中考数学专题练习三角形
人教版九年级中考数学 考点复习 全等三角形 专题练习
人教版九年级中考数学考点复习全等三角形专题练习一.选择题（本大题共10道小题）1. 已知图中的两个三角形全等,则∠1等于( )A.47°B.57°C.60°D.73°2. 如图,在△ABC和△DCB中,∠ACB＝∠DBC,添加一个条件,不能证明△ABC和△DCB全等的是( )A.∠ABC＝∠DCBB.AB＝DCC.AC＝DBD.∠A＝∠D3. 如图,点B,F,C,E共线,∠B＝∠E,BF＝EC,添加一个条件,不能判断△ABC≌△DEF的是( )A.AB＝DEB.∠A＝∠DC.AC＝DFD.AC∥FD4. 如图,等腰△ABC中,点D,E分别在腰AB,AC上,添加下列条件,不能判定△ABE≌△ACD的是( )A.AD＝AEB.BE＝CDC.∠ADC＝∠AEBD.∠DCB＝∠EBC5. 如图,△ABC≌△DEC,点A和点D是对应顶点,点B和点E是对应顶点,过点A作AF⊥CD,垂足为点F.若∠BCE＝65°,则∠CAF的度数为( )A.30°B.25°C.35°D.65°6. 在正方形网格中,∠AOB的位置如图所示,则下列各点中到∠AOB两边距离相等的点是( )A.点QB.点NC.点RD.点M7. 工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OC＝OD,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与点C,D重合,这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是( )A.SASB.ASAC.AASD.SSS8. 如图,在△AOB和△COD中,OA=OB,OC=OD,OA＜OC,∠AOB=∠COD=36o.连接AC、BD交于点M,连接OM.下列结论:①∠AMB=36o;②AC=BD;③OM平分∠AOD;④MO平分∠AMD其中正确的结论个数有( )个.A.4B.3C.2D.19. 下面是黑板上出示的尺规作图题需要回答横线上符号代表的内容.如图,已知∠AOB,求作:∠DEF,使∠DEF＝∠AOB.作法:(1)以△为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点P,Q;(2)作射线EG,并以点E为圆心,○长为半径画弧交EG于点D;(3)以点D为圆心,* 长为半径画弧交前弧于点F;(4)作⊕,则∠DEF即为所求作的角.A.△表示点EB.○表示PQC.*表示EDD.⊕表示射线EF10. 如图,在△ABC和△ADE中,∠CAB＝∠DAE＝36°,AB＝AC,AD＝AE.连结CD,连结BE并延长交AC,AD于点F,G.若BE恰好平分∠ABC,则下列结论错误的是( )A.∠ADC＝∠AEBB.CD∥ABC.DE＝GED.BF2＝CF·AC二.填空题（本大题共6道小题）11. 如图,点B 、F 、C 、E 在一条直线上,已知FB=CE,AC ∥DF,请你添加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF.12. 如图,四边形ABCD 中,∠BAC ＝∠DAC,请补充一个条件 ,使得△ABC ≌△ADC.13. 如图,AC ＝AD,∠1＝∠2,要使△ABC ≌△AED,应添加的条件是 .(只需写出一个条件即可)14. 如图,AC=AD,∠1=∠2,要使ABC AED ≌△△,应添加的条件是______(只需写出一个条件即可)15. 如图,点P 为定角∠AOB 的平分线上的一个定点,点M,N 分别在射线OA,OB 上(都不与点O 重合),且∠MPN 与∠AOB 互补.若∠MPN 绕着点P 转动,那么以下四个结论:①P M ＝PN 恒成立;②MN 的长不变;③OM+ON 的值不变;④四边形PMON 的面积不变.其中正确的为_____.(填番号)16. 如图,在△ABC 中,AB ＝AC,点D 在BC 上(不与点B,C 重合).只需添加一个条件即可证明△ABD ≌△ACD,这个条件可以是 (写出一个即可).三.解答题（本大题共6道小题）17. 如图,点D在AB上,点E在AC上,AB＝AC,∠B＝∠C,求证:BD＝CE.18. 如图,∠B＝∠E,BF＝EC,AC∥DF.求证:△ABC≌△DEF.19. 如图,△ACF≌△DBE,其中点A、B、C、D在同一条直线上.(1)若BE⊥AD,∠F＝63°,求∠A的大小.(2)若AD＝11cm,BC＝5cm,求AB的长.20. 如图,点E在AB上,AC与DE相交于点F,△ABC≌△DEC,∠B＝65°.(1)求∠DCA的度数;(2)若∠A＝20°,求∠DFA的度数.21. 在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,CB＝CA＝22,点D是射线AB上一点,连接CD,在CD右侧作∠DCE ＝90°,且CE＝CD,连接AE,已知AE＝1.(1)如图,当点D在线段AB上时,①求∠CAE的度数;②求CD的长;(2)当点D在线段AB的延长线上时,请直接写出∠CAE的度数和CD的长.22. 如图,D是△ABC的边AB上一点,CF∥AB,DF交AC于E点,DE＝EF.(1)求证:△ADE≌△CFE;(2)若AB＝5,CF＝4,求BD的长.。
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案
中考数学总复习《三角形的综合题》练习题及答案班级:___________姓名：___________考号：_____________一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中直线y=−x与双曲线y=kx交于A、B两点，P是以点C(2，2)为圆心，半径长1的圆上一动点，连结AP，Q为AP的中点.若线段OQ长度的最大值为2，则k的值为（）A．−12B．−32C．−2D．−142．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE.若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（）A．10°B．20°C．30°D．40°3．如图，在Rt△ABC中AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB垂足为E．若BC=8cm,BD=5cm则DE的长为（）A．2√3cm B．3cm C．4cm D．5cm4．如图，矩形纸片ABCD中AD=8cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=10cm，则AB的长为（）A．12cm B．14cm C．16cm D．18cm5．如图，直线l∥m，将含有45°角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若∠1=25°，则∠2的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．15°6．如图，锐角∠ABC的两条高BD，CE相交于点O，且CE=BD，若∠CBD=20°，则∠A的度数为()A．20°B．40°C．60°D．70°7．下列长度的三条线段与长度为5的线段能组成四边形的是（）A．1，1，1B．1，1，8C．1，2，2D．2，2，28．如图，在∠ABC中AB=AC，BE=CD，BD=CF，若∠A=40°，则∠EDF等于（）A．40°B．50°C．60°D．70°9．若点O是等腰∠ABC的外心，且∠BOC＝60°，底边BC＝2，则∠ABC的面积为() A．2＋√3B．2√3C．2＋√3或2－√3D．4＋2√3或2－√3310．如图，等边ΔABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（）A．15°B．22.5°C．30°D．45°11．如图，在△ABC中∠A=30°，∠ABC=100°，观察尺规作图的痕迹，则∠BFC的度数为（）A．130°B．120°C．110°D．100°12．在测量一个小口圆形容器的壁厚时，小明用“X型转动钳”按如图方法进行测量，其中OA＝OD，OB＝OC，测得AB＝5厘米，EF＝6厘米，圆形容器的壁厚是（）A．5厘米B．6厘米C．2厘米D．12厘米二、填空题13．如图，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线段BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为20米，则河宽AB长为米．14．如图1，点P从△ABC的项点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向匀速运动到点A.图2是点P运动时线段AP的长度y随时间t（s）变化的关系图象，其中点M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是.15．如图，在正方形ABCD中AC为对角线，E为AC上一点，连接EB，ED，BE的延长线交AD于点F，∠BED=120∘，则∠EFD的度数为.16．如图，△ABC中∠A=40°，D、E是AC边上的点，把△ABD沿BD对折得到△A′BD，再把△BCE沿BE对折得到△BC′E，若C′恰好落在BD上，且此时∠C′EB=80°，则∠ABC=．17．如图，测量三角形中线段AB的长度为cm.判断大小关系：AB+AC BC（填“ >”，“ =”或“ <”）．18．如图，已知AB是∠O的弦，AB=8，C是∠O上的一个动点，且∠ACB=45°．若M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长度的最大值是三、综合题19．已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a﹣c）＝0，其中a，b，c分别为∠ABC三边的长．（1）如果x＝﹣1是方程的根，试判断∠ABC的形状，并说明理由；（2）如果∠ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20．如图，在Rt∠OAB中∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1．（1）线段OA1的长是，∠AOB1的度数是；（2）连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．21．已知一次函数y=2x−2的图像为l1，函数y=12x−1的图像为l2．按要求完成下列问题：（1）求直线l1与y轴交点A的坐标；求直线l2与y轴的交点B的坐标；（2）求一次函数y=2x−2的图象l1与y=12x−1的图象l2的交点P的坐标；（3）求由三点P、A、B围成的三角形的面积．22．在图中利用网格点和三角板画图或计算：（1）在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；（2）图中AC与A′C′的关系怎样？（3）记网格的边长为1，则△A′B′C′的面积为多少？23．如图，在∠ABC中点D在AB上，且CD=CB，E为BD的中点，F为AC的中点，连接EF交CD 于点M，连接AM.（1）求证：EF= 12AC；（2）若EF∠AC，求证：AM+DM=CB.24．如图①，Rt△ABC中∠C=90°，AC=6cm.动点P以acm/s的速度由B出发沿线段BA 向A运动，动点Q以1cm/s的速度由A出发沿射线AC运动.当点Q运动2s时，点P开始运动；P点到达终点时，P、Q一起停止.设点P运动的时间为ts，△APQ的面积为ycm2，y与t的函数关系图像如图②所示.（1）点P运动的速度a=cm/s，AB=cm；（2）当t为何值时，△APQ的面积为12cm2；（3）是否存在t，使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.参考答案1．【答案】A2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】D8．【答案】D9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】D13．【答案】2014．【答案】1215．【答案】105º16．【答案】60°17．【答案】2.0；>18．【答案】4√219．【答案】（1）解：ΔABC是等腰三角形；理由：把x=−1代入方程得a+c−2b+a−c=0，则a=b，所以ΔABC为等腰三角形（2）解：∵ΔABC为等边三角形∴a=b=c∴方程化为x2+x=0解得x1=0，x2=−1．20．【答案】（1）6；135°（2）证明：∵∠OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到∠OA1B1∴∠AOA1＝90°，∠OA1B1＝90°，OA1＝A1 B1＝OA＝6∴∠AO A1＝∠O A1B1∴OA∠A1B1∵A1B1＝OA∴四边形OAA1B1是平行四边形．21．【答案】（1）解：当x =0时，y= -2，即直线l 1与y 轴交点A 的坐标为(0，−2)当x =0时，y= -1，即直线l 2与y 轴交点B 的坐标为(0，−1)；（2）解：∵一次函数y =2x −2的图象l 1与y =12x −1的图象l 2相交∴2x −2=12x −1∴x =23∴y =2×23−2=−23∴交点P 的坐标为(23，−23)；（3）解：三点P 、A 、B 围成的三角形，如下图，作PD ⊥AB 交y 轴于点DAB =|−1−(−2)|=1△ABP 的高DP 为：23∴S △ABP =12AB ×DP =12×1×23=13即由三点P 、A 、B 围成的三角形的面积：13．22．【答案】（1）解：如图，∠A′B′C′为所作；（2）解：线段AC 与A′C′的位置关系是平行，数量关系是相等 （3）解：∠A′B′C′的面积＝12×4×4＝8．23．【答案】（1）证明：连接CE∵CD=CB，点E为BD的中点∴CE⊥BD∵点F为AC的中点∴EF=12AC；（2）解：∵点F是AC中点∴AF=FC，又EF⊥AC∴∠AFM=∠CFM，且AF=FC∴ΔAFM≅ΔCFM(SAS)∴AM=CM∵BC=CD=DM+CM=DM+AM.24．【答案】（1）1；10（2）解：当运动时间为t时，AQ=t+2，BP=t，AP=10−t 如图，作PH⊥AC，则△APH∽△ABC∴PH=APAB·BC=4(10−t)5∴S△APQ=12AQ·PH=12(t+2)4(10−t)5=2(t+2)(10−t)5∴△APQ的面积为12cm2时，解方程12=2(t+2)(10−t)5，得t1=4+√6∴当t=4+√6或4−√6时，△APQ的面积为12cm2；（3）解：∵S△ABC=24cm2，C△ABC=6+8+10=24cm∴12S△ABC=12cm2①当0<t≤4时由（2）可知，当t=4−√6时，△APQ的面积为12cm2此时，AQ=4−√6+2=6−√6∴AP+AQ=6+√6+6−√6=12，即AP+AQ=12C△ABC∴t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；②当4<t≤10时设PQ与BC交于点N，作PM⊥BC则有：△PBM∽△ABC∴PM AC=BPBA=BMBC，∴PM=3t5，BM=4t5，MC=8−4t5∵PM QC=MNCN，∴MN=3t2−30t25−10t当BN+BP=12时，解方程4t5+3t2−30t25−10t+t=12，得t=5或t=4（舍去）此时，PM=3，BM=4，BP=5∴BN=4+3=7∴当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；∴综上，当t=4−√6时，直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分；当4<t≤10时，不存在t使得直线PQ将Rt△ABC的周长与面积同时平分.第11页共11页。
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合
2023年中考九年级数学高频考点专题训练--三角形综合1．如图，在△ABC中，AB=AC，DE垂直平分AC，CE△AB，AF△BC，（1）求证：CF=EF；（2）求△EFB的度数.2．如图，在△ABC中，∠B=60°，AB=8，BC=10，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB匀速运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC匀速运动，点Q到达点C后，立即以每秒4个单位的速度沿CB返回，当点Q返回到点B时，P、Q两点都停止运动，设点Q运动时间为t秒．（1）当t=3时，BQ=，当t=7时，BQ=．（2）如图，当点P运动到AB的中点时，猜想PQ与AB的位置关系，并证明你的结论．（3）在点P、Q运动过程中，若△BPQ是等边三角形时，求t的值．3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，AD＝2BD．动点P以2cm/s的速度沿射线BC运动，同时，点Q从点C出发，以acm/s的速度向终点A运动，当Q点停止运动时，P点也随之停止运动，设点P的运动时间为t（s）（t＞0）．（1）用含t的代数式表示PC的长；（2）若点Q的运动速度为1cm/s，当△CQP是以△C为顶角的等腰三角形时，求t的值；（3）当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP在某一时刻全等．4．如图，在ΔABC中，∠C=90°，将ΔACE沿着AE折叠以后C点正好落在AB边上的点D处．（1）当∠B=28°时，求∠CAE的度数；（2）当AC=6，AB=10时，求线段DE的长．5．如图，△ABC由两个全等的含45°的直角板拼成，其中，∠ACB=90°，AC=BC，AB= 8，点D是AB边长的中点，点E时AB边上一动点（点E不与点A、B重合），连接CE，过点B作BF⊥CE于F，交射线CD于点G．（1）当点E在点D的左侧运动时，（图）．求证：△ACE≌△CBG；（2）当点E在点D的右侧运动时（图）（1）中的结论是否成立？请说明理由：（3）当点E运动到何处时，BG=5，试求出此时AE的长．6．如图1，在等腰三角形ABC中，∠A=120°，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，AD= AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段NM、NP的数量关系是，∠MNP的大小为；（2）探究证明：把△ADE绕点A顺时针方向旋转到如图2所示的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，并说明理由．7．如图，△ABC 中，AB=AC，△BAC ＜60°，将线段AB 绕点A逆时针旋转60°得到点D，点 E 与点D 关于直线BC 对称，连接CD，CE，DE．（1）依题意补全图形；（2）判断△CDE 的形状，并证明；（3）请问在直线CE上是否存在点P，使得PA - PB =CD 成立？若存在，请用文字描述出点P 的准确位置，并画图证明；若不存在，请说明理由．8．如图，点M是△ABC的边AB上一点，连接CM，过A作AD⊥CM于点D，过B作BE⊥CM于点E．（1）如图①，若点M为AB的中点时，连接AE，BD，求证：四边形ADBE是平行四边形；（2）如图②，若点M不是AB的中点，点O是AB上不与M重合的一点，连接DO，EO，已知点O在DE的垂直平分线上，求证：AO=BO．9．（1）阅读理解：如图①，在△ABC中，若AB=8，AC=4，求BC边上的中线AD的取值范围是（2）问题解决：如图②，在△ABC中D是BC边上的中点，DE△DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：BE+CF＞EF；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，△B+△D=180°，CB=CD，△BCD=140°，以C为顶点作一个70角的两边分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明.10．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，点C在x轴的正半轴上，连接BC，tan∠BAO=3tan∠BCO．（1）求点A，C的坐标；（2）如图1，点P在第一象限内，横坐标为t．PD⊥y轴于点D，PA⊥BC于点E，AP= BC，求m与t之间的函数关系式（不必写出自变量t的取值范围）（3）如图2，在（2）的条件下，设BC交DP于点F，当BF=PE时，求m的值．11．综合与实践问题情境：在数学课上老师出了这样一道题：如图1，在△ABC中AB=AC=6，∠BAC=30°，求BC的长．（1）探究发现：如图2，勤奋小组经过思考后，发现：把△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，连接BD，BE，利用直角三角形的性质即可求解，请你根据勤奋小组的思路，求BC的长；（2）探究拓展：如图3，缜密小组的同学在勤奋小组的启发下，把△ABC绕点A顺时针旋转120°后得到△ADE，连接BD，CE交于点F，交AB于点G，请你判断四边形ADFC的形状并证明；（3）奇异小组的同学把图3中的△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，连接AF，发现AF的长度在不断变化，直接写出AF的最大值和最小值．12．综合与实践．特例感知．两块三角板△ADB与△EFC全等，△ADB＝△EFC＝90°，△B＝45°，AB＝6．（1）将直角边AD和EF重合摆放．点P、Q分别为BE、AF的中点，连接PQ，如图1．则△APQ的形状为．（2）操作探究若将△EFC绕点C顺时针旋转45°，点P恰好落在AD上，BE与AC交于点G，连接PF，如图2．①FG：GA＝▲ ；②PF与DC的位置关系为▲ ；③求PQ的长；（3）开放拓展若△EFC绕点C旋转一周，当AC△CF时，△AEC为．13．在Rt△ABC中，△ACB＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB 上，连接BD，过点D作DF△AC于点F．（1）如图1，当点F与点A重合时，求△ABC的度数；（2）若△DAF＝△DBA，①如图2，当点F在线段CA上时，求△ABC的度数；②当点F在线段CA的延长线上，且BC＝7时，请直接写出△ABD的面积．14．在△ABC中，AB=AC，△BAC=90，BD平分△ABC交AC于点D.（1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E.若AB=BF，求证：BD垂直平分AF.（2）如图2，CE△BD，垂足E在BD的延长线上.试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由.（3）如图3，点F为BC上一点，△EFC= 12△ABC，CE△EF，垂足为E，EF与AC交于点M.直接写出线段CE与线段FM的数量关系.15．如图，在菱形ABCD中，△ABC是锐角，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A按逆时针方向旋转，交直线CD于点F．（1）当AE△BC，△EAF＝△ABC时，①求证：AE＝AF；②连结BD，EF，若EFBD=25，求S△AEFS菱形ABCD的值；（2）当△EAF＝12△BAD时，延长BC交射线AF于点M，延长DC交射线AE于点N，连结AC，MN，若AB＝4，AC＝2，则当CE为何值时，△AMN是等腰三角形．16．已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD 的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD=60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．答案解析部分1．【答案】（1）证明：∵DE垂直平分AC，∴AE=CE，∵CE△AB，∴△ACE是等腰直角三角形，△BEC=90°，∵AB=AC，AF△BC，∴BF=CF，即F是BC的中点，∴Rt△BCE中，EF= 12BC=CF；（2）解：由（1）得：△ACE是等腰直角三角形，∴△BAC=△ACE=45°，又∵AB=AC，∴△ABC=△ACB= 12(180°−45°)=67.5°，∴△BCE=△ACB-△ACE=67.5°-45°=22.5°，∵CF=EF，∴△CEF=△BCE=22.5°，∵△EFB是△CEF的外角，∴△EFB=△CEF+△BCE=22.5°+22.5°=45°. 2．【答案】（1）6；2（2）解：PQ⊥AB，理由如下：在BQ上截取BE=BP，∵点P运动到AB的中点，∴AP=PB=4，∴t=41=4s，∴BQ=4×2=8，∵PB=BE=4，∠B=60°，∴△PEB是等边三角形，∴PE=BE=4，∠EPB=∠PEB=60°，∴QE=PE=4，∴∠EPQ=∠EQP，∵∠EPQ+∠EQP=∠PEB=60°，∴∠QPE=30°，∴∠QPE+∠EPB=90°=∠QPB，∴PQ⊥AB；（3）解：当0≤t≤5，BQ=2t，当5<t≤152，BQ=10−4(t−5)=30−4t，∵△BPQ是等边三角形，∴BP=BQ，∴8−t=2t或8−t=30−4t，∴t=83或t=223．3．【答案】（1）解：∵点P的运动速度为2cm/s，∴BP=2t，∴PC=10−2t；（2）解：△CQP以∠C为顶角的等腰三角形，则PC=CQ，PC=10−2t，CQ=t，即10−2t=t，解得：t=10 3，∴当t=103s时，△CQP是以∠C为顶角的等腰三角形；（3）解：①当BP=CQ时，BD=CP，此时△BPD≅△CQP，根据题意可得：BP=2t，CQ=at，BD=13AB=6，PC=10−2t，∴2t=at，6=10−2t，解得：a =2，t =2， ②当BP ≠CQ 时，∵△BPD 与△CQP 全等，∠B =∠C ，∴BP =CP =12BC =5，BD =CQ =6，∴t =52s ，∴a =CQ t =125cm/s ， 综上可得：当Q 的速度为2cm/s 或125cm/s 时，△BPD 与△CQP 在某一时刻全等．4．【答案】（1）∵∠C =90° ， ∠B =28°∴∠CAB =90−∠B =90°−28°=62°由折叠的性质可知 ∠CAE =∠EAB∴∠CAE =12∠CAB =31° （2）∵∠C =90° ， AC =6 ， AB =10 ∴BC =√AB 2−AC 2=√102−62=8由折叠的性质可知 AC =AD,CE =DE,∠EDA =∠C =90°∴∠EDB =180°−∠EDA =180°−90°=90°设 DE =x ，则 BE =8−x,DB =10−6=4 在 Rt △EDB 中, ED 2+DB 2=EB 2 ∴x 2+42=(8−x)2 解得 x =3 ∴DE =35．【答案】（1）证明：在 Rt △ABC 中，∵AC =BC ，∴∠A =∠ABC =45° ．∵点 D 是 AB 的中点，∴∠BCG =12∠ACB =45° ，∴∠A =∠BCG ．∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90° ． ∵∠ACE +∠BCF =90° ， ∴∠CBG =∠ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （2）解：结论仍然成立，即△ACE△△CBG ． 理由如下：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，∴△A=△ABC=45°．∵点D 是AB 的中点，∴△BCG= 12 △ACB=45°，∴△A=△BCG ．∵BF△CE ，∴△CBG+△BCF=90°． ∵△ACE+△BCF=90°， ∴△CBG=△ACE ， 在 △ACE 和 △CBG 中，{∠ACE =∠CBGAC =BC ∠A =∠BCG，∴△ACE ≌△CBG (ASA) （3）解：在Rt△ABC 中， ∵AC=BC ，点D 是AB 的中点， ∴CD△AB ，CD=AD=BD= 12AB=4，在Rt△BDG 中， DG =√BG 2−BD 2=√52−42=3 ， 点E 在运动的过程中，分两种情况讨论： ①当点E 在点D 的左侧运动时，CG=CD-DG=1， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=1；②当点E 在点D 的右侧运动时，CG=CD+DG=7， ∵△ACE△△CBG ， ∴AE=CG=7． 故答案为：1或7．6．【答案】（1）NM ＝NP ；60°（2）解：△MNP 是等边三角形．理由如下：由旋转可得，△BAD ＝△CAE ，又∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴△ABD△△ACE （SAS ），∴BD ＝CE ，△ABD ＝△ACE ，∵点M 、N 、P 分别为DE 、BE 、BC 的中点．∴MN ＝12BD ，PN ＝12CE ，MN△BD ，PN△CE ，∴MN ＝PN ，△ENM ＝△EBD ，△BPN ＝△BCE，∴△ENP＝△NBP＋△NPB＝△NBP＋△ECB，∵△EBD＝△ABD＋△ABE＝△ACE＋△ABE，∴△MNP＝△MNE＋△ENP＝△ACE＋△ABE＋△EBC＋△EBC＋△ECB＝180°−△BAC＝60°，∴△MNP是等边三角形．7．【答案】（1）解：如图即为所求，（2）解：△CDE是等边三角形.如图，连接BD、CE，由点D与点E关于直线BC对称可知BF垂直平分DE，∴CD=CE,BD=BE由旋转可知AB=AD,∠BAD=60°，∴△ABD为等边三角形∴AB=BD=AD,∠BAD=∠ABD=60°∴∠CAD=60°−∠BAC∵AB=AC∴∠ABC=180°−∠BAC2=90°−∠BAC2,BE=BD=AB=AC∴∠FBD=∠ABC−∠ABD=90°−∠BAC2−60°=30°−∠BAC2∴∠EBD=2∠FBD=60°−∠BAC∴∠CAD=∠FBD在△ACD和△BED中，{AD=BD ∠CAD=∠EBD AC=BE∴△ACD≅△BED(SAS)∴CD=ED∴CD=ED=CE∴△CDE是等边三角形；（3）解：存在，如图，将△BCD绕点B逆时针旋转60°得到△ABC′，延长AC′交直线CE于点P，连接BP，由（2）得△CDE是等边三角形，∴∠DCE=60°∴∠DCF=∠ECF=30°∴∠BCD=150°由旋转可得CD=C′A,∠C′BC=60°,∠BC′A=∠BCD=150°，∴∠BC′P=30°∵PA−PB=CD,PA−PC′=C′A=CD∴PB=PC′∴∠C′BP=∠BC′P=30°∴∠PBC=30°∵∠BCP=∠ECF=30°∴∠PBC=∠BCP∴BP=CP所以直线CE上存在点P，使得PA - PB =CD 成立，点P在点C左边距离为CE长的位置. 8．【答案】（1）证明：证法一：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∴∠ADM=∠BEM=90°（或∠DAM=∠EBM）∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴AD=BE∴四边形ADBE是平行四边形证法二：∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴∠ADM=∠BEM=90°∵点M为AB的中点，∴AM=BM∵∠AMD=∠BME，∴△ADM≌△BEM∴DM=EM∴四边形ADBE是平行四边形（2）证明：延长DO交BE于F，∵AD⊥CM，BE⊥CM．∴AD∥BE，∠BEM=90°∴∠DAO=∠EBO，∠ODE+∠OFE=∠DEO+∠FEO=90°∵点O在DE的垂直平分线上，∴DO=EO∴∠ODE=∠DEO∴∠OFE=∠FEO∴FO=EO∴DO=FO∵∠AOD=∠BOF∴△ADO≌△BFO∴AO=BO．9．【答案】（1）2＜AD＜6（2）解：如图2，延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM同（1）得：△BMD≅△CFD(SAS)∴BM=CF∵DE⊥DF，DM=DF∴DE是MF的垂直平分线∴EM=EF在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM>EM∴BE+CF>EF；（3）解：BE+DF=EF；证明如下：如图3，延长AB至点N，使BN=DF，连接CN∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°∴∠NBC=∠D在△NBC和△FDC中，{BN=DF ∠NBC=∠D CB=CD∴△NBC≅△FDC(SAS)∴CN=CF，∠NCB=∠FCD ∵∠BCD=140°，∠ECF=70°∴∠BCE+∠FCD=70°∴∠BCE+∠NCB=70°∴∠ECN=70°=∠ECF在△NCE和△FCE中，{CN=CF ∠ECN=∠ECF CE=CE∴△NCE≌△FCE(SAS)∴EN=EF∵BE+BN=EN∴BE+DF=EF.10．【答案】（1）解：∵直线y=mx+m交x轴于点A，交y轴的正半轴于点B，当x=0时，y=m,∴B（0，m）当y=0时，mx+m=0，解得x=-1∴A（-1,0）∴OA=1,OB=m∵tan∠BAO=OBOA=m1=m,tan∠BCO=OBOC=mOC又tan∠BAO=3tan∠BCO∴3mOC=m∴OC=3∴C（3，0）（2）解：过点P作PH△x轴于点H，则△PHA=90°=△BOC∴△PAH+△APH=90°∵AP△BC∴△AEC=90°∴△PAH+△BCO=90°∴△APH =△BCO∵AP=BC∴△APH△△BCO，∴PH=OC=3,AH=BO，∴t-(-1)=m，则m=t+1；（3）解：过点E作EM△x轴于点M，延长ME交BD于N，则△NMO=90°∵△APH△△BCO，PH=3=OC，BD=m-3∴△DBF =△PAH,∵PD△y轴∴△PDO =△PHO=△DOH =△NMO=90°∴△NPE =△PAH=△DBF∵BF=PE∴△BDF△△PNE，∴BD=NP= m-3=MH，∵OH=t∴OM=OH-MH=OH-MH=t-（m-3）=t-m+3又OC=3∴CM=OC-OM=3-（t-m+3）=m-t∵m=t+1∴CM=m-t=1∴AM=AH-MH=（1+t）- （m-3）=1+t-m+3=3∵△CEM =△EAM∴1EM=EM3故EM= √3∴tan△EAM= tan△CBO∴EM AM=√33=3m，∴m=3 √3．11．【答案】（1）解：如图4，延长CB、DE交于点H.∵△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE∴△ABC≌△ADE，∠CAE=∠BAD=90°，△H=90°，∴AB=AD=6，AC=AE=6，∠DAE=∠BAC，DE=BC ∵AB=AC=6，∠BAC=30°∴△ABC是等腰三角形，∠BAE=∠CAE−∠BAC=60°∴∠ABC=180°−∠BAC2=75°，∵AE=AB=6∴△AEB是等边三角形∴BE=AB=6，∠ABE=60°∴∠EBH=180°−∠ABE−∠ABC=45°∴△EBH是等腰直角三角形∴HE=HB．∵AD=AB，∠DAB=90°．∴△ABD是等腰直角三角形，∠BDA=45°．在Rt△EBH中，由勾股定理，得HE2+HB2=BE2．∴HE2+HB2=62=36．∴HE2=HB2=18∴HE=HB=√18=3√2．在△BDH中，∠H=90°，∠BDH=∠EDA−∠BDA=∠ABC−∠BDA=30°．在Rt△BDH中，BH=12BD=3√2．∴BD=6√2．在Rt△BDH中，tan∠BDH=BH DH，∴3√2 DH=√3 3，∴DH=3√6．∴DE=DH−EH=3√6−3√2．∵DE=BC，∴BC的长是3√6−3√2．（2）解：四边形ADFC是菱形．理由如下：∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，AB=AC，∠BAC=30°，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=∠CAE=120°．∴AC=AE，AB=AD，∠BAC=∠DAE=30°．∴AC=AE=AB=AD．∴△ACE是等腰三角形∴∠ACE=∠AEC=180°−∠CAE2=30°．同理可得：∠ABD=∠ADB=30°．∵∠ACB=180°−∠BAC2=75°．∴∠BCG=∠ACB−∠ACE=45°，∠FBC=∠ABC+∠ABF=105°．∴在△BFC中，∠BFG=180°−∠FBC−∠BCG=30°．∴∠BFG=∠ACF，∠BFG=∠ADB．∴DB∥AC，FC∥AD．∴四边形ADFC是平行四边形．∵AD=AC，∴四边形ADFC是菱形．（3）解：如图5，作AH△BD于点H，则∠AHB=90°∵△ABC绕点A顺时针旋转120°得到△ADE，∴△ABC≌△ADE，∠BAD=120°∴AB=AD=6∴△ABD是等腰三角形∴BH=DH=12BD∴∠ABD=∠ADB=180°−∠BAD2=30°．在Rt△ABH中，△AHB=90°，△ABH=30°，AB=6∵BHAB=cos∠ABH=cos30°∴BH=3√3∴BD=2 BH=6√3由（2）知四边形ADFC是菱形∴DF=AD=6∴BF=BD-DF=6√3－6当△BGF绕点B顺时针旋转，在旋转过程中，当旋转到A、B、F第一次三点共线时，如图6，△BGF≌△BG″F″，∴BF=BF″此时AF有最小值，此时AF=AF″=AB-BF″=AB-BF=6-（6√3－6）=12－6√3当旋转到A、B、F第二次三点共线时，如图7，△BGF≌△BG′F′，∴BF=BF′此时AF有最大值，此时AF=AB+BF′=AB+BF=6+6√3－6=6√3故AF的最大值是6√3，AF的最小值是12−6√3 12．【答案】（1）等腰直角三角形（2）①∵AB=6，△B=45°，△ADB=90°，∴√AD2+BD2=AB，∴AD=BD= 3√2，∴EF= 3√2，∵△BFC=△BAC=90°，∴△GFE=△BAG，∵△AGP=△EGF，∴△ABQ=△GBF，∴△EGF△△BGA，∴FGAG=EFAB，∴FGAG=EFAB=3√26=√22=1√2故答案为：1:√2；②如图，过P作PM//BC交CE与点M，∴EMCM=EPBP=11，∴EM=CM∴FM//BC，∴F在PM上，∴PF△CD，故答案为：平行；③∵BP=PE，BD=CD，∴DP为△BCE的中位线，∴PD//CE，∵CE△BC，∴PD△BC，又∵AD△BC，∴P在AD上，△APF=△ADC=90°，∵Q 为AF 的中点， ∴PQ= 12AF ，又∵△B=45°，△ADB=90°，∴EF =√22AB =3√2 ，∴FC=EF= 3√2 ， ∴AF=AC-CF=6- 3√2 ，∴PQ= 12AF = 3−3√22；（3）22.5°或67.5°13．【答案】（1）解：由旋转的性质可得△ABC△△ADE∴△BAC=△DAE∵DF△AC ，点F 与点A 重合， ∴△CAD=90° ∴△BAC=△DAE=45° ∵△ACB=90°∴△ABC=90°-△CAB=45°；（2）①∵△ABC△△ADE ，则△BAC=△DAE=12△DAF∵△DAF=△DBA ， ∴△DAE=12△DAF=12△DBA∵△ABC△△ADE ∴AB=AD∴△DBA=△BDA ，设△BAC=△BAD-x ，则△DBA=△BDA-2x ∵△BAD+△ABD+△ADB=180° ∴x+2x+2x=180°解得：x=36° ∴△BAC=36°∴△ABC=90°-△BAC=54°； ②493√3 14．【答案】（1）证明：∵BD 平分△ABC ，∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE△△FBE（SAS），∴AE=FE，△AEB=△FEB= 12× 180°=90°，∴BD垂直平分AF.（2）解：BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G，∵CE△BD，△ABE=△FBE，∴GE=2CE=2GE，∵△CED=90°=△BAD，△ADB=△EDC，∴△ABD=△GCA，又AB=AC，△BAD=△CAG，∴△BAD△△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE，（3）解：FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，∴FN=MN，MH=FH= 12FM，∴△NMH=△NBH，∵△EFC= 12△ABC=22.5°，∴△MNC=2△NFH=2× 12△ABC=△ABC，∵AB=AC，△BAC=90，∴△ABC=△ACB=△MNC=45°，∵△EMC=△MFC+△MCF=22.5°+45°=67.5°，∴△ECM=90°-△EMC=22.5°，∴△NFH=△MCE，又∵△FHN=△E=90°，∴△FNH△△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE.15．【答案】（1）解：①∵菱形ABCD，∴AB=AD，△ABC=△ADC，AD△BC，∵AE△BC，∴AE△AD，∴△EAF+△DAF=△BAE+△ABE=90°，∵△EAF＝△ABC，∴△DAF=△BAE，在△ABE和△ADF中{∠ABC=∠ADC AB=AD ∠DAF=∠BAE∴△ABE△△ADF（ASA）∴AE=AF.②连接AC，∵菱形ABCD，∴AB=BC=CD，AC△BD，∵△ABE△△ADF，∴BE=CF ， ∴CE=CF ∵AE=AF ∴AC△EF ∴BD△FE ， ∴△CEF△△CBD ， ∴EC BC =EF BD =25设EC=2a ，则AB=BC=5x ，BE=3a ， ∴AE =√25a 2−9a 2=4a ， ∵AE AB =AF BC ，△EAF=△ABC ， ∴△AEF△△BAC ，S △AEF S △ABC =(AEAB)2=(4a 5a)2=1625S △AEFS 菱形ABCD=S △AEF 2S △ABC=12×1625=825.（2）解：∵菱形ABCD ， ∴△BAC=12△BAD ，∵△EAF=12△BAD ，∴△BAC=△EAF ， ∴△BAE=△CAM ， ∵AB△CD ， ∴△BAE=△ANC ，同理可知：△AMC=△NAC ， ∴△MAC△△ANC ， ∴AC CN =AM NA； 当△AMN 时等腰三角形， 当AM=AN 时，在△ANC和△MAC中{∠ANC=∠CAM AM=AN ∠AMC=∠NAC∴△ANC△△MAC（ASA）∴CN=AC=2，∵AB△CN，∴△CEN△△BEA，∴CEBE=CNAB=24=12∵AB=BC=4∴CE4−CE=12解之：CE=43；当NA=MN时△NMA=△NAM，∵AB=BC，∴△BAC=△BCA，∵△BAC=△EAF，∴△NMA=△NAM=△BAC=△BCA，∴△ANM△△ABC，∴AMAN=ACAB=12∴AC CN =AM NA =12 ∴CN=2AC=4=AB 解之：AC=2∵△CEN△△BEA （AAS ） ∴CE=BE=2； 当MA=MN 时，易证△MNA=△MAN=△BAC=△BCA ， ∴△AMN△△ABC ∴AM AN =AB AC =42=2 ∴CN=12AC=1∵△CEN△△BEA ， ∴CE BE =CN AB =14 ∴CE 4−CE =14 解之：CE =45;∴当CE 为43或2或45时，△AMN 是等腰三角形.16．【答案】（1）OC =OD（2）解：数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O 作直线 EF//CD ，交BD 于点F ，延长AC 交EF 于点E ．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD．证明（方法二）：延长CO交BD于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠A=∠B，∵点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(ASA)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．（3）解：①数量关系依然成立．证明（方法一）：过点O作直线EF//CD，交BD于点F，延长CA交EF于点E．∵EF//CD∴∠DCE=∠E=∠CDF=90°∴四边形CEFD为矩形．∴∠OFD=90°，CE=DF由（1）知，OE=OF∴△COE≌△DOF(SAS)，∴OC=OD.10分证明（方法二）：延长CO交DB的延长线于点E，∵AC⊥CD，BD⊥CD，∴AC//BD，∴∠ACO=∠E，∴点O为AB的中点，∴AO=BO，又∵∠AOC=∠BOE，∴△AOC≌△BOE(AAS)，∴OC=OE，∵∠CDE=90°，∴OD=OC．②AC+BD=√3OC。
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案
中考数学复习《全等三角形》专题训练-附带有答案一、选择题1．如图，△ABC≌△EFD，且AB＝EF，EC＝4，CD＝3，则AC等于（）A．3 B．4 C．7 D．82．某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去B．带②去C．带③去D．①②③都带去3．如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧选择了一点C，测得∠ABC=60°，∠ACB= 40°然后在BC的同侧找到点M使∠MBC=60°，∠MCB=40°，得到△MBC≌△ABC，所以测得MB的长就是A，B两点间的距离，这里判定△MBC≌△ABC的理由是（）A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA4．如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为1cm2则△PBC的面积为（）.A．0.4 cm2B．0.5 cm2C．0.6 cm2D．不能确定6．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立是（）A．PA=PB B．PO平分∠APBC．OA=OB D．AB垂直平分OP7．如图，△ABC中∠ACF、∠EAC的角平分线CP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF.则下列结论中正确的个数（）①BP平分∠ABC ②∠ABC+2∠APC=180°③∠CAB=2∠CPB④S△PAC=S△MAP+S△NCP．A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝（）A．6 B．3 C．2 D．1.5二、填空题9．如图BA=BE，∠1=∠2要使△ABD≌△EBC还需添加一个条件是．（只需写出一种情况）10．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC、AD、AB于点E、O、F，则图中全等的三角形的对数是．11．如图，在Rt△ABC，∠C=90°，E是AB上一点，且BE=BC，DE⊥AB于点E，若AC=8，则AD+DE的值为．12．如图，在△ABC中AB=AC，BF=CD，BD=CE，∠FDE=70°那么∠A的大小等于度．13．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，则△BCD的面积是．三、解答题14．如图，AD平分∠BAC，∠B=∠C.（1）求证：BD=CD；（2）若∠B=∠BDC=100°，求∠BAD的度数.15．如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E.（1）求证：BC＝DC；（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数.16．如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE.（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若∠1＝25°，∠2＝30°，求∠3的度数.17．如图，△ABD、△AEC都是等边三角形，直线CD与直线BE交于点F．（1）求证：CD=BE；（2）求∠CFE的度数．18．如图，在△AOB和△COD中OA=OB，OC=OD，OA<OC，∠AOB=∠COD=36°连接AC、BD交于点M，连接OM．求证：（1）∠AMB=36°；（2）MO平分∠AMD．参考答案1．C2．C3．D4．B5．B6．D7．D8．D9．BD =BC 或∠A =∠E 或∠C =∠D （任填一组即可）10．411．812．4013．414．（1）证明：∵AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD .在△ABD 和△ACD 中{∠BAD =∠CAD ∠B =∠C AD =AD∴△ABD ≌△ACD(AAS)∴BD =CD .（2）解：由(1)得：△ABD ≌△ACD∴∠C =∠B =100°，∠BAD =∠CAD∵∠BAC +∠B +∠BDC +∠C =360°∴∠BAC =60°∴∠BAD =30°15．（1）证明：∵∠BCE ＝∠DCA∴∠BCE +∠ACE ＝∠DCA +∠ECA即∠BCA ＝∠DCE .在△BCA 和△DCE 中{∠BCA =∠DCE AC =EC ∠A =∠E∴△BCA ≌△DCE （ASA ）∴BC ＝DC ；（2）解：∵△BCA ≌△DCE∴∠B ＝∠D ＝15°.∵∠A ＝25°∴∠ACB ＝180°−∠A −∠B ＝140°.16．（1）证明：∵∠BAC ＝∠DAE∴∠BAC ﹣∠DAC ＝∠DAE ﹣∠DAC∴∠1＝∠EAC在△ABD 和△ACE 中{AB =AC ∠1=∠EAC AD =AE∴△ABD ≌△ACE （SAS ）（2）解：∵△ABD ≌△ACE∴∠ABD ＝∠2＝30°∵∠1＝25°∴∠3＝∠1+∠ABD ＝25°+30°＝55°.17．（1）证明：∵△ABD 、△AEC 都是等边三角形∴AD=AB ，AC=AE ，∠DAB=∠DBA=∠ADB=60°，∠CAE=60°∵∠DAB=∠DAC+∠CAB ，∠CAE=∠BAE+∠CAB∴∠DAC=∠BAE在△DAC 和△BAE 中{AD =AB ∠DAC =∠BAE AC =AE∴△DAC ≌△BAE∴CD=BE（2）解：∵△DAC ≌△BAE∴∠ADC=∠ABE∴∠CFE=∠BDF+∠DBF=∠BDF+∠DBA+∠ABF=∠BDF+∠DBA+∠ADC=∠BDA+∠DBA=60°+60°=120°18．（1）解：证明：∵∠AOB=∠COD=36°∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠BOD 在△AOC和△BOD中{OA=OB ∠AOC=∠BOD OC=OD∴△AOC≌△BOD(SAS)∴∠OAC=∠OBD∵∠AEB是△AOE和△BME的外角∴∠AEB=∠AMB+∠OBD=∠AOB+∠OAC∴∠AMB=∠AOB=36°；（2）解：如图所示，作OG⊥AC于G，OH⊥BD于H∴OG是△AOC中AC边上的高，OH是△BOD中BD边上的高由（1）知：△AOC≌△BOD∴OG=OH∴点O在∠AMD的平分线上即MO平分∠AMD．。
中考数学打基础系列 三角形的基本计算与证明 专题
备战中考数学打基础专题练习系列（三角形的基本计算与证明）专题总分：120分建议用时：100分钟一、选择题（30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项1. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A. 2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，3cmC. 3cm， 4cm，5cmD. 4cm，5cm， 6cm2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）4.如图，已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB－BC的长是（）.A.6B.7C.8D.95. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是( )A.4B.5C.6D.76. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,√3),B(-2,-√3),△ABC 是等边三角形,AD 是BC 边上的高,则点C 的坐标是 ( )A.(2,-√3)B.(-2,√3)C.(2,-2)D.(-2,2)7. 如图,D,E,F 分别是等边三角形ABC 各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF 的形状是( )A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形8.如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE ，如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，那么下列式子中正确的是（ ）A ．γ=2α+βB ．γ=α+2βC ．γ=α+βD ．γ=180°-α-β12AB C9.一个多边形割去一个角后，得到的多边形的内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．以上都有可能10. 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC ，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（32分）11. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为_________．12. 某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为_________．13. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E.若∠AED＝50°，则∠D的度数为 .14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．15.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 S △ABC =4 cm 2，那么阴影部分的面积是_________．16. 如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝10，△ABC 的高AD 与CE 的比是 .17.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ．图中，∠BAC ＝ 度．18. 如图,在等边△ABC 中,D 是边AC 上一点,连接BD.将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED 的周长是________.三、解答题（58分）A BC DEF19. 已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠AED=50°，CD 平分∠ACB ，求∠CDE 的度数．20. 如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。
中考数学总复习《三角形内角和定理》专题复习练习及答案
初三中考数学复习三角形内角和定理专题复习练习1. 把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1＝40°，则∠2的度数为( )A．125° B．120° C．140° D．130°2. 如图所示，∠A，∠1，∠2的大小关系是( )A．∠A>∠1>∠2 B．∠2>∠1>∠A C．∠A>∠2>∠1 D．∠2>∠A>∠1 3. 如图，射线AD，BE，CF构成∠1，∠2，∠3，则∠1＋∠2＋∠3等于( )A．180° B．360° C．540° D．无法确定4. 如图，a∥b，∠1＝50°，∠2＝60°，则∠3的度数为( )A．50° B．60° C．70° D．80°5. 如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延长BA至点D，则∠CAD的大小为( )A．110° B．80° C．70° D．60°6. 下面四个图形中，能判断∠1>∠2的是( )7. 如图，AC∥ED，∠C＝26°，∠CBE＝37°，则∠BED的度数为( )A．53° B．63° C．73° D．83°8. 已知AB∥CD，∠C＝70°，∠F＝30°，则∠A的度数为( )A．30° B．35° C．40° D．45°9. 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝25°，D是AB上一点，将Rt△ABC 沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A．40° B．35° C．30° D．25°10. 如图，a，b，c，d互不平行，对它们截出的一些角的数量关系描述错误的是( )A．∠1＋∠5＋∠4＝180° B．∠4＋∠5＝∠2C．∠1＋∠3＋∠6＝180° D．∠1＋∠6＝∠211. 如图所示，AB∥CD，AD与BC交于点E，EF是∠BED的平分线．若∠1＝30°，∠2＝40°，则∠BEF＝____度．12. 如图，已知∠1＝100°，∠2＝140°，那么∠3＝______．13. 如图，点D，B，C在同一直线上，∠A＝60°，∠C＝50°，∠D＝25°，则∠1＝____度．14. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为_______．15．如图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于_______．16．在△ABC 中，∠A∶∠B＝2∶1，∠C＝60°，则∠A ＝____°. 17. 如图，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．18. 如果等腰三角形的一个外角为110°，求它的底角．19. 在三角形ABC 中，∠BAE ＝12∠BAC ，∠C>∠B ，且FD ⊥BC 于D 点．(1)试推出∠EFD ，∠B ，∠C 的关系；(2)当点F 在AE 的延长线上时，其余条件不变，你在题(1)推导的结论还成立吗？请直接写出结论．20. 如图，CE 是△ABC 外角∠ACD 的平分线，CE 与BA 的延长线相交于点E ，求证：∠BAC>∠B.21. 如图所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，试说明：∠BOC ＝90°＋12∠A.参考答案1---10 DBBCC DBCAD 11. 35 12. 60° 13. 45 14. 30° 15. 360° 16. 8017. 解：在△ABN 中，∠A ＋∠B ＋∠1＝180°，在△CDP 中，∠C ＋∠D ＋∠3＝180°，在△EFM 中，∠E ＋∠F ＋∠2＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠1＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠3＋∠2＝540°，在△MNP 中，∠5＋∠4＋∠6＝180°，∴∠1＋∠2＋∠3＝180°，∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝540°－(∠1＋∠2＋∠3)＝360°18. 解：①当110°是顶角的外角时，则底角为110°×12＝55°，②当110°是底角的外角时，则底角为180°－110°＝70°，即它的底角是55°或70°19. 解：(1)∠EFD ＝90°－∠FED ＝90°－(∠B ＋∠BAE)＝90°－∠B －12∠BAC＝90°－∠B －12(180°－∠B －∠C)＝90°－∠B －90°＋12∠B ＋12∠C ＝12(∠C－∠B)(2)在(1)中推导的结论成立，∠EFD ＝12(∠C －∠B)20. 证明：∵∠BAC>∠ACE ，∠DCE>∠B ，又∠ACE ＝∠DCE ，∴∠BAC>∠B 21. 证明：∠BOC ＝180°－(∠OBC ＋∠OCB)＝180°－12(∠ABC ＋∠ACB)＝180°－12(180°－∠A)＝90°＋12∠A。
中考数学专题三角形综合测试题含答案
中考数学专题三角形综合测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.一直角三角形的两条直角边分别为3和4，下列说法中不正确的是 （ ） A.斜边长为5 B.三角形周长为12 C.第三边长为25 D.三角形面积为6 2．如图，AB ∥CD ，AE 交CD 于C ，∠A=34°，∠DEC=90°，则∠D 的度数为 （ ）A.17°B.34°C.56°D.124°3.计算sin 245°+cos30°•tan60°，其结果是（ ） A.2 B.1 C.25 D.45 4．如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是（ ）A.sin A =B.1tan 2A =C.cos B =D.tan B =5．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，ED⊥AB 于D ．如果∠A=30°，AE=6cm ，那么CE 等于 （ ） A.cm B.2cm C.3cm D.8cm6．如图，点F 在正方形ABCD 内，满足∠AFB=90°，AF=6，BF=8，则图中阴影部分面积为 （ ）A.48B.60C.76D.807.等腰三角形底边长为10cm ，周长为36cm ，那么它的底角的余弦是（ ） A.135 B.1312 C.1310 D.125 8．如果一个三角形的一个内角是另一个内角的3倍，那么我们称这个三角形是“智慧三角形”，下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的是( ) A.1，2，3 B.1，1，2 C.1，2，3 D.1，1，39．如图，在一笔直的海岸线l 上有A ，B 两个观测站，AB=2km ，从A 测得船C 在北偏东45°的方向，从B 测得船C 在北偏东22.5°的方向，则船C 离海岸线l 的距离（即CD 的长）为（ ）A.4kmB.（4﹣）kmC.2kmD.（2+）kmBCA10．小明去爬山，在山脚看山顶仰为30°，小明在坡比为5︰12的山坡上走1300米，此时小明看山顶的角度为60°，则山高为（ ） A.（600﹣250) 米 B.（600﹣250）米 C.（350+350）米 D.500米二、填空题（每小题4分，共32分） 11．已知α为锐角，且23)10sin(=︒-α，则α=_______． 12.已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D 为AB 中点，则CD=______．13．已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 的对的边分别为a ，b ，c ，其中22=a ，62=b ，小明得到下面4个结论：①24=c ；②33tan =A ；③1cos sin =+B A ；④∠B =30°，正确的结论是_______（填序号）.14．如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠ACB=60°，斜边AC 的垂直平分线DE 分别交AB ，AC 于D ，E 两点，若BD=2，则AC 的长为______.15．如图，△ABC 中，∠A=30°，23tan =B ，AC=32，则AB 的长为______. 16.某厂家新开发的一种电动车如图，它的大灯A 射出的光线AB,AC 与地面MN 所夹的锐角分别为8︒和10︒，大灯A 离地面的距离为1m 则该车大灯照亮地面的宽度BC 是 米.（不考虑其他因素））（参考数据：sin 8°≈254，tan8°≈71，sin10°≈509tan10°≈285）第16题图17．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示.正方形DEFH 的边长为2米，∠B＝90°，BC ＝6米，AC=12米. 当正方形DEFH 运动到什么位置，即当AE ＝______米时，有DC 2＝A E 2＋BC 2.18.如图，在小山的东侧A 点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，20分钟后到达C 处，此时热气球上的人测得小山西侧B 点的俯角为30°，则小山东西两侧A ，B 两点间的距离为_______米．三、解答题（共58分）19．（10分）如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB，CD=3，BD=32，求AB 及∠B.20．（10分）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．21．（12分）如图，MN 表示一段笔直的高架道路，线段AB 表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A 到MN 的距离为15米，BA 的延长线与MN 相交于点D ，且∠BDN ＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．(1)过点A 作MN 的垂线，垂足为点H ．如果汽车沿着从M 到N 的方向在MN 上行驶，当汽车到达点P 处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H 的距离为多少米？ (2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q 时，它与这一排居DCBA民楼的距离QC 为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：3≈1.7)22．（12分）如图，已知斜坡AB 长60米，坡角（即∠BAC）为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D 处挖去部分坡体（用阴影表示）修建一个平行于水平线CA 的平台DE 和一条新的斜坡BE ．（请将下面2小题的结果都精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．（1）若修建的斜坡BE 的坡角（即∠BEF）不大于45°，则平台DE 的长最多为_____米； （2）一座建筑物GH 距离坡角A 点27米远（即AG=27米），小明在D 点测得建筑物顶部H 的仰角（即∠HDM）为30°．点B 、C 、A 、G 、H 在同一个平面内，点C 、A 、G 在同一条直线上，且HG⊥CG，问建筑物GH 高为多少米？23．（14分）如图，我南海某海域A 处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B 处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60 º方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C 处，同时捕鱼船低速航行到A 点的正北1.5海里D 处，渔政船航行到点C 处时测得点D 在南偏东53 º方向上．(1)求CD 两点的距离；(2)渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E 处相会合，求∠ECD 的正弦值 (参考数据：5453sin ≈︒，5353cos ≈︒，3453tan ≈︒).第23题图三角形（二）综合测试题参考答案一、1.C 2.C 3.A 4.D 5.C 6.C 7.A 8.C 9.D 10.B9．解析：过点B 作BE ⊥AD 交AC 于点E ，则BE =AB =2，AE根据题意可知，∠CBD=67.5°，所以∠BCE=22.5°，所以CE=BE=2，，在Rt△ACD 中，sin∠CAD=22=AC CD ,所以CD =(2km.E第9题图 第10题图10．解析：如图，根据题意可得，BE=500米，AE=1200米，设EC=x 米，则DF=x 3, 所以CD=500+x 3，AC=1200+x ，在Rt△ACD 中，AC=3CD ，即1200+x=()x 35003+，解得3250600-=x .∴DF=x 3=7503600-， CD= DF+CF=2503600-，故应选B.二、11．70 12．5 13．①② 14．38 15．5 16．57 17．31418．2600 三、19．解：过D 点作DE⊥AB 于E 点，因为AD 平分∠CAB，所以DE=DC=3.在Rt△BED 中，sinB=21，∴∠B=30°，在Rt△ABC 中，23AB BC cosB ==，所以AB=6．第19题图20．解：（1）在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB=∠ADC=90°．在△ADC 中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1． 在△ADB 中，∵∠ADB=90°，sinB=，AD=1，∴AB==3，∴BD==2，∴BC=BD+DC=2+1；（2）∵AE 是BC 边上的中线，∴CE=BC=+， ∴DE=CE ﹣CD=﹣，∴tan∠DAE==﹣．21．解：（1）如图，连接PA ．由题意知，AP=39m ．在直角△APH 中，PH=22221539-=-AH AP =36（米）.（2）由题意知，隔音板的长度是PQ 的长度．在Rt△ADH 中，DH=31530tan =︒AH（米）．在Rt△CDQ 中，DQ=7830sin =︒CQ（米）． 则PQ=PH+HQ=PH+DQ-DH=36+78-153≈114-15×1.7=88.5≈89（米）． 答：高架道路旁安装的隔音板至少需要89米．第21题图22．解：（1）11.0；（2）过点D 作DP⊥AC，垂足为P ．在Rt△DPA 中，DP=AD=×30=15，PA=AD•cos30°=×30=15．在矩形DPGM 中，MG=DP=15，DM=PG=15+27，在Rt△DMH 中， HM=DM•tan30°=×（15+27）=15+9．GH=HM+MG=15+15+9≈45.6． 答：建筑物GH 高为45.6米．第22题图23．解：(1)如图，过点C 作CG ⊥AB 于点G ，DF ⊥CG 于点F . 则在R t△CBG 中，由题意知∠CBG =30°，∴CG=12BC=13015222⨯==7.5.∵∠DAG=90°，∴四边形ADFG是矩形.∴GF= AD=1.5 ，∴CF= CG-GF=7.5－1.5=6. 在R t△CDF中，∠CFD=90º，∵∠DCF=53°，∴cos∠DCF=CF CD，∴6103cos535CFCD===︒(海里)．答：CD两点距离为10海里．（2）如图，设渔政船调整方向后t小时能与捕渔船相会合，由题意知CE=30t，DE=1.5×2×t=3t，∠EDC=53°，过点E作EH⊥CD于点H，则∠EHD=∠CHE=90º，∴sin∠EDH=EH ED，∴EH=ED sin53°=4123=55t t ⨯，∴在Rt△EHC中，sin∠ECD=12253025tEHCE t==．答：sin∠ECD=225．第23题图。
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三角形1. 三角形内角和定理的应用例1. 如图1，已知∆ABC 中，∠=︒⊥BAC AD BC 90，于D ，E 是AD 上一点。
求证：∠>∠BED C2. 三角形三边关系的应用例2. 已知：如图2，在∆ABC 中，AB AC >，AM 是BC 边的中线。
求证：()AM AB AC >-123. 角平分线定理的应用例3. 如图3，∠B ＝∠C ＝90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC 。
求证：AM 平分DAB 。
4. 全等三角形的应用（1）构造全等三角形解决问题例4. 已知如图4，△ABC是边长为1的等边三角形，△BDC是顶角（∠BDC）为120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，它的两边分别交AB于M，交AC于N，连结MN。
求证： AMN的周长等于2。
（2）“全等三角形”在综合题中的应用例5. 如图5，已知：点C是∠FAE的平分线AC上一点，CE⊥AE，CF⊥AF，E、F为垂足。
点B在AE的延长线上，点D在AF上。
若AB＝21，AD＝9，BC＝DC＝10。
求AC的长。
5、中考点拨例6. 如图，在∆ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过点F 作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD ＋CE ＝9，则线段DE 的长为（ ） A. 9B. 8C. 7D. 66、题型展示例7. 已知：如图6，∆ABC 中，AB ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE 垂直BD 的延长线于E ，AE BD =12。
求证：BD 平分∠ABC例8. 某小区结合实际情况建了一个平面图形为正三角形的花坛。
如图7，在正三角形ABC 花坛外有满足条件PB＝AB的一棵树P，现要在花坛内装一喷水管D，点D的位置必须满足条件AD＝BD，∠DBP＝DBC，才能使花坛内全部位置及树P均能得到水管D的喷水，问∠BPD 为多少度时，才能达到上述要求？【实战模拟】1. 等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12cm和21cm，则这个等腰三角形底边的长为____________。
2. 在锐角∆ABC中，高AD和BE交于H点，且BH＝AC，则∠ABC＝__________。
3. 如图所示，D是∆ABC的∠ACB的外角平分线与BA的延长线的交点。
试比较∠BAC与∠B 的大小关系。
4. 如图所示，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，M 是AC 中点，AE ⊥BM 。
求证：∠AMB ＝∠CMD5. 设三个正数a 、b 、c 满足()()a b ca b c 22224442++>++，求证：a 、b 、c 一定是某个三角形三边的长。
【试题答案】1.证明：由AD ⊥BC 于D ，可得∠CAD ＝∠ABC 又∠=∠+∠ABD ABE EBD 则∠∠ABD EBD > 可证∠∠CAD EBD > 即∠∠BED C >说明：在角度不定的情况下比较两角大小，如果能运用三角形内角和都等于180°间接求得。
2.证明：延长AM 到D ，使MD ＝AM ，连接BD在∆CMA 和∆BMD 中，AM DM AMC DMB CM BM ===，∠∠，∴≅∴=∆∆CMA BMDBD AC在∆ABD 中，AB BD AD -<，而AD AM =2()∴-<∴>-AB AC AMAM AB AC 212说明：在分析此问题时，首先将求证式变形，得2AM AB AC >-，然后通过倍长中线的方法，相当于将∆AMC 绕点旋转180°构成旋转型的全等三角形，把AC 、AB 、2AM 转化到同一三角形中，利用三角形三边不等关系，达到解决问题的目的。
很自然有()()1212AB AC AM AB AC -<<+。
请同学们自己试着证明。
3.证明：过M 作MG ⊥AD 于G ，∵DM 平分∠ADC ，MC ⊥DC ，MG ⊥AD ∴MC ＝MG （在角的平分线上的点到角的两边距离相等） ∵MC ＝MB ，∴MG ＝MB 而MG ⊥AD ，MB ⊥AB∴M 在∠ADC 的平分线上（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上） ∴DM 平分∠ADC说明：本题的证明过程中先使用角平分线的定理是为判定定理的运用创造了条件MG ＝MB 。
同时要注意不必证明三角形全等，否则就是重复判定定理的证明过程。
4. 分析：欲证∆AMN 的周长等于2，需证明它等于等边∆ABC 的两边的长，只需证MN BM CN =+。
采用旋转构造全等的方法来解决。
证明：以点D 为旋转中心，将∆DBM 顺时针旋转120°，点B 落在点C 的位置，点M 落在M'点的位置。
得：∠MBD ＝∠NCD ＝90°∴≅∴==︒Rt MBD Rt M CD DCM DBM ∆∆''∠∠90∴∠NCD 与∠DCM'构成平角，且BM ＝CM'，DM ＝DM'，∠NDM'＝∠NDC ＋∠CDM'＝∠NDC＋∠BDM ＝120°－60°＝60° 在∆MDN 和∆M DN '中，DM DM MDN M DN DN DN ===︒=''，∠∠，60∴≅∴==+=+∴=+∆∆MDN M DN SAS MN M NM N M C CN BM CN MN BM CN'()'''∴∆AMN 的周长=++=+++=+=AM AN MN AM AN BM CN AB AC 2 说明：通过旋转，使已知图形中的角、线段充分得到利用，促进了问题的解决。
5.分析：要求AC 的长，需在直角三角形ACE 中知AE 、CE 的长，而AE 、CE 均不是已知长度的线段，这时需要通过证全等三角形，利用其性质，创设条件证出线段相等，进而求出AE 、CE 的长，使问题得以解决。
解：∵AC 平分∠FAE ，CF ⊥AF ，CE ⊥AE ∴CF ＝CECF CE F CEA AC AC ACF ACE HL AF AECF CE CD BCF CEB CDF CBE HL ===︒=⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=====︒⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∠∠∠∠9090∆∆∆∆()()∴BE ＝DF设BE DF x ==，则AE AB BE x AF AD DF x =-=-=+=+219， AE AF x x x =∴-=+∴=，，2196 在Rt BCE ∆中，CE BC BE =-=-=22221068 在Rt ACE ∆中，()AC AE CE =+=-+=2222216817答：AC 的长为17。
6.分析：初看此题，看到DE ＝DF ＋FE 后，就想把DF 和FE 的长逐个求出后再相加得DE ，但由于DF 与FE 的长都无法求出，于是就不知怎么办了？其实，若能注意到已知条件中的“BD ＋CE ＝9”，就应想一想，DF ＋FE 是否与BD ＋CE 相关？是否可以整体求出？若能想到这一点，就不难整体求出DF ＋FE 也就是DE 的长了。
解：∵BF 是∠B 的平分线 ∴∠DBF ＝∠CBF 又DE ∥BC ∴∠DFB ＝∠CBF ∴∠BDF ＝∠DFB ∴DF ＝BD 同理，FE ＝CE ∴DF ＋FE ＝BD ＋CE ＝9 即DE ＝9 故选A7.分析：要证∠ABD ＝∠CBD ，可通过三角形全等来证明，但图中不存在可证全等的三角形，需设法进行构造。
注意到已知条件的特点，采用补形构造全等的方法来解决。
简证：延长AE 交BC 的延长线于F 易证∆∆ACF BCD ≅（ASA 或AAS ）∴==∴==AF BDAE BDAE AF EF1212于是又不难证得∆∆BAE BFE SAS ≅() ∴=∠∠ABD CBD ∴BD 平分∠BAC说明：通过补形构造全等，沟通了已知和未知，打开了解决问题的通道。
8.分析：此题是一个实际问题，应先将实际问题转化成数学问题，转化后的数学问题是：如图7，D 为正∆ABC 内一点，P 为正∆ABC 外一点，PB ＝AB ，AD ＝BD ，∠DBP ＝∠DBC ，求∠BPD ＝？在解此数学问题时，要用到全等三角形的知识。
解：连CDBP AB BC DBP DBC BD BD PBD CBD SAS BPD BCD ====⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴=∠∠∠∠∆∆()又 AC BC AD BD CD CD ===⎧⎨⎪⎩⎪∴≅∴==︒∆∆ACD BCD SSS ACD BCD ()∠∠30∴=︒∠BPD 30，即∠BPD =︒30时，才能达到要求。
实战模拟答案 1. 5cm 2. 45°3. 分析：如图所示，∠BAC 是∆ACD 的外角，所以∠>∠BAC 1 因为∠1＝∠2，所以∠BAC ＞∠2又因为∠2是∆BCD 的外角，所以∠2＞∠B ，问题得证。
答：∠BAC ＞∠B∵∠CD 平分∠ACE ，∴∠1＝∠2 ∵∠BAC ＞∠1，∴∠BAC ＞∠2 ∵∠2＞∠B ，∴∠BAC ＞∠B4. 证明一：过点C 作CF ⊥AC 交AD 的延长线于F∠∠∠∠∠∠129012+=+=︒∴=BAE BAE又∠BAC ＝∠ACF ＝90° AC ＝AB∴≅∴==∆∆ABM CAFAM CF F AMB，∠∠又AM ＝MC ，∴MC ＝CF 又∠3＝∠4＝45°，CD ＝CD ∴≅∆∆CDM CDF∴=∴=∠∠∠∠F CMD AMB CMD证明二：过点A 作AN 平分∠BAC 交BM 于N∠∠∠∠∠∠239023+=+=︒∴=BAE BAE又AN 平分∠BAC∴==︒∠∠145C又AB ＝AC∴≅∴=∆∆ABN CADAN CD又∠∠NAM C ==︒45AM ＝CM∴≅∴=∆∆NAM DCM AMB CMD ∠∠说明：若图中所证的两个角或两条线段没有在全等三角形中，可以把求证的角或线段用和它相等的量代换。
若没有相等的量代换，可设法作辅助线构造全等三角形。
5. 证明：由已知得：a b c a b b c c a a b c 444222222444222222+++++>++即a b c a b b c c a 4442222222220++---<()()∴++--+-<+-++-<a b a b c a b c c a b a b c a b c a b 4422222242222222242222240240()()()[]()[]()[]()[]()()()()()()()()()()a b c ab a b c ab a b c ab a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c b c a c a b 22222222222222220220+--<+-++--<+---<+++--+--<++>∴+--+--<∴+-+-+-> ∴a b c 、、是某一三角形三边的长。