罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用
二元函数的拉格朗日中值定理
二元函数的拉格朗日中值定理【原创实用版】目录一、二元函数的拉格朗日中值定理概述二、拉格朗日中值定理的证明三、拉格朗日中值定理的应用四、拉格朗日中值定理与罗尔定理的区别五、结论正文一、二元函数的拉格朗日中值定理概述二元函数的拉格朗日中值定理是微积分学中的一个重要定理，它可以用来研究二元函数在给定区间上的性质。
该定理描述了二元函数在区间上的平均变化率与在该区间内某一点上的瞬时变化率之间的关系。
具体来说，拉格朗日中值定理表明，如果一个二元函数在某一区间内可微，那么在这个区间内至少存在一点，使得该函数在这一点上的瞬时变化率等于它在区间上的平均变化率。
二、拉格朗日中值定理的证明为了证明二元函数的拉格朗日中值定理，我们首先需要构造一个辅助函数，然后利用罗尔定理和柯西中值定理进行证明。
具体证明过程较为繁琐，涉及到较高的数学知识，这里不再详细展开。
三、拉格朗日中值定理的应用拉格朗日中值定理在实际应用中有很多重要作用，例如可以用来求解最值问题、证明不等式等。
其中，最值问题的求解是拉格朗日中值定理应用最为广泛的领域之一。
通过运用拉格朗日中值定理，我们可以找到函数的极值点，进而求得最值。
此外，拉格朗日中值定理还可以用来证明一些不等式，如拉格朗日 - 罗尔定理和不等式的介值定理等。
四、拉格朗日中值定理与罗尔定理的区别拉格朗日中值定理与罗尔定理都是微积分学中的重要定理，它们之间存在一定的联系和区别。
拉格朗日中值定理是罗尔定理的推广，它可以看作是罗尔定理在多维空间的应用。
拉格朗日中值定理可以适用于多元函数，而罗尔定理仅适用于一元函数。
此外，拉格朗日中值定理的证明过程比罗尔定理更加复杂，需要涉及到更多的数学知识。
五、结论总的来说，二元函数的拉格朗日中值定理是一个具有重要意义的定理，它不仅可以帮助我们更好地理解二元函数的性质，还可以应用于实际问题的求解。
2.3.1 中值定理
0, 即 [ xf ( x ) ]
x( x ), 则 F ( x ) 在[0, 1]上连续， 在 (0,1)内可导, 且F(0) = F(1) =0， 因此由罗尔定理， 在(0, 1) 内至少存在一点 , 使 即
11
二、拉格朗日(Lagrange)中值定理
C
y = f (x)
A
O a
B
b
6
若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m. (1) 若 M m . 则 f ( x ) M .
又已知 f ( x ) 在点 x0 处可导， 则
0 f ( x0 ) f ( x0 ) f +( x0 ) 0
故 f ( x0 ) 0.
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罗尔(Rolle)定理 若函数 f ( x ) 满足： (1) 在闭区间 [a , b ]上连续； (2) 在开区间 ( a , b ) 内可导； (3) f (a ) f (b), 则在开区间 (a , b) 内至少存在一点 , 使得 f ( ) 0. 几何解释： 如果曲线 y=f (x) 满足以上三 个条件. 那么，在曲线弧上 至少有一点 C(, f())，曲线 在 C点的切线是水平的. y
x0 (0,1), 使 f ( x0 ) 0.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0. 不妨设 x1 x0 ,
f ( x ) 在 [ x0 , x1 ] 满足罗尔定理的条件, 至少存在一个 ( x0 , x1 ), 使得 f ( ) 0.
费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理
费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗⽇中值定理，柯西中值定理微分三⼤中值定理，罗尔中值定理，拉格朗⽇（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
我对拉格朗⽇中值定理的构造函数的构造思路，进⾏了⾃⼰的猜测，⽹上没有找到类似的猜测和研究下⾯的费马定理可以看做是三⼤中值定理的引理费马定理(fermat):设f(x)在其极值点x0处可导，则f′(x0)=0*以下证明的前提，都是在(a,b)上可导，⽽不是[a,b]上可导，原因在于端点a,b两侧，[a,b]之外，未必可导，甚⾄未必有定义。
a,b的左右导数，未必等于另⼀侧导数。
即，a点左导数，不⼀定等于a点右导数*拉格朗⽇中值定理，是罗尔中值定理的推⼴，罗尔中值定理是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。
柯西中值定理，是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗⽇中值定理。
证明：因为f(x)在x0点位极值点，故∃x0的邻域U(x0,δ)，∀x∈U，有f(0)⩾f(x)在x0点的左右极限如下左极限为limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ⩾0右极限为limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩽0因为f(x)在x0可导，所以左极限与右极限相等，故0⩽limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ=f′(x0)=limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩾0可得f′(x0)=0罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),那么⾄少存在⼀证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最⼤值与最⼩值，分别⽤ M 和 m 表⽰，分两种情况讨论：2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最⼤值 M 与最⼩值 m ⾄少有⼀个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从⽽ξ是f(x)的极值点，⼜条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导f'(ξ)=0。
微分中值定理的证明以及应用
微分中值定理的证明以及应用1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的三个定理 ,它们分别是罗尔(R olle )中值定理 、拉格朗日(Lagrange )中值定理和柯西(Cauchy )中值定理 .具体内容如下 :1.1 罗尔中值定理[2]如果函数f 满足:(1)在闭区间[,]a b 上连续 ; (2)在开区间(,)a b 内可导 ;(3)在区间端点的函数值相等,即()f a f b （）=,那么在区间(,)a b 内至少有一点a b ξξ（<<）,使函数()y f x =在该点的导数等于零,即'()0f ξ=. 1.2 拉格朗日中值定理[2]如果函数f 满足： (1)在闭区间[,]a b 上连续;(2)在开区间,a b （）内可导.那么,在,a b （）内至少有一点a b ξξ（<<）,使等式()()()=f a f b f b aξ-'-成立.1.3 柯西中值定理[2]如果函数f 及g 满足: (1)在闭区间[,]a b 上都连续; (2)在开区间,a b （）内可导; (3)'()f x 和'()g x 不同时为零; (4)()()g a g b ≠则存在,a b ξ∈（）,使得 ()()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ'-='-2 三定理的证明2.1 罗尔中值定理的证明[2]根据条件在闭区间[,]a b 上连续和闭区间上连续函数的最大值和最小值定理,若函数()f x 在闭区间上连续,则函数()f x 在闭区间[,]a b 上能取到最小值m 和最大值M ,即在闭区间[,]a b 上存在两点1x 和2x ,使12(),()f x m f x M==且对任意[,x a b ∈],有()m f x M ≤≤.下面分两种情况讨论:①如果m M =,则()f x 在[,]a b 上是常数,所以对(,)x a b ∀∈,有()=0f x '.即,a b （）内任意一点都可以作为c ,使()=0f c '. ②如果m M <,由条件()=()f a f b ,()f x 在[,]a b 上两个端点a 与b 的函数值()f a 与()f b ,不可能同时一个取最大值一个取最小值,即在开区间,a b （）内必定至少存在一点c ,函数()f x 在点c 取最大值或最小值,所以()f x 在点c必取局部极值,由费尔马定理,有'()=0f c .2.2 拉格朗日中值定理的证明[2]作辅助函数()()()()f b f a F x fx a b x f a a--=-（）-（-） 显然,()()(0)F a F b ==,且F 在[,]a b 满足罗尔定理的另两个条件.故存在,a b ξ∈（）,使 ()()''()f b f a F f b aξξ--（）=-=0移项即得()()'()=f b f a f b aξ--2.3 柯西中值定理的证明[2]作辅助函数()()()g()-g()()g(f b f a F x f x f a x a g b a --（）=-()-（））易见F 在[,]a b 上满足罗尔定理条件,故存在(,)a b ξ∈,使得()()''()g'()=0()g(f b f a F f g b a ξξξ--（）=-）因为g'()0ξ≠(否则由上式'()f ξ也为零）,所以把上式改写成()'()()()g ()()f f b f ag b g a ξξ-='-证毕3 三定理的几何解释和关系3.1 几何解释[1]罗尔中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦(或x轴).拉格朗日中值定理在曲线()y f x=上存在这样的点,过该点的切线平行于过曲线两端点的弦.柯西中值定理在曲线()()f xyxg x=⎧⎨=⎩(其中x为参数,a x b<<)存在一点,使曲线过该点的切线平行于过曲线两端点((),()),((),())A f a g aB f b g b的弦.综上所述,这三个中值定理归纳起来,用几何解释为:在区间[,]a b上连续且除端点外每一点都存在不垂直于x轴的切线的曲线,它们有个共同的特征()y f x=在曲线上至少存在一点,过该点的切线平行于曲线端点的连线.3.2 三定理之间的关系[3]从这三个定理的内容不难看出它们之间具有一定的关系.利用推广和收缩的观点来看这三个定理.在拉格朗日中值定理中,如果()()f a f b=,则变成罗尔中值定理,在柯西中值定理中,如果()F x x=,则变成拉格朗日中值定理.因此,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.反之,拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例,罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例.总的来说,这三个定理既单独存在,相互之间又存在着联系.从上面的讨论中可以总结得到,罗尔中值定理是这一块内容的基石,而拉格朗日中值定理则是这一块内容的核心,柯西中值定理则是这一块内容的推广应用.4 三定理的深层阐述4.1 罗尔中值定理4.1.1 罗尔中值定理结论[8](1) 符合罗尔中值定理条件的函数在开区间,a b （）内必存在最大值或最小值. (2) 在开区间,a b （）内使'()=0f x 的点不一定是极值点. 例如 函数3()(53)4xf x x =-在闭区间[1,2]-上满足罗尔定理的三个条件, 由25'()3()4f x x x =- ,显然0x =,有'(0)=0f 成立,但0x =不是()f x 的极值点.如果加强条件, 可得如下定理:定理 1 若函数在闭区间,a b []上满足罗尔中值定理的三个条件,且在开区间,a b （）内只有唯一的一个点,使()=0f x '成立,则点x 必是()f x 的极值点.完全按照罗尔中值定理的证法,即可证得使()'=0f x 成立的唯一点x 就是()f x 在,a b （）内的最值点,当然是极值点. 4.1.2 逆命题不成立[3]罗尔中值定理的逆命题 设函数()y=f x 在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,若在点x 在,a b （）处,有()=0f x ',则存在,[,]p q a b ∈,使得()()=fp f q .例 函数3y x =,[,](0)x a a a ∈->,显然3y x =在,a a [-]上连续,在a a (-,)内可导,()=0f x ',但是不存在,[,]p q a a ∈- ,p q <,使得()()=f p f q .但如果加强条件,下述定理成立:定理2 设函数y ()f x =在闭区间,a b []上连续,在开区间,a b （）内可导,且导函数()f x '是严格单调函数,则在点(,)x a b ∈处,有()=0f x '的充分必要条件是存在,[,]p q a b ∈,p q<,使得()()=f p f q .4.2 拉格朗日中值定理4.2.1 点x 不是任意的[7]拉格朗日中值定理结论中的点x 不是任意的. 请看下例:问题 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim ()x f x c →+∞=(c 为常数),则lim ()0x f x →+∞=这一命题正确吗?证明 设x 为任意正数,由题设知()f x 在闭区间[,2]x x 上连续,在开区间(,2)x x 内可导,由拉格朗日中值定理知,至少存在一点(,2)x x ξ∈,使得()(2)()=f x f x f xξ-',又因为li m ()x f x c →+∞=,故(2)()limx f x f x x→+∞-=.由于ξ夹在x与2x 之间,当x +→∞时,ξ也趋于+∞,于是lim '()lim '()0x x f x f ξ→+∞→+∞==.上述证明是错误的,原因在于ξ是随着x 的变化而变化,即()g x ξ=,但当+x →∞时,()g x 未必连续地趋于+∞,可能以某种跳跃方式趋于+∞,而这时就不能由()f ξ'趋于0推出lim ()0x f x →+∞=了.例如 函数()2s i n =x f x x满足l i m ()0x f x→+∞=,且2221'()2cos sin f x x xx=-在+∞（0，）内存在,但2221lim '()lim [2cos sin ]x x f x x x x→+∞→+∞=-并不存在,当然li m '()0x f x →+∞=不会成立.4.2.2 条件补充[5]定理 3 若函数()f x 在(,)a +∞(a 为任意实数)上可导,且lim '()x f x →+∞存在,若lim '()x f x c→+∞=(c 为常数),则lim '()0x f x →+∞=.4.3 柯西中值定理柯西中值定理的弱逆定理[8]设()()f x g x ，在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,且'()'()f g ξξ严格单调,'()0g x ≠,则对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）, ,使得2121'()'()=[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ--成立.证明:对,a b ξ∀∈（）,作辅助函数 '()'()F x f x f g x ξξ（）=()-()g().显然,()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可微,并且由()()f x g x ，严格单调易知'()F x 也严格单调.由拉格朗日定理知,对于12,a b x x ξξ∀∈∃<<（）,,使得 2121()()'()()F x F x F x x ξ-=-成立.而'()='()('()'())'()0F f f g g ξξξξξ-=所以有21()()0F x F x -=即2211['()('()'())'()]['()('()'())'()]0f x f g g x f x f g g x ξξξξ---=整理得2121'()'()[()()][()()]f g f x f x g x g x ξξ=--证毕.5 定理的应用三个定理的应用主要有讨论方程根的存在性、求极限、证明等式不等式、求近似值等.以下主要以例题的形式分别展示三个定理的应用.5.1 罗尔中值定理的应用例1 设(1,2,3,,)i a R i n ∈= 且满足1200231n a a a a n ++++=+ ,证明：方程2012++++0n n a a x a a x x = 在（0,1）内至少有一个实根. 证明: 作辅助函数23+1120231n n a a a F x a x x x xn +++++ （）=则=0(0F （）,=(1)F 0,Fx （）在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,故满足罗尔中值定理条件,因此存在(0,1)ξ∈,使'()0F ξ=,又2012'()++++0nn F x a a x a x a x==由此即知原方程在(0,1)内有一个实根.例2 设函数()f x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且()()0f a f b ==.试证: 在[,]0a b a >（）内至少存在一点ξ,使得'()f f ξξ=（）. 证明：选取辅助函数()()x F x f x e -=,则F x （）在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,(a)()0F F b ==,由R olle 定理,至少存在一点,a b ξ∈（）,使'()'()e['()()]0F f f f f ξξξξξξξξ---=-=-=（）e e因 0e ξ-> 即'()()=0f f ξξ-或'()=()f f ξξ.例 3 设函数()f x 于有穷或无穷区间,a b （）中的任意一点有有限的导函数()f x ',且0lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=,证明:'()0f c =,其中c 为区间,a b （）中的某点.证明: 当,a b （）为有穷区间时,设()(,)(),f x x a b F x A x a b ∈⎧=⎨=⎩，当时，当与时，其中0lim ()lim ()x a x b A f x f x →+→-==.显然()F x 在[,]a b 上连续,在,a b （）内可导,且有()()F a F b =,故由R o l l e 定理可知,在,a b （）内至少存在一点c ,使'()=0F c .而在,a b （）内,'()'()F x f x =,所以'()=0F c .下设,a b （）为无穷区间,若,a b =-∞=+∞,可设tan ()22x t t ππ=-<<,则对由函数()f x 与tan x t=组成的复合函数g()(tan )t f t =在有穷区间()22ππ-，内仿前讨论可知:至少存在一点0t (,)22ππ∈-,使20g '()'()sec 0t f c t =⋅=,其中t a n c t =,由于20s e c 0t ≠,故'()=0f c .若a 为有限数,b =+∞,则可取0m a x {,0}b a >,而令00()b a t x b t-=-.所以,对复合函数00()g()()b a t t f b t-=-在有穷区间0,a b （）上仿前讨论,可知存在00t ,a b ∈（）使000200()g '()'()=0)b b a t fc b t -=⋅-（,其中0000()b a t c b t -=-,显然a c <<+∞由于00200())b b a b t ->-（,故'()=0fc .对于a =-∞,b 为有限数的情形,可类似地进行讨论.5.2 拉格朗日中值定理的应用例 4 证明0x >时,ln(1)1x x x x<+<+证明： 设()ln(1)f x x =+ , 则()f x 在[0,]x 上满足Lagrange 中值定理1ln(1)ln(10)ln(1)'(),(0,)10x x f x x xξξξ+-++===∈+-又因为111x ξ<+<+所以1111+1xξ<<+所以1ln(1)11+x xx+<<即ln(1)1x x xx<+<+例 5 已知()()()11112na n n n n n n n =++++++ ,试求lim n x na →.解： 令()2f x x=,则对于函数()f x 在()(),1n n k n n k +++⎡⎤⎣⎦上满足L a g r a n g e定理可得： ()()()()21211n n k n n k n n k n n k ξ++-+=++-+ ,()()()(),1n n k n n k ξ∈+++所以()()111221n k n k nnn n k n n k +++<-<+++当0,1,,1k n =- 时,把得到的上述n 个不等式相加得：()()()()211111222121n n n n n n n n n n+++<-<+++++ ()()11221n n n n ++++-即112222n n a a n n<-<+-故11022212n a n ⎛⎫<--<- ⎪⎝⎭所以lim 222n n a →∞=-例 6 求0.97的近似值. 解： 0.97是()f x x=在0.97x =处的值, 令001,0.97x x x x ==+∆=,则0.03x ∆=-, 由Lagrange 中值定理,存在一点0.97,1ξ∈（）(1)(0.97)'()0.03f f f ξ-=可取1ξ≈近似计算,得110.971+)'(0.03)1(0.03)0.9852x x =≈⋅-=+-=（5.3 柯西中值定理的应用例 7 设0x >,对01α<<的情况,求证1xx ααα-≤-.证明：当1x =时结论显然成立,当1x≠时,取[],1x 或[]1,x ,在该区间设()f x xα=,()F x x α=由Canchy 定理得：()()()()()()11f x f f F x F F ξξ'-='- (),1x ξ∈或()1,x ξ∈ 即111x x ααααξξααα---==-当1x >时,(),1x ξ∈,11αξ->即11x x ααα->-又()10x x ααα-=-<故1x x ααα->-即11x αα-<-当1x >时,()1,x ξ∈,11αξ-<则()10x x ααα-=->故1x x ααα->-即11x αα-<-证毕例 8 设()f x 在[,]a b 上连续,(,)a b 内可导,a b ≤≤（0）,()()f a f b ≠ ,试证 ,a b ξη∃∈，（）,使得'()'()2a b f f ξηξ+= .证明： 在等式'()'()2a b f f ξηξ+=两边同乘b a -,则等价于22'()'()()2f f b a b a ηξξ-=-（）,要证明此题, 只需要证明上式即可.在[,]a b 上,取()()F x f x =,G x x （）=,当,a b ξ∈（）时,应用Cauchy 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ξξ-=-即()()'()1f b f a f b aξ-=-在[,]a b 上,再取()()F x f x =,2G x x （）= ,当,a b η∈（）时,应用C a u c h y 中值定理()()'()()()'()f b f a f G b G a G ηη-=-即22()()'()2f b f a f b aηη-=-即22'()'()()()2f f b a b a ηξξ-=-即'()'()2a b f f ξηξ+=例 9 设函数f 在[,]0a b a >（）上连续,在(,)a b 上可导.试证:存在(,)a b ξ∈使得()()'()lnb f b f a f aξξ-=证明： 设()ln g x x =,显然它在[,]a b 上与()f x 一起满足柯西中值定理条件,所以存在,a b ξ∈（）,使得 ()()'()1ln ln f b f a f b aξξ-=-整理后即得()()'()lnb f b f a f aξξ-=6 定理的应用总结 6.1 三定理的应用关系一般来说, 能用R o l l e 定理证得的也可用Lagrange 定理或C a u c h y 定理证得,因此,在解题的过程中根据问题本身的特点能选取合适的中值定理,以取得事半功倍的效果.如上面例9 利用R olle 中值定理.令()[()()]ln ()(ln ln )F x f b f a x f x b a =---,则()()F a F b -,所以存在,a b ξ∈（）使得'()0F x =, 即()()'()lnf b f a b f aξξ--=整理后即得所欲证明.上面的这个例子还不难看出在利用R olle 中值定理和Cauchy 中值定理证明的同一个不等式中,用R olle 中值定理时辅助函数的构造显然需要更多的观察和技术.相比之下,用Cauchy 中值定理则要简单得多.6.2 定理的应用方法技巧从定理应用的例题中不难发现,微分中值定理大多都是通过构造辅助函数来完成证明的.有的可以从函数本身出发构造辅助函数,有的需要利用指数、对数、三角函数等初等函数来构造辅助函数,还有的要根据需要证明的目标出发适当构造辅助函数.可见,在微分中值定理的应用中,广泛地使用辅助函数是做证明题的关键,在学习时应该掌握一些常用的构造辅助函数方法.在做证明题时一般先从要证的结论出发,观察目标式的特征,分析目标式可能要用的辅助函数,然后对目标式作相应的变形,这是构造辅助函数的关键.有了辅助函数就可以直接对辅助函数应用微分中值定理得到结论.7 结束语本课题的研究成果是通过大学阶段的有关数学分析知识的学习,和一些相关学科内容知识的学习,并结合一些相关的参考图书资料,以及通过网络收集期刊、报刊和杂志上的相关内容,其中还包括自己对这些内容的理解,还通过多方面的了解和研究,且在和老师及同学们的一起探讨下,了解到微分中值定理的内在联系,也对微分中值定理深层进行了探讨,还对微分中值定理的应用做了归纳总结.本课题主要是以罗尔中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理三个微分中值定理,感受到了定理来解决数学问题的方便快捷,学以致用得到充分体现.微分中值定理是微分学的基本定理,而且它是微分学的理论核心,有着广泛的应用.本课题主要是对微分中值定理证明等式不等式,方程根的存在性,求极限以及求近似值等的应用.应用微分中值定理证明命题的关键是构造辅助函数,构造满足某个微分中值定理的条件而得到要证明的结论.而构造辅助函数技巧性强,构造合适的辅助函数往往是困难的.因此,在构造辅助函数上本文没有深入系统论述,有待于研究.9 参考文献[1] 党艳霞. 浅谈微分中值定理及其应用[J]. 廊坊师范学院学报(自然科学版).2010,(1): 28-31.[2] 陈传璋. 数学分析[M]. 北京: 高等教育出版社. 2007.[3] 刘玉琏, 傅沛仁. 数学分析讲义[M]. 北京：高等教育出版社. 1982.[4] 林源渠, 方企勤等. 数学分析习题集[M]. 北京：高等教育出版社. 1986.[5] 赵香兰. 巧用微分中值定理[J]. 大同职业技术学院学报. 2004,（2）：64-66.[6] 刘章辉. 微分中值定理及其应用[J]. 山西大同大学学报（自然科学版）.2007.23(2): 12-15.[7] 何志敏. 微分中值定理的普遍推广[J]. 零陵学院学报. 1985. (1): 11-13.[8] 李阳, 郝佳. 微分中值定理的延伸及应用[J]. 辽宁师专学报. 2011.(3): 13-18.。
罗尔定理与拉格朗日中值定理解读
罗尔定理与拉格朗日中值定理解读罗尔定理和拉格朗日中值定理是微积分中重要的基本定理，它们在求解函数的性质和应用中起着重要的作用。
本文将对这两个定理进行解读，并探讨其应用。
一、罗尔定理的解读罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理的特例。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=0。
罗尔定理的证明思路是通过利用连续函数在闭区间上取得最大值和最小值的性质，结合导数的定义，找到一个点c使得f'(c)=0。
这个定理的意义在于，当一个函数在两个端点的函数值相等时，必然存在一个点使得其导数为零。
罗尔定理的应用非常广泛，例如在求解方程的根、证明函数的性质等问题中都可以使用罗尔定理。
通过罗尔定理，我们可以将一个复杂的问题转化为求解导数为零的方程，简化了问题的求解过程。
二、拉格朗日中值定理的解读拉格朗日中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是基于罗尔定理而推广得到的。
拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。
拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造辅助函数g(x)=f(x)-kx，其中k为常数，使得g(a)=g(b)，然后利用罗尔定理找到一个点c使得g'(c)=0。
由于g'(c)=f'(c)-k，因此可以得到f'(c)=k，进而得到f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。
拉格朗日中值定理的应用也非常广泛，例如在求解函数的极值、证明函数的性质等问题中都可以使用拉格朗日中值定理。
通过拉格朗日中值定理，我们可以将一个函数在一个闭区间上的平均变化率与其导数联系起来，从而研究函数的变化趋势。
知识点29罗尔定理拉格朗日中值定理的应用
知识点29罗尔定理拉格朗日中值定理的应用罗尔定理和拉格朗日中值定理是微积分中的两个重要定理，它们在数学和物理学中有着广泛的应用。
下面将详细介绍这两个定理及其应用。
一、罗尔定理罗尔定理是微积分中的基本定理之一，它是拉格朗日中值定理的一个特殊情况。
罗尔定理是由法国数学家迪尔勒·罗尔在17世纪提出的。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，并且满足f(a)=f(b)，则在开区间(a，b)内至少存在一点c，使得f'(c)=0。
也就是说，如果一个函数在闭区间两个端点处的函数值相等，且在闭区间内可导，则在开区间内至少存在一个点使得函数的导数为0。
罗尔定理的应用非常广泛，以下是一些典型的应用场景：1.判断函数的极值点：对于一个函数f(x)在一个闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在两个端点处的函数值相等，根据罗尔定理，至少存在一个点c使得f'(c)=0。
因此，可以通过判断函数的导数为0的点来确定函数的极值点。
2.判断函数的单调性：对于一个函数f(x)在一个闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在两个端点处的函数值相等，根据罗尔定理，至少存在一个点c使得f'(c)=0。
如果f'(x)>0，表示函数在这个点的导数大于0，即函数在这个点附近是单调递增的；如果f'(x)<0，表示函数在这个点的导数小于0，即函数在这个点附近是单调递减的。
3.解方程：对于一些特定的方程，可以通过罗尔定理来证明方程在一些区间内存在解。
例如，对于方程f(x)=0，在一个开区间(a，b)内，如果f(a)=f(b)，则根据罗尔定理，至少存在一个点c使得f'(c)=0，即方程存在解。
二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它是由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出的。
第四章 微分中值定理
罗尔定理的几何意义，如下图
y
0
a
b
x
注意：定理中的条件是充分条件
y y
.
0
。
.
b
。 x
a
.
0 1
x
y
y
。
0
1
2
x
.
0 1
x
2.
拉格朗日定理
定理2. 拉格朗日 ( Lagrange 定理 ) 设 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 上可导，则在 (a, b) f (b) f (a ) 内至少存在一点 ，使得 f ( ) ba f (b) f (a ) 证明：作辅助函数 F ( x) f ( x ) x ba
n n 例15. 求 lim ( n 1) n ln n
(1 x) e 例16. 求 lim x 0 x
1 x
例17 . 求 lim ln x ln(1 x)
x 1
例18. 确定常数 k 使 1 x 1 x ,x 0 f ( x) e k, x 0 连续。
上式即为一阶泰勒公式
由拉格朗日定理知：
f ( x) f ( x0 ) f ( )(x x0 ) , 介于x、x0 之间。
f ( x0 ) 又设 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! 3 k 2 ( x x0 ) f ( ) 同理可得 : k 2 3! f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( ) 3 ( x x0 ) 3!
罗尔定理证明拉格朗日中值定理
罗尔定理证明拉格朗日中值定理
罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种具体证明方式。
拉格朗日中值定理是指：在函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象所围成的封闭图形内，若存在一条直线l，使得这条直线穿过函数图像的任意一个点，则这条直线必定穿过函数图像在区间[a,b]上的某一个点。
罗尔定理的证明过程如下：
假设函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象所围成的封闭图形内存在一条直线l，使得这条直线穿过函数图像的任意一个点，但是不穿过函数图像在区间[a,b]上的任何一个点。
设点P(x1,y1)是函数y=f(x)的图象上的一个点，且点P在直线l上方。
显然，这意味着函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值M大于点P的纵坐标y1。
同理，设点Q(x2,y2)是函数y=f(x)的图象上的一个点，且点Q在直线l下方。
显然，这意味着函数y=f(x)在区间[a,b]上的最小值m小于点Q的纵坐标y2。
由于点P和点Q分别位于直线l的上方和下方，所以m<y2<y1<M。
但是，由于直线l不穿过函数图像在区间[a,b]上的任何一个点，所以有m≤f(x)≤M。
将这个不等式与前面得到的m<y2<y1<M结合起来，得到了矛盾：m<y2<y1<M，但是m ≤f(x)≤M。
由于假设是不成立的，所以证明了罗尔定理：在函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象所围成的封闭图形内，若存在一条直线l，使得这条直线穿过函数图像的任意一个点，则这条直线必定穿过函数图像在区间[a,b]上的某一个点。
注意：罗尔定理是拉格朗日中值定理的一种具体证明方式，但是并不是唯一的证明方式。
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罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用
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【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。
拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。
它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。
在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。
引言
拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。
罗尔定理：如果函数()f x 满足条件：○
1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；○
3在区间两个端点的函数值相等，即()()f a f b =，(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=。
罗尔定理的证明：因为函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，所以它在[,]a b 上必能取得最大值M 和最小值m 。
（1）如果M m =，则()f x 在[,]a b 上恒等于常数M ，因此，在整个区间(,)a b 内恒有 '()0f x =，所以，(,)a b 内每一点都可取作ξ，此时定理显然成立。
（2）如果m M <，因()()f a f b =，则数M 与m 中至少有一个不等于端点的函数值()f a ，设()m f a ≠，这就是说，在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()f M ξ=。
下面证明'()0f ξ=。
由于()f M ξ=是最大值，所以不论x ∆为正或负，恒有()()0f x f x
ξ+∆-ξ≤∆， (,)x a b ξ+∆∈。
当0x ∆>时，
()()0f x f x
ξ+∆-ξ≤∆，有已知条件'()f ξ存在可知，0()()'()lim 0x f x f f x +∆→ξ+∆-ξξ=≤∆；
当0x ∆<时，有0()()'()lim 0x f x f f x +∆→ξ+∆-ξξ=≥∆，于是 0()()'()lim 0x f x f f x
-∆→ξ+∆-ξξ=≥∆。
拉格朗日定理：设函数()f x 满足条件：○
1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得：()()'()f b f a f b a -ξ=-或()()'()()f b f a f b a =+ξ-。
拉格朗日定理的证明：()()()()()()f b f a f x f x f a x a b a
-=----。
有定理假设易知()f x 满足条件：○1在闭区间[,]a b 上连续；○2在开区间(,)a b 内可导；
○
3()()0f a f b ==,因此，有罗尔定理可知，至少存在一点(,)a b ξ∈，使得： ()()'()'()0f b f a f b a -ϕξ=ξ-=-，即()()'()f b f a f b a
-ξ=-。
对于ξ，由于它介于a 与b 之间，由此可将ξ表示成()a Q b a ξ=+-。
其中(0,1)Q ∈，于是拉格朗日公式也可以改写为：
()()'[()](),(01)F b f a f a Q b a b a Q +++--<<，于是，罗尔定理是拉格朗日定理()()f a f b =时的特殊情况。
拉格朗日定理在不等式中的应用
求证：0x ≠时，1x e x ->。
证明：1. 0x >时，00
1'()(0)x x e e e f x e x e x x ξ->-=ξ-=>=， (0,)x ξ∈存在。
2. 0x <时，01'()(0)x x e e e f x e x ξ->-=ξ-=，(,0)x ξ∈存在，只要证e x x ξ>。
0ξ<，01e x e ξ∴<=，又0x >，0e x e x x ξ∴>>。
结束语
通过对罗尔定理与拉格朗日定理的证明，发现采用的是构造辅助函数的方法，还讲述了罗尔定理即拉格朗日定理在不等式当中的应用。
参考文献
华东师范大学数学系.《数学分析》上册.高等教育出版社，2001
张桥艳.微分中值定理的应用.保山师专学报.2009
张勇.微分中值定理的认识及推广.消费导刊.2009。