罗尔定理的条件和结论
罗尔定理
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g′(x) ≠ 0,
f ′(ξ ) f (b) − f (a) 则至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 = . g′(ξ ) g(b) − g(a)
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要； 2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式
P (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an (x − x0 ) n
2
n
来近似表达函数f(x)，并使得当x → x0 时， f ( x) − P ( x) n 为比 (x − x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f ( x) − P ( x) n 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
P (x0 ) = f (x0 ) (在x0处相等) n P′ (x0 ) = f ′(x0 ) (在x0处有相同的切线 ) n P′′(x0 ) = f ′′(x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯 曲方向 ) n
1 x ∴ln(1 + x) − ln1 = [(1 + x) −1] = , 1+ ξ 1+ ξ
由于 < ξ < x，因此 0
1 1 < < 1, 1+ x 1+ ξ
进而知
x x < < x, 1+ x 1+ ξ
罗尔定理
2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
高等数学：第五讲 罗尔中值定理
解： （1） f(x)= x3+4x2-7x-10在区间[-1,2]上连续；
1
（2） f (x)=3x2+8x-7在（-1,2）内存在；
（3）f (-1)=f (2)= 0；
所以 f(x)满足定理的三个条件.
令f (x)=3x2+8x-7=0
解得 x 4 37 3
则 37 4 (1 , 2) 就是要找的点，显然有f (ξ)=0.
3
不求函数 y ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数，说明方程
2 f ( x) 0 有几个实根，并指出它们所在的区间．
分析： 该类问题主要说明函数满足罗尔定理的条件，
且寻找函数值相等的若干个点．
本题（1） （2）
所以有
，至少两个根； 为一元二次方程，至多两个根．
．
谢谢
罗尔中值定理
问题引入
y
C
f (a) A
Oa
B
可能不唯一
bx
罗尔中值定理
满足: (1) 在区间 (2) 在区间
上连续 内可导
(3)
在 内至少存在一点
y
f (a) A
y f (x) B
O a
bx
使 f ( ) 0.
补充说明
1）罗尔定理的条件是充分非必要条件．
例如,
y
1
结论成立！
O
π
2
f ( π ) 0. 2
πx
但 y f (x) 在[0, π]上不连续； 不满足定理条件（1）和（明
2) 如果定理三个条件不全满足，结论未必成立． 例如,
y
结论均不成y 立！
O 1x
1 O 1 x
y O 1x
罗尔定理的三个条件
罗尔定理的三个条件
罗尔定理是一个重要的数学定理，它提出了三个条件，可以用来证明一个多项式的有理根。
罗尔定理的三个条件是：1）多项式的系数必须是有理数；2）多项式的最高次幂必须是奇数；3）多项式的常数项必须是正数。
罗尔定理的三个条件是由英国数学家罗尔在1799年提出的，它是一个重要的数学定理，它可以用来证明一个多项式的有理根。
罗尔定理的三个条件是：1）多项式的系数必须是有理数；2）多项式的最高次幂必须是奇数；3）多项式的常数项必须是正数。
罗尔定理的三个条件是基于一个假设，即多项式的有理根是有限的。
这意味着，如果一个多项式满足罗尔定理的三个条件，那么它一定有有限个有理根。
这个定理可以用来证明一个多项式的有理根，而不需要计算出它的所有有理根。
罗尔定理的三个条件也可以用来证明一个多项式的无理根。
如果一个多项式不满足罗尔定理的三个条件，那么它一定有
无限个无理根。
这个定理可以用来证明一个多项式的无理根，而不需要计算出它的所有无理根。
罗尔定理的三个条件是一个重要的数学定理，它可以用来证明一个多项式的有理根和无理根，而不需要计算出它的所有根。
它的三个条件是：1）多项式的系数必须是有理数；2）多项式的最高次幂必须是奇数；3）多项式的常数项必须是正数。
罗尔定理的三个条件是一个重要的数学定理，它可以用来证明一个多项式的有理根和无理根，而不需要计算出它的所有根。
罗尔定理推论证明过程
罗尔定理的推论及其证明过程如下:
罗尔定理推论:
若映射f: Rn → Rm满足以下条件:
(1) f在定义域Rn内可导;
(2) jacobian矩阵Jf(x)在定义域Rn内任意点满秩;
则f为定向同胚映射。
证明:
1. 因为f在定义域Rn内可导,根据隐函数定理,对任意x0∈Rn,都存在其邻域U(x0),使得f在U(x0)上可逆。
2. 又因为Jf(x)在Rn内任意点均满秩,则对任意x∈Rn,Jf(x)的秩均为min{m,n}。
3. 当m=n时,Jf(x)为满秩方阵,其行列式不为0,所以f在Rn内任意点可逆,是定向同胚映射。
4. 当m≠n时,不妨设m>n,则Jf(x)的秩为n。
这意味着Jf(x)的列向量在Rn内线性无关。
5. 由2、4可知,f在Rn内任意点处的微分df都是满秩的,因
此f是一个局部定向同胚映射。
6. 结合1,f在整个定义域Rn内是定向同胚的。
综上所述,罗尔定理推论得证。
这展示了可微映射的jacobian 矩阵满秩是一个确定定向同胚映射的充要条件。
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理是一种数学定理，由英国数学家图灵在1901年发表，最初是用来证明某些稳定性理论范畴的精确结果。
该定理指出，一个复杂的问题可以用较少的时间和空间来解决，而且它的证明是“普遍有效的”。
直到最近这种定理仍然是由计算机科学家和信息科学家所关注的，因为它对于计算机软件和硬件的设计有着重要的意义。
罗尔定理的本质是证明一个普遍的现象，即有一类复杂的计算问题，它们可以通过简单的方法（通常是算法）来解决。
该定理需要通过无穷多个精确的推理步骤和细节来证明，但大体描述却很简单。
图灵用可计算性研究解决复杂问题的条件来表达罗尔定理，这个条件称为“有效性”，即有足够多的计算资源来解决一个复杂的问题，包括时间、空间和计算能力。
他认为，一般来说，一个复杂的问题可以通过有效的方法来解决，而且这种方法是通用的，可以在任何计算机上实现。
罗尔定理的证明基于Turing学派的逻辑学研究，它涉及数学中一些极其复杂的概念，如非常精确的型态逻辑，也被称为Turing机。
Turing的定义是一种理论上的虚拟计算机，具有一定的输入和输出，它可以完成两个基本工作：识别输入的数据，并根据指令对其进行处理。
英国凯发在线娱乐场网址图灵用Turing机来证明罗尔定理，而且这个定理是有命题的：如果一个问题是可计算的，那么它就可以用有效的方法、足够的空间和时间来解决。
图灵通过定义计算机系统，建立一组定义推理规则，证明了对某些问题来说，总是存在一种有效的、可计算的方法，在这一步骤解释罗尔定理。
图灵在证明罗尔定理时，还明确了一种有效方法并不能证明所有复杂的问题，即不能证明某个问题“永远”可以有效解决，而只是证明了某些特定的情况。
至今，罗尔定理仍然被用来验证计算的可计算性，用来检验一个问题是否可以在现实世界的计算机上依据一定的规则运算而得到答案。
综上，罗尔定理是一种受到计算机领域普遍重视的理论，它提供了一种理论上思维的框架，研究任何可计算问题的用时和效率。
罗尔定理.
y f (a) y f (x) f 0 b
xy
f (b)
两端点的函数值不相等
f (a)
y
y f (x)
f (a)
f (b)
0a b
x
区间内有不连续的点
0a
x0 b
x
图3-2
例1 设函数f (x) = (x +1) (x1) (x2) (x3)， 证明方程f (x)=0有三个实根，并指出它们所在的区间。 证：显然, f (x)分别在闭区间[1, 1], [1, 2], [2, 3]上连续，
第1节 微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
一、罗尔定理
若函数 f (x)满足下列条件： （i）在闭区间[a, b]上连续； （ii）在开区间(a, b)内可导； （iii）f (a)= f (b).
则至少存在一点 (a, b) 使 f ( ) 0
罗尔定理的几何意义:
C
如果连续曲线除端点 y
外处处都具有不垂直ox 轴
的切线，且两端点处的纵
A
y f (x) B
坐标相等，那么其上至少
x
O
有一条平等于ox 轴的切线.
a
b
图3-1
值得注意的是，该定理要求函数y=f(x)应同时满
足三个条件.若定理的三个条件不完全满足的话，则
定理的结论可能成立，也可能不立.(如图3-2)
在（1,2）内可导 且 x (1,2)时，F(x) 0.
又f (1) 1, f (2) 8, F(1) 2, F(2) 5, f (x) 3x2, F(x) 2x
设 f (2) f (1) 3 2 ,解得＝14 （1,2）
罗尔定理的条件和结论精选全文完整版
可编辑修改精选全文完整版罗尔定理的条件和结论罗尔定理是三角形的数学定理，它可以说明三条内角的和等于180度。
它是17月由埃里克罗尔发现的，它被认为是很难被发现的，并且在三角形中被广泛使用。
罗尔定理有许多应用，如几何、工程学、统计学、计算机图形和电子计算机等，它也被用来证明更多的数学定理。
罗尔定理的基本条件是：任何三条内角和等于180度，并且三条内角都必须小于180度。
罗尔定理的第一部分是任何三角形的三条内角和（也就是角平分线）等于180度，而第二部分是任何三角形的三条内角均小于180度，这表明任何三角形的边长都必须小于等于它的周长。
这个定理在三角形学中发挥了重要作用，它为几何形状设定了基本条件，它还可以用来解决各种复杂的几何问题。
它最重要的优势或功效是可以用一种简单而有效的方法来解决很多复杂的几何问题。
此外，它还可以识别几何图形的结构，如三角形的形状，内角的大小等。
因此，罗尔定理是能够解决复杂几何问题的有效方法。
它不仅能够对三角形的构成进行描述，而且还能够解决多边形的构成。
罗尔定理在电子计算机、统计学、工程学和数学几何中也被广泛应用，它还可以被用来证明一些数学定理，如四边形的和等于360度、六边形的和等于720度等。
由于罗尔定理的广泛应用，它仍然被认为是很重要的定理，它的研究或应用也使得许多几何图案的实际应用更加容易。
罗尔定理可以说是理论几何学中最重要的定理，它可以用于解决许多复杂问题，并且也可以用来证明许多数学定理。
综上所述，罗尔定理是一个重要的定理，它可以用来解决许多复杂几何问题，它也可以用来证明许多数学定理，如四边形、六边形的和等于360度和720度等。
罗尔定理的条件是任何三条内角和等于180度，并且三条内角都必须小于180度，这个定理的研究和应用可以使许多几何图案的实际应用更加容易。
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罗尔定理的条件和结论
罗尔定理是三角形的数学定理，它可以说明三条内角的和等于180度。
它是17月由埃里克罗尔发现的，它被认为是很难被发现的，并且在三角形中被广泛使用。
罗尔定理有许多应用，如几何、工程学、统计学、计算机图形和电子计算机等，它也被用来证明更多的数学定理。
罗尔定理的基本条件是：任何三条内角和等于180度，并且三条内角都必须小于180度。
罗尔定理的第一部分是任何三角形的三条内角和（也就是角平分线）等于180度，而第二部分是任何三角形的三条内角均小于180度，这表明任何三角形的边长都必须小于等于它的周长。
这个定理在三角形学中发挥了重要作用，它为几何形状设定了基本条件，它还可以用来解决各种复杂的几何问题。
它最重要的优势或功效是可以用一种简单而有效的方法来解决很多复杂的几何问题。
此外，它还可以识别几何图形的结构，如三角形的形状，内角的大小等。
因此，罗尔定理是能够解决复杂几何问题的有效方法。
它不仅能够对三角形的构成进行描述，而且还能够解决多边形的构成。
罗尔定理在电子计算机、统计学、工程学和数学几何中也被广泛应用，它还可以被用来证明一些数学定理，如四边形的和等于360度、六边形的和等于720度等。
由于罗尔定理的广泛应用，它仍然被认为是很重要的定理，它的研究或应用也使得许多几何图案的实际应用更加容易。
罗尔定理可以
说是理论几何学中最重要的定理，它可以用于解决许多复杂问题，并且也可以用来证明许多数学定理。
综上所述，罗尔定理是一个重要的定理，它可以用来解决许多复杂几何问题，它也可以用来证明许多数学定理，如四边形、六边形的和等于360度和720度等。
罗尔定理的条件是任何三条内角和等于180度，并且三条内角都必须小于180度，这个定理的研究和应用可以使许多几何图案的实际应用更加容易。