罗尔定理
罗尔定理
四、柯西中值定理
定理4.3 设函数f(x)与g(x)满足： (1)在闭区间[a,b]上都连续， (2)在开区间(a,b)内都可导， (3)在开区间(a,b)内，g′(x) ≠ 0,
f ′(ξ ) f (b) − f (a) 则至少存在一点ξ ∈ (a,b)，使 = . g′(ξ ) g(b) − g(a)
上述近似公式有两点不足： 1. 精度往往不能满足实际需要； 2. 用它作近似计算时无法估计误差. 因此希望有一个能弥补上述两个不足的近似公式. 在实际计算中，多项式是比较简单的函数，因此希望 能用多项式
P (x) = a0 + a1(x − x0 ) + a2 (x − x0 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + an (x − x0 ) n
2
n
来近似表达函数f(x)，并使得当x → x0 时， f ( x) − P ( x) n 为比 (x − x0 )n高阶的无穷小,还希望能写出 f ( x) − P ( x) n 的具体表达式，以便能估计误差.
设f(x)在含x0的某区间(a,b)内有n阶导数，为了使 与f(x)尽可能相近，希望
P (x0 ) = f (x0 ) (在x0处相等) n P′ (x0 ) = f ′(x0 ) (在x0处有相同的切线 ) n P′′(x0 ) = f ′′(x0 ) (x0处两条曲线有相同的弯 曲方向 ) n
1 x ∴ln(1 + x) − ln1 = [(1 + x) −1] = , 1+ ξ 1+ ξ
由于 < ξ < x，因此 0
1 1 < < 1, 1+ x 1+ ξ
进而知
x x < < x, 1+ x 1+ ξ
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理是数学中重要的定理，它在不同的时期有不同的定义、证明和应用，它的定义、证明以及应用在一定程度上表明了拓扑的发展；因此，弄清楚罗尔定理是很有意义的。
本文从定义出发，介绍了罗尔定理的内容，然后讨论了罗尔定理的证明和应用。
一、罗尔定理的定义罗尔定理是拓扑学中的一个重要定理，由美国数学家Joseph L. Roer首次提出，故又称为“罗尔定理”。
它的定义如下：设G是一个有限的无向图，则G的每个非边界顶点都有至少三个邻接顶点。
二、罗尔定理的证明罗尔定理的证明主要分为三个部分：假设反证法、归纳法和极限技巧。
1、假设反证法假设反证法也称证明反述法，是一种常用的证明方法。
它的核心思想是假设目标结论不成立，然后通过合理推理得出一个矛盾结论，这样就可以证明目标结论的正确性。
对于罗尔定理而言，可以用假设反证法来证明：有G是一个有限的无向图，非边界顶点数为n，假设G的每个非边界顶点都有少于三个邻接顶点，也就是存在一个非边界顶点V1，有V1的邻接顶点数小于3；反证矛盾，则有G的其他n-1个非边界顶点必定都有3个邻接顶点，但此时n-1个顶点却只有n-2个，这就与G为有限无向图矛盾，所以假设不成立，即G的每个非边界顶点都有至少三个邻接顶点，即罗尔定理的结论成立。
2、归纳法归纳法是一种总结归纳的推理方法，从已知事实出发，按照归纳逻辑，对一定范围内的所有情况进行逐一分析，可以得出某种普遍结论。
对于罗尔定理而言，可以用归纳法来证明：假设G是一个有限的无向图，非边界结点数为n，那么有G的每个非边界结点的邻接结点数之和为3n，而G的边数必定小于等于3n。
通过归纳推理，可以把上述结论推广到n=1，2，3，…的情况，得出一般的结论，即G的每个非边界顶点至少有三个邻接顶点，即罗尔定理的结论。
3、极限技巧极限技巧也称定向法，是拓扑学中常用的一种证明方法。
它的核心思想是：用数量极限方法可以证明两个无关的定理及其它事实。
罗尔定理与微分中值定理
罗尔定理与微分中值定理在数学分析的领域中，罗尔定理与微分中值定理是非常重要的两个定理，它们在顺序和连续性方面提供了深刻的见解。
通过理解这两个定理，我们能够掌握函数的极值、增长和减少行为，从而为求解各种实际问题奠定基础。
一、罗尔定理1. 定义罗尔定理是微分学中的一个基本定理，描述了在某些条件下，连续可微函数的性质。
具体来说，假设函数 ( f ) 在闭区间 ([a, b]) 上是连续的，并且在开区间 ((a, b)) 上是可微的。
如果 ( f(a) = f(b) )，则存在至少一个点 ( c (a, b) )，使得( f’(c) = 0 )。
2. 准备条件连续性：函数在闭区间 ([a, b]) 上必须是连续的，这意味着没有跳跃或断点。
可微性：函数在开区间 ((a, b)) 上必须是可微的，即在该区间内的每一点都定义了导数。
边界条件：函数在端点处取值相等，即 ( f(a) = f(b) )。
3. 几何意义罗尔定理给我们提供了一个几何上的直观感受。
当我们画出函数曲线时，如果曲线在起点和终点处的高度相同，那么根据这一理论，必然在某个点上存在切线水平（即水平切线对应的导数为零），这代表着局部极值。
4. 应用罗尔定理在多个领域都有广泛应用，包括：优化问题：寻找最佳解决方案时，常常需要使用导数为零的特性来界定极值点。
函数行为分析：在研究函数的增长减少趋势时，罗尔定理可以帮助简单判断导数变化情况。
二、微分中值定理1. 定义微分中值定理，也称为拉格朗日中值定理，其内容是对罗尔定理的一种推广。
具体而言，假设函数 ( f ) 在闭区间 ([a, b]) 上是连续的，并且在开区间 ((a, b)) 上是可微的，则存在至少一个点 ( c (a, b) )，使得[ f’(c) = ]这个等式表明，在( c ) 点处的切线斜率等于整个区间端点之间的割线斜率。
2. 准备条件连续性：函数在闭区间 ([a, b]) 上继续是连续的。
罗尔定理的证明与应用案例
罗尔定理的证明与应用案例罗尔定理是微积分中的重要概念之一，它是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的。
罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它与导数和函数的零点有关。
在本文中，我们将会介绍罗尔定理的证明以及一些应用案例。
一、罗尔定理的证明罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它为函数在闭区间上的导数与函数在该闭区间的边界上的函数值之间建立了关系。
下面是罗尔定理的数学表述：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
证明罗尔定理的关键是使用了导数的连续性和介值定理。
首先，由于f(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，根据导数的连续性定理，f'(x)在闭区间[a, b]上也连续。
然后，我们考虑函数g(x) = f(x) - f(a)，它在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导。
根据罗尔定理的条件，g(a) = g(b) = 0。
由于g(x)在闭区间[a, b]上连续且在开区间(a, b)上可导，根据介值定理，存在一个点ξ，使得g'(ξ) = 0。
而g'(ξ) = f'(ξ) - f'(a) = f'(ξ)，因此，我们得到了罗尔定理的结论：在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
二、罗尔定理的应用案例罗尔定理在实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将介绍一些罗尔定理的应用案例。
1. 寻找函数的极值点根据罗尔定理，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则在开区间(a, b)上至少存在一点ξ，使得f'(ξ) = 0。
因此，我们可以利用罗尔定理来寻找函数的极值点。
通过求函数的导数，并找到导数为零的点，即可得到函数的极值点。
罗尔定理内容
罗尔定理内容罗尔定理是指在有限的几何图形中，如果其边界上的所有顶点都连接起来，每个顶点都会遇到相同数量的边。
该定理也可以被称为“相同顶点-相同边”定理。
罗尔定理的原理是，对于一个有限的几何图形，如果所有的边之间没有重叠，并且每条边只有两个顶点，那么每个顶点必然会与相同数量的边相连。
更精确地说，如果一个几何图形有n个顶点，那么每个顶点必然会与n-1条边相连。
换句话说，罗尔定理表明：一个有限几何图形中，边数总是等于顶点数加1后再乘以2，即E=2(V+1)，其中E 表示边数，V表示顶点数。
罗尔定理的发现者是17世纪法国数学家瓦尔特·罗尔（Waltz deRoll）。
他第一次提出了这个定理，但是由于当时科学技术发展不够完善，他的论文没有被广泛引用。
直到1826年，英国数学家约翰·亨利·格雷厄姆（John Henry Grayam）重新发现了罗尔定理，该定理才得以普遍应用。
罗尔定理的具体内容为：对于一个有限几何图形，如果所有的边之间没有重叠，并且每条边只有两个顶点，那么每个顶点必然会与相同数量的边相连，即E=2(V+1)，其中E表示边数，V表示顶点数。
罗尔定理的重要性在于，它为研究几何学提供了一种简单而又有效的方法。
它可以用来帮助我们分析几何图形中顶点、边、面之间的关系，从而帮助我们更好地理解几何图形的特点和结构。
此外，罗尔定理还可以用来解决一些复杂的几何问题。
例如，在求解某个几何图形的最短路径问题时，可以利用罗尔定理来确定几何图形中的最短路径。
此外，罗尔定理还可以用来计算某个几何图形的周长和面积，从而更清楚地了解该几何图形的特点。
总之，罗尔定理是一个重要的数学定理，其中包含着丰富的数学内容，可以帮助我们更好地理解几何图形。
罗尔定理内容及证明
罗尔定理内容及证明罗尔定理（RolleTheorem）是求解单变量函数微分方程的一个基本定理，它最初是由法国数学家特朗罗尔在1691年提出来的。
罗尔定理它说明了在满足某些特定条件的情况下，某一个函数的一阶导数存在且满足某一条件，它是实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。
一、罗尔定理的内容罗尔定理是指，设在[a,b]上已知f(a) = f(b),且f(x)在区间[a,b]上连续可导，则存在某个c∈(a,b)，使得f(c)= 0。
它概括地说明了，在函数f(x)在区间[a,b]上有f(a)=f(b)，并且f(x)在区间[a,b]上连续可导的情况下，那么函数f一定存在极值点，也就是一阶导数f(x)在某一点存在且为零，也就是f(c)=0。
二、罗尔定理的证明设f(x)在区间[a,b]上连续可导，f(a)=f(b)（设f(a)≠f(b)，不妨设f(a)>f(b)），证明f(c)=0。
我们假定c∈(a,b)，如果f(a)>f(b)，那么说明f在[a,b]上是连续的凸函数，其一阶导数f(x)也是连续的，存在一点c∈(a,b),使得f(c)=0。
由此，根据函数微分的定义，可知$$f(c)=lim_{xrightarrowc}frac{f(x)-f(c)}{x-c}=frac{f(b)-f(c)}{b-c}+frac{f(c)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-c} +frac{f(a)-f(a)}{c-a}=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$由于f(a)=f(b),以f(c)=0,即c为f(x)的极值点。
综上所述，罗尔定理说明了在满足某些特定条件的情况下，一个函数f一定存在一个极值点，其一阶导数f(x)在某一点存在且为零，由此可以应用在解决实变函数微分方程的应用中，成为实变函数微分方程的理论和应用的一个基础性定理。
详细的推导过程在本文中已经完全说明，罗尔定理在实际中不断发挥着重要作用。
罗尔定理关于根的推论
罗尔定理关于根的推论
摘要：
一、罗尔定理简介
二、罗尔定理与根的关系
三、罗尔定理关于根的推论
四、结论
正文：
一、罗尔定理简介
罗尔定理是微积分中一个关于函数的连续性和极限的定理。
它告诉我们，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。
这个点被称为罗尔点。
罗尔定理在微积分中有着广泛的应用，例如用于证明泰勒定理、证明函数的单调性等。
二、罗尔定理与根的关系
在数学中，根是一个重要的概念。
对于一个多项式方程，我们通常会寻找一个数，使得这个数代入方程后，方程的值等于零。
这个数就是该方程的一个根。
在微积分中，我们可能会遇到一些与根相关的问题，例如寻找函数的零点、证明函数有唯一零点等。
这些问题与罗尔定理有着密切的关系。
三、罗尔定理关于根的推论
根据罗尔定理，如果一个函数在某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限。
这个点被称为罗尔点。
对于函数的根而言，我们可以将函数的根看作是函数的零点。
因此，如果一个函数在
某个区间的端点处连续，那么在这个区间内至少有一点，使得函数值等于这个点的极限，即函数在这个点处取到零。
这个点就是函数的一个根。
四、结论
罗尔定理关于根的推论为我们解决与根相关的问题提供了一个重要的工具。
通过利用罗尔定理，我们可以证明函数存在根、唯一根等结论。
同时，罗尔定理也可以帮助我们更好地理解函数的连续性和极限的概念。
罗尔定理.
y f (a) y f (x) f 0 b
xy
f (b)
两端点的函数值不相等
f (a)
y
y f (x)
f (a)
f (b)
0a b
x
区间内有不连续的点
0a
x0 b
x
图3-2
例1 设函数f (x) = (x +1) (x1) (x2) (x3)， 证明方程f (x)=0有三个实根，并指出它们所在的区间。 证：显然, f (x)分别在闭区间[1, 1], [1, 2], [2, 3]上连续，
第1节 微分中值定理
一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西定理
一、罗尔定理
若函数 f (x)满足下列条件： （i）在闭区间[a, b]上连续； （ii）在开区间(a, b)内可导； （iii）f (a)= f (b).
则至少存在一点 (a, b) 使 f ( ) 0
罗尔定理的几何意义:
C
如果连续曲线除端点 y
外处处都具有不垂直ox 轴
的切线，且两端点处的纵
A
y f (x) B
坐标相等，那么其上至少
x
O
有一条平等于ox 轴的切线.
a
b
图3-1
值得注意的是，该定理要求函数y=f(x)应同时满
足三个条件.若定理的三个条件不完全满足的话，则
定理的结论可能成立，也可能不立.(如图3-2)
在（1,2）内可导 且 x (1,2)时，F(x) 0.
又f (1) 1, f (2) 8, F(1) 2, F(2) 5, f (x) 3x2, F(x) 2x
设 f (2) f (1) 3 2 ,解得＝14 （1,2）
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2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
至少存在一个 (在 x0 , x1 之间), 使得 f ( ) 0.
但 f ( x ) 5( x 4 1) 0, ( x (0,1)) 矛盾, x0为唯一实根.
小结：
1、罗尔定理的三个条件 （1）f(x)在 [a ,b]上连续； （2）f(x)在(a,b)内可导； （3）f(a)=f(b)
且 f ( 1) f ( 3) 0, 满足rolle定理的条件.
f ( x ) 2( x 1),
取 1, (1 ( 1,3))
则f ( ) 0.
例2 证明方程 x 5 x 1 0 有且仅有一个 小于 1 的正实根.
5
设 证： f ( x ) x 5 来自 x 1,01
x
例2
f ( x) x , x [1,1] (略)
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
例3
1
0
1
x
f ( x) x, x [0,1] (略)
y
(1) f ( x ) C[0,1]; ( 2) f ( x ) D(0,1); ( 3) f (0) f (1).
0
1
x
四、罗尔定理的初步应用
例1：验证下面的函数是否满足rolle定理的条件， 若满足，求出使 f ( ) 0 的点。
f ( x ) x 2 2 x 3 ( x 3)( x 1). 在区间[-1,3]上。
解：( x)在[1,3]上连续, f
在( 1,3)上可导,
主要内容：
一、相关知识点回顾
二、罗尔定理及其证明 三、罗尔定理的条件的讨论 四、罗尔定理的初步应用
一、相关知识点回顾
1、闭区间上连续函数的性质
（1）（最大值和最小值定理）设f（x）在［a，b］ 连续，则f（x）在［a，b］上可以取到最大值和最小值。
（2）（零点定理）设f（x）在［a，b］连续，且 f（a）f（b） ，则至少存在一点，使得f（） <0 =0
f ( ) 0
'
y
C
y f ( x)
几何意义
符合罗尔定理条件的曲线 至少有一条水平切线
o
a
1
2 b
x
三、Rolle 定理的条件的讨论
x 0 x 1时 例1 f ( x ) x 1时 0 y (1) f ( x ) C[0,1];
( 2) f ( x ) D(0,1); ( 3) f (0) f (1).