专题五代数的实际应用-2021年中考数学一轮考点复习练习

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2021年中考数学专题复习-代数式与整式(学案)

中考数学一轮专题复习学案02 代数式与整式代数式：像2(x －1)，abc ，s t，a 2等式子都是代数式，单独一个数或字母也是代数式．【例1】苹果的单价为a 元/千克，香蕉的单价为b 元/千克，买2千克苹果和3千克香蕉共需（）A ．（a +b ）元B ．（3a +2b ）元C ．（2a +3b ）元D ．5（a +b ）元【考点】列代数式．【分析】用单价乘数量得出，买2千克苹果和3千克香蕉的总价，再进一步相加即可．【解答】解：单价为a 元的苹果2千克用去2a 元，单价为b 元的香蕉3千克用去3b 元，共用去：（2a +3b ）元．故选：C ．【点评】此题主要考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．代数式的值：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系，计算得出的结果，叫做代数式的值．知识点1：代数式知识点梳理典型例题知识点2：代数式的值知识点梳理【例2】（2020•重庆B 卷5/26）已知a +b =4，则代数式122a b ++的值为（） A ．3B ．1C ．0D ．-1【考点】代数式求值【分析】将a +b 的值代入原式11()2a b =++计算可得．【解答】解：当a +b =4时，原式11()2a b =++ 1142=+⨯ 12=+3=，故选：A ．【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是得出待求代数式与已知等式间的特点，利用整体代入的办法进行计算．典型例题整式思维导图知识点3：整式的加减知识点梳理1.整式加减的实质：合并同类项2.同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项.如3a与a是同类项，3a与a2不是同类项；所有的常数项是同类项3.合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，如3a+a＝4a，当同类项的系数互为相反数时，合并后的结果为0.4.去括号法则：a+(b+c)=a+ b+c，即括号前是“＋”号时，括号内各项均不变号；a-(b+c)=a- b-c，即括号前是“－”号时，括号内各项均变号.典型例题【例3】（2020•通辽2/26）下列说法不正确的是（）A．2a是2个数a的和B．2a是2和数a的积C．2a是单项式D．2a是偶数【考点】单项式；合并同类项【分析】分别根据乘法的定义，单项式的定义以及偶数的定义逐一判断即可．【解答】解：A、2a = a + a，即2a是2个数a的和，说法正确；B、2a是2和数a的积，说法正确；C、2a是单项式，说法正确；D、2a不一定是偶数，故原说法错误．故选：D．【点评】本题主要考查了单项式的定义，偶数的定义，熟记相关定义是解答本题的关键．【例4】（2020•天津13/25）计算x+7x-5x的结果等于．【考点】合并同类项【分析】根据合并同类项法则求解即可．【解答】解：x+7x-5x=(1+7-5)x=3x．故答案为：3x．【点评】本题考查了合并同类项，解答本题的关键是掌握合并同类项的法则．1.同底数幂乘法：底数不变，指数相加，a m ·a n = a m +n ，如 a 3 ·a -2= a .2.同底数幂除法：底数不变，指数相减，a m ÷a n = a m -n （a ≠0）3.幂的乘方：底数不变，指数相乘，(a m )n = a mn4.积的乘方：各因式乘方的积，(a m b n )p =____a mp b np __，如(-2a 2b )3= -8a 6b 3 ,(-ab )2= a 2b 2【例5】（2020•重庆B 卷3/26）计算a ·a 2结果正确的是（）A ．aB ．a 2C ．a 3D ．a 4【考点】同底数幂的乘法【分析】根据同底数幂的乘法法则计算即可．【解答】解：a ·a 2= a 1+2= a 3．故选：C ．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．【例6】（2020•河北11/26）若k 为正整数，则()k k kk k k ++⋯+=个（）A ．2k kB ．21k k +C ．2k kD ．2k k +【考点】幂的乘方与积的乘方【分析】根据乘方的定义及幂的运算法则即可求解．【解答】解：22()()()k k k k k kk k k k k k k ++⋯+=⋅==个，故选：A ．【点评】本题考查了幂的乘方．解题的关键掌握幂的乘方的运算法则：底数不变，指数相乘．【例7】（2020•陕西5/25）计算：232()3x y -=（） A ．632x y - B ．63827x y C ．63827x y - D ．54827x y - 【考点】幂的乘方与积的乘方知识点4：幂的运算知识点梳理典型例题【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积．【解答】解：23323363228()()()3327x y x y x y -=-=-．故选：C ．【点评】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．【例8】（2020•吉林4/26）下列运算正确的是（）A ．a 2·a 3=a 6B ．(a 2)3=a 5C ．(2a )2=2a 2D ．a 3÷a 2=a【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，对各选项计算后利用排除法求解．【解答】解：A 、a 2·a 3=a 5，原计算错误，故此选项不符合题意；B 、(a 2)3=a 6，原计算错误，故此选项不符合题意；C 、(2a )2=4a 2，原计算错误，故此选项不符合题意；D 、a 3÷a 2=a ，原计算正确，故此选项符合题意．故选：D ．【点评】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．1.单项式乘以单项式：把系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它们的指数作为积的一个因式，如：2x 3y ·3x 2=2 ·3x 3+2y =6x 5y2.单项式乘以多项式：m (a +b )= ma +mb3.多项式乘以多项式：(m +n )(a +b )= ma +mb +na +nb4.（1）乘法公式：(a +b )(a -b )= a 2-b 2 ；(a +b )2= a 2+2ab +b 2 ；(a -b )2= a 2-2ab +b 2 ；（2）常见的变形有：a 2+b 2=(a +b )2-2ab ；(a -b )2=(a +b )2-4ab ；(-a -b )2=(a +b )2；知识点5：整式的乘除知识点梳理(-a+b)2=(a-b)25.单项式除以单项式：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．如：(3x)2y÷x= 9xy典型例题【例9】（2020•山西3/23）下列运算正确的是（）A．3a+2a=5a2B．-8a2÷4a=2a C．-(2a2)3=-8a6D．4a3·3a2=12a6【考点】整式的混合运算【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方和积的乘方运算法则、整式的乘除运算法则分别计算得出答案．【解答】解：A、3a+2a=5a，故此选项错误；B、-8a2÷4a=-2a，故此选项错误；C、-(2a2)3=-8a6，正确；D、4a3·3a2=12a5，故此选项错误；故选：C．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．【例10】（2020•北京19/28）已知5x2﹣x﹣1＝0，求代数式（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用乘法公式以及单项式乘多项式运算法则化简，进而把已知代入得出答案．【解答】解：（3x+2）（3x﹣2）+x（x﹣2）＝9x2﹣4+x2﹣2x＝10x2﹣2x﹣4，∵5x2﹣x﹣1＝0，∴5x2﹣x＝1，∴原式＝2（5x2﹣x）﹣4＝﹣2．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．1．（2015•云南12/23）一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a台这样的电视机需要元．2.（2020•广东12/25）如果单项式3m x y与35nx y-是同类项，那么m n+=．3.（2020•广东14/25）已知5x y=-，2xy=，计算334x y xy+-的值为．4.（2020•山西12/23）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形⋯按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．5.（2020•呼和浩特15/24）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，⋯⋯，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．6.（2020•赤峰18/26）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O起跳，落点为A1，点A1表示的数为1；第二次从点A1起跳，落点为OA1的中点A2，第三次从A2点起跳，落点为OA2的中点A3；如此跳跃下去…最后落点为OA2019的中点A2020，则点A2020表示的数为．7.（2020•重庆A卷4/26）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为()巩固训练A ．10B ．15C ．18D ．218.（2020•重庆B 卷8/26）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为( )A ．18B ．19C ．20D ．219.（2019·天津市13/25）计算x 5•x 的结果等于．10.（2019·安徽省2/23）计算a 3•（﹣a ）的结果是（）A ．a 2B ．﹣a 2C ．a 4D ．﹣a 411.（2020•青海13/28）下面是某同学在一次测试中的计算：①22352m n mn mn -=-；②3262(2)4a b a b a b -=-；③325()a a =；④32()()a a a -÷-=．其中运算正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个12.（2020•江西2/23）下列计算正确的是( )A ．325a a a +=B ．32a a a -=C ．326a a a =D ．32a a a ÷=13.（2020•河北2/26）墨迹覆盖了等式“3x 2(0)x x x =≠”中的运算符号，则覆盖的是( )A ．+B ．-C ．⨯D ．÷14.（2020•宁夏1/26）下列各式中正确的是( )A ．326a a a =B ．321ab ab -=C ．261213a a a +=+D ．2(3)3a a a a -=-15.（2020•新疆兵团3/23）下列运算正确的是( )A ．236x x x =B ．633x x x ÷=C ．3362x x x +=D ．33(2)6x x -=-16.（2020•新疆兵团16/23）计算：20(1)|(3)π-++--17.（2020•重庆A 卷13/26）计算：0(1)|2|π-+-= ．18.（2020•上海7/25）计算：23a ab = ．19.（2020•安徽2/23）计算63()a a -÷的结果是( )A ．3a -B ．2a -C ．3aD ．2a20.（2020•海南17（2）/22）计算：(2)(2)(1)a a a a +--+．21.（2020•兴安盟•呼伦贝尔2/26）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -=22.（2020•通辽14/26）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n +个正方形比第n 个正方形多个小正方形．23.（2020•鄂尔多斯4/24）下列计算错误的是（）A ．（﹣3ab 2）2＝9a 2b 4B ．﹣6a 3b ÷3ab ＝﹣2a 2C ．（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0D ．（x +1）2＝x 2+124.（2020•吉林15/26）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中a25.（2020•江西7/23）计算：2(1)a -= ．26.（2020•广东18/25）先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x =y =．27.（2020•重庆B 卷19（1）/26）计算：2()(3)x y y x y ++-．28.（2020•重庆A 卷19（1）/26）计算：2()(2)x y x x y ++-．1．（2015•云南12/23）一台电视机原价是2500元，现按原价的8折出售，则购买a 台这样的电视机需要元．【考点】列代数式．【分析】本题要从“以8折出售”入手，从而知现价为2500×80%=2000（元），易得购买a 台这样的电视机的费用为a 2000元；所以解题的关键是理解打折问题在实际问题中应用.【解答】解：a a 2000%802500=⨯（元）.故答案：a 2000.2.（2020•广东12/25）如果单项式3m x y 与35n x y -是同类项，那么m n += ．【考点】同类项【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得3m =，1n =，再代入代数式计算即可．【解答】解：单项式3m x y 与35n x y -是同类项，3m ∴=，1n =，314m n ∴+=+=．故答案为：4．【点评】本题考查同类项的定义，正确根据同类项的定义得到m ，n 的值是解题的关键．3.（2020•广东14/25）已知5x y =-，2xy =，计算334x y xy +-的值为．【考点】代数式求值【分析】由5x y =-得出5x y +=，再将5x y +=、2xy =代入原式3()4x y xy =+-计算可得．【解答】解：5x y =-，5x y ∴+=，当5x y +=，2xy =时，原式3()4x y xy =+-3542=⨯-⨯ 巩固训练解析=-158=，7故答案为：7．【点评】本题主要考查代数式求值，解题的关键是能观察到待求代数式的特点，得到其中包含式子x y+、xy及整体代入思想的运用．4.（2020•山西12/23）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形⋯按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【考点】列代数式；规律型：图形的变化类【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解答】解：第1个图案有4个三角形，即4311=⨯+第2个图案有7个三角形，即7321=⨯+第3个图案有10个三角形，即10331=⨯+⋯按此规律摆下去，第n个图案有(31)n+个三角形．故答案为：(31)n+．【点评】本题考查了规律型-图形的变化类、列代数式，解决本题的关键是根据图形的变化寻找规律．5.（2020•呼和浩特15/24）“书法艺术课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，⋯⋯，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数超过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．【考点】规律型：数字的变化类【分析】首先得出5月1日~5月30日，包括四个完整的星期，分别分析5月30日分别为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．【解答】解：5月1日~5月30日共30天，包括四个完整的星期，5∴月1日~5月28日写的张数为：7(17)41122⨯+⨯=，若5月30日为星期一，所写张数为11271120++=，若5月30日为星期二，所写张数为11212120++<，若5月30日为星期三，所写张数为11223120++<，若5月30日为星期四，所写张数为11234120++<，若5月30日为星期五，所写张数为11245120++>，若5月30日为星期六，所写张数为11256120++>，若5月30日为星期日，所写张数为11267120++>，故5月30日可能为星期五、六、日．故答案为：112；五、六、日．【点评】此题主要考查了规律型：数字的变化类和推理与论证，根据题意分别得出5月30日时所有的可能是解题关键．6.（2020•赤峰18/26）一个电子跳蚤在数轴上做跳跃运动．第一次从原点O 起跳，落点为A 1，点A 1表示的数为1；第二次从点A 1起跳，落点为OA 1的中点A 2，第三次从A 2点起跳，落点为OA 2的中点A 3；如此跳跃下去…最后落点为OA 2019的中点A 2020，则点A 2020表示的数为．【考点】数轴；规律型：图形的变化类．【答案】201912．【分析】根据题意，得第一次跳动到A 1处，离原点为1个单位，第二次跳到OA 1的中点A 2处，即在离原点12个单位处，第三次从A 2点跳动到A 3处，即距离原点（12）2处，依此即可求解．【解答】解：第一次落点为A 1处，点A 1表示的数为1；第二次落点为OA 1的中点A 2，点A 2表示的数为12；第三次落点为OA 2的中点A 3，点A 3表示的数为（12）2； …则点A 2020表示的数为（12）2019，即点A 2020表示的数为201912；故答案为：201912．【点评】本题考查了数轴，是一道找规律的题目，本题注意根据线段中点的定义表示出各个点表示的数的规律．7.（2020•重庆A 卷4/26）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，⋯，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为( )A ．10B ．15C ．18D ．21【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n ++++⋯⋯+，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解答】解：第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数312=+，第③个图案中黑色三角形的个数6123=++，⋯⋯∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1234515++++=，故选：B ．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出规律：第n 个图案中黑色三角形的个数为1234n ++++⋯⋯+．8.（2020•重庆B 卷8/26）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，⋯，按此规律排列下去，第⑥个图形中实心圆点的个数为( )A．18B．19C．20D．21【考点】规律型：图形的变化类【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n个图形中实心圆点的个数为++，据此求解可得．n n22【解答】解：第①个图形中实心圆点的个数5213=⨯+，第②个图形中实心圆点的个数8224=⨯+，第③个图形中实心圆点的个数11235=⨯+，⋯⋯∴第⑥个图形中实心圆点的个数为26820⨯+=，故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中实心圆点的个数为22++的规律．n n9.（2019·天津市13/25）计算x5•x的结果等于．【考点】同底数幂的乘法．【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即可解答．【解答】解：x5•x＝x6．故答案为：x6【点评】本题考查了同底数幂的乘法，解决本题的关键是熟记同底数幂相乘，底数不变，指数相加．10.（2019·安徽省2/23）计算a3•（﹣a）的结果是（）A．a2 B．﹣a2C．a4D．﹣a4【考点】同底数幂的乘法；单项式乘单项式．【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则求出答案．【解答】解：a3•（﹣a）＝﹣a3•a＝﹣a4．故选：D．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．同底数幂相乘，底数不变，指数相加．11.（2020•青海13/28）下面是某同学在一次测试中的计算：①22352m n mn mn -=-；②3262(2)4a b a b a b -=-；③325()a a =；④32()()a a a -÷-=．其中运算正确的个数为( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【考点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方【分析】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．【解答】解：①23m n 与25mn 不是同类项，不能合并，计算错误；②32522(2)4a b a b a b -=-，计算错误；③32326()a a a ⨯==，计算错误；④3312()()()a a a a --÷-=-=，计算正确；故选：D ．【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．12.（2020•江西2/23）下列计算正确的是( )A ．325a a a +=B ．32a a a -=C ．326a a a =D ．32a a a ÷=【考点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项【分析】根据同类项定义；同底数幂相乘，底数不变指数相加；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A 、2a 与3a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；B 、3a 与2a 不是同类项，不能合并，故本选项错误；C 、应为325a a a =，故本选项错误；D 、32a a a ÷=，正确．故选：D ．【点评】本题主要考查同底数幂的乘法，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键，不是同类项的一定不能合并．13.（2020•河北2/26）墨迹覆盖了等式“3x 2(0)x x x =≠”中的运算符号，则覆盖的是( )A ．+B ．-C ．⨯D ．÷ 【考点】同底数幂的除法【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：3x 2(0)x x x =≠，∴覆盖的是：÷．故选：D ．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．14.（2020•宁夏1/26）下列各式中正确的是( )A ．326a a a =B ．321ab ab -=C ．261213a a a +=+D ．2(3)3a a a a -=-【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；单项式乘多项式【分析】利用整式的计算法则对四个选项一一验证即可得出答案．【解答】解：A 、325a a a =，所以A 错误；B 、32ab ab ab -=，所以B 错误；C 、2611233a a a a+=+，所以C 错误； D 、2(3)3a a a a -=-，所以D 正确；故选：D ．【点评】本题考查整式乘除法的简单计算，注意区分同底合并同类项的时候字母部分不变，系数进行计算，只有当系数计算结果为0时，整体为0．数幂相乘，底数不变，指数相加，而幂的乘方是底数不变，指数相乘，这两个要区分清楚；15.（2020•新疆兵团3/23）下列运算正确的是( )A ．236x x x =B ．633x x x ÷=C ．3362x x x +=D ．33(2)6x x -=-【考点】幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；合并同类项；同底数幂的除法【分析】根据同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项进行判断即可．【解答】解：A 、235x x x =，选项错误．不符合题意；B 、633x x x ÷=，选项正确，符合题意；C 、3332x x x +=，选项错误，不符合题意；D 、33(2)8x x -=-，选项错误，不符合题意；故选：B ．【点评】此题考查同底数幂的乘法、除法和积的乘方以及合并同类项，关键是根据法则解答．16.（2020•新疆兵团16/23）计算：20(1)|(3)π-++-【考点】零指数幂；实数的运算；绝对值【分析】原式先计算乘方运算，再算加减运算即可得到结果．【解答】解：20(1)|(3)112π-++-+-=【点评】此题考查了实数的运算，绝对值、零指数幂、熟练掌握运算法则是解本题的关键．17.（2020•重庆A 卷13/26）计算：0(1)|2|π-+-= ．【考点】绝对值；零指数幂【分析】根据零次幂和绝对值的意义，进行计算即可．【解答】解：0(1)|2|123π-+-=+=，故答案为：3．【点评】本题考查零次幂和绝对值的性质，掌握零次幂和绝对值的性质是正确计算的前提．18.（2020•上海7/25）计算：23a ab = ．【考点】单项式乘单项式【分析】根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式，计算即可．【解答】解：2236a ab a b =．故答案为：26a b ．【点评】本题考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键．19.（2020•安徽2/23）计算63()a a -÷的结果是( )A ．3a -B ．2a -C ．3aD ．2a【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方【分析】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：原式633a a a =÷=．故选：C ．【点评】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．20.（2020•海南17（2）/22）计算：(2)(2)(1)a a a a +--+．【考点】平方差公式；单项式乘多项式【分析】根据平方差公式、单项式乘以多项式的计算方法计算即可．【解答】解：(2)(2)(1)a a a a +--+224a a a =---4a =--．【点评】本题考查平方差公式、单项式乘以多项式的计算方法，掌握运算方法和平方差公式的结构特征是正确计算的前提．21.（2020•兴安盟•呼伦贝尔2/26）下列计算正确的是( )A ．236a a a =B ．222()x y x y +=+C ．5226()a a a ÷=D ．22(3)9xy xy -=【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法【分析】根据同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方法则逐项判断即可．【解答】解：A 、235a a a =，故选项错误；B 、222()2x y x y xy +=++，故选项错误；C 、5226()a a a ÷=，故选项正确；D 、22(3)9xy xy -=，故选项错误；故选：C ．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，同底数幂的除法，幂的乘方与积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．22.（2020•通辽14/26）如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形⋯，按这样的方法拼成的第(1)n +个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【考点】规律型：图形的变化类【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解答】解：第1个正方形需要4个小正方形，242=，第2个正方形需要9个小正方形，293=，第3个正方形需要16个小正方形，2164=，⋯，∴第1n +个正方形有2(11)n ++个小正方形，第n 个正方形有2(1)n +个小正方形，故拼成的第1n +个正方形比第n 个正方形多22(2)(1)23n n n +-+=+个小正方形．故答案为：23n +．【点评】此题考查的知识点是图形数字的变化类问题，关键是通过图形找出规律，按规律求解．23.（2020•鄂尔多斯4/24）下列计算错误的是（）A ．（﹣3ab 2）2＝9a 2b 4B ．﹣6a 3b ÷3ab ＝﹣2a 2C ．（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0D ．（x +1）2＝x 2+1【考点】整式的混合运算．【答案】D【分析】直接利用积的乘方运算法则以及整式的除法运算法则、完全平方公式分别化简得出答案．【解答】解：A 、（﹣3ab 2）2＝9a 2b 4，原式计算正确，不合题意；B 、﹣6a 3b ÷3ab ＝﹣2a 2，原式计算正确，不合题意；C 、（a 2）3﹣（﹣a 3）2＝0，原式计算正确，不合题意；D 、（x +1）2＝x 2+2x +1，原式计算错误，符合题意．故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．24.（2020•吉林15/26）先化简，再求值：2(1)(1)1a a a ++--，其中a【考点】整式的混合运算-化简求值【分析】根据整式的混合运算顺序进行化简，再代入值即可．【解答】解：原式22211a a a a =+++--3a =．当a =原式=【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先进行整式的化简，再代入值．25.（2020•江西7/23）计算：2(1)a -= ．【考点】完全平方公式【分析】直接利用完全平方公式计算即可解答．【解答】解：22(1)21a a a -=-+．故答案为：221a a -+．【点评】本题考查了完全平方公式，熟记公式是解题的关键．完全平方公式：222()2a b a ab b ±=±+．26.（2020•广东18/25）先化简，再求值：22()()()2x y x y x y x +++--，其中x =y =．【考点】整式的混合运算-化简求值【分析】根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．【解答】解：22()()()2x y x y x y x +++--2222222x xy y x y x =+++--2xy =，当x y =原式2==【点评】本题考查了整式的混合运算-化简求值，解决本题的关键是先化简，再代入值求解．27.（2020•重庆B 卷19（1）/26）计算：2()(3)x y y x y ++-．【考点】单项式乘多项式；完全平方公式【分析】利用完全平方公式和多项式的乘法，进行计算即可；【解答】解：2()(3)x y y x y ++-22223x xy y xy y =+++-，25x xy =+．【点评】本题考查整式的四则运算，掌握计算法则是正确计算的前提．28.（2020•重庆A 卷19（1）/26）计算：2()(2)x y x x y ++-．【考点】完全平方公式；单项式乘多项式【分析】根据整式的四则运算的法则进行计算即可；【解答】解：2()(2)x y x x y ++-22222x xy y x xy =+++-，222x y =+．【点评】考查整式的四则混合运算，掌握计算法则是正确计算的前提．。

2021年中考一轮复习九年级数学专题：找规律之图形变化类(五)

2021年九年级数学中考复习——专题：找规律之图形变化类（五）1．为了庆祝元旦，某商场在门前的空地上用花盆排列出了如图所示的图案，第1图案中10个花盆，第2个图案中有19个花盆，……，按此规律排列下去．（1）第3个图案中有个花盆，第4个图案中有个花盆；（2）根据上述规律，求出第n个图案中花盆的个数（用含n的代数式表示）．（3）是否存在恰好由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案？若存在，说明它是第几个图案？若不存在，请说明理由．2．请观察图形，并探究和解决下列问题：（1）在第n个图形中，每一横行共有个正方形，每一竖列共有个正方形；（2）在铺设第n个图形时，共有个正方形；（3）某工人需用黑白两种木板按图铺设地面，如果每块黑板成本为8元，每块白木板成本6元，铺设当n＝5的图形时，共需花多少钱购买木板？3．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．4．问题提出：如图，图①是一张由三个边长为1的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张a×b的方格纸（a×b的方格纸指边长分别为a，b的矩形，被分成a×b个边长为1的小正方形，其中a≥2，b≥2，且a，b为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？问题探究：为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．探究一：把图①放置在2×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图③，对于2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有4种不同的放置方法．探究二：把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图④，在3×2的方格纸中，共可以找到2个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有2×4＝8种不同的放置方法．探究三：把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑤，在a×2的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．探究四：把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？如图⑥，在a×3的方格纸中，共可以找到个位置不同的2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有种不同的放置方法．……问题解决：把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）问题拓展：如图，图⑦是一个由4个棱长为1的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为a，b，c（a≥2，b≥2，c≥2，且a，b，c是正整数）的长方体，被分成了a×b×c 个棱长为1的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到个图⑦这样的几何体．5．下列图形都是由同样大小的空心圆圈按照一定规律所组成的，其中图（1）中一共有7个空心圆圈；图（2）中一共有11个空心圆圈；图（3）中一共有15个空心圆圈；…（1）图（4）一共应有个空心圆圈．（2）按此规律排列下去，猜想图（n）中一共有多少个空心圆圈？用含n的代数式表示（不用说理）．（3）是否存在图（x）中一共有2018个空心圆圈？若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由．6．某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛如图所示，请仔细观察并找出规律，解答下列问题：（1）按照此规律，摆第10个图时，需根火柴棒；摆第n个图时所需根火柴棒；（2）用1202根火柴棒能按此规律摆出一个“金鱼”图案吗？若能，说明是第几个图形；若不能，请说明理由．7．观察下图：我们把正方形中所有x、y相加得到的多项式称为“正方形多项式”，如第1个图形中的“正方形多项式”为4x+y，第2个图形中的“正方形多项式”为9x+4y，遵循以上规律，解答下列问题：（1）第4个图形中的“正方形多项式”为，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为．（2）如果第1个图形中的“正方形多项式”为5，第4个图形中的“正方形多项式”为2．①求x和y的值；②求“正方形多项式”的值Q的最大值（或最小值），并说明是第几个图形．8．用火柴棒按下列方式搭建三角形：三角形个数 1 2 3 4 …火柴棒根数 3 5 7 9 …（1）当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是多少？（2）求当n＝100时，有多少根火柴棒？（3）当火柴棒的根数为2017时，三角形的个数是多少？9．用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如下规律摆放：（1）第⑤个图案有张白色小正方形纸片；（2）第n个图案有张白色小正方形纸片；（3）第几个图案中白色纸片和黑色纸片共有81张？10．如图，第一次将正方形纸片剪成4个一样的小正方形纸片，第2次将右下角的那个小正方形纸片按同样的方法剪成4个小正方形纸片，第3次，将第2次剪出的小正方形纸片右下角的那个小正方形纸片再剪成4个一样的小正方形纸片，…如此循环进行下去．（1）请将下表补充完整．剪的次数 1 2 3 4 5 …总共得到的小正方形纸片的个数 4 …（2）如果剪n次，总共能得到多少个小正方形纸片？（3）如果剪100次，总共得到多少个小正方形纸片？（4）如果想得到361个小正方形纸片，需要剪几次？参考答案1．解：（1）第1个图案中有10个花盆，第2个图案中有2×10﹣1＝19个花盆，第3个图案中有3×10﹣2＝28个花盆，第4个图案中有4×10﹣3＝37个花盆；（2）第n个图案中有10n﹣（n﹣1）＝9n+1个花盆；（3）假设存在恰好由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案，则有9n+1＝2018，解得：n＝，不是整数，所以不存在由2018个花盆排列出的具有上述规律的图案；故答案为：28；372．解：（1）第n个图形的木板的每行有（n+3）个，每列有n+2个，故答案为：（n+3）、（n+2）；（2）所用木板的总块数（n+2）（n+3），故答案为：（n+2）（n+3）；（3）当n＝5时，有白木板5×（5+1）＝30块，黑木板7×8﹣30＝26块，共需花费26×8+30×6＝388（元）．3．解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴第n次可得（4n+1）个正方形，∴第100次可得正方形：4×100+1＝401（个）；故答案为：401；（2）由（1）得：第n次可得（4n+1）个正方形，故答案为：4n+1；（3）不能，∵4n+1＝2020，解得：n＝504.75，∴n不是整数，∴不能将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形．4．解：探究三：根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）个位置不同的 2×2方格，根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a﹣1）×4＝（4a﹣4）种不同的放置方法；故答案为a﹣1，4a﹣4；探究四：与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a﹣1）条边长为2的线段，同理，边长为3，则有3﹣1＝2条边长为2的线段，所以在a×3的方格中，可以找到2（a﹣1）＝（2a﹣2）个位置不同的2×2方格，根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a﹣2）×4＝（8a﹣8）种不同的放置方法．故答案为2a﹣2，8a﹣8；问题解决：在a×b的方格纸中，共可以找到（a﹣1）（b﹣1）个位置不同的2×2方格，依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a﹣1）（b﹣1）种不同的放置方法；问题拓展：发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a﹣1）、（b﹣1）、（c﹣1）条边长为2的线段，所以在a×b×c的长方体共可以找到（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）位置不同的2×2×2的正方体，再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）个图⑦这样的几何体；故答案为8（a﹣1）（b﹣1）（c﹣1）．5．解：（1）第（1）个图形中最下面有2个圆，上面有1+3+1个圆；第（2）个图形中最下面有3个圆，上面有2+4+2个圆，第（3）个图形中最下面有4个圆，上面有3+5+3个圆，那么可得第（4）个图形最下面有5个圆，上面有4+6+4个圆，所以5+4+6+4＝19；故答案为：19；（2）图（n）中一共有n+1+n+n+2+n＝4n+3个空心圆圈；（3）不存在，理由是：根据题意4x+3＝2018，解得：x＝503，不是整数，所以不存在图（x）中一共有2018个空心圆圈．6．解：（1）由图可得，第一幅图的火柴数为：2+6×1＝8，第二幅图的火柴数为：2+6×2＝14，第三幅图的火柴数为：2+6×3＝20，则第10个图的火柴数为：2+6×10＝62，第n个图的火柴数为：2+6n，故答案为：62，（6n+2）；（2）用1202根火柴棒能按此规律摆出一个“金鱼”图案，令6n+2＝1202，解得，n＝200，答：是第200个图形．7．解：（1）∵第1个图形中“正方形多项式”为：4x+y，第2个图形中“正方形多项式”为：9x+4y，第3个图形中“正方形多项式”为：16x+9y，∴第4个图形中的“正方形多项式”为25x+16y，第n（n为正整数）个图形中的“正方形多项式”为（n+1）2x+n2y，故答案为：25x+16y，（n+1）2x+n2y；（2）①依题意，得，解得：；②Q＝（n+1）2x+n2y＝﹣n2+4n+2＝﹣（n﹣2）2+6，当n＝2时，Q最大值为6，∴第2个图形中，“正方形多项式”的值最大，最大值为6．8．解：（1）当三角形的个数为1时，需要的火柴棒根数为：1+2＝3，当三角形的个数为2时，需要的火柴棒根数为：1+2×2＝5，当三角形的个数为3时，需要的火柴棒根数为：1+2×3＝7，当三角形的个数为4时，需要的火柴棒根数为：1+2×4＝9，…当三角形的个数为n时，火柴棒的根数是：1+2n；（2）当n＝100时，1+2n＝1+2×100＝201，即当n＝100时，有201根火柴棒；（3）令1+2n＝2017，解得，n＝1008，答：当火柴棒的根数为2017时，三角形的个数是1008．9．解：（1）∵第1个图形中白色纸片的数量4＝1+3×1，第2个图形中白色纸片的数量7＝1+3×2，第3个图形中白色纸片的数量10＝1+3×3，……∴第5个图片中白色纸片的数量为1+3×5＝16，故答案为：16；（2）由（1）知，第n个图案中白色纸片的数量为1+3n，故答案为：3n+1；（3）设第n个图案中共有81张纸片，由3n+1+n＝81得n＝20，即第20个图案中共有81张纸片．10．解：（1）填表如下：剪的次数 1 2 3 4 5 正方形个数 4 7 10 13 16 （2）如果剪了n次，共剪出（3n+1）个小正方形；（3）如果剪了100次，共剪出3×100+1＝301个小正方形；（4）依题意有3n+1＝361，解得：n﹣120．答：需要剪120次．。

中考数学复习考点题型专题练习05 一次方程(组)与一元二次方程

中考数学复习考点题型专题练习专题05 一次方程（组）与一元二次方程一．选择题1．（2022·内蒙古包头）若12,x x 是方程2230x x --=的两个实数根，则212x x ⋅的值为（）A ．3或9-B ．3-或9C ．3或6-D ．3-或62．（2022·黑龙江）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．93．（2022·四川雅安）若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（）A ．﹣3B ．0C ．3D ．94．（2022·贵州黔东南）已知关于x 的一元二次方程220x x a --=的两根分别记为1x ，2x ，若11x =-，则2212a x x --的值为（） A ．7 B ．7- C ．6 D ．6-5．（2022·广西梧州）一元二次方程2310x x -+=的根的情况（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法确定6．（2022·湖北武汉）若关于x 的一元二次方程222410x mx m m -+--=有两个实数根1x ，2x ，且()()121222217x x x x ++-=，则m =（）A ．2或6B ．2或8C ．2D ．67．（2022·湖南郴州）一元二次方程2210x x +-=的根的情况是（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根8．（2022·广西贵港）若2x =-是一元二次方程220x x m ++=的一个根，则方程的另一个根及m 的值分别是（）A ．0，2-B ．0，0C ．2-，2-D ．2-，09．（2022·北京）若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（）A ．4-B ．14-C ．14D ．4 10．（2022·山东临沂）方程22240x x --=的根是（）A ．16x =，24x =B ．16x =，24x =-C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-11．（2022·黑龙江牡丹江）下列方程没有实数根的是（）A ．2410x x +=B ．23830x x +-=C ．2230x x -+=D ．()()2312x x --=12．（2022·海南）若代数式1x +的值为6，则x 等于（）A ．5B ．5-C ．7D ．7-13．（2022·广西贺州）某餐厅为了追求时间效率，推出一种液体“沙漏”免单方案（即点单完成后，开始倒转“沙漏”， “沙漏”漏完前，客人所点的菜需全部上桌，否则该桌免费用餐）．“沙漏”是由一个圆锥体和一个圆柱体相通连接而成．某次计时前如图（1）所示，已知圆锥体底面半径是6cm ，高是6cm ；圆柱体底面半径是3cm ，液体高是7cm ．计时结束后如图（2）所示，求此时“沙漏”中液体的高度为（）A．2cm B．21cm4C．4cm D．5cm14.（2022·黑龙江）国家“双减”政策实施后，某校开展了丰富多彩的社团活动．某班同学报名参加书法和围棋两个社团，班长为参加社团的同学去商场购买毛笔和围棋（两种都购买）共花费360元．其中毛笔每支15元，围棋每副20元，共有多少种购买方案？（）A．5B．6C．7D．815．（2022·辽宁营口）我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》一书是中国较早的数学著作之一，书中记载一道问题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”题意是：快马每天走240里，慢马每天走150里，慢马先走12天，试问快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则下列方程正确的是（）A．24015015012x x+=⨯B．24015024012x x-=⨯C．24015024012x x+=⨯D．24015015012x x-=⨯16．（2022·广西）方程3x＝2x＋7的解是（）A．x＝4B．x＝﹣4C．x＝7D．x＝﹣717．（2022·贵州铜仁）为了增强学生的安全防范意识，某校初三（1）班班委举行了一次安全知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小红一共得70分，则小红答对的个数为（）A ．14B ．15C ．16D ．1718．（2022·广东深圳）张三经营了一家草场，草场里面种植上等草和下等草．他卖五捆上等草的根数减去11根，就等下七捆下等草的根数；卖七捆上等草的根数减去25根，就等于五捆下等草的根数．设上等草一捆为x 根，下等草一捆为y 根，则下列方程正确的是（）A ．51177255y x y x -=⎧⎨-=⎩B ．51177255x y x y +=⎧⎨+=⎩C ．51177255x y x y -=⎧⎨-=⎩D ．71155257x y x y-=⎧⎨-=⎩ 19．（2022·贵州贵阳）在同一平面直角坐标系中，一次函数y ax b =+与()0y mx n a m =+<<的图象如图所示，小星根据图象得到如下结论：①在一次函数y mx n =+的图象中，y 的值随着x 值的增大而增大；②方程组y ax b y mx n -=⎧⎨-=⎩的解为32x y =-⎧⎨=⎩； ③方程0mx n +=的解为2x =；④当0x =时，1ax b +=-．其中结论正确的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．420．（2022·广西河池）某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x ．则所列方程为( )A ．30（1+x ）2＝50B ．30（1﹣x ）2＝50C ．30（1+x 2）＝50D ．30（1﹣x 2）＝50二．填空题21．（2022·湖北鄂州）若实数a 、b 分别满足a 2﹣4a +3＝0，b 2﹣4b +3＝0，且a ≠b ，则11a b+的值为 _____．22．（2022·福建）推理是数学的基本思维方式、若推理过程不严谨，则推理结果可能产生错误．例如，有人声称可以证明“任意一个实数都等于0”，并证明如下：设任意一个实数为x ，令x m =，等式两边都乘以x ，得2x mx =．①等式两边都减2m ，得222x m mx m -=-．②等式两边分别分解因式，得()()()x m x m m x m +-=-．③等式两边都除以x m -，得x m m +=．④等式两边都减m ，得x ＝0.⑤所以任意一个实数都等于0.以上推理过程中，开始出现错误的那一步对应的序号是______．23．（2022·广西梧州）一元二次方程()()270x x -+=的根是_________．24．（2022·四川内江）已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且2112x x x x +＝x 12+2x 2﹣1，则k 的值为 _____．25．（2022·广东深圳）已知一元二次方程260x x m ++=有两个相等的实数根，则m 的值为________________．26．（2022·上海）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知5、6月的增长率相同，则增长率为_____．27．（2022·山东威海）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn ＝_____．28．（2022·广西贺州）若实数m ，n满足50m n --∣∣，则3m n +=__________．29．（2022·广东）若1x =是方程220x x a -+=的根，则=a ____________．30．（2022·江苏无锡）二元一次方程组321221x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为________． 31．（2022·四川雅安）已知12x y =⎧⎨=⎩是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 _____． 32．（2022·广西）阅读材料：整体代值是数学中常用的方法．例如“已知32a b -=，求代数式621a b --的值．”可以这样解：()6212312213a b a b --=--=⨯-=．根据阅读材料，解决问题：若2x =是关于x 的一元一次方程3ax b +=的解，则代数式2244421a ab b a b ++++-的值是________．33．（2022·内蒙古呼和浩特）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了_______千克糯米；设某人的付款金额为x 元，购买量为y 千克，则购买量y 关于付款金额(10)x x >的函数解析式为______．34．（2022·山东潍坊）方程组2313320x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为___________． 35．（2022·贵州贵阳）“方程”二字最早见于我国《九章算术》这部经典著作中，该书的第八章名为“方程”如：从左到右列出的算筹数分别表示方程中未知数x ，y 的系数与相应的常数项，即可表示方程423x y +=，则表示的方程是_______．36．（2022·吉林长春）《算法统宗》是中国古代重要的数学著作，其中记载：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．其大意为：今有若干人住店，若每间住7人，则余下7人无房可住；若每间住9人，则余下一间无人住，设店中共有x 间房，可求得x 的值为________．37．（2022·湖南长沙）关于的一元二次方程220x x t ++=有两个不相等的实数根，则实数t 的值为___________．38．（2022·江苏泰州）方程2x 2x m 0-+=有两个相等的实数根，则m 的值为__________.39．（2022·湖北武汉）有大小两种货车，3辆大货车与4辆小货车一次可以运货22吨，5辆大货车与2辆小货车一次可以运货25吨，则4辆大货车与3辆小货车一次可以运货___________吨．40．（2022·上海）解方程组2213x y x y +=⎧⎨-=⎩的结果为_____．三．解答题 41．（2022·广东）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？42．（2022·内蒙古赤峰）某学校建立了劳动基地，计划在基地上种植A 、B 两种苗木共6000株，其中A 种苗木的数量比B 种苗木的数量的一半多600株．(1)请问A 、B 两种苗木各多少株？(2)如果学校安排350人同时开始种植这两种苗木，每人每天平均能种植A 种苗木50株或B 种苗木30株，应分别安排多少人种植A 种苗木和B 种苗木，才能确保同时．．完成任务？43．（2022·湖南）中国“最美扶贫高铁”之一的“张吉怀高铁”开通后，张家界到怀化的运行时间由原来的3.5小时缩短至1小时，运行里程缩短了40千米．已知高铁的平均速度比普通列车的平均速度每小时快200千米，求高铁的平均速度．44．（2022·四川广安）某企业下属A、B两厂向甲乙两地运送水泥共520吨，A厂比B 厂少运送20吨，从A厂运往甲乙两地的运费分别为40元/吨和35元/吨，从B厂运往甲乙两地的运费分别为28元/吨和25元/吨．(1)求A、B两厂各运送多少吨水泥?(2)现甲地需要水泥240吨，乙地需要水泥280吨．受条件限制，B厂运往甲地的水泥最多150吨．设从A厂运往甲地a吨水泥，A、B两厂运往甲乙两地的总运费为w元．求w 与a之间的函数关系式，请你为该企业设计一种总运费最低的运输方案，并说明理由45．（2022·广西桂林）解二元一次方程组：13x yx y-=⎧⎨+=⎩．46．（2022·江苏常州）第十四届国际数学教育大会（ICME-14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0~7共8个基本数字．八进制数3745换算成十进制数是3210387848582021⨯+⨯+⨯+⨯=，表示ICME-14的举办年份．(1)八进制数3746换算成十进制数是_______；(2)小华设计了一个n进制数143，换算成十进制数是120，求n的值．47．（2022·江苏泰州）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？48．（2022·黑龙江齐齐哈尔）解方程：22+=+(23)(32)x x49．（2022·贵州贵阳）（1）a，b两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a_______b，ab_______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x2+2x−1=0；②x2−3x=0；③x2−4x=4；④x2−4=0．50．（2022·内蒙古呼和浩特）计算求解：(1)计算112sin45|23-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭︒(2)解方程组451223x yx y+=⎧⎪-⎨+=⎪⎩51．（2022·湖南长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题：(1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”．①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（）②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（）③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（）(2)若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量．52．（2022·四川雅安）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品和5件B商品费用相同，购进3件A商品和1件B商品总费用为360元．(1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）(2)若该商场计划购进A，B两种商品共80件，其中A商品m件．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，求销售完A，B两种商品后获得总利润w（元）与m（件）的函数关系式．53．（2022·海南）我省某村委会根据“十四五”规划的要求，打造乡村品牌，推销有机黑胡椒和有机白胡椒．已知每千克有机黑胡椒比每千克有机白胡椒的售价便宜10元，购买2千克有机黑胡椒和3千克有机白胡椒需付280元，求每千克有机黑胡椒和每千克有机白胡椒的售价．。

2021 年九年级中考数学一轮课时作业5 一次方程组及其应用

12021 年九年级中考数学一轮课时作业5 一次方程(组)及其应用基础夯实1.(2020·重庆A 卷)解一元一次方程12(x+1)=1-13x 时,去分母正确的是( )A.3(x+1)=1-2xB.2(x+1)=1-3xC.2(x+1)=6-3xD.3(x+1)=6-2x2.(2020·黑龙江大兴安岭)母亲节来临,小明去花店为妈妈准备节日礼物.已知康乃馨每支2元,百合每支3元.小明将30元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),小明的购买方案共有( ) A.3种B.4种C.5种D.6种3.(2020·浙江嘉兴、舟山)用加减消元法解二元一次方程组{x +3y =4, ①2x -y =1 ②时,下列方法中无法消元的是( ) A.①×2-② B.②×(-3)-① C.①×(-2)+②D.①-②×324.(2020·黑龙江鹤岗)在抗击疫情网络知识竞赛中,为奖励成绩突出的学生,学校计划用200元钱购买A ,B ,C 三种奖品,每种奖品至少买1个,A 种每个10元,B 种每个20元,C 种每个30元,在购买C 种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下,有多少种购买方案( ) A.12种B.15种C.16种D.14种5.(2020·甘肃武威)暑假期间,某眼镜店开展学生配镜优惠活动,某款式眼镜的广告如图,请你为广告牌填上原价.原价: 元6.(2020·浙江绍兴)若关于x ,y 的二元一次方程组{x +y =2,A =0的解为{x =1,y =1,则多项式A 可以是 (写出一个即可). 7.(2020·甘肃天水)已知a+2b=103,3a+4b=163,则a+b 的值为 . 8.(2020·四川攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组6人,后来重新编组,每组8人,这样就比原来减少2组,问这些学生共有多少人?基础夯实9.(2020·四川泸州)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共30件.其中甲种奖品每件30元,乙种奖品每件20元.(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元,那么这两种奖品分别购买了多少件?(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍,如何购买甲、乙两种奖品,使得总花费最少?310.(2020·内蒙古包头)某商店销售A,B两种商品,A种商品的销售单价比B种商品的销售单价少40元,2件A种商品和3件B种商品的销售总额为820元.(1)求A种商品和B种商品的销售单价分别为多少元?(2)该商店计划购进A,B两种商品共60件,且A,B两种商品的进价总额不超过7 800元,已知A种商品和B种商品的每件进价分别为110元和140元,应如何进货才能使这两种商品全部售出后总获利最多?11.(2020·福建)某公司经营甲、乙两种特产,其中甲特产每吨成本价为10万元,销售价为10.5万元;乙特产每吨成本价为1万元,销售价为1.2万元.由于受有关条件限制,该公司每月这两种特产的销售量之和是100吨,且甲特产的销售量不超过20吨.45(1)若该公司某月销售甲、乙两种特产的总成本为235万元,问这个月该公司分别销售甲、乙两种特产各多少吨?(2)求该公司一个月销售这两种特产所能获得的最大总利润.12.(2020·贵州安顺)第33个国际禁毒日到来之际,贵阳市策划了以“健康人生绿色无毒”为主题的禁毒宣传月活动,某班开展了此项活动的知识竞赛.学习委员为班级购买奖品后与生活委员对话如下:(1)请用方程的知识帮助学习委员计算一下,为什么说学习委员搞错了;(2)学习委员连忙拿出发票,发现的确错了,因为他还买了一本笔记本,但笔记本的单价已模糊不清,只能辨认出单价是小于10元的整数,那么笔记本的单价可能是多少元?13.(2019·广东深圳)端午节前夕,某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽,肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元.(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元?(2)由于粽子畅销,商铺决定再购进这两种粽子共300个,其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍,且每种粽子的进货单价保持不变,若肉粽的销售单价为14元,蜜枣粽的销售单价为6元,试问第二批6购进肉粽多少个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大?第二批粽子的最大利润是多少元?14.(2019·浙江湖州) 某企业承接了27 000件产品的生产任务,计划安排甲、乙两个车间的共50名工人,合作生产20天完成.已知甲、乙两个车间利用现有设备,工人的工作效率为:甲车间每人每天生产25件,乙车间每人每天生产30件.(1)求甲、乙两个车间各有多少名工人参与生产?(2)为了提前完成生产任务,该企业设计了两种方案:方案一甲车间租用先进生产设备,工人的工作效率可提高20%,乙车间维持不变.7方案二乙车间再临时招聘若干名工人(工作效率与原工人相同),甲车间维持不变.设计的这两种方案,企业完成生产任务的时间相同.①求乙车间需临时招聘的工人数;②若甲车间租用设备的租金每天900元,租用期间另需一次性支付运输等费用1 500元;乙车间需支付临时招聘的工人每人每天200元.问:从新增加的费用考虑,应选择哪种方案能更节省开支?请说明理由.8参考答案课时作业5一次方程(组)及其应用1.D解析方程两边都乘以6,得3(x+1)=6-2x,故选D.2.B解析设可以购买x支康乃馨,y支百合,依题意,得2x+3y=30,∴y=10-23x.∵x,y均为正整数,∴{x=3,y=8,{x=6,y=6,{x=9,y=4,{x=12,y=2,∴小明有4种购买方案.3.D解析A.①×2-②可以消元x,不符合题意;B.②×(-3)-①可以消元y,不符合题意;C.①×(-2)+②可以消元x,不符合题意;D.①-②×3无法消元,符合题意.故选D.4.D解析设购买A种奖品m个,购买B种奖品n个,当C种奖品个数为1个时,根据题意得10m+20n+30=200,910整理得m+2n=17,即m=17−y 2.∵m ,n 都是正整数,∴n 分别取1,3,5,7,9,11,13,15; 当C 种奖品个数为2个时, 根据题意得10m+20n+60=200, 整理得m+2n=14,即m=14−n 2.m ,n 都是正整数, ∴n 分别取2,4,6,8,10,12. ∴有8+6=14种购买方案.5.200 解析设原价为x 元,根据题意,得0.8x=160,解得x=200.所以原价为200元.6.解 ∵关于x ,y 的二元一次方程组{x +y =2,A =0的解为{x =1,y =1,而1-1=0,∴多项式A 可以是x-y 答案不唯一.7.1 解析 a+2b=103①,3a+4b=163②,②-①得,2a+2b=2,解得a+b=1.8.解设这些学生共有x 人,根据题意得x6−x8=2,解得x=48.答:这些学生共有48人.9.解(1)设甲购买了x件,乙购买了y件,根据题意得,{x+y=30,30x+20y=800,解得{x=20,y=10.答:甲购买了20件,乙购买了10件.(2)设购买甲奖品a件.则乙奖品为(30-a)件,根据题意可得30-a≤3a,解得a≥152.又因为甲种奖品每件30元,乙种奖品每件20元,总花费=30a+20(30-a)=10a+600,总花费随a的增大而增大,所以当a=8时,总花费最少.答:购买甲奖品8件,乙奖品22件,总花费最少.10.解(1)设A种商品和B种商品的销售单价分别为x元和y元,根据题意可得{x=y-40,2x+3y=820,解得{x=140,y=180,答:A种商品和B种商品的销售单价分别为140元和180元.11(2)设购进A商品m件,则购进B商品(60-m)件,根据题意可得110m+140(60-m)≤7 800,解得m≥20.令总利润为w,则w=[140m+180(60-m)]-[110m+140(60-m)]=-10m+2 400,∵-10<0,w随m的增大而减小,∴当m=20时,获得利润最大,此时60-m=60-20=40.答:A进20件,B进40件时获得利润最大.11.解(1)设这个月该公司销售甲特产x吨,则销售乙特产(100-x)吨, 依题意,得10x+(100-x)=235,解得x=15,则100-x=85,经检验x=15符合题意,答:这个月该公司销售甲特产15吨,乙特产85吨.(2)设一个月销售甲特产m吨,则销售乙特产(100-m)吨,且0≤m≤20.,1213公司获得的总利润w=(10.5-10)m+(1.2-1)(100-m )=0.3m+20, 因为0.3>0,所以w 随着m 的增大而增大,又因为0≤m ≤20,所以当m=20时,公司获得的总利润的最大值为26万元.答:该公司一个月销售这两种特产能获得的最大总利润为26万元.12.解 (1)设单价为6元的钢笔买了x 支,则单价为10元的钢笔买了(100-x )支,根据题意,得6x+10(100-x )=1300-378,解得x=19.5.因为钢笔的数量不可能是小数,所以学习委员搞错了.(2)设笔记本的单价为a 元,根据题意,得6x+10(100-x )+a=1300-378,整理,得x=14a+392. ∵0<a<10,x 随a 的增大而增大,∴19.5<x<22.∵x 取整数,∴x=20,21.当x=20时,a=4×20-78=2;当x=21时,a=4×21-78=6.答:笔记本的单价可能是2元或6元.13.解(1)设肉粽和蜜枣粽的进货单价分别为x,y元,则根据题意可得{50x+30y=620, x-y=6,解此方程组得{x=10, y=4.答:肉粽得进货单价为10元,蜜枣粽得进货单价为4元.(2)设第二批购进肉粽t个,第二批粽子获得利润为W,则W=(14-10)t+(6-4)(300-t)=2t+600∵k=2>0,∴W随t的增大而增大.由题意t≤2(300-t),解得t≤200.∴当t=200时,第二批粽子获得最大利润,最大利润W=2×200+600=1 000,答:第二批购进肉粽200个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大,最大利润为1 000元.14.解(1)设甲车间有x名工人参与生产,乙车间各有y名工人参与生产,由题意得14{x+y=50,20(25x+30y)=27 000,解得{x=30,y=20.答:甲车间有30名工人参与生产,乙车间各有20名工人参与生产.(2)①设方案二中乙车间需临时招聘m名工人,由题意得27 000=27 00030×25+(20+m)×30,解得m=5.经检验,m=5是原方程的解,且符合题意.答:乙车间需临时招聘5名工人.②企业完成生产任务所需的时间为27 00030×25×(1+20%)+20×30=18(天).∴选择方案一需增加的费用为900×18+1 500=17 700(元).选择方案二需增加的费用为5×18×200=18 000(元).∵17 700<18 000,∴选择方案一能更节省开支.1516。

2021年九年级中考数学一轮知识点专练：二次函数的实际应用(含答案)

2021中考数学一轮知识点专练：二次函数的实际应用一、选择题1. 某种服装的销售利润y(万元)与销售数量x(万件)之间满足函数解析式y＝－2x2＋4x＋5，则利润的()A．最大值为5万元B．最大值为7万元C．最小值为5万元D．最小值为7万元2. 某商品进货单价为90元/个，按100元/个出售时，能售出500个，如果这种商品每个每涨价1元，那么其销售量就减少10个，为了获得最大利润，其单价应定为()A．130元/个B．120元/个C．110元/个D．100元/个3. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位:m)与小球运动时间t(单位: s)之间的函数关系如图所示.下列结论:①小球在空中经过的路程是40 m;②小球抛出3秒后，速度越来越快;③小球抛出3秒时速度为0;④小球的高度h=30 m时，t=1.5 s.其中正确的是()A.①④B.①②C.②③④D.②③4. 如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=-(x-80)2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面CD处，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为()A .16米B .米C .16米D .米5. 中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图①)，它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线形钢拱通过吊杆，拉索与主梁相连．最高的钢拱如图②所示，此钢拱(近似看成二次函数的图象——抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于A ，B 两点，拱高为78米(即最高点O 到AB 的距离为78米)，跨径为90米(即AB ＝90米)，以最高点O 为坐标原点，以平行于AB 的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则此抛物线形钢拱的函数解析式为( )A ．y ＝26675x 2 B ．y ＝－26675x 2 C ．y ＝131350x 2D ．y ＝－131350x 26. 如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x -x 2刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画，下列结论错误的是 ( )A .当小球抛出高度达到7.5 m 时，小球距O 点水平距离为3 mB .小球距O 点水平距离超过4 m 时呈下降趋势C .小球落地点距O 点水平距离为7 mD .斜坡的坡度为1∶27. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m )与小球运动时间t(单位：s )之间的函数关系如图所示．有下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m ；②小球抛出3秒后，速度越来越快； ③小球抛出3秒时速度为0；④小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s . 其中正确的是( )A ．①④B ．①②C ．②③④D ．②③8. 在羽毛球比赛中，羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y ＝－14x 2＋bx ＋c 的一部分(如图)，其中出球点B 离地面点O 的距离是1 m ，球落地点A 到点O 的距离是4 m ，那么这条抛物线的解析式是( )A ．y ＝－14x 2＋34x ＋1B ．y ＝－14x 2＋34x －1C ．y ＝－14x 2－34x ＋1D ．y ＝－14x 2－34x －1二、填空题9. 如图，一块矩形土地ABCD 由篱笆围着，并且由一条与CD 边平行的篱笆EF 分开.已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB= m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.10. 竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=.11. 某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门．已知计划中的材料可建墙体总长为27 m，则能建成的饲养室总占地面积最大为________m2.12. 某大学生利用业余时间销售一种进价为60元/件的文化衫，前期了解并整理了销售这种文化衫的相关信息如下：(1)月销量y(件)与售价x(元/件)的关系满足y＝－2x＋400；(2)工商部门限制售价x满足70≤x≤150(计算月利润时不考虑其他成本)．给出下列结论：①这种文化衫的月销量最小为100件；②这种文化衫的月销量最大为260件；③销售这种文化衫的月利润最小为2600元；④销售这种文化衫的月利润最大为9000元．其中正确的是________．(把所有正确结论的序号都填上)13. 某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0)．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t·为正整数．．．．)的增大而增大，a 的取值范围应为________．14. 如图，小明的父亲在相距2 m的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高度都是2.5 m，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1 m的小明距较近的那棵树0.5 m时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点到地面的距离为________m.三、解答题15. 有一个抛物线形的桥洞，桥洞离水面的最大高度BM为3米，跨度OA为6米，以OA所在直线为x轴，O为原点建立平面直角坐标系(如图所示)．(1)请你直接写出O，A，M三点的坐标；(2)一艘小船上平放着一些宽2米且厚度均匀的矩形木板，要使该小船能通过此桥洞，则这些木板最高可堆放多少米(最底层木板与水面在同一平面，不考虑船的高度)?16. (2019•辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y(千克)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？17. 已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图①所示．(1)请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．图①(2)写出批发该种水果的资金金额w(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式；在上图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．(3)经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图②所示．该经销商拟每日售出60 kg以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．图②18. 某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长度为50 m.设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m2).(1)如图①，问饲养室长x为多少时，占地面积y最大?(2)如图②，现要求在图中所示位置留2 m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大.小敏说:“只要饲养室长比(1)中的长多2 m就行了.”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确.2021中考数学一轮知识点专练：二次函数的实际应用-答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】B[解析] 设利润为y元，涨价x元，则有y＝(100＋x－90)(500－10x)＝－10(x－20)2＋9000，故每个商品涨价20元，即单价为120元/个时，获得最大利润．3. 【答案】D[解析]①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误;②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确;③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③正确;④设函数解析式为:h=a(t-3)2+40，把O(0，0)代入得0=a(0-3)2+40，解得a=-，∴函数解析式为h=-(t-3)2+40.把h=30代入解析式得，30=-(t-3)2+40，解得t=4.5或t=1.5，∴小球的高度h=30 m时，t=1.5 s或4.5 s，故④错误，故选D.4. 【答案】B[解析]∵AC⊥x轴，OA=10米，∴点C的横坐标为-10.当x=-10时，y=-(x-80)2+16=+16=-，∴C，∴桥面离水面的高度AC为米.故选B.5. 【答案】B[解析] 设二次函数的解析式为y＝ax2.由题可知，点A的坐标为(－45，－78)，代入解析式可得－78＝a(－45)2，解得a＝－26675，∴二次函数解析式为y＝－26675x2.故选B.6. 【答案】A[解析]根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m时，二次函数y=4x-x2的函数值为7.5，即4x-x2=7.5，解得x1=3，x2=5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O点的水平距离为3 m或5 m，A结论错误;由y=4x-x2，得y=-(x-4)2+8，则抛物线的对称轴为直线x=4，当x>4时，y随x值的增大而减小，B结论正确;联立方程y=4x-x2与y=x，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或7，，C结论正确;由点7，知坡度为∶7=1∶2也可以根据y=x中系数的意义判断坡度为1∶2，D结论正确.故选A.7. 【答案】D[解析] ①由图象知小球在空中达到的最大高度是40 m，故①错误；②小球抛出3秒后，速度越来越快，故②正确；③∵小球抛出3秒时达到最高点，∴速度为0，故③正确； ④设函数解析式为h ＝a(t －3)2＋40，把O(0，0)代入得0＝a(0－3)2＋40. 解得a ＝－409，∴函数解析式为h ＝－409(t －3)2＋40.把h ＝30代入解析式，得30＝－409(t －3)2＋40，解得t ＝4.5或t ＝1.5，∴小球的高度h ＝30 m 时，t ＝1.5 s 或4.5 s ，故④错误．故选D.8. 【答案】A [解析] A ，B 两点的坐标分别为(4，0)，(0，1)，把(4，0)，(0，1)分别代入y＝－14x 2＋bx ＋c ，求出b ，c 的值即可．二、填空题9. 【答案】150 [解析]设AB=x m ，矩形土地ABCD 的面积为y m 2，由题意，得y=x ·=-(x -150)2+33750，∵-<0，∴该函数图象开口向下，当x=150时，该函数有最大值.即AB=150 m 时，矩形土地ABCD 的面积最大.10. 【答案】1.6[解析]设各自抛出后1.1秒时达到相同的最大离地高度h ，则第一个小球的离地高度y=a (t -1.1)2+h (a ≠0)，由题意a (t -1.1)2+h=a (t -1-1.1)2+h ，解得t=1.6.故第一个小球抛出后1.6秒时在空中与第二个小球的离地高度相同.11. 【答案】75[解析] 设与墙垂直的一边的长为x m ，则与墙平行的一边的长为27－(3x －1)＋2＝(30－3x)m.因此饲养室总占地面积S ＝x(30－3x)＝－3x 2＋30x ，∴当x ＝－302×（－3）＝5时，S 最大，S最大值＝－3×52＋30×5＝75.故能建成的饲养室总占地面积最大为75 m 2.12. 【答案】①②③[解析] 由题意知，当70≤x≤150时，y ＝－2x ＋400，∵－2＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝150时，y取得最小值，最小值为100，故①正确；当x＝70时，y取得最大值，最大值为260，故②正确；设销售这种文化衫的月利润为W元，则W＝(x－60)(－2x＋400)＝－2(x－130)2＋9800，∵70≤x≤150，∴当x＝70时，W取得最小值，最小值为－2(70－130)2＋9800＝2600，故③正确；当x＝130时，W取得最大值，最大值为9800，故④错误．故答案为①②③.13. 【答案】0<a≤5【解析】设未来30天每天获得的利润为y，y＝(110－40－t)(20＋4t)－(20＋4t)a化简，得y＝－4t2＋(260－4a)t＋1400－20a，每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为整数)的增大而增大，则－（260－4a）2×（－4）≥30，解得a≤5，又∵a＞0，∴a的取值范围是0＜a≤5.14. 【答案】0.5[解析] 以抛物线的对称轴为纵轴，向上为正，以对称轴与地面的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式可设为y＝ax2＋h.由于抛物线经过点(1，2.5)和(－0.5，1)，于是求得a＝2，h＝0.5.三、解答题15. 【答案】解：(1)O(0，0)，A(6，0)，M(3，3)．(2)设抛物线的函数解析式为y＝a(x－3)2＋3.因为抛物线过点(0，0)，所以0＝a(0－3)2＋3，解得a＝－1 3，所以y＝－13(x－3)2＋3.要使木板堆放最高，根据题意，得点B应是木板宽CD的中点(如图所示)，把x＝2代入y ＝－13(x －3)2＋3，得y ＝83，所以这些木板最高可堆放83米．16. 【答案】(1)设一次函数关系式为(0)y kx b k =+≠，由图象可得，当30x =时，140y =；50x =时，100y =，∴1403010050k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得2200k b =-⎧⎨=⎩， ∴y 与x 之间的关系式为2200(3060)y x x =-+≤≤．(2)设该公司日获利为W 元，由题意得2(30)(2200)4502(65)2000W x x x =--+-=--+，∵20a =-<，∴抛物线开口向下，∵对称轴65x =，∴当65x <时，W 随着x 的增大而增大，∵3060x ≤≤，∴60x =时，W 有最大值，22(6065)200015=90W -⨯-+=最大值．即，销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1950元．17. 【答案】思路分析：思路分析：本题考查了分段函数的意义及构建二次函数求解利润最大问题．解题关键是确定水果资金额w 与批发量n 之间的函数关系式，以及构建销售利润y 与批发量n 之间的函数关系式．利用二次函数求最大利润问题时，需注意①分类讨论．(涨价与降价)②分清每件的利润与每周的销售量，理清价格与它们之间的关系．解图③自变量的取值范围的确定．保证实际问题有意义．④一般是利用二次函数的顶点坐标求最大值，但有时顶点坐标不在取值范围内，注意画图分析．注意所学的思想方法是建立函数关系，用函数的观点、思想去分析实际问题．解：(1)图①表示批发量不少于20 kg 且不多于60 kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60 kg 的该种水果，可按4元/kg 批发.(2)由题意得w ＝⎩⎨⎧5n （20≤n≤60），4n （n ＞60）.图象如图所示．由图可知，资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果.(3)解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量n ＝320－40x ，当n ＞60时，x ＜6.5.由题意，销售利润为y ＝(x －4)(320－40x )＝40(x －4)(8－x )＝40[－(x －6)2＋4]. 从而x ＝6时，y 最大值＝160，此时n ＝80.即经销商应批发80 kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可得最大利润160元.解法二：设日最高销量为x kg (x ＞60)．则由题图②日零售价p 满足x ＝320－40p .于是p ＝320－x 40，销售利润y ＝x (320－x 40－4)＝140x (160－x )＝－140(x －80)2＋160.从而x ＝80时，y 最大值＝160.此时，p ＝6，即经销商应批发80 kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可得最大利润160元.18. 【答案】解:(1)∵y=x ·=-(x -25)2+，∴当x=25时，占地面积y 最大.(2)y=x ·=-(x -26)2+338，∴当x=26时，占地面积y 最大.即当饲养室长为26 m 时，占地面积最大.∵26-25=1≠2， ∴小敏的说法不正确.。

专题05一次方程组及其应用年中考数学母题题源解密广东专用解析版

专题05一次方程（组）及其应用【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文1】（2021·广东广州·中考真题）如图，在数轴上，点A 、B 分别表示a 、b ，且0a b +=，若6AB =，则点A 表示的数为（）A ．3-B ．0C ．3D ．6-【答案】A【分析】由AB 的长度结合A 、B 表示的数互为相反数，即可得出A ，B 表示的数【解析】解：∵0a b +=∴A ，B 两点对应的数互为相反数，∴可设A 表示的数为a ，则B 表示的数为a -，∵6AB =∴6a a --=，解得：3a =-，∴点A 表示的数为-3，故选：A ．【点睛】本题考查了绝对值，相反数的应用，关键是能根据题意得出方程6a a --=．【母题来源】2021年中考广东深圳卷【母题题文2】（2021·广东深圳·中考真题）《九章算术》中有问题：1亩好田是300元，7亩坏田是500元，一人买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，问他买了多少亩好田和坏田？设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，根据题意列方程组得（）A ．100730010000500x y x y +=ìïí+=ïîB ．100500300100007x y x y +=ìïí+=ïîC ．100730010000500x y x y +=ìïí+=ïîD ．100500300100007x y x y +=ìïí+=ïî【答案】B【分析】设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，根据7亩坏田是500元可得每亩坏田的价格，根据好田坏田一共是100亩，花费了10000元列方程组即可得答案．【解析】设一亩好田为x 元，一亩坏田为y 元，∵7亩坏田是500元，∴每亩坏田5007元，∵买了好田坏田一共是100亩，花费了10000元，∴100500300100007x y x y +=ìïí+=ïî，故选：B ．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用，读懂题意，找出等量关系是解题关键．【母题来源】2021年中考广东卷【母题题文3】（2021·广东·中考真题）二元一次方程组2222x y x y +=-ìí+=î的解为___．【答案】22x y =ìí=-î【分析】由加减消元法或代入消元法都可求解．【解析】解：2222x y x y +=-ìí+=î①②，由①式得：22x y =-- ，代入②式，得：2(22)2y y --+= ，解得2y =- ，再将2y =-代入①式，222x-´=-，解得2x=，∴22xy=ìí=-î，故填：22xy=ìí=-î．【点睛】本题考查的是二元一次方程组的基本解法，本题属于基础题，比较简单．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文4】（2021·广东广州·中考真题）民生无小事，枝叶总关情，广东在“我为群众办实事”实践活动中推出“粤菜师傅”、“广东技工”、“南粤家政”三项培训工程，今年计划新增加培训共100万人次（1）若“广东技工”今年计划新增加培训31万人次，“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次是“南粤家政”的2倍，求“南粤家政”今年计划新增加的培训人次；（2）“粤菜师傅”工程开展以来，已累计带动33.6万人次创业就业，据报道，经过“粤菜师傅”项目培训的人员工资稳定提升，已知李某去年的年工资收入为9.6万元，预计李某今年的年工资收入不低于12.48万元，则李某的年工资收入增长率至少要达到多少？【答案】（1）“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）李某的年工资收入增长率至少要达到30%．【分析】（1）设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据今年计划新增加培训共100万人次列出方程求解即可；（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据“今年的年工资收入不低于12.48万元”列出一元一次不等式求解即可．【解析】解：设“南粤家政”今年计划新增加培训人次为x万次，则“粤菜师傅”今年计划新增加培训人次为2x万次，根据题意得，231100x x++=解得，23x=答：“南粤家政”今年计划新增加的培训人次为23万次；（2）设李某的年工资收入增长率为y，根据题意得，9.6(1)12.48y +³解得，0.3y ³答：李某的年工资收入增长率至少要达到30%．【点睛】此题主要考查了一元一次方程以及一元一次不等式的应用，准确找出题目中的数量关系是解答此题的关键．【母题来源】2021年中考广东广州卷【母题题文5】（2021·广东广州·中考真题）解方程组46y x x y =-ìí+=î【答案】51x y =ìí=î【分析】利用代入消元法求解方程即可．【解析】解：46y x x y =-ìí+=î①②把①代入②得(4)6x x +-=，解得5x =把5x =代入①得1y =所以方程组的解为：51x y =ìí=î．【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的解法，仔细观察二元一次方程组的特点，灵活选用代入法或加减法是解题关键．一、一元一次方程1.方程含有未知数的等式叫做方程.2.方程的解能使方程两边相等的未知数的值叫做方程的解.3.等式的性质（1）等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.（2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式.4.一元一次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程，其中方程）为未知数，（0a x 0≠=+b ax 叫做一元一次方程的标准形式，a 是未知数x 的系数，b 是常数项.5.一元一次方程解法的一般步骤整理方程 —— 去分母—— 去括号—— 移项—— 合并同类项——系数化为1——(检验方程的解).二、二元一次方程（组）1.二元一次方程含有两个未知数，并且未知项的最高次数是1的整式方程叫做二元一次方程，它的一般形式是ax+by=c(a≠0，b≠0).2.二元一次方程的解使二元一次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解.3.二元一次方程组两个（或两个以上）二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.4.二元一次方程组的解使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解.5.二元一次方程组的解法①代入消元法；②加减消元法.6.三元一次方程（组）（1）三元一次方程把含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫三元一次方程.（2）三元一次方程组由三个（或三个以上）一次方程组成，并且含有三个未知数的方程组，叫做三元一次方程组.一、单选题1．（2018·河北·模拟预测）设x ，y ，c 是有理数，则下列结论正确的是（）A ．若x y =，则x c y c +=-B ．若x y =，则xc yc=C ．若x y =，则=x y c cD ．若23x y c c =，则23x y =【答案】B 【分析】根据等式的性质逐项分析即可．【解析】解：A 、若x y =，则x c y c +=+，故该选项不正确，不符合题意；B 、若x y =，则xc yc =，故该选项正确，符合题意；C 、若x y =，且0c ≠，则=x y c c，故该选项不正确，不符合题意；D 、若23x y c c=，则32x y =，故该选项不正确，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果仍相等．2．（2021·贵州·一模）已知关于x 的方程()()22426k x k x k -+-=+是一元一次方程，则方程的解为（）A ．-2B ．2C ．-6D ．-1【答案】D【分析】利用一元一次方程的定义确定出k 的值，进而求出k 的值即可．【解析】解：∵方程()()22426k x k x k -+-=+是关于x 的一元一次方程，∴24020k k ì-=í-≠î，解得：k =-2，方程为-4x =-2+6，解得：x =-1，故选：D ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键．3．（2017·江苏江阴·一模）关于x 的方程22x m x -=-得解为3x =，则m 的值为（）A ．5-B ．5C ．7-D ．7【分析】把x的值代入方程计算即可求出m的值．【解析】解：把x=3代入方程得：6-m=3-2，解得：m=5，故选：B．【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．4．（2021·湖南茶陵·模拟预测）在直角坐标系中，点P（m，2—2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【分析】根据m+2-2m=0计算m的值，后判定横坐标，纵坐标的正负求解即可【解析】∵点P（m，2—2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，∴m+2-2m=0，∴m=2，∴2-2m =-2，∴点P位于第四象限，故选D【点睛】本题考查了坐标与象限的关系，利用相反数的性质构造等式计算m的值是解题的关键．=的根为（）5．（2021·广东南海·二模）方程2x xA．0B．1C．1D．22【答案】A【分析】移项、合并同类项，据此求出方程的解是多少即可．解：移项，可得：2x -x =0，合并同类项，可得：x =0．故选：A ．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．6．（2021·重庆·一模）解一元一次方程3(1)1123x x -+=-时，去分母正确的是（）A ．99122x x -=--B ．33122x x -=--C ．99622x x -=--D ．99622x x -=-+【答案】C【分析】根据一元一次方程的解法可直接排除选项．【解析】解：解一元一次方程()311123x x -+=-时，去分母为99622x x -=--；故选C ．【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．7．（2021·山西太原·二模）根据如图所示的程序计算函数y 的值，若输入的x 值是0或8时，输出的y 值相等，则b 等于（）A ．16-B ．10-C ．8-D ．2-【答案】D【分析】先求出x ＝8时y 的值，再将x ＝0、y ＝﹣2代入y ＝2x +b 可得答案．【解析】解：∵当x ＝8时，y ＝6﹣8＝﹣2，∴当x ＝0时，y ＝﹣2，代入y ＝2x +b 得， 2×0+b ＝﹣2，解得：b ＝﹣2，故选：D ．【点睛】本题主要考查待定系数法求解析式，解题的关键是求出对应的函数值．8．（2021·重庆南岸·一模）在解方程13132x x x -++= 时，方程两边同时乘以6，去分母后，正确的是（）A ．2x ﹣1+6x=3（3x+1）B ．2（x ﹣1）+6x=3（3x+1）C ．2（x ﹣1）+x=3（3x+1）D ．（x ﹣1）+x=3（x+1）【答案】B【分析】方程两边同时乘以6，化简得到结果，即可作出判断．【解析】解：方程两边同时乘以6，得：2（x ﹣1）+6x=3（3x+1），故选：B ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的一般步骤及去分母的方法是解题的关键．9．（2020·浙江·模拟预测）若方程3134x +=和方程3106a x --=的解相同，则a 的值为（）A ．3-B ．1-C ．1D ．3【答案】C【分析】先解3134x +=，求出x 的值，代入3106a x --=，然后解关于a 的方程即可．【解析】解：3134x +=，移项、合并同类项得3x=-9，系数化为1，得x=-3，把x=-3代入3106a x --=得，33106a +-=，去分母，得6-3a-3=0，移项，得-3a=3-6，合并同类项，得-3a=-3，系数化为1，得a=1，故选C ．【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义及一元一次方程的解法，能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解；解一元一次方程的基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1．10．（2020·浙江杭州·模拟预测）如果单项式3x 2m y n ＋1与12x 2y m ＋3是同类项，则m 、n 的值为（）A ．m ＝﹣1，n ＝3B ．m ＝1，n ＝3C ．m ＝﹣1，n ＝﹣3D ．m ＝1，n ＝﹣3【答案】B【分析】含有相同的字母，相同字母的指数也分别相等，由此求出m 及n 的值.【解析】∵3x 2m y n ＋1与12x 2y m ＋3是同类项，∴2m ＝2，n ＋1＝m ＋3，∴m ＝1，n ＝3，故选：B.【点睛】此题考查同类项的定义，解方程，熟记同类项的定义由此列出方程是解题的关键.11．（2019·浙江杭州·模拟预测）已知a 、b 、c 满足表格（如图右）中的条件，则a b c ++的值是（）x0122ax 12ax bx c ++56A ．4.5B ．9.5C ． 1.5-D ．无法确定【答案】A【分析】根据表格中所给的自变量和函数值求得系数，再将系数代入所求代数式计算即可得解．【解析】解：∵当0x =时，25ax bx c ++=∴5c =∵当1x =时，21ax =∴1a =∵当2x =时，26ax bx c ++=∴426a b c ++=∴ 1.5b =-∴1 1.55 4.5a bc ++=-+=．故选：A【点睛】本题考查了二次函数的性质、解方程、求代数式的值等，解题的关键是从表格中整理出对应的自变量和函数值．12．（2020·浙江·模拟预测）下列说法正确的是（）①若1x =是关于x 的方程0a bx c ++=的一个解，则0a b c ++=；②在等式33x a b =-两边都除以3，可得x a b =-；③若2b a =，则关于x 的方程0(0)ax b a +=≠的解为12x =-；④在等式a b =两边都除以21x +，可得2211a b x x =++．A ．①③B ．②④C ．①④D ．②③【答案】C【分析】把x=1代入a+bx+c=0得可判断①，根据等式的性质可判断②④，把x 系数化为1，求出解，即判断③，即可判断．【解析】解：①把x=1代入a+bx+c=0得：a+b+c=0，故结论正确；②33x a b =-两边都除以3，可得3b x a =-，结论错误；③方程ax+b=0，移项得：ax=-b ，则x=-b a ，∵b=2a ，∴b a =2，则x=-2，故命题错误；④等式a b =两边都除以21x +，可得2211a b x x =++，结论正确．故选：C ．【点睛】本题考查了方程解的定义及解一元一次方程，解题的关键是掌握方程的解及解方程的步骤．13．（2021·云南·一模）下列图形都是由同样大小的实心圆点按一定规律组成的，其中第①个图形一共有5个实心圆点，第②个图形一共有8个实心圆点，第③个图形一共有11个实心圆点，…，按此规律排列下去，当第n 个图形中实心圆点的个数为104个时，则n 为（）A ．32B ．33C ．34D ．35【答案】C【分析】根据已知图形中实心圆点的个数得出规律：第n 个图形中实心圆点的个数为3n +2，据此列方程求解可得．【解析】解：∵第①个图形中实心圆点的个数：5=2+3×1，第②个图形中实心圆点的个数：8=2+3×2，第③个图形中实心圆点的个数：11=2+3×3，……第n个图形中实心圆点的个数：2+3n32104n+=，解得34n=，故选：C．【点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据已知图形得出第n个图形中实心圆点的个数为3n+2的规律，列方程求解．14．（2021·云南文山·一模）某超市正在热销一种商品，其标价为每件12元，打8折销售后每件可获利2元，该商品每件的进价为（）A．7.6元B．7.7元C．7.8元D．7.9元【答案】A【分析】设该商品每件的进价为x元，根据利润=售价-成本，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】解：设该商品每件的进价为x元，依题意，得：12×0.8-x=2，解得：x=7.6．故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．15．（2021·河北竞秀·一模）我国古代《孙子算经》记载“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是说“每三人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘一辆车，最终有9人无车可乘，问人和车的数量各是多少？”下面四个同学的思考正确的是（）小聪：设共有x人，根据题意得：9232x x--=；小明：设共有x人，根据题意得：9 +232 x x-=小玲：设共有车y辆，根据题意得：3（y﹣2）＝2y+9小丽：设共有车y辆，根据题意得：3（y+2）＝2y+9A．小聪、小丽B．小聪、小明C．小明、小玲D．小明、小丽【答案】C【分析】、分别设人和车的数量为,x y ，根据题意列出方程即可．【解析】设共有x 人，车的数量相等，根据题意得：9+232x x -=，设共有车y 辆，人的数量相等，根据题意得：3（y ﹣2）＝2y +9，结合选项，小明、小玲的为正确解，符合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意设出未知数，列出方程是解题的关键．16．（2021·山西太原·二模）《九章算术》是一部与现代数学的主流思想完全吻合的中国数学经典著作，全书分为九章，在第七章“均衡”中有一题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南悔．今凫雁俱起，问何日相逢？”愈思是：今有野鸭从南海起飞．7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭大雁同时起飞，问经过多少天相逢．利用方程思想解决这一问题时，设经过x 天相遇，根据题意列出的方程是（）A ．()971x -=B ．()971x +=C ．11179x æö+=ç÷èøD ．11179x æö-=ç÷èø【答案】C【分析】根据所设未知数，由野鸭和大雁飞行的速度和乘以飞行时间＝两地之间的距离，即可得出关于x 的一元一次方程．【解析】解：设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x 天相遇，根据题意得：11179x æö+=ç÷èø．故选：C ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．二、填空题17．（2019·宁夏银川·一模）方程组43235x y k x y -=ìí+=î的解中x 与y 的值相等，则k 等于_______．【答案】1【分析】根据x 与y 的值代入，把y =x 代入方程组求出k 的值即可．【解析】解：根据题意得：y =x ，代入方程组得：43235x x x k x -ìí+==î，解得：11x k =ìí=î，故答案为：1．【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．18．（2021·江苏工业园区·二模）已知二元一次方程组2728x y x y +=ìí+=î，则x y -=______．【答案】-1．【分析】将两方程相减可求x y -的值．【解析】解：2728x y x y +=ìí+=î①②①-②可得：1x y -=-，故答案为：-1．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，熟悉相关性质是解题的关键．19．（2021·湖北当阳·一模）若关于x ，y 的方程组2221x y k y x -=-ìí-=î的解满足2021x y +=，则k =______．【答案】2022【分析】将两方程相加，可得k 的式子表示x y +，再由2021x y +=列方程即可得到答案．【解析】解：2221x y k y x -=-ìí-=î①②，①＋②得：1x y k +=-，∵2021x y +=，∴12021k -=，∴2022k =，故答案为：2022．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是用含k 的代数式表示得到x y +，再列方程．20．（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校三模）若a 、b 满足式子（a ﹣2b ）2﹣2（a ﹣2b ）＋|2a ﹣b ﹣5|＝﹣1，则a ﹣b 的值为___．【答案】2【分析】变形后根据非负数的性质求出a 、b 的值，然后代入a ﹣b 计算即可．【解析】解：∵(a ﹣2b )2﹣2(a ﹣2b )＋|2a ﹣b ﹣5|=﹣1，∴(a ﹣2b )2﹣2(a ﹣2b )+1＋|2a ﹣b ﹣5|=0，∴(a ﹣2b -1)2＋|2a ﹣b ﹣5|=0，∴210250a b a b --=ìí--=î，∴31a b =ìí=î，∴a -b =3-1=2，故答案为：2．【点睛】本题考查了非负数的性质，解二元一次方程组，以及求代数式的值，根据非负数的性质求出a 、b 的值是解答本题的关键．21．（2021·河北路南·三模）如图是一个正方体的平面展开图，正方体中相对的面上的数字或代数式互为（1）x 的值为______；（2）2x y -的值为______．【答案】3 12【分析】（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形确定出相对面，再根据相对面上的数字互为相反数列式，即可求出x 、y 的值，（2）把x ，y 的值代入代数式进行计算即可得解．【解析】解：（1）正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“-3”与“2x −3”是相对面，“y ”与“x ”是相对面，∵相对的面上的数字或代数式互为相反数，∴2x −3＋（-3）＝0，x ＋y ＝0，解得x ＝3，y ＝-3，故答案是：3；（2）当x ＝3，y ＝-3时，2x y -=()23312--=，故答案是：12．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，二元一次方程组以及代数式求值，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．22．（2021·山东滨城·模拟预测）已知关于x ，y 的二元一次方程组3292x y x y k -=ìí-=î的解满足x y >，则k 的取值范围______．【答案】9k <【分析】两方程相减可得x -y =9-k ，由x ＞y 知x -y ＞0，据此可得9-k ＞0，解之可得答案．解：两方程相减可得x -y =9-k ，∵x ＞y ，∴x -y ＞0，则9-k ＞0，解得k ＜9，故答案为：k ＜9．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．23．（2021·福建南平·二模）《孙子算经》上有一著名问题就是“物不知数问题”．原文是这么说的：“有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，七七数之余二．问物几何？”把这个问题翻译为：一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，求这个数？请你写出符合条件的一个数是_______________ ．【答案】23【分析】设x =3m +2=5n +3=7b +2，可得351751m n b n =+ìí=+î，可知5n+1是21的倍数，可求n=4时m=7，b =3即可【解析】解:设x =3m +2=5n +3=7b +2351751m n b n =+ìí=+î∴513517n m n b +ì=ïïí+ï=ïî∴5n +1是21的倍数∴n =4时m=7，b =3这个数是x =23．故答案为：23．【点睛】本题考查带余除法，用字母表示数，三元一次方程组，掌握三元一次方程组，用含字母表示的代数式是解24．（2021·浙江余杭·二模）若方程组233x y x y +=ìí-=î的解也是方程x +ky ＝0的解，则k ＝___．【答案】2．【分析】先解方程组，再把方程组的解代入方程x +ky ＝0，解方程即可．【解析】解： 233x y x y +=ìí-=î①②①+②得，36x =，解得2x =，把2x =代入②得，23y -=，解得1y =-，方程组的解为21x y =ìí=-î；代入x +ky ＝0中，得2﹣k ＝0，解得k ＝2．故答案为：2．【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法和一元一次方程的解法，解题关键是熟练运用解方程组的方法求出二元一次方程组的解，并代入解一元一次方程．25．（2021·湖南岳阳·一模）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x 人，羊价为y 元__．【答案】54573x y x y+=ìí+=î【分析】设合伙人数为x 人，羊价为y 元，根据“若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱”，即可得出关于x ，y 的二元一次方程组，此题得解．【解析】解：设合伙人数为x 人，羊价为y 元，依题意，得：54573x y x y +=ìí+=î，故答案为：54573x y x y +=ìí+=î．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．26．（2021·广西宜州·二模）如图，ADF V 中，点B ，C 分别在AD ，AF 上，DC 与BF 交于点E ，若:2:1DE CE =，6DEF S =△，4DBE S =△，则ABC V 的面积=______．【答案】7.5．【分析】观察三角形之间的关系，利用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比，利用已知比例关系进行转化求解．【解析】如下图所示，连接AE ，∵:2:1DE CE =，6DEF S =△，4DBE S =△，∴21DEF CEF DBE CBE S S S S DE CE ===△△△△：：：：,∴116322CEF S S ==´=△△D E F ,114222BEC BDE S S ==´=△△,∴6342AEF DEF ABE DBE S S S S ===△△△△,21ADE AEC S DE S EC ==△△,设ABE S x =△，AEC S y =△，∴ 3AEF AEC CEF S S S y =+=+△△△ ，4ADE ABE DBE S S S x =+=+△△△，由32AEF ABE S =S △△，2ADE AEC S =S △△可得，33242y x x yì+=ïíï+=î ，解得592x y =ìïí=ïî，∴5ABE S =△，92AEC S =△，915527522ABC ABE AEC BEC S S S S =.=+-=+-=△△△△ ．故答案为：7.5．【点睛】本题考查的是等高同高三角形，应用等高或同高的两个三角形的面积之比等于底之比进行求解是本题的关键．27．（2021·山东南区·二模）在我国新冠疫情虽然得到了有效的控制，但防范意识仍不能松懈，小丽去药店购买口罩和酒精消毒湿巾，若买150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾，需付75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾，需付96元．设一只一次性医用口罩x 元，一包酒精消毒湿巾y 元，根据题意可列二元一次方程组：___________．【答案】15010752001296x y x y +=ìí+=î【分析】根据150只一次性口罩和10包酒精消毒湿巾共75元；若买200只一次性口罩和12包酒精消毒湿巾共96元，即可得出关于x 、y 的方程组．【解析】解：依题意得：1501075 2001296x yx y+=ìí+=î，故答案为：1501075 2001296x yx y+=ìí+=î．【点睛】本题考查二元一次方程组的实际问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．28．（2021·重庆·模拟预测）新疆是我国最重要的棉花主产区，棉花的种植面积、总产量、单产量都位居世界首位．新疆的长绒棉品质暖和、透气、舒适，做衣服、被子都属于世界顶级，常年供不应求．长绒棉颜色对比分为白棉1级（记为A），白棉2级（记为B），白棉3级（记为C）．某厂家根据消费需求生产了甲、乙、丙三类被子，每床被子均由A、B、C三种棉花搭配而成，每床被子成本均为棉花成本之和．甲类被子每床由1千克A、0.5千克B、1千克C制成；乙类被子由0.5千克A、1千克B、2千克C制成．经核算，甲类被子每床成本是其A种棉花成本的2倍，且甲、乙、丙三类被子的利润率分别为30%、20%、25%，甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，已知今年第一季度甲类被子的销售量是丙类被子的销售量的2倍，三类被子的总利润率正好与丙类被子的利润率相同，则乙类与丙类被子的销售量之比为___．【答案】8：5【分析】因为A，B，C三种棉花的成本和销售量都不知道，因此可以设成本分别为x、y、z，销售量为2a、b、a．再根据甲类被子每床成本是其A种棉花成本的2倍，表示y、z和x的关系即y+2z=2x，甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，甲的利润率30%，从而可以用x来表示三类被子的成本．最后根据总利润率= -总售价总成本总成本×100%，从而得到a和b的比．【解析】解：设A，B，C三种棉花的成本为x、y、z，则甲、乙被子的成本为x+0.5y+z，0.5x+y+2z．∴x+0.5y+z=2x，即y+2z=2x，∴乙的成本为0.5x+2x=2.5x．∵甲、乙被子的利润率分别为30%、20%，∴甲、乙的售价为2x×（1+30%）=2.6x，2.5x×（1+20%）=3x．∵甲、丙两类被子每床售价之比为13：25，∴2.6x×2513=5x．∴丙的成本为5x÷（1+25%）=4x，∴甲、乙、丙每床被子的利润为0.6x 、0.5x 、x ．设丙类被子的销售量为a ，乙类被子的销售量b ，则甲类被子销量为2a ．∴2.620.52100%25%2 2.54x a bx ax ax bx ax´++´=++，∴b =85a ．即乙类与丙类被子的销售量之比为8：5．故答案为8：5．【点睛】此题考查的是三元一次方程，抓住利润率公式，找到关系式是解题的关键．三、解答题29．（2015·河南·模拟预测）223146x x +--=【答案】0x =【分析】根据一元一次方程的性质，首先去分母，再去括号，再移项并合并同类项，通过计算即可得到答案．【解析】解：∵223146x x +--=∴()()3222312x x +--=∴()364612x x +--=∴364612x x +-+=∴x 0-=，即0x =．【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解．30．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）解方程：1123x x ++=．【答案】45【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．【解析】解：1123x x ++=去分母得：3x +2（x +1）=6，去括号得：3x +2x +2=6，移项合并得：5x =4，系数化为1得：x =45．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤成为去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．31．（2021·浙江开化·一模）（1）计算()()22x y y x y +-+．（2）解方程：3141136x x --=-．【答案】（1）2x ；（2）910x =【分析】（1）先根据完全平方公式和单项式乘以多项式的法则计算，再合并同类项即可；（2）方程按照去分母、去括号、移项合并同类项、系数化1的步骤解答即可．【解析】解：（1）原式222222x xy y xy y x +--==+．（2）去分母，得()()231641x x -=--，去括号，得62641x x -=-+，移项，得64621x x +=++，合并同类项，得109x =，两边同除以10，得910x =．【点睛】本题考查了整式的运算和一元一次方程的解法，属于基础题型，熟练掌握基本知识是解题的关键．32．（2021·浙江衢江·一模）对于方程1132x x --=，某同学解法如下：解：方程两边同乘6，得2x －3（x －1）＝1①去括号，得2x －3x －3＝1②合并同类项，得－x －3＝1③移项，得－x ＝4④∴x ＝－4⑤（1）上述解答过程从第步开始出现错误；（2）请写出正确的解答过程．【答案】（1）①；（2）3x =-，过程见解析．【分析】（1）第①步在去分母的时候，两边同乘以6，但是方程右边没有乘，另外在去括号时没有注意到符号的变化，所以出现错误；（2）注意改正错误，按以上步骤进行即可．【解析】解：（1）方程两边同乘6，得()2316x x --=①∴从第①步开始已经出现错误，故答案是①；（2）解：1132x x --=方程两边同乘6，得()2316x x --=去括号，得2336x x -+=，合并同类项，得36x -+=，移项，合并计算得3x -=解得3x =-．【点睛】本题考查的是解一元一次方程，注意去分母与去括号中常见错误，熟悉相关解法是解题的关键．33．（2021·福建·厦门一中三模）解方程组：2337x y x y +=ìí-=î【答案】21x y =ìí=-î【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．【解析】解：2337x y x y +=ìí-=î①②，①+②得：510x =，解得：2x =，代入①中，解得：1y =-，则原方程组的解是21x y =ìí=-î．【点睛】本题考查解二元一次方程组，解答本题的关键是掌握加减消元法．34．（2021·福建省福州屏东中学二模）解二元一次方程组：3223y x y x -=-ìí+=î【答案】11x y =ìí=î．【分析】由题意，得到32y x =-，然后利用代入消元法解方程组，即可得到答案．【解析】解：3223y x y x -=-ìí+=î①②由①得，32y x =- ③把③代入②得643x x -+=解得：1x =；把1x =代入③得，1y =；∴原二元一次方程组的解为11x y =ìí=î．【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握代入消元法解方程组．35．（2021·广东潮阳·一模）甲、乙两人同解方程组515410ax y x by +=ìí-=-î①②，由于甲看错了方程①中的a ，得到。

2021年九年级数学中考一轮复习《代数式》自主复习达标测评(附答案)

2021年春九年级数学中考一轮复习《代数式》自主复习达标测评（附答案）1．已知f（1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f（3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），…，则f（1）+f（2）+f（3）+…+（2020）的值为（）A．2020B．4040C．4042D．40302．如图所示在一个电子青蛙游戏程序中，电子青蛙只能在标有五个数字点的圆周上跳动．游戏规则：若电子青蛙停在奇数点上，则它下次沿顺时针方向跳两个点；若电子青蛙停在偶数点上，则它下次沿逆时针方向跳一个点．现在电子青蛙若从3这点开始跳，则经过2021次后它停的点对应的数为（）A．5B．3C．2D．13．小明周末从家里去书店，需要先步行一段路程，然后再坐公交车到书店，步行的速度为4千米每小时，汽车的速度为45千米每小时，小明先步行x分钟，再乘车y分钟，则小明家离书店的路程是（）千米．A．45x+4y B．4x+45y C．4x+y D．x+y4．按一定规律排列的单项式：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，……第2020个单项式是（）A．2020a B．﹣2020a C．a2020D．﹣a20205．计算1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2017+2018﹣2019﹣2020的值为（）A．0B．﹣1C．2020D．﹣20206．QQ空间等级是用户资料和身份的象征，按照空间积分划分不同的等级．当用户在10级以上，每个等级与对应的积分有一定的关系．现在知道第10级的积分是90，第11级的积分是160，第12级的积分是250，第13级的积分是360，第14级的积分是490，…若某用户的空间积分为1000，则他的等级是第（）级．A．15B．16C．17D．187．观察下列两行数：1，3，5，7，9，11，13，15，17，…1，4，7，10，13，16，19，22，25，…探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，第n个相同的数是2023，则n等于（）A．337B．338C．339D．3408．有一列数a1，a2，…a n，从第二个数开始，每一个数都等于1与它前面那个数的倒数的差，若a1＝2，则a2020等于（）A．2B．﹣1C．D．20209．已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…以此类推，则a2021的值为（）A．2020B．﹣2020C．﹣1010D．101010．如图，按照所示的运算程序计算：若开始输入的x值为10，则第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，…，第2020次输出的结果为（）A．1B．2C．4D．611．将7张如图①所示的小长方形纸片按图②的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分恰好被分割为两个长方形，面积分别为S1，S2．已知小长方形纸片的宽为a，长为4a，则S2﹣S1＝．（结果用含a的代数式表示）12．如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．13．如图所示，以一根火柴棍为一边，拼成一排由正方形组成的图形，如果图形中含有50个正方形，则需要根火柴棍．14．观察下列式子：a1＝＝﹣；a2＝＝﹣；a3＝＝﹣；a4＝＝﹣；…，按此规律，计算a1+a2+a3+…+a2020＝．15．观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2；…已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，…，2199，2200，若2100＝S，用含S的式子表示这组数据的和是．16．一组按规律排列的式子：，，，，，其中第8个式子是，第n个式子是（用含的n式子表示，n为正整数）．17．已知a表示一个一位数，b表示一个两位数，把a放到b的左边组成一个三位数，则这个三位数可以表示为．18．如果代数式﹣2a2+3b+8的值为1，那么代数式4a2﹣6b+2的值等于．19．某种品牌的彩电降价30%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价为．20．点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足|a+2|+（b﹣3）2＝0．（1）求点A、B所表示的数；（2）点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解．①求线段BC的长；②在数轴上是否存在点P，使P A+PB＝BC？若存在，求出点P对应的数；若不存在，请说明理由．21．下列是一些两位数减法运算：21﹣12＝9，31﹣13＝18，32﹣23＝9，42﹣24＝18，14﹣41＝﹣27，51﹣15＝36，26﹣62＝﹣36，…观察上述算式及其计算结果，对两位数减法运算中的某种特殊形式进行探究：（1）请另外写出一个符合上述规律的算式；（2）用字母表示你所观察到的规律；（3）利用整式的运算说明为什么会有这样的规律；（4）两位数的加法运算中也有类似的规律，请用字母表示该规律．22．（1）观察猜想（直接写出横线处的多项式）（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4，（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝，…（1﹣x）（1+x+x2+…+x n﹣2+x n﹣1）＝．（2）类比探索（直接写出横线处的多项式）a2﹣b2＝（a﹣b）（a+b），a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）（3）应用规律，拓展延伸①32﹣m5＝（2﹣m）•（）．（直接写出横线处的多项式）②计算：1+2+22+…+22018+22019+22020．23．数学中，运用整体思想方法在求代数式的值时非常重要．例如：已知a2+2a＝2，则代数式2a2+4a+3＝2（a2+2a）+3＝2×2+3＝7．请你根据以上材料解答以下问题：（1）若x2﹣3x＝4，求1﹣x2+3x的值．（2）当x＝1时，代数式px3+qx﹣1的值是5，求当x＝﹣1时，代数式px3+qx﹣1的值．（3）当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值为m，直接写出当x＝﹣2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值．（用含m的代数式表示）24．观察下面的等式，发现其中的规律，并解决问题．（1）①1＝12；②1+3＝22；③1+3+5＝32；④1+3+5+7＝42；……请写出这组式子反映的一般结论：1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝．（2）①1＝＝1；②1+2＝＝3；③1+2+3＝＝6；④1+2+3+4＝＝10；……请写出这组式子反映的一般结论：1+2+3+4+…+n＝．（3）根据（1）和（2）中发现的规律求下列各式的值．①A＝1+3+5+7+…+2019②B＝1+2+3+4+…+2020③C＝2+4+6+8+…+2020，并直接写出A，B，C三个式子之间的关系．25．将正方形ABCD（如图1）作如下划分，第1次划分：分别连接正方形ABCD对边的中点（如图2），得线段HF和EG，它们交于点M，此时图2中共有5个正方形；第2次划分：将图2左上角正方形AEMH再划分，得图3，则图3中共有9个正方形；（1）若把左上角的正方形依次划分下去，则第100次划分后，图中共有个正方形；（2）继续划分下去，第n次划分后图中共有个正方形；（3）能否将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形？如果能，请算出是第几次划分，如果不能，需说明理由．参考答案1．解：根据数字的变化可知：f（1）＝2（取1×2计算结果的末位数字），f（2）＝6（取2×3计算结果的末位数字），f（3）＝2（取3×4计算结果的末位数字），f（4）＝0（取4×5计算结果的末位数字），f（5）＝0，f（6）＝2，f（7）＝6，…，发现规律：2，6，2，0，0五个数一个循环，所以2020÷5＝404，所以404（2+6+2+0+0）＝4040，所以f（1）+f（2）+f（3）+…+（2020）的值为4040．故选：B．2．解：第1次跳后落在5上；第2次跳后落在2上；第3次跳后落在1上；第4次跳后落在3上；…4次跳后一个循环，依次在5，2，1，3这4个数上循环，∵2021÷4＝505…1，∴应落在5上．故选：A．3．解：根据题意知，4×+45×＝x+y．故选：D．4．解：∵一列单项式为：a，﹣a2，a3，﹣a4，a5，﹣a6，…，∴第n个单项式为（﹣1）n+1•a n，当n＝2020时，这个单项式是（﹣1）2020+1•a2020＝﹣a2020，故选：D．5．解：∵1+2﹣3﹣4＝﹣4，5+6﹣7﹣8＝﹣4，即每四项结果为﹣4，∵2020÷4＝505，∴1+2﹣3﹣4+5+6﹣7﹣8+…+2013+2014﹣2015﹣2016＝﹣4×505＝﹣2020．故选：D．6．解：根据题意可知：第10级的积分是：90＝9×10＝32×10＝（10﹣7）2×10，第11级的积分是：160＝16×10＝42×10＝（11﹣7）2×10，第12级的积分是：250＝25×10＝52×10＝（12﹣7）2×10，第13级的积分是：360＝36×10＝62×10＝（13﹣7）2×10，第14级的积分是：490＝49×10＝72×10＝（14﹣7）2×10，…，设第n级积分为1000分，则（n﹣7）2×10＝1000，解得n＝17．所以他的等级是第17级．故选：C．7．解：由题目中的数据可知，第一行是一些连续的奇数，第二行奇数个数为奇数，偶数个数为偶数，第二行的第m个数为1+3（m﹣1）＝3m﹣2，令3m﹣2＝2023，得m＝675，∵第一行和第二行第n个相同的数是2023，∴n＝（675+1）÷2＝338，故选：B．8．解：∵a1＝2，∴a2＝1﹣＝；a3＝1﹣2＝﹣1；∴a4＝1﹣（﹣1）＝2；…，2020÷3＝673…1，∴a2020等于2．故选：A．9．解：a1＝0，a2＝﹣|a1+1|＝﹣|0+1|＝﹣1，a3＝﹣|a2+2|＝﹣|﹣1+2|＝﹣1，a4＝﹣|a3+3|＝﹣|﹣1+3|＝﹣2，a5＝﹣|a4+4|＝﹣|﹣2+4|＝﹣2，a6＝﹣|a5+5|＝﹣|﹣2+5|＝﹣3，a7＝﹣|a6+6|＝﹣|﹣3+6|＝﹣3，…以此类推，经过前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即a2n＝﹣n，则a2021＝﹣+1＝﹣1011+1＝﹣1010，故选：C．10．解：根据运算程序可知：开始输入的x值为10，第1次输出的结果为5，第2次输出的结果为8，第3次输出的结果为4，第4次输出的结果为2，第5次输出的结果为1，第6次输出的结果为4，…，发现：从第3次输出的结果开始，4，2，1，三个数循环，所以2020﹣2＝2018，2018÷3＝672…2，所以第2020次输出的结果为2．故选：B．11．解：设长方形ABCD的长为m，则S2﹣S1＝（m﹣3a）×4a﹣（m﹣4a）×4a＝（m﹣3a﹣m+4a）×4a＝a×4a＝4a2．故答案为：4a2．12．解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠MON，∴A1B1＝OA1＝1，同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，……，∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．13．解：1个正方形中一共有4根火柴棍，2个正方形中一共有3+4＝7根火柴棍，3个正方形中一共有3+3+4＝10根火柴棍，…n个正方形中火柴棍的个数是4+3（n﹣1）＝3n+1，图形中含有50个正方形，可得：3×50+1＝151，故答案为：151．14．解：，，，，…，可得：，a1+a2+a3+…+a2020＝＝，故答案为：．15．解：∵2100＝S，∴2100+2101+2102+…+2199+2200＝S+2S+22S+…+299S+2100S＝S（1+2+22+…+299+2100）＝S（1+2100﹣2+2100）＝S（2S﹣1）＝2S2﹣S．故答案为：2S2﹣S．16．解：∵＝（﹣1）2•，﹣＝（﹣1）3•，＝（﹣1）4•，…∴第8个式子是，第n个式子为：（﹣1）n+1•．故答案是：；（﹣1）n+1•．17．解：这个三位数可以表示为100a+b．故答案是：100a+b．18．解：∵﹣2a2+3b+8的值为1，∴﹣2a2+3b+8＝1，∴﹣2a2+3b＝﹣7，∴4a2﹣6b+2＝﹣2（﹣2a2+3b）+2＝﹣2×（﹣7）+2＝14+2＝16故答案为：16．19．解：由题意可得，该品牌彩电每台原价为：a÷（1﹣30%）＝a÷0.7＝元，故答案为：元．20．解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0，∴a+2＝0，b﹣3＝0，解得a＝﹣2，b＝3，即点A，B所表示的数分别为﹣2，3；（2）①，解得x＝﹣6，∴点C表示的数为﹣6，∵点B表示的数为3，∴BC＝3﹣（﹣6）＝3+6＝9，即线段BC的长为9；②存在点P，使P A+PB＝BC，设点P表示的数为m，当m＜﹣2时，（﹣2﹣m）+（3﹣m）＝9，解得m＝﹣4，即当点P表示的数为﹣4时，使得P A+PB＝BC；当﹣2≤m≤3时，[m﹣（﹣2）]+（3﹣m）＝m+2+3﹣m＝5≠9，故当﹣2≤m≤3时，不存在点P使得P A+PB＝BC；当m＞3时，[m﹣（﹣2）]+（m﹣3）＝9，解得m＝5，即当点P表示的数为5时，使得P A+PB＝BC；由上可得，点P表示的数为﹣4或5时，使得P A+PB＝BC．21．解：（1）由题意可得，65﹣56＝9；（2）（10a+b）﹣（10b+a）＝9（a﹣b）；（3）（10a+b）﹣（10b+a）＝10a+b﹣10b﹣a＝9a﹣9b＝9（a﹣b）；（4）（10a+b）+（10b+a）＝11（a+b）．22．解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5；（1﹣x）（1+x+x2+…+x n﹣2+x n﹣1）＝1﹣x n；故答案为：1﹣x5；1﹣x n；（2）a4﹣b4＝（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3），故答案为：a4﹣b4；（3）①32﹣m5＝（2﹣m）•（16+8m+4m2+2m3+m4），故答案为：16+8m+4m2+2m3+m4；②原式＝﹣（1﹣2）（1+2+22+…+22018+22019+22020）＝﹣（1﹣22021）＝22021﹣1．23．解：（1）∵x2﹣3x＝4，∴1﹣x2+3x＝1﹣（x2﹣3x）＝1﹣4＝﹣3．（2）当x＝1时，代数式px3+qx﹣1的值是5，即p+q﹣1＝5，∴p+q＝6．∴当x＝﹣1时，px3+qx﹣1＝﹣p﹣q﹣1＝﹣（p+q）﹣1＝﹣6﹣1＝﹣7．（3）∵当x＝2020时，代数式ax5+bx3+cx+6的值为m，即a×20205+b×20203+c×2020+6＝m，∴a×20205+b×20203+c×2020＝m﹣6，∴x＝﹣2020时，ax5+bx3+cx+6＝a×（﹣2020）5+b×（﹣2020）3+c×（﹣2020）+6＝﹣（a×20205+b×20203+c×2020）+6＝﹣（m﹣6）+6＝﹣m+12．24．解：（1）由题意可得，1+3+5+7+…+（2n﹣1）＝n2，故答案为：n2；（2）由题意可得，1+2+3+4+…+n＝，故答案为：；（3）①A＝1+3+5+7+…+2019＝1+3+5+…+（2×1010﹣1）＝10102＝1020100；②B＝1+2+3+4+…+2020＝＝2021×1010＝2041210；③C＝2+4+6+8+...+2020＝（1+2+3+4+...+2020）﹣（1+3+5+ (2019)＝2041210﹣1020100＝1021110，A，B，C三个式子之间的关系是C＝B﹣A．25．解：（1）∵第一次可得5个正方形，第二次可得9个正方形，第三次可得13个正方形，∴第n次可得（4n+1）个正方形，∴第100次可得正方形：4×100+1＝401（个）；故答案为：401；（2）由（1）得：第n次可得（4n+1）个正方形，故答案为：4n+1；（3）不能，∵4n+1＝2020，解得：n＝504.75，∴n不是整数，∴不能将正方形ABCD划分成有2020个正方形的图形。

第3讲代数式、整式与因式分解-2021年中考数学一轮复习之考点讲解册(广东专用)

第3讲代数式、整式与因式分解知识梳理1.代数式的概念代数式的有关概念：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．2.代数式的值用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入.3.单项式与多项式(1)单项式：只含有数字与字母的积的运算的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.(2)多项式：几个单项式的和叫做多项式，组成这个多项式的每一个单项式都叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数就叫做多项式的次数．注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号.(2)多项式的次数不是所有项的次数之和.4.整式分类整式：单项式和多项式统称为整式．5.同类项所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关.6.整式加减(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．7.幂的运算性质(1)同底数幂相乘：a m·a n＝__a m＋n__(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝__a mn__(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝__a n·b n__(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝__a m－n__(m，n都是整数，a≠0)．8.整式的乘除(1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3;(2)单项式乘多项式:p(a+b+c)=pa+pb+pc;(3)多项式乘多项式:(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq;(4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc;(5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.9.乘法公式(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．10.分解因式概念及基本方法把一个多项式化成几个__整式的积__的形式，叫做因式分解．因式分解与__整式乘法__是互逆变形．因式分解的基本方法(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．(2)公式法：运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．11.分解因式的基本步骤(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提公因式;(2) 如果各项没有公因式，考虑运用公式法;(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,简记为一“提”、二“套”、三“检查”.5年真题命题点1 代数式及求值1．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是a+8b（结果用含a，b代数式表示）．2．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是21．3．（4分）（2017•广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为﹣1．4．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3＝8，则整式x﹣2y的值为（A）A．5B．10C．12D．15命题点2 整式的运算5．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（C）A．b6÷b3＝b2B．b3•b3＝b9C．a2+a2＝2a2D．（a3）3＝a66．（3分）（2017•广东）下列运算正确的是（B）A．a+2a＝3a2B．a3•a2＝a5C．（a4）2＝a6D．a4+a2＝a4命题点3 因式分解7．（4分）（2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1＝（x﹣1）2．8．（4分）（2017•广东）分解因式：a2+a＝a（a+1）9．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）．3年模拟a2b n的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（B）1．（2020•罗湖区一模）若单项式a m﹣1b2与12A．3B．4C．6D．82．（2020•广州模拟）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（B）A．3，2B．3，﹣2C．2，﹣2D．4，﹣23．（2020•花都区一模）下列运算正确的是（D）A．a3+a3＝a6B．a2•a3＝a6C．（ab2）2＝ab4D．5a4b÷ab＝5a34．（2020•白云区一模）下列运算正确的是（B）A．4a﹣a＝4B．a2•a3＝a5C．（a3）3＝a6D．a15+a3＝a5（a≠0）5．（2019•东莞市模拟）已知x+y﹣3＝0，则2x•2y的值是（D）A．6B．﹣6C．1D．886．（2020•东莞市一模）因式分解x 2y ﹣2xy +y 的结果为（ B ）A ．（xy ﹣1）2B ．y （x ﹣1）2C ．y （x 2﹣2x +1）D ．y （x ﹣1）7．（2020•白云区模拟）观察下面三行数：﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；1，7，﹣5，19，﹣29，67，……；﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，……．分别取每行的第10个数，这三个数的和是（ A ）A ．2563B ．2365C ．2167D ．20698．（2019•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a ，宽为b （a ＞b ）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S 1，空白部分的面积为S 2，若S 2＝2S 1，则a ，b 满足（ B ）A ．a =32bB ．a ＝2bC ．a =52bD ．a ＝3b9．（2019•荔湾区模拟）苹果的零售价格是每千克5元，一次购买10千克以上按批发价，批发价格是零售价格的8折，买15千克苹果应该付 60 元．16．（2020•东莞市一模）已知x 2+x ﹣3＝0，则代数式15﹣2x 2﹣2x 的值为 9 ．10．（2020•潮州模拟）已知a 2+b 2＝13，ab ＝6，则（a +b ）2＝ 25 ．11．（2020•龙岗区模拟）如果a 2+b 2+2c 2+2ac ﹣2bc ＝0，那么2a +b﹣1的值为 12 ． 12【解析】a 2+b 2+2c 2+2ac ﹣2bc ＝a 2+2ac +c 2+b 2﹣2bc +c 2＝（a +c ）2+（b ﹣c ）2＝0，∴a +c ＝0，b ﹣c ＝0，解得a ＝﹣c ，b ＝c ，∴2a +b ﹣1＝2﹣c +c ﹣1＝2﹣1=12．故答案为：12． 12．（2020•高州市模拟）用边长为1的小正方形摆成如图所示的塔状图形，按此规律，第2020次所摆图形的周长是 8080 ．8000【解析】∵第一次所摆图形周长是1×4＝4；第二次所摆图形的周长是2×4＝8；第三次所摆图形的周长是3×4＝12；…∴第n次所摆图形的周长是n×4＝4n．第2020次所摆图形的周长是2020×4＝8080．故答案为：8080．13．（2019•黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）．14．（2020•花都区一模）已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．）﹣1，求A的值．（1）化简A；（2）若x2＝（14解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3＝2x2+4x；）﹣1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（2）∵x2＝（14（﹣2）＝8﹣8＝0，即A的值是0或16．。

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专题五代数的实际应用类型方程(组)应用题1．(2019·百色)一艘轮船在相距90千米的甲、乙两地之间匀速航行，从甲地到乙地顺流航行用6小时，逆流航行比顺流航行多用4小时． (1)求该轮船在静水中的速度和水流速度；(2)若在甲、乙两地之间建立丙码头，使该轮船从甲地到丙地和从乙地到丙地所用的航行时间相同，问甲、丙两地相距多少千米．解：(1)设该轮船在静水中的速度是x 千米/小时，水流速度是y 千米/小时．依题意，得⎩⎨⎧6（x ＋y ）＝90，（6＋4）（x －y ）＝90.解得⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3.答：该轮船在静水中的速度是12千米/小时，水流速度是3千米/小时． (2)设甲、丙两地相距a 千米．依题意，得a 12＋3＝90－a 12－3.解得a ＝2254.答：甲、丙两地相距2254千米．2．(2020·扬州)如图，某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水污染．商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况回忆如下：李阿姨：我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%. 王师傅：甲商品比乙商品的数量多40件．请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单．解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为1.5x元/件，根据题意，得7 200 1.5x－3 200x＝40，解得x＝40.经检验，x＝40是原方程的解．∴1.5x＝60，3 200x＝80，7 2001.5x＝120.补全进货单如下：进货单3．(2019·大连)某村2016年的人均收入为20 000元，2018年的人均收入为24 200元．(1)求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；(2)假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少元？解：(1)设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为x.根据题意，得20 000(1＋x)2＝24 200，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(舍去)．答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为10%.(2)24 200×(1＋10%)＝26 620(元)．答：预测2019年该村的人均收入是26 620元．4．“水是生命之源”，市自来水公司为鼓励用户节约用水，按以下规定收取水费：(1)某用户1月份共交水费65元，问1月份用水多少吨；(2)若该用户水表有故障，每次用水只有60%记入用水量，这样在2月份交水费43.2元，该用户2月份实际应交水费多少元？解：(1)∵40×1＋0.2×40＝48＜65，∴用水超过40吨．设1月份用水x吨，由题意得：40×1＋(x－40)×1.5＋0.2x＝65，解得：x＝50.答：1月份用水50吨．(2)∵40×1＋0.2×40＝48＞43.2，∴用水不超过40吨．设2月份实际用水y吨，由题意，得：1×60%y＋0.2×60%y＝43.2，解得：y＝60.40×1＋(60－40)×1.5＋60×0.2＝82(元)．答：该用户2月份实际应交水费82元．5．为发展校园足球运动，雅礼实验中学决定购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等．经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过80套，则购买足球打八折．(1)求每套队服和每个足球的价格是多少；(2)若购买100套队服和a个足球(a>10)，请用含a的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在(2)的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？解：(1)设每个足球的定价是x元，则每套队服是(x＋50)元，根据题意得2(x＋50)＝3x.解得x＝100.x＋50＝150.答：每套队服150元，每个足球100元．(2)到甲商场购买所花的费用为：100a＋14 000(元)，到乙商场购买所花的费用为：80a＋15 000(元)．(3)由100a＋14 000＝80a＋15 000，得：a＝50，所以：①当a＝50时，两家花费一样；②当a<50时，到甲商场购买更合算；③当a>50时，到乙商场购买更合算．类型函数应用题1．(2020·成都)在“新冠”疫情期间，全国人民“众志成城，同心抗疫”，某商家决定将一个月获得的利润全部捐赠给社区用于抗疫．已知商家购进一批产品，成本为10元/件，拟采取线上和线下两种方式进行销售．调查发现，线下的月销量y(单位：件)与线下售价x(单位：元/件，12≤x＜24)满足一次函数的关系，部分数据如下表：(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若线上售价始终比线下每件便宜2元，且线上的月销量固定为400件．试问：当x 为多少时，线上和线下月利润总和达到最大？并求出此时的最大利润．解：(1)设y 与x 的函数关系式为y ＝kx ＋b. 将x ＝12，y ＝1200；x ＝13，y ＝1100代入，得 ⎩⎨⎧1 200＝12k ＋b ，1 100＝13k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－100，b ＝2 400. ∴y 与x 的函数关系式为y ＝－100x ＋2 400.(2)设商家线上和线下的月利润总和为w 元，则可得w ＝400(x －2－10)＋y (x －10)＝－100(x －19)2＋7 300.∴当线下售价定为19元/件时，月利润总和达到最大，此时最大利润为7 300元． 2．(2019·辽阳)我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y (千克)与销售单价x (元)符合一次函数关系，如图所示． (1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？解：(1)设一次函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．由图象可得，当x ＝30时，y ＝140；x ＝50时，y ＝100∴⎩⎨⎧140＝30k ＋b ，100＝50k ＋b.解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200. ∴y 与x 之间的关系式为y ＝－2x ＋200(30≤x ≤60)． (2)设该公司日获利为W 元，由题意得W ＝(x －30)(－2x ＋200)－450＝－2(x －65)2＋2 000. ∵a ＝－2<0，∴抛物线开口向下． ∵对称轴x ＝65，∴当x<65时，W 随着x 的增大而增大． ∵30≤x ≤60，∴x ＝60时，W 有最大值， W 最大值＝－2×(60－65)2＋2 000＝1 950.答：销售单价为每千克60元时日获利最大，最大获利为1 950元．3．(2019·包头)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租，每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每辆货车的日租金比淡季上涨13.据统计，淡季该公司平均每天有10辆货车未出租，日租金总收入为1 500元；旺季所有的货车每天能全部租出，日租金总收入为4 000元．(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆？淡季每辆货车的日租金是多少元？ (2)经市场调查发现，在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元，每天租出去的货车就会减少1辆，不考虑其他因素，每辆货车的日租金上涨多少元时，该出租公司的日租金总收入最高？解：(1)设货车出租公司对外出租的货车共有x 辆．根据题意，得1 500x －10·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＝4 000x .解得x ＝20.经检验：x ＝20是所列方程的根． ∴1 500÷(20－10)＝150(元)．答：货车出租公司对外出租的货车共有20辆，淡季每辆货车的日租金是150元． (2)设当旺季每辆货车的日租金上涨a 元时，货车出租公司的日租金总收入为W 元．根据题意，得W ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a ＋150×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫20－a 20，∴W ＝－120a 2＋10a ＋4 000＝－120(a －100)2＋4 500.∵－120<0，∴当a ＝100时，W 有最大值．答：当旺季每辆货车的日租金上涨100元时，货车出租公司的日租金总收入最高． 4．(2019·舟山)某农作物的生长率p 与温度t (℃)有如下关系：如图，当10≤t ≤25时可近似用函数p ＝150t －15刻画；当25≤t ≤37时可近似用函数p ＝－1160(t －h )2＋0.4刻画． (1)求h 的值．(2)按照经验，该作物提前上市的天数m (天)与生长率p 之间满足已学过的函数关系，部分数据如下：生长率p 0.2 0.25 0.3 0.35 提前上市的天数m (天)51015求：①m 关于p 的函数表达式； ②用含t 的代数式表示m ；③天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．大棚恒温20 ℃时每天的成本为100元，计划该作物30天后上市．现根据市场调查：每提前一天上市售出(一次售完)，销售额可增加600元．因此决定给大棚继续加温，但加温导致成本增加，估测加温到20≤t ≤25时的成本为200元/天，但若欲加温到25<t ≤37，由于要采用特殊方法，成本增加到400元/天．问加温到多少度时增加的利润最大，并说明理由．(注：农作物上市售出后大棚暂停使用)解：(1)把(25，0.3)代入p ＝－1160(t －h )2＋0.4，得0.3＝－1160(25－h )2＋0.4. 解得h ＝29或h ＝21，∵25≤h ≤37，∴h ＝29.(2)①由表格可知m 是p 的一次函数，设m ＝kp ＋b ，把(0.2，0)，(0.3，10)代入，得 ⎩⎨⎧0＝0.2×k ＋b ，10＝0.3×k ＋b.解得⎩⎨⎧k ＝100，b ＝－20. ∴m ＝100p －20.②由(1)得：当10≤t ≤25时，p ＝150t －15，把p 代入m 得∴m ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫150t －15－20＝2t －40；当25≤t ≤37时，p ＝－1160(t －h )2＋0.4， ∴m ＝100⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1160（t －h ）2＋0.4－20＝－58(t －29)2＋20.∴m ＝⎩⎪⎨⎪⎧2t －40，10≤t ≤25－58（t －29）2＋20，25≤t ≤37 ③设利润为y 元，则当20≤t ≤25时，y ＝600m ＋[100×30－200(30－m )]＝800m －3 000＝1 600t －35 000.当20≤t ≤25时，y 随t 的增大而增大，当t ＝25时，最大值y ＝1 600×25－35 000＝5 000. 当25<t ≤37时，y ＝600m ＋[100×30－400(30－m )]＝1 000m －9 000＝－625(t －29)2＋11000.∵a ＝－625<0，∴当t ＝29时，最大值y ＝11 000. ∵11 000>5 000，∴当加温到29 ℃时，利润最大．5．(2019·荆门)为落实“精准扶贫”精神，市农科院专家指导李大爷利用坡前空地种植优质草莓．根据场调查，在草莓上市销售的30天中，其销售价格m (元/公斤)与第x 天之间满足m ＝⎩⎨⎧3x ＋15（1≤x ≤15），－x ＋75（15<x ≤30）.(x 为正整数)，销售量n (公斤)与第x 天之间的函数关系如图所示：如果李大爷的草莓在上市销售期间每天的维护费用为80元． (1)求销售量n 与第x 天之间的函数关系式；(2)求在草莓上市销售的30天中，每天的销售利润y 与第x 天之间的函数关系式；(日销售利润＝日销售额－日维护费) (3)求日销售利润y 的最大值及相应的x.解：(1)当1≤x ≤10时，设n ＝kx ＋b ，由图知可知⎩⎨⎧12＝k ＋b ，30＝10k ＋b.解得⎩⎨⎧k ＝2，b ＝10.∴n ＝2x ＋10.同理，当10<x ≤30时，n ＝－1.4x ＋44.∴n ＝⎩⎨⎧2x ＋10（1≤x ≤10），－1.4x ＋44（10<x ≤30）.(2)∵y ＝mn －80， ∴y ＝⎩⎨⎧（2x ＋10）（3x ＋15）－80（1≤x ≤10），（－1.4x ＋44）（3x ＋15）－80（10<x<15），（－1.4x ＋44）（－x ＋75）－80（15≤x ≤30）.即y ＝⎩⎨⎧6x 2＋60x ＋70（1≤x ≤10），－4.2x 2＋111x ＋580（10<x<15），1.4x 2－149x ＋3 220（15≤x ≤30）.(3)当1≤x ≤10时，∵y ＝6x 2＋60x ＋70的对称轴为x ＝－5. ∴y 的最大值是y 10＝1 270. 当10<x<15时，∵y ＝－4.2x 2＋111x ＋580的对称轴是 x ＝1118.4≈13.2<13.5， ∴y 的最大值是y 13＝1 313.2.当15≤x ≤30时，∵y ＝1.4x 2－149x ＋3 220的对称轴为x ＝1492.8>30. ∴y 的最大值是y 15＝1 300.综上，草莓销售第13天时，日销售利润y 最大，最大值是1 313.2元．类型方程与不等式应用题1．(2020·常州)某水果店销售苹果和梨，购买1千克苹果和3千克梨共需26元，购买2千克苹果和1千克梨共需22元．(1)求每千克苹果和每千克梨的售价；(2)如果购买苹果和梨共15千克，且总价不超过100元，那么最多购买多少千克苹果？解：(1)设每千克苹果的售价为x 元，每千克梨的售价为y 元．依题意，得：⎩⎨⎧x ＋3y ＝26，2x ＋y ＝22.解得：⎩⎨⎧x ＝8，y ＝6.答：每千克苹果的售价为8元，每千克梨的售价为6元．(2)设购买m 千克苹果，则购买(15－m)千克梨．依题意，得：8m ＋6(15－m )≤100.解得：m ≤5.答：最多购买5千克苹果．2．(2019·福建)某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，投资组建了日废水处理量为m 吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．(1)求该车间的日废水处理量m ；(2)为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元/吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．解：(1)∵35×8＋30＝310(元)，310<370，∴m<35.依题意，得30＋8m＋12(35－m)＝370，解得m＝20.答：该车间的日废水处理量为20吨．(2)设一天产生的工业废水量为x吨．①当0<x≤20时，依题意，得8x＋30≤10x，解得x≥15，所以15≤x≤20；②当x>20时，依题意，得12(x－20)＋8×20＋30≤10x.解得x≤25，所以20<x≤25.综上所述，15≤x≤25.故该厂一天产生的工业废水量的范围在15吨到25吨之间．3．(2019·柳州)小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元，已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．(1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元；(2)因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？解：(1)设小本作业本每本x元，则大本作业本每本(x＋0.3)元．依题意，得：8x＋0.3＝5x.解得x＝0.5.经检验，x＝0.5是所列方程的解，且符合题意，∴x＋0.3＝0.8.答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.5元．(2)设大本作业本购买m本，则小本作业本购买2m本．依题意，得：0.8m＋0.5×2m≤15.解得m≤50 6.∵m为正整数，∴m的最大值为8.答：大本作业本最多能购买8本．4．(2019·玉林)某养殖场为了响应党中央的扶贫政策的号召，今年起采用“场内＋农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万kg 与3.6万kg ，现假定该养殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同．(1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率；(2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为0.32万kg.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基础上至少再增加多少个销售点？解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x.根据题意，得2.5(1＋x )2＝3.6，解得x 1＝0.2，x 2＝－2.2(舍去)．答：该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%.(2)设至少再增加y 个销售点，根据题意，得3.6＋0.32y ≥3.6×(1＋20%)．解得y ≥94. ∵y 取整数，∴y 最小取3.答：至少再增加3个销售点．类型方程与函数应用题1．(2019·雅安)某超市计划购进甲、乙两种商品，两种商品的进价、售价如下表：若用360元购进甲种商品的件数与用180元购进乙种商品的件数相同．(1)求甲、乙两种商品的进价是多少元；(2)若超市销售甲、乙两种商品共50件，其中销售甲种商品为a件(a≥30)，设销售完50件甲、乙两种商品的总利润为w元，求w与a之间的函数关系式，并求出w的最小值．解：(1)依题意可得方程：360x＋60＝180x.解得x＝60.经检验x＝60是所列方程的根，∴x＋60＝120.答：甲、乙两种商品的进价分别是120元，60元．(2)∵销售甲种商品为a件(a≥30)，∴销售乙种商品为(50－a)件．根据题意，得：w＝(200－120)a＋(100－60)(50－a)＝40a＋2 000(a≥30)，∵40>0，∴w的值随a值的增大而增大．∴当a＝30时，w最小值＝40×30＋2 000＝3 200(元)．2．为了抗击新冠病毒疫情，全国人民众志成城，守望相助，春节后某地一水果购销商安排15辆汽车装运A，B，C三种水果共120吨销售，所得利润全部捐赠湖北抗疫．已知按计划15辆汽车都要装满且每辆汽车只能装同一种水果，每种水果所用车辆均不少于3辆，汽车对不同水果的运载量和每吨水果销售获利情况如表．(1)设装运A种水果的车辆数为x辆，装运B种水果的车辆数为y辆，根据上表提供的信息，①求y与x之间的函数关系式；②设计车辆的安排方案，并写出每种安排方案；(2)若原有获利不变的情况下，当地政府按每吨50元的标准实行运费补贴，该经销商打算将获利连同补贴全部捐出．问应采用哪种车辆安排方案，可以使这次捐款次数w (元)最大化？捐款w (元)最大是多少？解：(1)①由题意得装C 种水果的车辆是(15－x －y )辆则10x ＋8y ＋6(15－x －y )＝120即10x ＋8y ＋90－6x －6y ＝120则y ＝15－2x②根据题意得：⎩⎨⎧15－2x ≥3x ≥315－x －（15－2x ）≥3解得：3≤x ≤6∵x 为正整数∴x ＝3，4，5，6 则有四种方案：A ，B ，C 三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆；或4辆、7辆、4辆；或5辆、5辆、5辆；或6辆、3辆、6辆(2)w ＝10×800x ＋8×1 200(15－2x )＋6×1 000[]15－x －（15－2x ）＋120×50＝－5 200x ＋150 000根据一次函数的性质，∵k ＝－5 200<0，w 随x 的增大而减小，∴当x ＝3时，w 有最大值，最大值为－5 200×3＋150 000＝134 400(元)应采用A ，B ，C 三种水果的车辆数分别是：3辆、9辆、3辆．3．(2019·绵阳)辰星旅游度假村有甲种风格客房15间，乙种风格客房20间．按现有定价：若全部入住，一天营业额为8 500元；若甲、乙两种风格客房均有10间入住，一天营业额为5 000元．(1)求甲、乙两种客房每间现有定价分别是多少元；(2)度假村以乙种风格客房为例，市场情况调研发现：若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加20元时，就会有两个房间空闲．如果游客居住房间，度假村需对每个房间每天支出80元的各种费用．当每间房间定价为多少元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是多少元？解：(1)设甲、乙两种客房每间现有定价分别是x 元、y 元．根据题意，得⎩⎨⎧15x ＋20y ＝8 500，10x ＋10y ＝5 000.解得⎩⎨⎧x ＝300，y ＝200.答：甲、乙两种客房每间现有定价分别是300元、200元．(2)设每间房间定价为a 元．根据题意，得m ＝(a －80)(20－a －20020×2) ＝－110(a －240)2＋2 560. ∴当a ＝240时，m 取得最大值，此时m ＝2 560.答：当每间房间定价为240元时，乙种风格客房每天的利润m 最大，最大利润是2 560元．4．(2019·潍坊)扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场．与去年相比，今年这种水果的产量增加了1 000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%.(1)已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元；(2)某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克；若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w 元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？(利润计算时，其他费用忽略不计．)解：(1)设今年这种水果每千克的平均批发价是x 元，由题意，得∴100 000（1＋20%）x －100 000x ＋1＝1 000，解得x ＝24或x ＝－5(舍去)．答：今年这种水果每千克的平均批发价是24元．(2)设每千克的平均售价为m 元．依题意，得w ＝(m －24)⎝ ⎛⎭⎪⎫41－m 3×180＋300＝－60(m －35)2＋7 260. ∵－60<0，∴当m ＝35元时，w 取最大值为7 260.答：每千克的平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7 260元．类型方程、不等式与函数应用题1．(2019·内江)某商店准备购进A ，B 两种商品，A 种商品每件的进价比B 种商品每件的进价多20元，用3 000元购进A 种商品和用1 800元购进B 种商品的数量相同．商店将A 种商品每件的售价定为80元，B 种商品每件的售价定为45元．(1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元？(2)商店计划用不超过1 560元的资金购进A ，B 两种商品共40件，其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半，该商店有几种进货方案？(3)端午节期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件A 种商品售价优惠m (10<m<20)元，B 种商品售价不变，在(2)条件下，请设计出销售这40件商品获得总利润最大的进货方案．解：(1)设A 种商品每件的进价是x 元，则B 种商品每件的进价是(x －20)元．由题意，得3 000x ＝1 800x －20.解得x ＝50. 经检验，x ＝50是所列方程的解，且符合题意，50－20＝30.答：A 种商品每件的进价是50元，B 种商品每件的进价是30元．(2)设购买A 种商品a 件，则购买B 种商品(40－a )件．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧50a ＋30（40－a ）≤1560，a ≥40－a 2. 解得403≤a ≤18. ∵a 为正整数，∴a ＝14，15，16，17，18.答：商店共有5种进货方案．(3)设销售A ，B 两种商品共获利w 元．由题意得：w ＝(80－50－m )a ＋(45－30)(40－a )＝(15－m )a ＋600.①当10<m<15时，15－m>0，w 随a 的增大而增大，∴当a ＝18时，获利最大，即此时应购进18件A 商品，22件B 商品；②当m ＝15时，15－m ＝0，w ＝600，(2)中所有进货方案获利相同；③当15<m<20时，15－m<0，w 随a 的增大而减小，∴当a ＝14时，获利最大，即此时应购进14件A 商品，26件B 商品．2.(2019·荆州)为拓展学生视野，促进书本知识与生活实践的深度融合，荆州市某中学组织八年级全体学生前往松滋洈水研学基地开展研学活动．在此次活动中，若每位老师带队14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带队15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：学校计划此次研学活动的租金总费用不超过3 000元，为安全起见，每辆客车上至少要有2名老师．(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？(2)既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为__8__辆；(3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？解：(1)设参加此次研学活动的老师有x 人，学生有y 人．依题意，得⎩⎨⎧14x ＋10＝y ，15x －6＝y.解得⎩⎨⎧x ＝16，y ＝234.答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．(2)∵(234＋16)÷35＝7(辆)……5(人)，16÷2＝8(辆)，∴租车总辆数为8辆；(3)设租甲型客车m 辆，则需租乙型客车(8－m )辆，依题意，得⎩⎨⎧35m ＋30（8－m ）≥234＋16，400m ＋320（8－m ）≤3 000.解得2≤m ≤512. ∵m 为正整数，∴m ＝2，3，4，5.∴共有4种租车方案．设租车总费用为w 元，则w ＝400m ＋320(8－m )＝80m ＋2 560.∵80>0，∴w 的值随m 值的增大而增大．∴当m ＝2时，w 取得最小值，最小值为2 720.∴学校共有4种租车方案，最少租车费用是2 720元．3.某公司生产某环保产品的成本为每件40元，经过市场调研发现：这件产品在未来两个月(60天)的日销员m (件)与时间 t (天)的关系图象如图所示(第一个月，第二个月销量与时间满足一次关系)．未来两个月(60天)该商品每天的价格y (元/件)与时间t (天)的函数关系式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14t ＋80（1≤t ≤30，t 为整数），－13t ＋90（31≤t ≤60，t 为整数），根据以上信息，解决以下问题：(1)请分别确定1≤t ≤30和31≤t ≤60时该产品的日销量m (件)与时间t (天)之间的函数关系式；(2)请预测未来第一个月日销售利润W 1 (元)的最小值是多少？第二个月日销售利润W 2(元)的最大值是多少？(3)为创建“两型社会”，政府决定大力扶持该环保产品的生产和销售，从第二个月开始每销售一件该产品就补贴a 元有了政府补贴以后，第二个月内该产品日销售利润W 3 (元)随时间t (天)的增大而增大，求a 的取值范围．解：(1)设第一个月日销量与时间之间的函数关系式为m 1＝k 1t ＋b 1.当1≤t ≤30时，将t ＝10，m ＝80；t ＝20，m ＝60代入m 1＝k 1t ＋b 1，得：m 1＝－2t ＋100(1≤t ≤30)．设第二个月日销量与时间之间的函数关系式为m 2＝k 2t ＋b 2当31≤t ≤60时，将t ＝40，m ＝80；t ＝60，m ＝100代入m 2＝k 2t ＋b 2，得：m 2＝t ＋40(31≤t ≤60)．∴m ＝⎩⎨⎧－2t ＋100（1≤t ≤30），t ＋40（31≤t ≤60）. (2)当1≤t ≤30时，W 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14t ＋80－40×()－2t ＋100＝－12t 2－55t ＋4 000. 当t ＝30时，日销售利润最小，最小利润为1 900元．当31≤t ≤60时，W 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋90－40×(t ＋40)＝－13t 2＋1103t ＋2 000. 当t ＝55时，日销售利润最大，最大利润为9 0253元． (3)第二个月有了政府补贴后每件产品利润为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋90＋a －40，产品日销量为(t ＋40)，产品日销售利润：W 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13t ＋90＋a －40×(t ＋40)＝－13t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1103＋a t ＋40a ＋2 000 依题意有：－1103－a 2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13>59.5，解得a>3.。