数学中的恒成立与有解问题

数学中的恒成立与有解问题-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN数学中的恒成立与有解问题一、恒成立问题若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <常用方法1、分离变量法；2、数形结合法；3、利用函数的性质；4、变更主元等；1、由二次函数的性质求参数的取值范围例题1.若关于x 的不等式2220ax x ++>在R 上恒成立,求实数a 的取值范围. 解题思路：结合二次函数的图象求解解析：当0a =时,不等式220x +>解集不为R ,故0a =不满足题意;当0a ≠时,要使原不等式解集为R ,只需202420a a >⎧⎨-⨯<⎩,解得12a >综上,所求实数a 的取值范围为1(,)2+∞2、转化为二次函数的最值求参数的取值范围例题2：已知二次函数满足(0)1f =，而且(1)()2f x f x x +-=，请解决下列问题 （1） 求二次函数的解析式。

（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围.解析：(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠.由(0)1f =得1c =,故2()1f x ax bx =++.∵(1)()2f x f x x +-= ∴22(1)(1)1(1)2a x b x ax bx x ++++-++=即22ax a b x ++=,所以22,0a a b =+=,解得1,1a b ==- ∴2()1f x x x =-+ (2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-恒成立,即231m x x <-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最小值为(1)1g =-.所以m 的取值范围是(,1)-∞-.规律总结：()m f x ≤对一切x R ∈恒成立,则min [()]m f x ≤;()m f x ≥对一切x R ∈恒成立,则max [()]m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

二、有解问题 3、方程的有解问题例题3：题干与例题2相同 （1） 同例题2.（2）若()2f x x m =+在区间[1,1]-上恒成立 ，求m 的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数值域确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212x x x m -+=+在[1,1]-恒成立,即231m x x =-+在[1,1]-恒成立.令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)5g -=，最小值为(1)1g =-，所以m 的取值范围是[]1,5-。

规律总结：若方程()m f x =在某个区间上有解只需求出()f x 在区间上的值域A 使m A ∈。

4、不等式的有解问题例题4题干与例题2相同 （1） 同例题2.（2） 若()2f x x m >+在区间[1,1]-上有解 ，求m 的取值范围。

解题思路：先分离系数,再由二次函数最值确定取值范围. 解析：(1)解法同例题2(2)由(1)知212x x x m -+>+在[1,1]-有解,即231m x x <-+在[1,1]-有解令2235()31()24g x x x x =-+=--,则()g x 在[1,1]-上单调递减.所以()g x 在[1,1]-上的最大值为(1)5g -=.所以m 的取值范围是(,5)-∞。

. 规律总结：()m f x ≤在区间(),a b 内有解,则[]max ()m f x ≤;()m f x ≥在区间(),a b 内有解,则[]min ()m f x ≥；注意参数的端点值能否取到需检验。

一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量． 例1.对于满足04≤≤p 的一切实数p ，不等式x 2+px>4x+p-3恒成立，求x 的取值范围． 分析：习惯上把x 当作自变量，记函数y= x 2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p []4,0∈时y>0恒成立，求x 的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x 与p 两个量互换一下角色，即p 视为变量，x 为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x 2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当04≤≤p 时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x 2-4x+3>0且x 2-1>0， 解得x>3或x<-1．∴x 的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。

三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设]04[，-∈x ，若不等式a x x x -+<--134)4(恒成立，求a 的取值范围． 分析与解：若设函数)4(1x x y --=，则)0(4)2(1212≥=++y y x ，其图象为上半圆．设函数a x y -+=1342，其图象为直线． 在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心)0,2(-到直线03334=-+-a y x 的距离25|338|>-+-=a d 且01>-a 时成立，即a 的取值范围为5-<a ．例5、不等式(x-1)2<log a x 在x ∈(1,2)上恒成立，求a 的取值范围。

分析：这种类型的不等式对高中学生来说直接求解是很困难的，所以一般来说采用数形结合的方法。

解：设y 1=(x-1)2,y 2=log a x,如右图所示 要使对一切x ∈(1,2),y 1<y 2恒成立， 显然须a>1, 且log a 2≥1。

∴1<a ≤2四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。

yy 2y 14- O x例4．当]8,2[∈x 时，不等式1log 122->-x a 恒成立，求a 的取值范围． 解：（1）当1122>-a 时，由题设知x a <-1212恒成立，即min 2121x a <-，而]8,2[∈x ∴21212<-a 解得),1()1,(+∞--∞∈ a（2）当11202<-<a 时，由题设知x a >-1212恒成立，即max 2121x a >-，而]8,2[∈x ∴81212>-a 解得)43,22()22,43( --∈a ．∴a 的取值范围是),1()43,22()22,43()1,(+∞----∞∈ a已知函数的单调性求参数范围问题方法：转化为不等式的恒成立问题:即“若函数单调递增,则0)(≥'x f ;若函数单调递减,则 0)(≤'x f ”来求解.例：若函数1)(23+-=ax x x f 在]2,1[上单调递减,求实数a 的取值范围.思路点拨: 先求出导函数,再利用导数与单调性的关系或转化为恒成立问题求解. )23(23)(2a x x ax x x f -=-='解析：方法一：由)(x f 在]2,1[上单调递减知0)(≤'x f ，即0232≤-ax x 在]2,1[上恒成立, 即x a 23≥在]2,1[上恒成立.故只需max )23(x a ≥, 故3≥a . 综上可知，a 的取值范围是［3,+∞).方法二：当0=a 时，0)(≥'x f ,故)(x f y =在),(+∞-∞上单调递增，与)(x f y =在 ]2,1[上单调递减不符，舍去.当0<a 时，由0)(≤'x f 得a 32≤x≤0，即)(x f 的单调递减区间为]0,32[a ，与)(x f 在]2,1[上单调递减不符，舍去.当0>a 时，由0)(≤'x f 得0≤x≤a 32，即)(x f 的减区间为]32,0[a ，由)(x f 在]2,1[上单调递减得232≥a ,得a≥3.综上可知，a 的取值范围是［3,+∞).练习3．(2012·许昌模拟)若不等式ax 2＋bx －2＜0的解集为}412|{<<-x x ，则ab ＝ （ ） A ．－28 B ．－26 C ．28 D ．26解析 ∵x ＝－2，14是方程ax 2＋bx －2＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＝(－2)×14＝－12，－b a ＝－74，∴a ＝4，b ＝7.∴ab ＝28. 答案 C7.若不等式4|3|<-b x 的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b 的取值范围是 .)7,5( 8.设函数|1||4|)(-+-=x x x f ，则)(x f 的最小值是 3 ，若5)(≤x f ，则x 的取值范围 是 . ]5,0[9.不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为 （ B ） A.),5[]2,(+∞--∞ B.),4[]1,(+∞--∞ C.]2,1[ D.),2[]1,(+∞--∞ 10．不等式ax 2＋2ax ＋1≥0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围为________． 解析 当a ＝0时，不等式为1≥0恒成立；当a ≠0时，须⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，4a 2－4a ≤0.∴0＜a ≤1，综上0≤a ≤1. 答案 [0,1]12. 已知关于x 的不等式11ax x -+＜0的解集是1(,1)(,)2-∞--+∞.则a = . 【解析】由不等式判断可得a≠0且不等式等价于1(1)()0a x x a+-<由解集特点可得11022a a a <=-⇒=-且答案：-214.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．[审题视点] 化为标准形式ax 2＋bx ＋c ＞0后分a ＝0与a ≠0讨论．当a ≠0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝b 2－4ac ＜0.解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞－2，a ＜－3或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＞0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a ＝0时，b ＝0，c ＜0；当a ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.【训练2】 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是________． 解析 法一 当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0可化为：m <－⎝⎛⎭⎫x ＋4x ， 又函数f (x )＝－⎝⎛⎭⎫x ＋4x 在(1,2)上递增， 则f (x )>－5， 则m ≤－5.法二 设g (x )＝x 2＋mx ＋4 当－m 2≤32，即m ≥－3时，g (x )＜g (2)＝8＋2m ， 当－m 2＞32，即m ＜－3时，g (x )＜g (1)＝5＋m 由已知条件可得：⎩⎪⎨⎪⎧ m ≥－3，8＋2m ≤0，或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－3，5＋m ≤0.解得m ≤－5 答案 (－∞，－5]15.若a ∈［1,3］时,不等式ax 2+(a-2)x-2>0恒成立，求实数x 的取值范围. 15. 【解析】设f(a)=a(x 2+x)-2x-2，则当a ∈［1,3］时f(a)>0恒成立.22(1)20,(3)32021,213f x x f x x x x x x ⎧=-->⎪∴⎨=+->⎪⎩><-⎧⎪∴⎨><-⎪⎩或或 得x>2或x<-1.∴实数x 的取值范围是x>2或x<-1.1.（不等式选做题）若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-存在实数解，则实数a 的取值范围是 ．【分析】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即可． 【解】当1x -时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+；当12x-<时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->； 综上可得|1||2|3x x ++-，所以只要||3a ，解得3a -或3a ，即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞． 【答案】(,3][3,)-∞-+∞.1不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立，则实数a 的取值范围是_______． [解析]：不等式22214x a x ax ->++对一切∈x R 恒成立,即 014)2(2>-+++a x x a 对一切∈x R 恒成立 若2+a =0,显然不成立若2+a ≠0，则⎩⎨⎧<∆>+02a ∴2>a2.若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈（0，12）成立，则a 的取值范围是 （ ）A ．0B ． –2C ．-52D ．-3解析：设f （x ）＝x 2＋ax ＋1，则对称轴为x ＝a 2－,若a 2－≥12，即a ≤－1时，则f （x ）在〔0，12〕上是减函数，应有f （12）≥0⇒－52≤x ≤－1若a 2－≤0，即a ≥0时，则f （x ）在〔0，12〕上是增函数，应有f （0）＝1>0恒成立，故a ≥0若0≤a 2－≤12，即－1≤a ≤0，则应有f （a2－）＝222a a a 110424≥－＋＝－恒成立，故－1≤a ≤0． 综上，有－52≤a,故选C ． 4、已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围______（答：1a >）3、若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____（答：（712-,312+））； 5、若不等式22210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.（答：12m >-）1．已知y ＝13x 3＋bx 2＋(b ＋2)x ＋3是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是( )A ．b ＜－1或b ＞2B ．b ≤－2或b ≥2C ．－1＜b ＜2D ．－1≤b ≤2解析 D 由题意，得y ′＝x 2＋2bx ＋b ＋2≥0在R 上恒成立，∴Δ＝4b 2－4(b ＋2)≤0， 解得－1≤b ≤2.2．函数f (x )＝13x 3＋12(2－a )x 2－2ax ＋5在区间[－1,1]上不单调，则a 的取值范围是________．解析 f ′(x )＝x 2＋(2－a )x －2a ＝(x ＋2)(x －a )＝0的两根为x 1＝－2，x 2＝a .若f (x )在[－1,1] 上不单调，则－1<a <1.3．已知a >0，函数f (x )＝x 3－ax 在[1，＋∞)上是单调增函数，则a 的最大值是________．解析 由题意知，f ′(x )＝3x 2－a 在[1，＋∞)上有3x 2－a ≥0恒成立，∴a ≤(3x 2)min ，而 (3x 2)min ＝3，∴a ≤3.4．已知f (x )＝e x －ax －1. 若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围． 解析 ∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a .∵f (x )在R 上单调递增， ∴f ′(x )＝e x －a ≥0恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. 即a 的取值范围为(－∞，0]．5．函数f(x)＝24x －mx ＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的取值范围是________．解析 由题意知m8≤－2，∴m ≤－16，∴f (1)＝9－m ≥25.6.已知函数13)(23+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求实数a 的取值范围．解 由题意得f ′(x )＝3ax 2＋6x －1.若f (x )在R 上是减函数，则0)(≤'x f (x ∈R)恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝36＋12a ≤0，解得a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]．7.已知函数1)(23+++=x ax x x f 在(－∞，1]上是增函数，试求实数a 的取值范围．解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋1，由于函数f (x )在(－∞，1]上是增函数， ∴当x ∈(－∞，1]时，0)(≥'x f (在个别点f ′(x )可以为0)恒成立， 即3x 2＋2ax ＋1≥0在x ≤1时恒成立．令g (x )＝3x 2＋2ax ＋1，∴Δ＝4a 2－12≤0或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>->∆≥16200)1(a g ， 即a 2≤3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－2，a 2>3，a <－3.∴a 2≤3，即－3≤a ≤ 3. 故a 的取值范围是[－3，3]．111已知函数()),0(2R a x x a x x f ∈≠+=若()x f 在区间[)+∞,2是增函数，求实数a 的取值范围。