2011-2012学年北京四中高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)

2011-2012学年北京四中高二（上）期末数学试卷（理科）

A 卷：一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分

1. 抛物线y 2=8x 的焦点坐标为（ ） A.(−2, 0) B.(2, 0) C.(0, 2) D.(1, 0)

2. 若a ，b 是异面直线，直线c // a ，则c 与b 的位置关系是（ ） A.相交 B.异面 C.平行 D.异面或相交

3. 已知a →

=(2, −3, 1)，b →

=(4, 2, x)，且a →

⊥b →

，则实数x 的值是（ ） A.−2 B.2 C.−2

3

D.2

3

4. 已知双曲线x 2a 2

−

y 23

=1(a >0)的离心率为2，则a =( )

A.2

B.√62

C.√52

D.1

5. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.2

B.1

C.2

3

D.1

3

6. 已知△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23

+y 2=1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，

则△ABC 的周长是( ) A.2√3 B.6

C.4√3

D.12

7. 过点(2, 4)作直线与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A.1条 B.2条

C.3条

D.4条

8. 双曲线8kx 2−ky 2=8的一个焦点是(0, 3)，那么k 的值是（ ） A.−1 B.1

C.−

√65

3

D.

√65

3

9. 已知直线l ，m ，n 和平面α，β，在下列命题中真命题是（ ） A.若α内有无数多条直线垂直于β内的一条直线，则α⊥β B.若α内有不共线的三点到β的距离相等，则α // β

C.若l ，m 是两条相交直线，l // α，m // α，且n ⊥l ，n ⊥m ，则n ⊥α

D.若l // α，m // β，α // β，则l // m

10. 过抛物线y 2＝2px(p >0)的焦点F 作倾斜角为45∘的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则p

的值是（ ） A.2

B.4

C.8

5

D.16

9

11. 如图，在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，

则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）

A.直线

B.圆

C.双曲线

D.抛物线

12. 已知直线y =kx −2k −1与曲线y =1

2√x 2−4有公共点，则k 的取值范围是（ ） A.(−12, 1

4]∪(0, +∞)

B.(−12, 14]∪(1

2

, +∞)

C.(−12, −14)∪(1

2, +∞) D.(−1

2, +∞)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分

一个圆柱的侧面展开图是一个边长为1的正方形，则该圆柱的体积是________．

已知椭圆中心在原点，一个焦点为F(−2√3, 0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是________．

已知三棱锥S−ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=√2，则该三棱锥外接球的表面积等于________．

已知椭圆C:x2

2+y2=1的两焦点为F1，F2，点P(x0, y0)满足0

2

+y02<1，则|PF1|+PF2|的取值范围为

________，直线x0x

2

+y0y=1与椭圆C的公共点个数________．

三、解答题：本大题共2小题，每小题12分，共24分

已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，D，E，F分别为AB1，CC1，BC的中

点．

（1）求证：DE // 平面ABC；

（2）求证：B1F⊥平面AEF；

（3）求二面角B1−AE−F的大小．

已知椭圆x2

a2+y2

b2

=1(a>b>0)的右焦点为F2(3, 0)，离心率为e=√3

2

．

（1）求椭圆的方程．

（2）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点，若坐标原点O在以MN为直径的圆上，求k的值．

B卷：一、选择题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点(0, 2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）

A.√17

2B.3 C.√5 D.9

2

长方体ABCD−A1B1C1D1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=

√3，AA1=1，则顶点A，B间的球

面距离是( )

A.√2π

4

B.√2π

2

C.√2π

D.2√2π

如图，平面α⊥平面β，α∩β=直线l，A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉

直线l，M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是（）

A.当|CD|=2|AB|时，M，N两点不可能重合

B.M，N两点可能重合，但此时直线AC与直线l不可能相交

C.当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直线BD可以与l相交

D.当AB，CD是异面直线时，MN可能与l平行

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分

如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则异面直线A1C与AE所成角的余弦值是

________．

已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且BF

→

=2FD

→

，则C的离心率

为________．