罗尔定理满足的三个条件
罗尔定理
2、费马（Fermat)引理
若函数 f ( x )在 ( a , b )内一点 x0取得最值， 且f ( x )在点x0可微，则 f ( x0 ) 0
y
y f ( x)
o a
1
2 b
x
二、
罗尔(Rolle)定理
如果函数 f ( x ) (1).在[a , b]上连续; (2).在( a , b ) 内可导; (3). f ( a ) f ( b ) . 那 么 在 ( a , b ) 内 至 少 有 一 点 ( a b ) , 使 得
则 f ( x )在[0,1]连续,
由介值定理
且 f (0) 1, f (1) 3.
x 0 (0,1), 使 f ( x 0 ) 0. 即为方程的小于1的正实根.
设另有 x1 (0,1), x1 x 0 , 使 f ( x1 ) 0.
f ( x ) 在 x0 , x1 之间满足罗尔定理的条件,
至少存在一个 使得f ' ( )=0. 2、罗尔定理的结论
几何意义:曲线有水平切线. 3 、罗尔定理的条件是充分非必要条件. ' 4、罗尔定理研究的是导数方程 f (x)=0 的 根的存在性问题。
一、罗 尔（Rolle） 定 理
主讲人: 龙薇 (惠州广播电视大学)
罗尔简介
罗尔(1652-1719)法国数学家
罗尔年轻时因家境贫困，仅受过初等教育，靠自学精通了代数 和丢蕃图方程分析理论。1682年，他解决了数学家奥扎南提出的 一个数学难题，受到学术界的好评，从此他的生活有了转机。 罗尔在数学上的成就主要是在代数学方面，专长于丢蕃图方程 的研究。他在1691年出版了论著《方程的解法》这本论著本来和 微分学没有关系（当时还没有导数的概念和符号，不过根据定理 的结论恰好相当于多项式的导数）。 但在一百多年后，龙斯托.伯 拉维提斯将《方程的解法》中的一个定理推广到可微函数，并把 此定理命名为罗尔定理.
罗尔定理的几种类型及其应用
罗尔定理的几种类型及其应用1 引言最原始的罗尔定理是由法国数学家罗尔于 1691 年在题为 《任意次方程的一个解法的证明》 的论 文中给出的 （罗尔 1652 年 4 月 21 日生于昂贝尔特， 1719 年 11月 8 日卒于巴黎 ） ，主要内容是 : 在多项式方程 f x =0 的两个相邻的实根之间，方程 f x 0 至少有一个根．在一百多年后， 1846 年尤斯托（ Giusto Bellavitis ）将这一定理推广到可微函数，尤斯托还 把此定理命名为罗尔定理，这就是现在我们常用的罗尔定理 .2 微分中值定理2.1 罗尔定理1 （P若函数 f x 满足以下条件：（ 1）在闭区间 a,b 上连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） fa fb . 则至少存在一个数 a,b ，使得 f 0.罗尔定理的几何意义是：在每一点都可导的一段连续曲线上，如果曲线的两端点高度相同，那 么曲线至少存在一条水平切线 . 罗尔定理是大学微分学中很重要的中值定理， 它演绎了拉格朗日中值 定理与柯西中值定理，这三个定理构成了微分学中值基本理论，在高等数学中占有十分重要的地 位．下面给出拉格朗日中值定理和柯西中值定理的内容和几何意义 .2.2 拉格朗日中值定理x 满足：（ 1） 在闭区间 a,b 连续；（ 2） 在开区间 a,b 上可导；则至少存在拉格朗日中值定理的几何意义是：在每一点都可导的的连续曲线上，如果两端点也连续，那么 至少存在一个点，该点的切线平行于两端点的连线 .2.3 柯西中值定理 1若函数 f x 和 g x 满足：（ 1）在闭区间 a,b 连续；（ 2）在开区间 a,b 上可导；（ 3） f x 和 g x 不同时为 0；（ 4） g a g b 则存在 a,b ；使得fa。
若函数个数 a,b ，使得 ff a f b ab柯西中值定理的几何意义与前两个定理的几何意义类似，只是要把f x 和g x 这两个函数写成以x 为参量的参量方程u g xv f x于是两函数联系在平面uOv 上一段连续曲线上了，若曲线的两端点也连续，则在曲线上至少存在一点，该点的切线与两端点的连线平行。
罗尔定理推论证明过程
罗尔定理的推论及其证明过程如下:
罗尔定理推论:
若映射f: Rn → Rm满足以下条件:
(1) f在定义域Rn内可导;
(2) jacobian矩阵Jf(x)在定义域Rn内任意点满秩;
则f为定向同胚映射。
证明:
1. 因为f在定义域Rn内可导,根据隐函数定理,对任意x0∈Rn,都存在其邻域U(x0),使得f在U(x0)上可逆。
2. 又因为Jf(x)在Rn内任意点均满秩,则对任意x∈Rn,Jf(x)的秩均为min{m,n}。
3. 当m=n时,Jf(x)为满秩方阵,其行列式不为0,所以f在Rn内任意点可逆,是定向同胚映射。
4. 当m≠n时,不妨设m>n,则Jf(x)的秩为n。
这意味着Jf(x)的列向量在Rn内线性无关。
5. 由2、4可知,f在Rn内任意点处的微分df都是满秩的,因
此f是一个局部定向同胚映射。
6. 结合1,f在整个定义域Rn内是定向同胚的。
综上所述,罗尔定理推论得证。
这展示了可微映射的jacobian 矩阵满秩是一个确定定向同胚映射的充要条件。
大学课程《微积分》PPT课件：微积分3章1节
柯西中值定理的应应用 例11 验证柯西中值定理对函数 f (x) x3 1, g(x) x2 在区间 [1,2]上的正确性.
例12 (讲义例5) 设函数 f (x) 在[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导. 试证明至少存在一点 (0,1), 使 f ( ) 2[ f (1) f (0)].
第三章 导数的应用
第一节 中值定理
内容要点：
一、罗尔定理：在闭区间[a, b]上连续；在开区间(a, b)内 可导；在区间端点的函数值相等, 即 (a b), 结论：在(a, b)内至少存在一点 f (a) f (b). 使得 f ( ) 0.
注：罗尔定理的三个条件是十分重要的,如果有一个不满足, 定理的结论就可能不成立. 分别举例说明之.
2 再由arcsin x, arccos x得定义知当x 1, x 1有
arcsin x arccos x
2
从而:arcsin x arccos x , x [1,1]
2
•证明当
x0
时,
x ln(1 x) x 1 x
证明：设 f (x) ln(1 x)，显然，f (x) 在[0, x]
论：在(a, b)内至少存在一点 (a b),使得 f (b) f (a) f ( )(b a)
拉格朗日中值公式反映了可导函数在 上整体平均变化率与在 内某点 处函 数的局部变化率的关系. 若从力学角度看,公式表示整体上的平均速度等于 某一内点处的瞬时速度. 因此,拉格朗日中值定理是联结局部与整体的纽带.
f (a) f (b) f ( ) g(a) g(b) g( )
显然, 若取 g(x) x, 则 g(b) g(a) b a, g(x) 1,
因而柯西中值定理就变成拉格朗日中值定理(微分中值定理)了. 所以柯西中值定 理又称为广义中值定理.
罗尔Rolle中值定理
[ f ( x) sin x ] x 0 解题关键
证明至少存在一点 ( 0 ,
2
), 使
f ( ) cos 0.
容易验证: g( x ) 在 [ 0, ] 上满足罗尔定理条件. 2 由罗尔定理得: 至少存在一点 ( 0, ), 使得 2 g( ) 0
即
f ( ) cos 0.
证明: 设 g( x ) f ( x ) sin x
0
1
x
例2 f ( x ) x , x [1,1];
y
(1) f ( x ) C[1,1]; ( 2) f ( x ) D( 1,1); ( 3) f ( 1) f (1).
1
0
1 x
不存在 ( 1,1), 使 f ( ) 0.
例3 f ( x ) x , x [0,1];
罗尔（Rolle）中值定理
主讲：潘 洁
安徽理工大学
微分中值定理
罗尔中值定理
泰勒中值定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
问题的引出：
y
C
T 与x轴
这样的 可能有多个
a
1
2
b
x
一、罗尔(Rolle)中值定理
y
D
若函数 f ( x ) 满足：
(1) 在 [a , b] 上连续；
f ( x )在 [a , b] 上 连续， f ( x)在 [a, b] 上必有最大值 M 和最小值 m.
(1)若 M m.则 f ( x) M . 由此得 f ( x ) 0, x (a, b). (a, b),都有 f ( ) 0.
f (a ) f (b), (2)若 M m. 最值不可能同时在端点处取得. 不妨设 M f (a ),
罗尔定理和拉格朗日中值定理的关系
罗尔定理和拉格朗日中值定理的关系
罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情形，即f(a)=f(b).
罗尔（Rolle）中值定理是微分学中一条重要的定理，是三大微分中值定理之一，其他两个分别为：拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
罗尔定理描述如下：
如果R 上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间[a,b] 上连续，（2）在开区间(a,b) 内可导，（3）f(a)=f(b)，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
拉格朗日中值定理（又称：拉氏定理、有限增量定理）是微分学中的基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系。
定理的现代形式如下：如果函数f(x)在闭区间上[a,b]连续，在开区间(a,b)上可导，那么在开区间(a,b)内至少存在一点ξ使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a) 。
拉格朗日中值定理沟通了函数与其导数的联系, 在研究函数的单调性、凹凸性以及不等式的证明等方面, 都可能会用到拉格朗日中值定理。
罗尔定理
罗尔定理如果函数满足1.在闭区间上连续；2.在开区间内可导；3.在区间端点处的函数值相等，即，那么在内至少有一点，使得。
这个定理称为罗尔定理。
证明首先，因为在闭区间上连续，根据极值定理，在上有最大值和最小值。
如果最大值和最小值都在端点或处取得，由于，显然是一个常数函数。
那么对于任一点，我们都有。
现在假设在处取得最大值。
我们只需证明在该点导数为零。
取，由最大值定义，那么。
令，则。
因为在处可导，所以我们有。
取，那么。
这时令，则有，所以。
于是，。
在处取得最小值的情况同理。
例子第一个例子半径为r的半圆考虑函数（其中r> 0。
）它的图像是中心位于原点的半圆。
这个函数在闭区间[−r,r]内连续，在开区间(−r,r)内可导（但在终点−r和r处不可导）。
由于f(−r) = f(r)，因此根据罗尔定理，存在一个导数为零的点。
第二个例子绝对值函数的图像如果函数在区间内的某个点不可导，则罗尔定理的结论不一定成立。
对于某个a> 0，考虑绝对值函数：那么f(−a) = f(a)，但−a和a之间不存在导数为零的点。
这是因为，函数虽然是连续的，但它在点x= 0不可导。
注意f的导数在x= 0从-1变为1，但不取得值0。
推广形式第二个例子表明罗尔定理下面的一般形式：考虑一个实值，在闭区间[a,b]上的连续函数，并满足f(a) = f(b). 如果对开区间(a,b)内的任意x，右极限而左极限在扩展的实数轴 [−∞,∞]上存在，那么开区间(a,b)内就存在c使得这两个极限和中其中一个≥0，另一个≤0 (在扩展的实数轴上)。
如果对任何x左极限和右极限都相同, 那么它们对c也相等，于是在c处f的导函数存在且等于零。
罗尔定理的条件区间
罗尔定理的条件区间罗尔定理是微积分中的重要定理之一，它在求解函数的根、极值等问题中具有广泛的应用。
然而，罗尔定理的适用条件并非是所有函数都可以满足的，需要满足一定的条件区间。
因此，本文将详细介绍罗尔定理的条件区间以及其证明过程。
一、罗尔定理的定义罗尔定理是指：若函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等，则在$(a,b)$内至少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。
该定理的意义在于，它保证了在满足一定条件下，函数在某些点处的导数为零，即函数存在极值或拐点。
因此，罗尔定理在求解函数极值、拐点等问题中具有重要的应用。
二、条件区间的确定罗尔定理的条件区间是指函数$f(x)$在哪些区间上满足罗尔定理的条件，即$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
首先，我们需要确定$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续的条件。
一般来说，函数在闭区间上连续的条件为函数在该区间上无间断点、无跳跃点，并且函数的左右极限相等。
其次，我们需要确定$f(x)$在开区间$(a,b)$内可导的条件。
根据导数的定义，函数在某一点可导的条件为该点的左右极限存在且相等。
因此，在开区间内可导的条件为函数在该区间内的每一点的左右极限都存在且相等。
最后，我们需要确定函数在$a,b$处的函数值相等的条件。
这意味着函数在$a,b$处存在连续性，即$a,b$处的左右极限存在且相等。
综上所述，罗尔定理的条件区间为：函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
三、证明过程下面我们来证明罗尔定理的条件区间为函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
假设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$内可导且在$a,b$处的函数值相等。
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罗尔定理满足的三个条件
罗尔定理是微积分中的一个重要定理，它是在某个区间上连续
且可导的函数中应用的。
罗尔定理满足以下三个条件：
1. 函数必须在闭区间[a, b]上连续。也就是说，在[a, b]上函数
的定义域上每个值都有函数值，并且函数在[a, b]上是连续的。
2. 函数必须在开区间(a, b)内可导。也就是说，函数在(a, b)内
的每个点都有导数。
3. 函数在区间的两个端点上取得相同的函数值。也就是说，函
数在a和b两个点上取得相同的函数值。