2021中考数学专题—三角形和圆

《等腰三角形》经典题型拓展与提高专训

1. 如图,在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于点D，且AB+BD=DC，求∠C的度数.

2. 如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，CD平分∠ACB交AB于D，求证：AC+AD=BC.

3.如图，在三角形ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：（1）DE=DF.（2）DE⊥DF

4. 如图,在四边形ABCD中,∠ADC=90°,AB=AC,E,F分别为AC,BC的中点,连接EF,ED,FD.

(1)求证:ED=EF.

(2)若∠BAD=60°,AC平分∠BAD,AC=6,求DF的长.

5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠B=50°,D为BC的中点,点E在AB上,∠AED=70°,若点P 是等腰三角形ABC的腰上的一点,则当△DEP是以∠EDP为顶角的等腰三角形时,求∠EDP的度数.

6. 如图:已知等边△ABC中,D是AC的中点,E是BC延长线上的一点,且CE=CD, DM⊥BC,垂足为M,求证:M是BE的中点.

7. 如图，AB∥CD，∠1=∠2，AD=AB+CD，

求证：（1）BE=CE；（2）AE⊥DE；（3）AE平分∠BAD.

7.

8.如图，△ABC中，AC=2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA=EC，求证：EB⊥AB.

9.如图1,已知Rt△ABC,∠ABC=90°,以AC,AB为边分别向形外作等边三角形ACD,ABF,连接CF,BD.

(1)求证:CF=BD;

(2)如图2,若∠BAC=30°,点H为AC的中点,连接FH,BH,DH,请直接写出与△ABC全等的所有三角形.

10.如图，在△ABC中，AB=AC ，点P从点B出发沿线段BA移动（点P与A，B不重合），同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，点P，Q移动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D.

（1）试说明：PD=QD

（2）过点P作直线BC的垂线，垂足为E，P，Q在移动的过程中，线段BE，DE，CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由.

11.如图，等边三角形ABC中，D是边AC延长线上一点，延长BC至E，使CE=AD，

DG⊥BE于G，求证：BG=EG.

12.如图，△ABC中，AD为中线，点E为AB上一点,AD，CE交于点F，且CE=EF，求证:AB=CF

13.已知:在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点E是线段BA延长线上的一点,CD为AB边上的高.

(1)直线BF垂直于直线CE,垂足为点F,交线段DC延长线于点G(如图1),求证:AE=CG.

(2)直线AH垂直于直线CE,垂足为点H,交线段CD的延长线于点M(如图2),找出图中与BE相等的线段,并证明.

14. 已知在Rt△BAC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为射线BC上一点(与点B不重合),过点C作CE⊥BC于点C,且CE=BD(点E与点A在射线BC同侧),连接AD,ED.

(1)如图1,当点D在线段BC上时,请直接写出∠ADE的度数.

(2)当点D在线段BC的延长线上时,依题意在图2中补全图形并判断(1)中结论是否成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.

(3)在(1)的条件下,ED与AC相交于点P,若AB=2,直接写出CP的最大值.

15. 问题背景:我们学习等边三角形时得到直角三角形的一个性质:在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半.即:如图1,在Rt△ABC

AB.

中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,则:AC=1

2

探究结论:小明同学对以上结论作了进一步研究.

(1)如图1,连接AB边上中线CP,由于CP=1

AB,易得结论:

2

①△ACP为等边三角形;②BP与CP之间的数量关系为________;

(2)如图2,点D是边CB上任意一点,连接AD,作等边△ADE,且点E在∠ACB的内部,连接BE.试探究线段BE与DE之间的数量关系,写出你的猜想并加以证明;

(3)当点D为边CB延长线上任意一点时,在(2)条件的基础上,线段BE与DE之间存在怎样的数量关系?请直接写出你的结论________;

拓展应用:如图3,在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(-3,√3),点B是x轴正半轴上的一动点,以AB为边作等边△ABC,当C点在第一象限内,且B(2√3,0)时,求C点的坐标.

中考复习分类压轴大题专题：

三角形综合题

1．如图1，OA＝2，OB＝4，以点A为顶点，AB为腰在第三象限作等腰直角△ABC．（Ⅰ）求C点的坐标；

（Ⅱ）如图2，OA＝2，P为y轴负半轴上的一个动点，若以P为直角顶点，PA为腰等腰直角△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP﹣DE的值；

（Ⅲ）如图3，点F坐标为（﹣4，﹣4），点G（0，m）在y轴负半轴，点H（n，0）x轴的正半轴，且FH⊥FG，求m+n的值．

2．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．过射线AD上一点M作BM的垂线，交直线AC于点N．

（I）如图1，点M在AD上，若∠N＝15°，BC＝2，则线段AM的长为；

（2）如图2，点M在AD上，求证：BM＝NM；

（3）若点M在AD的延长线上，则AB，AM，AN之间有何数量关系？直接写出你的结论，不证明．

3．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．

（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；

（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l 于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．

①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；

②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．