罗尔定理与拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理与罗尔定理的证明
拉格朗日中值定理与罗尔定理的理解
首先说明拉格朗日中值定理与罗尔定理的关系：罗尔定理可理解为特殊形式的拉格朗日中值定理，即f （a ）=f （b ），而拉格朗日中值定理中二者并不一定相等。
因此，证明拉格朗日中值定理后，罗尔定理也得以证明。
下面我将先对拉格朗日中值定理进行证明。
)(x f 满足：
设函数o a b a f a f a b n n +-++=-⇒-1)())((n 1......)(')()()(！即
)('))((n 1......))((''21)('111)(ξf o a b a f a b a f a f n n =+-++-+-！！！①
到此，我们知道了f’(ξ)用泰勒展开式表示时的大小，即证明了f’(ξ)在泰勒展开式中值的存在。
那么ξ是否在（a ，b ）区间内？我们知道泰勒公式的意义是利用已知点的函数值不断逼近所求点的函数值，所以只需知道在由a 点向b 点逼近的过程中是否遇到了ξ点，即ξ
点与b 点间是否存在余项。
用泰勒公式求解:
o x x x f x x x f x f x f n n +-++-+=-100)(000))((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！②将x=b ,x 0=a 代入上式，得：
o a b a f a b a f a f b f n n +-++-+=
-1)())((1)-(n 1......))((''11)('01)('！！！③
)1()3(-得：。
第一讲 微分中值定理
( a , b)
f (b) f (a ) f ( ) (b a )
( a , b)
f ( x2 ) f ( x1 ) f ( ) ( x2 x1 ) ( x1 , x 2 )
f ( x 0 x) f ( x0 ) f ( ) x ( x0 , x0 x)
在[1,3]上连续,
f ( x ) 2( x 1),
在( 1,3)上可导,
且 f ( 1) f ( 3) 0,
f () 0.
取 1, (1 ( 1,3))
在( a , b ) 内至少存在一点 使 f ( ) 0.
证 f ( x ) 在 [a , b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
定理
sin a sin b cos , a, b ba sin a sin b cos 1 ba
sin a sin b b a a b
例4. 证明不等式 sin a sin b a b
证: a b时，等式显然成立 a b时， 令f x sin x,不妨设a < b, f x 在 a, b 上连续， a, b 内可微，f ' x cos x,由拉格郎日中值
第一步 构造函 数确定 区间
Байду номын сангаас
定理 sin a sin b cos , a, b ba sin a sin b cos 1 ba
第二步 验证定 理条件 第三步 写定理 结论
sin a sin b b a a b
第四步 对f’(ξ) 变形(放 大缩小)
拉格朗日中值定理
拉格朗日定理和函数的单调性-资料
f(x0)x li m x0 f(x) 证 分别按左右极限来证明.
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( 1 ) 任 取 x U o ( x 0 ) , f ( x ) 在 [ x 0 , x ] 上 满 足 拉 格 朗 日
定 理 条 件 , 则 存 在 ( x 0 , x ) , 使 得
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(2) 条件分析 定理中的三个条件都很重要，缺少一个,结论不
一定成立.
(a函 ) f数 (x) 0 x,,
0x1 x1
y
在 [0, 1] 上满足条件 (ii) 和
(iii), 但条件 (i) 不满足,该函 数在 (0, 1) 上的导数恒为1.
O
x
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(b f ( x ) ) |x |x , [ 1 ,1 ]
§1 拉格朗日定理和 函数的单调性
中值定理是联系 f 与 f 的桥梁. 有了 中值定理, 就可以根据 f 在区间上的性 质来得到 f 在该区间上的整体性质.
一、罗尔定理与拉格朗日定理 二、函数单调性的判别
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一、罗尔定理与拉格朗日定理
定理6.1(罗尔中值定理) 设函 f(x数 )在 区[a 间 ,b]上满足： (i) 在闭区间 [a, b] 上连续; (ii) 在开区间 (a, b) 上可导;
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情形2 m < M. 既然最大、最小值不等,从而最大 值与最小值至少有一个不在端点取到.不妨设最
费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理
费马极值引理，罗尔中值定理，拉格朗⽇中值定理，柯西中值定理微分三⼤中值定理，罗尔中值定理，拉格朗⽇（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
我对拉格朗⽇中值定理的构造函数的构造思路，进⾏了⾃⼰的猜测，⽹上没有找到类似的猜测和研究下⾯的费马定理可以看做是三⼤中值定理的引理费马定理(fermat):设f(x)在其极值点x0处可导，则f′(x0)=0*以下证明的前提，都是在(a,b)上可导，⽽不是[a,b]上可导，原因在于端点a,b两侧，[a,b]之外，未必可导，甚⾄未必有定义。
a,b的左右导数，未必等于另⼀侧导数。
即，a点左导数，不⼀定等于a点右导数*拉格朗⽇中值定理，是罗尔中值定理的推⼴，罗尔中值定理是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即函数在定义域内两端点函数值相等的特例。
柯西中值定理，是拉格朗⽇中值定理的⼀个特例，即，g(x)=x,结论就变成了拉格朗⽇中值定理。
证明：因为f(x)在x0点位极值点，故∃x0的邻域U(x0,δ)，∀x∈U，有f(0)⩾f(x)在x0点的左右极限如下左极限为limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ⩾0右极限为limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩽0因为f(x)在x0可导，所以左极限与右极限相等，故0⩽limδ→0f(x0)−f(x0−δ)δ=f′(x0)=limδ→0f(x0+δ)−f(x0)δ⩾0可得f′(x0)=0罗尔中值定理(Rolle)设函数f在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b),那么⾄少存在⼀证明：因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续，所以存在最⼤值与最⼩值，分别⽤ M 和 m 表⽰，分两种情况讨论：2. 若 M>m，则因为 f(a)=f(b) 使得最⼤值 M 与最⼩值 m ⾄少有⼀个在 (a,b) 内某点ξ处取得，从⽽ξ是f(x)的极值点，⼜条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得，f(x) 在ξ处取得极值，由费马引理，可导f'(ξ)=0。
罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数地应用
内容概要课后习题全解习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：（1）∵32)(2--=x x x f 在]511[.,-上连续，在)5.1,1(-内可导，且0)51()1(==-.f f ，∴32)(2--=x x x f 在]511[.,-上满足罗尔定理的条件。
令()410f ξξ'=-=得)511(41.,ξ-∈=即为所求。
（2）∵x x x f -=3)(在]30[,上连续，在)30(,内可导，且0)3()0(==f f ， ∴xx x f -=3)(在]30[,上满足罗尔定理的条件。
令()0f ξ'==，得)30(2,ξ∈=即为所求。
★2.验证拉格朗日中值定理对函数25423-+-=x x x y 在区间]10[,上的正确性。
知识点：拉格朗日中值定理。
思路：根据拉格朗日中值定理的条件和结论，求解方程(1)(0)()10f f f ξ-'=-，若得到的根]10[,ξ∈则可验证定理的正确性。
解：∵32()452y f x x x x ==-+-在]10[,连续，在)10(,内可导，∴25423-+-=x x x y 在区间]10[,上满足拉格朗日中值定理的条件。
又2)0(2)1(-=-=,f f ，2()12101f x x x '=-+，∴要使(1)(0)()010f f f ξ-'==-，只要：5(01)12,ξ=，∴5(01)12,ξ∃=∈，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
罗尔中值定理与拉格朗日中值定理
罗尔中值定理与拉格朗日中值定理引言：在微积分中，有两个非常重要的定理——罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。
它们在分析函数的性质和证明一些数学问题中起着重要的作用。
在本文中，我们将详细介绍这两个定理的概念、条件和应用。
一、罗尔中值定理（Rolle's Theorem）：罗尔中值定理是微积分中的一条基本定理，它首次由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出。
该定理是一个关于导数连续函数的性质的陈述，下面是它的准确表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
如果f(a) = f(b)，那么在(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c) = 0。
简单来说，罗尔中值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间的端点取得相同的函数值，并且在开区间内可导，那么在这个开区间内一定存在一个点，该点的导数为零。
举例：设函数f(x) = x^3 - x^2 - x + 1，该函数在闭区间[0, 1]上连续，在开区间(0, 1)内可导。
计算f(x)在开区间(0, 1)内的某个零点。
根据罗尔中值定理，我们可以先验证f(x)在闭区间[0, 1]上的连续性，然后计算f(a)和f(b)的值，如果相等，那么就可以利用该定理证明在开区间内存在某个点c，使得f'(c) = 0。
二、拉格朗日中值定理（Lagrange's Mean Value Theorem）：与罗尔中值定理类似，拉格朗日中值定理也是微积分中的重要定理，其命名来自于法国数学家约瑟夫·拉格朗日。
下面是拉格朗日中值定理的准确表述：定理：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导。
那么在(a, b)内存在一个点c，使得f(b) - f(a) = f'(c) * (b - a)。
简单来说，拉格朗日中值定理告诉我们，如果一个函数在闭区间上连续且在开区间内可导，那么在该开区间内一定存在一个点，使得函数在两个端点间的变化率等于此点的导数。
罗尔定理与拉格朗日中值定理解读
罗尔定理与拉格朗日中值定理解读罗尔定理和拉格朗日中值定理是微积分中重要的基本定理，它们在求解函数的性质和应用中起着重要的作用。
本文将对这两个定理进行解读，并探讨其应用。
一、罗尔定理的解读罗尔定理是微积分中的一个基本定理，它是拉格朗日中值定理的特例。
罗尔定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且满足f(a)=f(b)，则存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=0。
罗尔定理的证明思路是通过利用连续函数在闭区间上取得最大值和最小值的性质，结合导数的定义，找到一个点c使得f'(c)=0。
这个定理的意义在于，当一个函数在两个端点的函数值相等时，必然存在一个点使得其导数为零。
罗尔定理的应用非常广泛，例如在求解方程的根、证明函数的性质等问题中都可以使用罗尔定理。
通过罗尔定理，我们可以将一个复杂的问题转化为求解导数为零的方程，简化了问题的求解过程。
二、拉格朗日中值定理的解读拉格朗日中值定理是微积分中的另一个重要定理，它是基于罗尔定理而推广得到的。
拉格朗日中值定理的表述如下：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，则存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。
拉格朗日中值定理的证明思路是通过构造辅助函数g(x)=f(x)-kx，其中k为常数，使得g(a)=g(b)，然后利用罗尔定理找到一个点c使得g'(c)=0。
由于g'(c)=f'(c)-k，因此可以得到f'(c)=k，进而得到f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}。
拉格朗日中值定理的应用也非常广泛，例如在求解函数的极值、证明函数的性质等问题中都可以使用拉格朗日中值定理。
通过拉格朗日中值定理，我们可以将一个函数在一个闭区间上的平均变化率与其导数联系起来，从而研究函数的变化趋势。
罗尔定理拉格朗日柯西中值定理洛必达法则与导数的应用
精心整理内容概要习题3-1★1.下列函数在给定区间上是否满足罗尔定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
（1）]511[32)(2.,,x x x f ---=；（2）]30[3)(,,x x x f -=。
知识点：罗尔中值定理。
思路：根据罗尔定理的条件和结论，求解方程0)(/=ξf ，得到的根ξ便为所求。
解：)5.即为所（2∴f (f '★2.思路 解∴5(01)12,ξ±∃=，使(1)(0)()10f f f ξ-'=-，验证完毕。
★3.已知函数4)(x x f =在区间]21[,上满足拉格朗日中值定理的条件，试求满足定理的ξ。
解：要使(2)(1)()21f f f ξ-'=-，只要3415ξξ=⇒=(12)ξ,=即为满足定理的ξ。
★★4.试证明对函数r qx px y ++=2应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间。
证明：不妨设所讨论的区间为][a,b ，则函数r qx px y ++=2在][a,b 上连续，在)(a,b 内可导，从而有()()()f b f a f ξb a-'=-，即a b r qa pa r qb pb q ξ-++-++=+)()(222， 解得2ab ξ+=，结论成立。
★5.函数3)(x x f =与1)(2+=x x g 在区间]21[,上是否满足柯西定理的所有条件？如满足，请求出满足定理的数值ξ。
知识点：柯西中值定理。
思路解，所以满★★★6.存在ξ思路，然后再证明)0(F ()()()0F ξf ξξf ξ''=+=，即()()f ξf ξξ'=-。
注：辅助函数的构造方法一般可通过结论倒推，如：要使()()f x f x x'=-，只要 ∴只要设辅助函数)()(x xf x F =★★7.若函数)(x f 在)(a,b 内具有二阶导函数，且)()()(321x f x f x f ==)(321b x x x a <<<<，证明：在)(31,x x 内至少有一点ξ，使得()0f ξ''=。
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定理1(罗尔定理) 如果函数了(X)满足下列条件： (1) 在［a,可上连续； ■ (2) 在(a,幻内可导； ⑶ f(a)= f(b)，
那么至少存在一点g E (a, b)，使得 广(8) = 0.
注：定理条件只是充分的，罗尔定理的三个假设条件缺一不可.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
罗尔定理
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——问题的引入
了(b)一仙)=/(&)(")
件 * 广(&)=
b-a
路程函数、二./(,)
北京某过街天桥上的公式
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
问题的引入
2丝二 2。
2
罗尔定理
拉格朗日中值定理
>
微分中值定理应用
1
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——主要内容
(2) 在[x, x + Ax] Q [a, <&](△* > 0)或[x + Ax, x] Q [a,b]^^x V 0) 上应用拉格朗日中值定理，有 /(% + Ax) — /(%) = f{x + OAx) - Ax, 0 V。V 1. 上式等价 于
BAy = f'(x + OAx) • Ax, 0 < 0 < 1.
例3证明方程工5 + x — 1 = 0只有惟一实根.
例4设f(x)在［GM］上连续，在(GM)内二阶可导，又若f3)的 图形与联结两点的弦交于点C(cJ(c)) {a<c <幻.证明在(GM)内 至少存在一点本，使得广'修)=0.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——微分中值定理应用
拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理.
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——拉格朗日中值定理
例1设产3）在（QM）内可导，且广3）恒为零，证明f 3）在 （。,幻内恒为常数.
X
例2证明不等式+ x>0.
y=x y = ln(l + x)
y = T-— 1+x
-^X
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——微分中值定理应用
0
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
拉格朗日中值定理
% 您）=
罗尔定理
定理2(拉格朗日中值定理) 如果函
数了3)满足下列条件：
(1) 在［a,可上连续；
(2) 在(a,幻内可导； 那么至少存在一点g C (a,幻，使得
x
第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理
拉格朗日中值定理
*拉格朗日中值定理的其他形式 (1) 拉格朗日中值公式等价于 f(b) - f(a)=广任)(b 一 a), a V g < b.
-- 第29讲 罗尔定理与拉格朗日中值定理——拉格朗日中值定理
t.J.
I I Z. I—« I Ilf—r VT~
I I Z— *—f | I-r-r \ZT—
注：』y = f'(% + 94%)・心 0 V。v 1,事 有限增量公式 函数微分的定义
Ay = dy + o(Ax)=广(%)▲% + o(Zlx) « fr(x)Ax. 公式=广（％ +。血）-血给出了自变量取得有限增量血时, 函 数增量的准确表达式.
《高等数学》全程教学视频课
第29讲罗尔定理与拉格朗日中值定理
「一位驾驶员在某高速公路出口处
曲
领至U 一张超速行驶罚单.理由是从七点进 入
高速到九点到达出口行驶了240km , 而该路段的限速为110km/h.试问该 与
罚单是否合理？
平均速度 v 二 = 12() (km h )
问题：是否存在某一时刻的瞬时速度恰 好是平均速度？