恒成立问题与有解问题的区别

恒成立与有解1恒成立问题与一次函数联系给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f 同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有⎩⎨⎧<<0)(0)(n f m f例1、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。

显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。

略解：不等式即(x-1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.2恒成立问题与二次函数联系若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a ，若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。

例2、设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x) ≥0恒成立； ⅱ）当∆=4（a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0a f 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为[-3，1]。

1.3恒成立问题与变量分离联系若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。

例3、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。

解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。

f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a 解得485a ≤<。

注：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。

一、构造函数、区间最值求解例1、设124()lg,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。

分析：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，则可转化为1240x x a ++>恒成立，即参数分离后212(22)4xx x x a --+>-=-+，(.1)x ∈-∞恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求解。

解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ⇔++>，对(,1)x ∈-∞恒成立.212(22)4xx x x a --+⇔>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。

令2x t -=，2()()g t t t =-+又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1(,)2t ∈+∞恒成立，又()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，34a ∴≥-。

例2、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212ax x a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。

解：()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立212ax x a ⇔--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立210x ax a ⇔++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原问题min ()0g x ⇔>，又min(0),0()(),2022,2g a a g x g a a >⎧⎪⎪=--≤≤⎨⎪ <-⎪⎩即2min1,0()1,2042,2a a ag x a a a - >⎧⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪ <-⎪⎩ 易求得1a <。

例3、 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。

方法一）分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，本题必须由x 的范围（x ∈R ）来求另一变量a 的范围，故可考虑将a 及x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围。

解：原不等式4sinx+cos2x<-a+5⇔当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max -a+5>(4sinx+cos2x)⇔设f(x)=4sinx+cos2x 则22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3≤ ∴-a+5>3a<2∴方法二）题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若采用换元法把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。

解：不等式a+cos2x<5-4sinx 可化为 a+1-2sin 2x<5-4sinx,令sinx=t,则t ∈[-1,1],∴不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立⇔2t 2-4t+4-a>0,t ∈[-1,1]恒成立。

设f(t)= 2t 2-4t+4-a ，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min =f(1)=2-a,∴2-a>0∴a<2二、数形结合 、特值探求例4、 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。

分析：在f(x)≥a 不等式中，若把a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。

解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=（-2a ）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x) ≥0恒成立；ⅱ）当∆=4（a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0af 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综上所述：a 的取值范围为[-3，1]。

例5、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。

分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。

解：设T 1:()f x =2(1)x -,T 2:()log a g x x =,则T 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),()f x <()g x 恒成立即T 1的图象一定要在T 2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只需(2)(2)g f >故log a 2>1,a>1,∴1<a ≤2.例6、已知关于x 的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数a 的取值范围。

分析：原方程可化成lg(x 2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x 2+20x 与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。

解：令T 1：y 1= x 2+20x=（x+10）2-100, T 2：y 2=8x-6a-3,则如图所示，T 1的图象为一抛物线，T 2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T 1和T 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。

（包括l 1但不包括l 2)当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为-6a-3=160,a=6163-;当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=21-∴a 的范围为[6163-，21-）。

三、正难则反、逆向思维例7、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量：x 、P ,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x 的范围的问题。

解：原不等式可化为 (x-1)p+x 2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x 2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p ∈[-2,2]上恒成立，故有：方法一：10(2)0x f -<⎧⎨>⎩或10(2)0x f ->⎧⎨->⎩∴x<-1或x>3.方法二：(2)0(2)0f f ->⎧⎨>⎩即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或∴x<-1或x>3.四、直接推理、顺理成章例8、已知5()62x f x m m =-+的反函数1()f x -的图像过点（5，2），且在区间23(,)4+∞内恒有1()0f x -<，求1()f x -。