子处于位置区间x a，第一激发态的能量为1/13（22222/2ma2），第一激发态的波函数为sin（n x/a）（n=2）/a。

16.基态是指能量最低的状态。

一维线性谐振子的基态波函数为Ne2x2/2.17.一维线性谐振子的第一激发态的能量为，第一激发态的波函数为N x e2x2/2（n=2）。

18.简并度是指对应于同一本征值的本征函数的数目。

不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为n2.19.一维无限深势阱第n个能级的简并度为1.不考虑电子自旋时，氢原子的第n个能级的简并度为n。

20.一维线性谐振子第n个能级的简并度为1.考虑电子自旋以后，氢原子的第n个能级的简并度为2n。

21.氢原子的状态为R32(r)Y21(,)，角动量平方是62，角动量z分量是。

22.厄密算符Fˆ的定义是：对于两任意函数和，等式（*Fˆdx）=（（Fˆ）*dx）成立。

23.力学量算符的本征值必为实数，力学量算符的属于两个不同本征值的本征态必相互正交。

24.力学量算符的属于不同本征值的本征函数必相互正交。

量子力学中，力学量算符都是厄米算符，力学量算符的本征函数组成完全系。

25.在z表象中，z算符在其自身表象中的矩阵为对角矩阵，例如（1，0；0，-1）。

26.如果存在有组成完全系的共同本征态，则[Fˆ，Gˆ]=0，Lˆ2，Lˆz，Gˆ的共同本征态是Ylm(,)。

27.氢原子的状态为R32(r)Y21(,)，角动量平方是62，角动量z分量是。

28.对易子[dˆx，Lˆy]=（-i Lˆz），[Lˆx，dˆy]=（i Lˆz），[xˆ，pˆy]=（i），[yˆ，pˆx]=（-i）。

29.能量与时间的测不准关系是（E t~），x和px的测不准关系是（x p~）。

30.________（缺失）在一维情况下，粒子的波函数为$\Psi(x,t)$，在动量表象中的波函数为$C(p,t)=\left(\int_{-\infty}^{\infty}\Psi(x,t)e^{-ipx/\hbar}dx\right)$。

对于一维线性谐振子，其在哈密顿表象中的波函数为$\Psi(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n\psi_n(x)$，其中$c_n$为待定系数，$\psi_n(x)$为谐振子的本征态。

在哈密顿表象中，谐振子的波函数为$\Psi_+=\left(\frac{1}{\sqrt{2^nn!}}\left(\frac{m\omega}{\pi\hbar}\right)^{1/4}\right)e^{-\frac{m\omegax^2}{2\hbar}}H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}}x\right)$，其中$H_n(x)$为厄米多项式。

XXX-革拉赫实验证明电子具有自旋角动量，其在任何方向上的投影只能取两个值：$\hbar/2$和$-\hbar/2$。

电子自旋算符$\vec{S}$满足角动量对易关系$[\hat{S}_i,\hat{S}_j]=i\hbar\epsilon_{ijk}\hat{S}_k$。

在自旋$z$表象中，粒子处于自旋态$\chi=\begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\\sin(\alpha/2)e^{i\beta}\end{ pmatrix}$，则自旋算符$\hat{S}_x$和$\hat{S}_y$的期望值为$-\hbar/2\times\sin(\alpha)$和$\hbar/2\times\cos(\alpha)$，自旋算符$\hat{S}^2$和$\hat{S}_z$的期望值分别为$\hbar^2/4$和$\hbar/2\times\cos(\alpha)$。

全同性原理指出，在全同粒子组成的体系中，两全同粒子相互代换不会引起物理状态的改变。

泡利原理则规定不能有两个或两个以上的费米子处于同一状态。

对于电子体系，其波函数必须是反对称的，而自旋波函数可以是对称或反对称的。

电子是费米子，服从XXX统计，其波函数必须是反对称的。

对于玻色子体系，其波函数必须是对称的，而自旋波函数可以是对称或反对称的。

光子是玻色子，服从玻色-XXX统计，其波函数必须是对称的。

1.对于一维谐振子，其波函数满足的薛定谔方程为：$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}m\omega ^2x^2\psi(x)=E\psi(x)$$ 当$xa$时，势能为无穷大。

我们可以通过分离变量的方法求解这个方程。

令$\psi(x)=u(x)v(x)$，代入方程得到：$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u(x)}{dx^2}v(x)+\frac{1}{2}m\ome ga^2x^2u(x)v(x)=Eu(x)v(x)$$ 两边同时除以$u(x)v(x)$，得到：$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u(x)}{dx^2}\frac{1}{u(x)}+\frac{1} {2}m\omega^2x^2\frac{1}{v(x)}=E$$ 由于方程左边只和$x$有关，右边只和$v(x)$有关，所以它们必须等于常数，设为$k$，则有：$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2u(x)}{dx^2}+ku(x)=0$$$$\frac{1}{2}m\omega^2x^2-kv(x)=E$$ 第一个方程的解为$u(x)=Asin(\sqrt{\frac{k}{2m}}x)+Bcos(\sqrt{\frac{k}{2m}}x)$，第二个方程的解为$v(x)=Ce^{-\frac{m\omega^2}{2\hbar}x^2} $。

由于当$x>a$时，$v(x)$必须为零，因此$C=0$。

当$xa\end{cases}$$ 利用边界条件$\psi(a^-)=\psi(a^+)$和$\frac{d\psi}{dx}\bigg|_{a^-}=\frac{d\psi}{dx}\bigg|_{a^+}$，可以解出$A$和$B$的值，从而得到波函数的具体形式。

2.一粒子在一维势场$U(x)=\frac{1}{2}\mu\omega^2x^2-bx$中运动，我们需要求解其能级和定态波函数。

我们可以将薛定谔方程写成标准形式：$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2}+\frac{1}{2}\mu\o mega^2x^2\psi(x)-b x\psi(x)=E\psi(x)$$ 令$x'=x-\frac{b}{\mu\omega^2}$，则方程可以化为：$$-\frac{\hbar^2}{2\mu}\frac{d^2\psi(x')}{dx'^2}+\frac{1}{2}\mu\o mega^2(x'+\frac{b}{\mu\omega^2})^2\psi(x')-E\psi(x')=0$$ 令$k=\frac{\mu\omega}{\hbar}\sqrt{\frac{2E}{\mu\omega^2}}$，则方程可以化为：$$\frac{d^2\psi(x')}{dx'^2}-(x'+\frac{b}{\mu\omega^2})^2\psi(x')+\left(\frac{k^2}{x'+\frac{b }{\mu\omega^2}}\right)\psi(x')=0$$ 这是一个欧拉方程，其通解为：$$\psi(x')=c_1\sqrt{x'}J_{-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{1+16k^2}}{4}}(2x'^{\frac{1}{2}})+c_2\ sqrt{x'}J_{-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{1+16k^2}}{4}}(2x'^{\frac{1}{2}})$$ 其中，$J_\nu(x)$是贝塞尔函数。

由于当$x'\rightarrow 0$时，第二个贝塞尔函数会发散，因此我们只取第一个贝塞尔函数，即：$$\psi(x')=c\sqrt{x'}J_{-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{1+16k^2}}{4}}(2x'^{\frac{1}{2}})$$ 代入边界条件$\psi(\pm\infty)=0$，可以解出$k$的值，从而得到能级和定态波函数的具体形式。

3.一粒子在半径为$r$的球形势场$U(r)$中运动。

当$r<r_0$时，$U(r)=0$；当$r\geq r_0$时，$U(r)=+\infty$。