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作业习题答案

习题二

2.1证明：在一个至少有2人的小组中，总存在两个人，他们在组内所认识的人数相同。

证明：

假设没有人谁都不认识：那么每个人认识的人数都为[1,n-1]，由鸽巢原理知，n个人认识的人数有n-1种，那么至少有2个人认识的人数相同。

假设有1人谁都不认识：那么其他n-1人认识的人数都为[1,n-2]，由鸽巢原理知，n-1个人认识的人数有n-2种，那么至少有2个人认识的人数相同。

2.3证明：平面上任取5个坐标为整数的点，则其中至少有两个点，由它们所连线段的中点的坐标也是整数。

证明：

方法一：

有5个坐标，每个坐标只有4种可能的情况：（奇数，偶数）；（奇数，奇数）；（偶数，偶数）；（偶数，奇数）。由鸽巢原理知，至少有2个坐标的情况相同。又要想使中点的坐标也是整数，则其两点连线的坐标之和为偶数。因为奇数+奇数= 偶数；偶数+偶数=偶数。因此只需找以上2个情况相同的点。而已证明：存在至少2个坐标的情况相同。证明成立。

方法二：

对于平面上的任意整数坐标的点而言，其坐标值对2取模后的可能取值只有4种情况，即：(0,0) ,(0,1) ,(1,0), (1,1)，根据鸽巢原理5个点中必有2个点的坐标对2取模后是相同类型的，那么这两点的连线中点也必为整数。

2.4一次选秀活动，每个人表演后可能得到的结果分别为“通过”、“淘汰”和“待定”，至少有多少人参加才能保证必有100个人得到相同的结果？

证明：

根据推论2.2.1，若将3*（100-1）+1=298个人得到3种结果，必有100人得到相同结果。

2.9将一个矩形分成(m+1)行

1

1

2

m

m

+

⎛⎫

+

⎪

⎝⎭

列的网格每个格子涂1种颜色，有m种颜色可以

选择，证明：无论怎么涂色，其中必有一个由格子构成的矩形的4个角上的格子被涂上同一种颜色。

证明：

（1）对每一列而言，有（m+1）行，m种颜色，有鸽巢原理，则必有两个单元格颜色相同。

（2）每列中两个单元格的不同位置组合有

1

2

m+

⎛⎫

⎪

⎝⎭

种，这样一列中两个同色单元格的位

置组合共有

1

2

m

m

+

⎛⎫

⎪

⎝⎭

种情况

（3）现在有112m m +⎛⎫

+

⎪⎝⎭

列，根据鸽巢原理，必有两列相同。证明结论成立。 2.11证明：从S={1,3,5,…,599}这300个奇数中任意选取101个数，在所选出的数中一定存在2个数，它们之间最多差4。 证明：

将S 划分为{1,3,5}，{7,9,11}……,{ 595,597,599}共100组，由鸽巢原理知任意选取101个数中必存在2个数来自同一组，即其差最多为4.

2.12证明：从1~200中任意选取70个数，总有两个数的差是4，5或9。 设从1~200中任意选取的70个数构成一组，即 第一组： 1270,,,a a a K ；

第二组： 12704,4,,4a a a +++K ； 第三组：12709,9,,9a a a +++K ；

显然，这三组数均在1~209之间，且共有3*70=210个数，根据鸽巢原理一定有两个数相等，又因为任取的这70个数均不相同，所以这2个相等的数一定来自不同组，根据不同组的分布讨论如下：

1） 如果这两个数分别来自第一组和第二组，则有4j i a a =+； 2） 如果这两个数分别来自第一组和第三组，则有9j i a a =+； 3） 如果这两个数分别来自第二组和第三组，则有5j i a a =+；

得证。

习题三

3.8 确定多重集{3,4,5}M a b c =⋅⋅⋅的11-排列数？

11!11!11!

277203!4!4!3!3!5!2!4!5!

++=

3.9 求方程123420x x x x +++=，满足12342,0,5,1x x x x ≥≥≥≥-的整数解的个数。

14416803+-⎛⎫= ⎪⎝⎭

3.10 架上有20卷百科全书，从中选出4卷使得任意两本的卷号都不相邻的选法有多少种？

解：n=20，r=4，1204117238044n r r -+-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3.17 一局乒乓球比赛中，运动员甲以11:7战胜运动员乙，若在比赛过程中甲从来没有落后

过，求有多少种可能的比分记录？

解：根据题意，相当于求从点(0,0)到点(11,7)且从下方不穿过y=x 的非降路径数，即为：

11711171(117)!(1171)

-13260 10 12(111)!7!+-+-⎛⎫⎛⎫+-+=

= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭

3.21 1)会议室中有2n +1个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少

种摆法？ 解：

(1)

方法1：如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，有

213123 3-1 2n n ++-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当于将n+1个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-(n+1)=n 个座位任意分到3排中，这样的摆法共有21(1)31233 2 2n n n +-++-+⎛⎫⎛⎫

⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种方案，所以符合题意的摆

法有：

23213 2 2 2n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

方法2：设第一排座位有x 1个，第二排座位有x 2个，第三排座位有x 3个。x 1+x 2+x 3=2n+1，且x 1+x 2≥(2n+1)/2，x 1+x 3≥(2n+1)/2，x 2+x 3≥(2n+1)/2，即x 1+x 2≥n+1，x 1+x 3≥n+1，x 2+x 3≥n+1，令y 1= x 1+x 2-n-1，y 2= x 1+x 3-n-1，y 3= x 2+x 3-n-1，可知y 1+y 2+y 3=2(2n+1)-3(n+1)=n-1且y i ≥0，1≤i ≤3。显然，x 方程满足要求的解与y 方程非负整数解一一对应，有

1311312n n -+-+⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭

种。

方法3：要求每行非空

如果没有附加限制则相当于把2n+1个相同的小球放到3个不同的盒子里，不允许为空，有2112 3-12n n +-⎛⎫⎛⎫

=

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种方案，而不符合题意的摆法是有一排至少有n+1个座位。这相当

于将n 个座位先放到3排中的某一排，再将剩下的2n+1-n=n+1个座位任意分到3排中，每排不允许为空，这样的摆法共有21133 22n n n +--⎛⎫⎛⎫

⨯=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

种方案，所以符合题意的摆法

有：

21322 2n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫

-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

(2)会议室中有2n 个座位，现摆成3排，要求任意两排的座位都占大多数，求有多少种摆法？