量子力学习题集及解答
量子力学第二版(周世勋)
2µ
2µ
= qBnη = nB ⋅ qη
2µ
2µ
= nBNB ,
其中， M B
=
qη 2µ
是玻尔磁子，这样，发现量子化的能量也是等间隔的，而且
具体到本题，有
∆E = BM B
根据动能与温度的关系式
∆E = 10 × 9 × 10−24 J = 9 × 10−23 J
E = 3 kT 2
以及
1k ⋅ K = 10−3 eV = 1.6 × 10−22 J
∂ ∂r
(1 eikr ) − r
1 eikr r
∂ ∂r
(1 r
e
−ikr
ρ )]r0
=
iη [1 (− 2m r
1 r2
+ ik 1) − 1 (− rr
1 r2
−
ik
1 r
)]ρr0
可见，
ρ J2
=
−
ηk mr 2
ρr0
=
−
ηk mr 3
ρr
与rρ反向。表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ψ (x) = eikx ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？
1．3 氦原子的动能是 E = 3 kT （k 为玻耳兹曼常数），求 T=1K 时，氦原子的德布罗意波 2
长。
解 根据
2
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知本题的氦原子的动能为
1k ⋅ K = 10−3 eV ，
E = 3 kT = 3 k ⋅ K = 1.5 ×10−3 eV , 22
解 关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程，如两个光子以怎样的概率转化为正 负电子对的问题，严格来说，需要用到相对性量子场论的知识去计算，修正当涉及到这个过 程的运动学方面，如能量守恒，动量守恒等，我们不需要用那么高深的知识去计算，具休到 本题，两个光子能量相等，因此当对心碰撞时，转化为正风电子对反需的能量最小，因而所 对应的波长也就最长，而且，有
量子力学习题集(NJU)
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
i¯ h (ψ ∇ψ ⋆ 2m
− ψ ⋆ ∇ψ ) 是几率流密度，⟨p ˆ⟩是动量的期待值。 ∫
∫
+∞
−∞
h ¯ dxj (x) = 2im
+∞
+∞
dx[ψ ∗ (x, t)
−∞
∂ ∂ ψ (x, t) − ψ (x, t) ψ ∗ (x, t)]. ∂x ∂x
利用分部积分，有 ∫
dxψ (x, t)
2 2 = + ky 其中，kx 2µE 。 h2 ¯
1 d2 f (x) f (x) dx2 1 g (y ) g (y ) dy 2 d2
= −c,
µE = − 2¯ + c, h2
再利用边界条件
f (0) = f (a) = 0, g (0) = g (b) = 0,
(可以验证，若c < 0，则无法满足以上边界条件。 ) 有 k = nπ , n = 1, 2, 3, · · · , x a ky = mπ , m = 1, 2, 3, · · · ,
∂ ⟨p ˆ⟩ )ψ (x, t) = . ∂x m
3. 设一维自由运动粒子（能量的本征态为平面波）的初态（t = 0）为ψ (x, 0) = δ (x)， 求ψ (x, t)。 ∫ +∞ ∫ +∞ √ 【提示： −∞ dx cos(αx2 ) = −∞ dx sin(αx2 ) = 2π 】 α 参考答案： 自由粒子的能量本征态为 1 ψk (x) = √ eikx , 2π 其本征函数随时间演化为 ϕk (x, t) = ϕk (x)e−i 2m t . ∫ 1 ψ( k, 0) = dxϕ⋆ . k (x)ψ (x, 0) = √ 2π ∫ ∫ h ¯ k2 1 dkeikx−i 2m t ψ (x, t) = dkψ (k, 0)ϕk (x, t) = 2π √ ∫ ( 2 ) mx 2 h ¯t 1 i mx2 m i mx −π k − − i ( ) 2¯ h t 4 h ¯t ht = e 2¯ = e dke 2m . 2π 2πh ¯t
量子力学课后习题答案
量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， （1）以及 c v =λ， （2）λρρd dv v v -=， （3）有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcλλλλλπρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为 x e x =--)1(5这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知E=hv ，λh P =如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么ep E μ22= 如果我们考察的是相对性的光子，那么E=pc注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0⨯，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有ph=λnmm m E c hc E h e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯===--μμ在这里，利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1以及eV c e 621051.0⨯=μ最后，对Ec hc e 22μλ=作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
量子力学习题集(NJU)
h ¯ k2
Note:
∫
∞
−∞
[ ( )] dx exp − α2 x2 + iβx + iγx2 =
(
π α2 + iγ
)1/2
−β 2 (α2 − iγ ) exp 4 (α4 + γ 2 )
[
]
4. 设粒子处于二维无限深势井中， 0, 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b; V (x) = ∞, 其它情况. 求粒子的能量本征值和本征函数，并讨论简并性。 参考答案：由于势阱无限深，在势阱外找到粒子的概率应该为零，因此势阱外的波函数为 ψ (x, y ) = 0. 在势井内部，定态薛定谔方程为 h ¯2 2 h ¯2 ∂2 ∂2 − ∇ ψ (x, y ) = − ( 2 + 2 )ψ (x, y ) = Eψ (x, y ). 2µ 2µ ∂x ∂y 这里，µ为粒子质量。做变量分离 ψ (x, y ) = f (x)g (y ), 我们有 其中，c > 0。 求解上面两个方程，我们有 f (x) = α eikx x + α e−ikx x , 1 2 g (y ) = β1 eiky y + β2 e−iky y ,
b
3
和
f (x) = A sin(k x), x g (y ) = B sin(ky y ). 进行归一化后，有 2 nπx mπx ψn,m (x, y ) = √ sin( ) sin( ). a b ab
而本征能量为 En,m = 当a = b时，则本征能量为 En,m =
2 2
4
h ¯ 2 π 2 n2 . 2ma2
于是， 1 ψ (x, 0) = √ [ψ1 (x) + eiϕ ψ2 (x)]. 2 (2) 1 h h ψ (x, t) = √ [ψ1 (x)e−iE1 t/¯ + eiϕ ψ2 (x)e−iE2 t/¯ ]. 2 |ψ (x, t)|2 = ψ ∗ (x, t)ψ (x, t) E1 − E2 1 2 2 (x) + ψ2 (x) + 2ψ1 (x)ψ2 (x) cos(ϕ + t)]. = [ψ1 2 h ¯ (3) ∫ ⟨x ˆ⟩ = 利用， ∫
周世勋量子力学习题答案(七章全).
由
有
⎡ 1 dρ (λ ) x 5e x ⎤ dx =0 = A⎢5 x 4 x − x dλ e − 1 (e − 1) 2 ⎥ ⎦ dλ ⎣
x (1 − )e x = 1 5 于是，得：
该方程的根为
x = 4.965
因此，可以给出， 即
λmT =
hc hc = 0.2014 xk k
λmT = b （常数）
而
p2 1 A2ω 2 μ 2 cos 2 (ωt + δ ) 1 2 2 E= + μω q = + μω 2 A2 sin 2 (ω t + δ ) 2μ 2 2μ 2
= 1 μω 2 A 2 = nhv 2
（2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心 力，于是有
由此可以求出波长在 λ 与 λ + dλ 之间的能量密度 ρ (λ ) dλ
由于
ν = c/λ ,
ρ ( λ ) dλ =
dν = +
c
λ2
1
dλ
8πhc
因而有：
λ
5
e
hc kTλ
dλ −1
令
x=
hc kTλ
所以有：
ρ (λ ) = Ax 5
dρ ( λ ) =0 dλ
1 x e −1
（
A=
8πk 5T 5 h 4c 4 常数）
1⎞ ⎛ E n = ⎜ n + ⎟hv 2 ⎠ 相比较，我们 ⎝ ③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量 E0 = 1 hv 2 。 但能级间的间隔则完
&& + ω 2 q = 0 q
其解为
高等量子力学练习题及答案解析三十四
34.2 按照正文中的对哈特利—福克方程（34.22）式中第二项的理解，这一项是处于k 态的电子同其余电子之间的库仑相互作用。
既然这样，()
r ρ即（34.20）式对j 的取和中，就不应含有j=k 的项，但是现在（34.22）式中并未将j=k 这一项去掉，这是为什么？
解：文中哈特利-福克方程（31.14）式在位置表象中的形式为 ()(
)(
)
()()0
2''2''*'''2''*'22''=-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+∇-∑∑⎰∑∑⎰σϕλσϕσσϕσϕσσϕσϕσσr r r r r d r r r r d r r V m k k k j j j j k j j k
在式子中当k j =时，式子中的第二项和第三项相减就消去了。
所以（34.22）式中并未将k j =这一项去掉。
#
练习34.3 在本小节位置表象的范围内，证明满足哈特利-福克方程的不同单粒子态)(σϕr j 和)(σϕr k 是互相正交的。
证明：
τσϕσϕd r r k j )()(⎰*
τd b b k j ⎰=
k j b b =
i b 是一套正交归一基矢量且k j ≠
∴ 0==jk k j b b δ 当k j ≠
∴ 0)()(=⎰*τσϕσϕd r r k j
∴ )(σϕr j 和)(σϕr k 是互相正交的。
量子力学复习题答案与题解
量子力学复习题导致量子论产生的物理现象主要有哪些？p2量子的概念是如何引进的？p5为什么说爱因斯坦是量子论的主要创始人之一？p6写出德布罗意公式并说明其中各量的含义和该公式的意义。
P12什么是波函数的几率解释？p18态的迭加原理。
P22动量算符的定义。
P27写出单粒子薛定谔方程。
P27写出多粒子薛定谔方程。
P28写出单粒子哈密顿算符及其本征值方程。
P33什么条件下可以得到定态薛定谔方程？p32什么是束缚态？p37什么情况下量子系统具有分立能级？p37什么是基态？p37写出线性谐振子的定态薛定谔方程。
P39写出线性谐振子的能级表达式。
P40写出波函数应满足的三个基本条件。
P51写出算符的本征值方程并说明其中各量的含义。
P54量子力学中的力学量算符如何由经典力学中相应的力学量得出？p55写出厄米算符的定义，并解释为什么量子力学中的力学量要用厄米算符来表示。
P56写出轨道角动量算符的各分量表达式。
P60什么是角量子数、磁量子数？写出相应的本征值表达式及其数值关系。
P63解：),()1(),(ˆ22ϕθϕθlm lm Y l l Y L += ),(),(ˆϕθϕθlmlm z Y m Y L = 其中l 表征角动量的大小，称为角量子数，m 称为磁量子数。
对应于一个l 的值，m 可以取（2l +1）个值，从-l 到+l 。
写出波尔半径的值和氢原子的电离能，可见光能否导致氢原子电离？00.52A a =( 3分) 113.6e V E =( 3分)可见光的能量不超过3.26eV , 这个值小于氢原子的电离能，所以不能引起氢原子电离。
( 4分)写出类氢原子体系的定态薛定谔方程。
P65 写出氢原子能级的表达式及其简并度。
P68 s, p, d, f 态粒子是什么含义？p63关于力学量与算符的关系的基本假定。
P83 写出力学量平均值的积分表达式。
P84 两个算符可对易的充要条件是什么？p89 写出X 方向坐标与动量的不确定关系。
量子力学习题以及课堂练习答案
一.微观粒子的波粒二象性1、在温度下T=0k 附近，钠的价电子能量约为3电子伏特，求其德布罗意波长。
2、求与下列各粒子相关的德布罗意波长。
（1）能量为100电子伏特的自由电子；（2）能量为0.1电子伏特的自由中子；（3）能量为0.1电子伏特，质量为1克的自由粒子； （4）温度T=1k 时，具有动能kTE 23=的氦原子，其中k 为玻尔兹曼常数。
3、若电子和中子的德布罗意波长等于oA 1，试求它们的速度、动量和动能。
4、两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对，如果两电子的能量相等，问要实现这种转化，光子的波长最大是多少？5、设一电子为电势差U 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000oA （可见光）o A 1（x 射线），oA001.0（γ射线）时，加速电子所需的电势差各是多少？二.波函数与薛定谔方程1、设粒子的归一化波函数为 ),,(z y x ϕ，求 （1）在),(dx xx +范围内找到粒子的几率；（2）在),(21y y 范围内找到粒子的几率； （3）在),(21x x 及),(21z z 范围内找到粒子的几率。
2、设粒子的归一化波函数为 ),,(ϕθψr ，求：（1）在球壳),(dr rr +内找到粒子的几率；（2）在),(ϕθ方向的立体角Ωd 内找到粒子的几率； 3、下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？（1）Eti ix Eti ix ex ex t x---+=ψ)()(),(211ψψ[])()(21x x ψψ≠（2）tE i t E i ex ex t x 21)()(),(2--+=ψψψ)(21E E ≠（3）EtiEti ex ex t x)()(),(3ψψ+=ψ-4、对于一维粒子，设 xp i o e xπψ21)0,(=，求 ),(t x ψ。
5、证明在定态中，几率密度和几率流密度均与时间无关。
6、由下列两个定态波函数计算几率流密度。
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量子力学习题集及解答目录第一章量子理论基础 (1)第二章波函数和薛定谔方程 (5)第三章力学量的算符表示 (28)第四章表象理论 (48)第五章近似方法 (60)第六章碰撞理论 (94)第七章自旋和角动量 (102)第八章多体问题 (116)第九章相对论波动方程 (128)第一章 量子理论基础1．设一电子为电势差V 所加速，最后打在靶上，若电子的动能转化为一个光子，求当这光子相应的光波波长分别为5000A （可见光），1A （x 射线）以及0.001A （γ射线）时，加速电子所需的电势差是多少？[解] 电子在电势差V 加速下，得到的能量是eV m =221υ这个能量全部转化为一个光子的能量，即λνυhc h eV m ===221 )(1024.1106.11031063.6419834A e hc V λλλ⨯=⋅⨯⨯⨯⨯==∴--（伏） 当 A 50001=λ时， 48.21=V （伏）A 12=λ时 421024.1⨯=V （伏）A 001.03=λ时 731024.1⨯=V （伏）2．利用普朗克的能量分布函数证明辐射的总能量和绝对温度的四次方成正比，并求比例系数。
[解] 普朗克公式为18/33-⋅=kT hv v e dvc hvd πνρ单位体积辐射的总能量为⎰⎰∞∞-==00/3313T hv v e dv v c h dv U κπρ令kThvy =，则 440333418T T e dy y c h k U y σπ=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰∞ （★） 其中 ⎰∞-=0333418y e dyy c h k πσ （★★）（★）式表明，辐射的总能量U 和绝对温度T 的四次方成正比。
这个公式就是斯忒蕃——玻耳兹曼公式。
其中σ是比例常数，可求出如下：因为)1()1(1121 +++=-=-------y y y y y ye e e e e e ∑∞=-=1n ny edy e y e dy y n ny y ⎰∑⎰∞∞=-∞⎪⎭⎫ ⎝⎛=-013031 令 ny x =，上式成为dx e x n e dy y xn y ⎰∑⎰∞-∞=∞=-03140311 用分部积分法求后一积分，有⎰⎰⎰∞-∞∞--∞∞--+-=+-=0220332333dx xe e x dx e x e x dx e x x xx xx66660=-=+-=∞∞--∞-⎰xx x e dx e xe又因无穷级数 ∑∞==144901n nπ故⎰∞=⨯=-0443159061ππye dy y 因此，比例常数⎰∞-⨯==-=015334533341056.715818ch k e dy y c h k y ππσ尔格/厘米3·度43．求与下列各粒子相关的德布罗意波长：（1）能量为100电子伏的自由电子； （2）能量为0.1电子伏的自由中子； （3）能量为0.1电子伏，质量为1克的质点； （4）温度T =1k 时，具有动能kT E 23=（k 为玻耳兹曼常数）的氦原子。
[解] 德布罗意公式为 ph =λ 因为上述粒子能量都很小，故可用非相对论公式μ22p E = 代入德布罗意公式得 Ehμλ2=（1） 101106.1100-⨯==eV E 尔格，281109-⨯=μ克81028271111023.1106.110921063.62----⨯=⨯⨯⨯⨯⨯-=∴E h μλ厘米=1.23A（2） 132106.11.0-⨯==eV E 尔格，281210918401840-⨯⨯==μμ克A 92.02=∴λ（3） 133106.11.0-⨯==eV E 尔格，13=μ克A 1231017.1-⨯=∴λ（4） 161641004.211038.12323--⨯=⨯⨯⨯==kT E 尔格，2441066.14-⨯⨯=μ克A 6.124=∴λ4．利用玻尔——索末菲的量子化条件求：（1）一维谐振子的能量；（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子轨道的可能半径。
[解] （1）方法一：量子化条件 ⎰=nh pdq ，一维谐振子的能量为222212q p E μωμ+=可化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep上式表明，在相平面中，其轨迹为一椭圆。
两半轴分别为E a μ2=， 22μωEb =这个椭圆的面积为nh vEEEE ab pdq ===⋅==⎰ωπμωμππ2222故 nhv E =上式表明，一维谐振子的能量是量子化的。
方法二：一维谐振子的方程为02=+q qω 其解为 )sin(δω+=t A qdt t A dq )cos(δωω+=而 )cos(δωωμμ+==t A qpnh vA T A dt t A pdq T ===+=∴⎰⎰22)(cos 22220222ωμωμδωωμ而 )(sin 212)(cos 2122222222222δωμωμδωμωμωμ+++=+=t A t A q p Enhv A ==2221μω （2）设磁场方向垂直于电子运动方向，电子受到的洛仑兹力作为它作圆周运动的向心力，于是有R H c e 2υμυ= 故 eHc R υμ=这时因为没有考虑量子化，因此R 是连续的。
应用玻耳—索末菲量子化条件⎰=nh pdq这时，我们把电子作圆周运动的半径转过的角度ϕ作为广义坐标，则对应的广义动量为角动量υμϕμϕμϕϕϕR R R H P ==⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=∂∂=22221 ⎰⎰====∴πϕππμυϕυμϕ20222nh R c eH R d R d PeH cn eH nhc R ==∴π2 其中 π2h=可见电子轨道的可能半径是不连续的。
讨论：①由本题的结果看出，玻尔—索末菲轨道量子化条件和普朗克能量量子化的要求是一致的。
②求解本题的（1）时，利用方法（一）在计算上比方法（二）简单，但方法（一）只在比较简单的情况，例如能直接看出相空间等能面的形状时才能应用。
而方法（二）虽然比较麻烦，但更有一般性。
③本题所得的谐振子能量，与由量子力学得出的能量hv n E n ⎪⎭⎫⎝⎛+=21相比较，我们发现由玻尔—索末菲量子化条件不能得出零点能hv E 210=。
但能级间的间隔则完全相同。
前一事实说明玻尔理论的不彻底性，它是经典力学加上量子化，它所得出的结果与由微观世界所遵从的规律——量子力学得出的结果有偏离就不足为奇了，这也说明旧量子论必须由量子力学来代替。
第二章 波函数和薛定谔议程1．一维运动的粒子处在⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x Axe x x 当当λψ的状态，其中0>λ，求：（1）粒子动量的几率分布函数； （2）粒子动量的平均值。
[解] 首先将ψ归一化，求归一化系数A 。
⎰⎰∞-∞==02220*1dx e x A dx x λψψ⎰⎰∞-∞-∞-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=02202022222121dx xe A dx xe ex A x xxλλλλλλ32022242λλλA xe A x =-=∞- 2/32λ=∴A⎩⎨⎧<≥=-0,00,2)(2/3x x xe x x 当当λλψ（1）动量的几率分布函数是⎰∞∞---=dx ex t p c px Et i)(2/1)()2(),(ψπ注意到Et i e中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有⎰∞∞---=dx ex t p c px i)()2(),(21ψπ ⎰∞+--=0)(21)2(dx xeA xp iλπ令 dx p i dy x p i y ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λλ, 代入上式得⎰∞----=0221)()2(),(dyye p i A t p c yλπ2222322)(2⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+=p p i p i Aλλπλλπ （2）()⎰⎰∞∞-∞∞-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-==pdp p p i p i pcdp c p 4222223*/2λλλπλ ()()⎰⎰∞∞-∞∞-+=+=222223322223/2p dp p pdpλπλλπλ 0122233=∞-∞+-=p λπλ动量p 的平均值0=p 的结果从物理上看是显然的，因为对本题),(t p c 说来，粒子动量是p -和是p 的几率是相同的。
讨论：①一维的傅里叶变换的系数是π21而不是()2/321π。
②傅里叶变换式中的t 可看成参变量。
因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，即相当于0=t 的情况，变换式的形式保持不变。
③不难证明，若)(x ψ是归一化的，则经傅里叶变换得到)(p c 也是归一化的。
2．设在0=t 时，粒子的状态为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。
[解] 方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。
任意状态)(x ψ总可以分解为单色平面波的线性和，即px ieP c xπ∑ψ21)()(⋅=，展开式的系数2)(P c 表示粒子的动量为p 时的几率。
知道了几率分布函数后，就可按照22)()(P c p P c P ∑∑=求平均值。
⎪⎭⎫ ⎝⎛+=kx kx A x cos 21sin )(2ψ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--22122ikx ikx ikx ikx e e i e e A ()ikx ikx ikx ikx e e e e A--+++--=2422 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++--=-=-- ππππππ2222222402ikx ikx p ikx ikx ikx e e e e e A 在0=t 时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为x p i eπ21，与)(x ψ的展开式比较可知，处在)(x ψ状态的粒子动量可以取k p k p p k p k p -===-==54321,,0,2,2，而 π2421Ac c -==， ππ24,22543A c c A c ===粒子动量的平均值为 0)11211(162)0422(162222222222=++++-+⨯+-==A k k k k A c p c p nnn ππ∑∑ A 可由归一化条件确定2221)11411(1621A A c nππ∑=∴++++==故π1=A粒子动能的平均值为)044(2116222222222222k k k k A c T c T nn n ++++⋅==μπ∑∑μ2285k =。
方法二：直接积分法⎰∞∞--=dx ex p c px i)(21)(ψπ⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰⎰∞∞-∞∞-+--x d ex d eAx p k i x p k i )2()2(212124πππ ⎰⎰∞∞-∞∞---⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+x d e x d e xp k i xip)(2122ππ⎭⎬⎫⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰∞∞-+- x d e xp k i )(21π{)(2)2()2(24p k p k p Aδδδπ-++-=})()(k p k p +---δδ根据δ函数的性质，只有当δ函数的宗量等于零时，δ函数方不为零，故p 的可能值有k p k p p k p k p -===-==54321,,0,2,2而 πππ24,22,2454321A c c A c A c c -==-=== 则有π1,0==A p 及 2285k T μ=。