罗尔定理的进一步推广与应用

罗尔定理的几种类型及其应用彭丹（德州学院数学系，山东德州 253023）摘要：本文通过对罗尔定理的条件以及条件的几何意义、罗尔定理的证明以及运用构造函数的思想研究罗尔定理的一些性质及其应用、罗尔定理推广形式的总结与再推广，从而达到对罗尔定理的更深入的研究。

关键词：罗尔定理；性质；应用；推广引言微分中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。

如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是起这种作用的。

三大微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。

以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是整个微分学的理论基础。

本文着重对罗尔定理的性质、推广形式以及应用进行深入的研究，从而更好的了解微分中值定理.1 罗尔定理罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程的研究。

他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理的结论恰好相当于多项式的导数）。

但在一百多年后，龙斯托·伯拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把此定理命名为罗尔定理.1.1. 罗尔(Rolle)定理的内容：如果函数 f (x)(1)在[a, b]上连续;(2)在(a, b)内可导;(3)f (a) = f (b).那么在 (a, b) 内至少有一点ξ(a < ξ < b),使得 f '(ξ) = 0.1.2．几何意义：罗尔定理的三个已知条件的几何意义是：f(x)在[a ，b]上连续表明曲线连同端点在内是无缝隙的曲线；f(x)在内(a ，b)可导表明曲线y=f(x)在每一点处有切线存在；f(a)=f(b)表明曲线的割线（直线AB ）平行于x 轴.罗尔定理的结论的直观意义是：在(a ，b)内至少能找到一点ξ，使f'(ξ)=0，表明曲线上至少有一点的切线斜率为0，从而切线平行于割线AB ，也就平行于x 轴.符合罗尔定理条件的曲线至少有一条水平切线1.3．罗尔定理的条件的讨论（1）罗尔定理的条件缺一不可例1 f(x)= ⎩⎨⎧=<≤时时1x 01x 0x （1） f(x)∈C[0,1]；（⨯）（2） f(x)∈D （0,1）；（3） f （0） 则不存在ξ，使得f ′（ξ）=0.例２， f(x)=|x|,x∈[-1,1];（1）f(x)∈C[-1,1] ;（2）f(x)∈D[-1,1]; （⨯）（3）f(-1)=f(1).则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件。

例３，f(x)=x,x∈[0,1];（1）f(x)∈C[0,1] ;（2）f(x)∈D[0,1];（3）f(0)=f(1). （⨯）则不存在§，使得f′（§）=0.因为此例题中条件（2）不满足罗尔定理的条件(2)罗尔定理的条件之一不满足其结论仍然成立.例如 y=2)^1|(|1--x x ∈[-2,2]在x=0处不可导 y=2)^1(1--x x ∈[0,23] 在端点处的函数值不相等 y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫⎢⎣⎡∈--23023,0)1(12x x x 在闭区间上不连续对以上三个函数罗尔定理均成立．２．关于罗尔定理的进一步讨论罗尔定理是微分学中的一个重要定理，它不仅沟通了函数与其导函数的关系，也是微积分学中许多定理的基础，对罗尔定理进行深入系统的探讨和研究，给出在更弱条件下的各种区间类型（包括有限区间和无限区间）的罗尔定理的推广形式．2.1 广义罗尔定理１．１中罗尔定理对所涉及的函数的要求过于苛刻，我们希望能够得到一个更为宽泛的结论，因此有必要对其条件进行放宽，放宽条件后的罗尔定理（不妨将其称之为广义罗尔定理）有如下８种形式：推论１ 设函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=A ，其中A 为常数，则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0.推论2 设函数f （x ）在区间[ａ，ｂ）上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→bx lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0. 推论3 设函数f （x ）在区间（ａ，ｂ]上连续，在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）= f （b ），则存在§∈（ａ，ｂ），使得f ′（§）=0.推论4 设函数f （x ）在区间[ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导，且+∞→x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（ａ,+∞），使得f ′（§）=0. 推论5 设函数f （x ）在区间（ａ,+∞）上连续，在区间（ａ,+∞）内可导， 且 +∞→x lim f （x ）=+→a x lim f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（ａ,+∞），使得f ′（§）=0.推论6 设函数f （x ））在区间（-∞,a]上连续，在区间（-∞,a ）内可导， 且 ∞→-x lim f （x ）= f （a ），则存在§∈（-∞,a ），使得f ′（§）=0. 推论7 设函数ｆ（ｘ）在区间（-∞,a ）上连续，在区间（-∞,a ）内可导， 且∞→-x lim f （x ）=-a x lim →f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（-∞,a ），使得f ′（§）=0.推论8 设函数f （x ）在区间（-∞, +∞）上连续，在区间（-∞, +∞）内可导，且∞→-x lim f （x ）=+∞→x lim f （x ）=A ，其中A 为有限实数，则存在§∈（-∞, +∞），使得f ′（§）=0.证明 ： 以下仅给出推论8的证明，其他推论的证明与此类似.若f(x)是常值函数，则结论显然成立.下面只讨论f(x)不是常值函数得情形.在此情形下，不妨设存在x 0∈（-∞, +∞），f （x 0）>A= ±∞→x lim f （x ）. 因为f （x ）在（-∞, +∞）上连续，根据连续函数介值定理的推广形式可知，存在1ξ∈（-∞, x 0），2ξ∈（x 0，+∞），使得f （1ξ）=f （2ξ）. 再由罗尔定理知，存在∈ξ（1ξ，2ξ）⊂（-∞, +∞），使得f ′（ξ）=0. 结论得证.2.2 罗尔定理的进一步推广推论1到推论8都要求区间两端的极限存在，下面我们将结论进一步推广. 定理1 若函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）内可导，且+→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=±∞，则存在ξ∈（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.证明：不妨设+→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=+∞.并令 M=f(2b a +). 则存在δ（0＜δ＜2a -b ）,使得对满足 a ＜x ＜a+δ的一切x ，均有f （x ）＞M.故而存在x 1∈（a ，a+1δ），使得f （x 1）＞M.而对于上述f （x 1），存在2δ（0＜2δ＜2a -b ）,使得对 满足b-2δ＜b的一切x ，均有f(x) ＞f(x 1).故而存在2x ∈（b-2δ，b ），使得f （2x ）＞f(x 1)＞f(2b a +). 由连续函数介值定理知存在1ξ∈（2b a +，2x ），使得 f(x 1)=f （1ξ）.显然，f(x)在[x 1,1ξ]上满足罗尔中值定理的所有条件，由此可知存在ξ∈（x 1,1ξ）⊂（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.结论得证.定理2 若函数f （x ）在区间（ａ，ｂ）内可导，且对于δ（0＜δ＜2a -b ）， f （x ）在（a ，a+δ）和（b-δ，b ）内有不同的单调性，则存在ξ ∈（ａ，ｂ），使得f ′（ξ）=0.证明：不妨设f （x ）在（a ，a+δ）内单调递减，而在（b-δ，b ）内单调递增，则存在x 1∈（a ，a+δ），1ξ∈（x 1，a+δ）⊂（a ，a+δ），使得f （1ξ）＜f （x 1）.同理可以证明，存在2x ∈（b-δ，b ），2ξ∈（b-δ，2x ）⊂（b-δ，b ）,使得f （2ξ）＜f （2x ）.则f （x 1）和f （2x ）均不是f （x ）在[x 1,2x ]上的最小值，又f （x ）在[x 1,2x ]上连续，则存在ξ∈（x 1,2x ），使得f （x ）为f （x ）在[x 1,2x ]上的最小值.由Fermat 定理知，f ′（ξ）=0.结论得证.定理3 若f （x ）∈C[x 1,2x ]且在（ａ，ｂ）内可导， +→a x lim f （x ）=-b x lim →f （x ）=A 存在δ＞0, f （x ）在（a ，a+δ）,（b-δ，b ）内有相同的单调性， 则至少存在1ξ，2ξ∈（ａ，ｂ），1ξ≠2ξ，使得 f ′（1ξ）=0， f ′（2ξ）=0.证明: 不妨设f （x ）在（a ，a+δ）, （b-δ，b ）内均为增函数，设 F （x ）= f （x ）-A,则F （x ）在（a ，a+δ）, （b-δ，b ）内均为增函数，并且+→a x lim F （x ）=-b x lim → F （x ）= 0，由函数的单调性可以找到两点1δ和2δ，F （1δ）＞0, F （2δ）＜0.由零值定理可知，存在θ ∈（1δ，2δ）⊂（a ，b ），使得 F （θ）=0.由推论2可知在（a ，θ）和（θ，b ）内分别可以找到1ξ，2ξ， 并且 F ′（1ξ）=0，F ′（2ξ）=0，也即 f ′（1ξ）=0，f ′（2ξ）=0，结论得证.定理4 设函数f （x ）在区间[ａ，ｂ]上可导，且满足 f ′（a ）f ′（b ）＜0, 求证f ′（x ）可以取到f ′（a ）和f ′（b ）之间的一切数值. 证明： 不妨设f ′（a ）＞0, f ′（b ）＜0,现任取r ，使得f ′（a ）＜r ＜f ′（b ），构造函数G （x ）=ｆ（ｘ）- rx ，那么G ′（a ）= f ′（a ）- r ＜0，G ′（b ）= f ′（b ）- r ＞0.因此，则存在δ，使得G （x ）在（a ，a+δ）内单调递减，在（b-δ，b ） 内单调递增，由定理2知，存在c ∈（ａ，ｂ），使得G ′（c ）=0，也即f ′（c ）=r.定理得证.3 广义罗尔定理的应用下面给出广义罗尔定理的应用实例.例1 设F （x ）在（a ，b ）上可导，且+→a x lim F ′（x ）＞0，-b x lim →F ′（x ）＜0，证明存在ξ∈（ａ，ｂ）使得F ′（ξ）=0.证明： 根据题设所给条件，由极限的保号性知，存在δ＞0，当x ∈（a ，a+δ）时，F ′（x ）＞0，即F （x ）在（a ，a+δ）上单增；而当x ∈（b-δ，b ）时， F ′（x ）＜0，即F （x ）在（b-δ，b ）上单减，由上述定理2可知，一定存在点ξ∈（ａ，ｂ）使得F ′（ξ）=0.例2 设f （x ）在[0，+∞）上可导，且0≤f （x ）≤2x 1x+，试证明存在ξ＞0，使得f ′（ξ）=()2221-1ξξ+证明:不妨令g （x ）= f （x ）-2x 1x+,则g （x ）在[0,+∞）上连续且可导， -2x 1x+≤g （x ）≤0,从而+→0x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -≤+→0x lim g （x ）≤0， +∞→x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -≤+∞→x lim g （x ）≤0， 又因为+∞→x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -=0， +→0x lim ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x 1x -=0， 所以，+∞→x lim g （x ）= 0 = g （0）, 由推论4知，存在ξ∈（0，+∞），使得g ′（ξ）=0,因此，f ′（ξ）=()2221-1ξξ+ ，结论得证. 4 结语罗尔定理是微分学中的一个基本定理 ,它基于费尔玛定理。