8.8 平均自由程和平均碰撞频率
气体分子的平均自由程和碰撞频率
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问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒。为什么在几米远的地方，打开酒精瓶塞， 需几秒甚至更长的时间才能嗅到酒精味 ?
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一、分子的平均自由程和平均碰撞频率
平均自由程：分子相继两 次碰撞间所走的路程叫分子的 自由程。分子在连续两次碰撞 之间所通过的自由程的平均值 叫 做 平 均 自 由 程 （ mean free path），用 表示。
对其他分子运动 。
下面确定 和 z 是由那些因素决定的。
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单位时间内平均碰撞次数 z π d 2 un
考虑其他分子的运动 u 2 v
分子平均碰撞次数 z 2π d 2 vn
平均自由程
v 1
z 2 π d2n
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Байду номын сангаас
v 1
z 2 π d2n P nkT
kT
2 πd2p
T 一定时， 1
P
P 一定时， T
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7–13 在常温下，气体分子的平均速率可达几百米， 为什么气味的传播速率远比此小？
7–14 一定质量的气体，保持体积不变，当温度升 高时，分子的无序运动更加剧烈，平均碰撞频率增大， 因此，平均自由程减小，对吗？
B A
平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间与其他
分子相碰的次数平均值，用 z 表示。
平均自由程与平均碰撞频率之间的关系为：
vt v
zt z
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
《物理学教学课件》7-5碰撞频率和平均自由程
在气体分子运动论中，平均自由程表示气体分子在连续两次碰撞之间所经过的平均距离。 通过研究平均自由程，可以深入理解气体分子的扩散和输运过程。
热力学第二定律
热传导
在热力学第二定律中，热传导是热量自发地从高温物体传递到低温物体的过程。 通过研究气体分子碰撞频率和平均自由程，可以深入理解热传导的微观机制和 热能传递的规律。
应用
在计算气体分子的平均速度、扩散系 数等物理量时，需要用到平均自由程 。
平均自由程的影响因素
分子间的相互作用力
分子间的相互作用力决定了碰撞 频率，进而影响平均自由程的大 小。
分子质量
较轻的分子具有较长的平均自由 程，因为它们受到的空气阻力较 小。
气体温度
气体温度越高，分子热运动越剧 烈，碰撞频率越高，平均自由程 越短。
、压力等实验条件的关系。
实验结果与数据分析
实验结果
通过实验，获得气体分子的碰撞 频率和平均自由程数据。
数据分析
分析碰撞频率和平均自由程与温度、 压力等实验条件的关系，得出气体 分子运动和相互作用的规律。
结果讨论
根据实验结果，讨论碰撞频率和平 均自由程在气体分子扩散、传递过 程中的作用，以及在实际应用中的 意义。
粘性流动
粘性流动是气体在流动过程中由于分子间的内摩擦力而产生的阻力。通过研究气 体分子碰撞频率和平均自由程，可以进一步了解粘性流动的微观机制和气体流动 的规律。
Part
05
实验研究
实验目的与原理
实验目的
通过实验研究，掌握碰撞频率和平均自由程的概念，理解气体分子碰撞和扩散的基本原理。
实验原理
气体分子在容器内不断进行碰撞，其碰撞频率与气体分子的密度、温度和分子间的相互作用力有关。分子在两次 碰撞之间的平均距离称为平均自由程。通过测量容器内气体分子的碰撞频率和平均自由程，可以深入了解气体分 子运动和相互作用的规律。
分子碰撞频率和平均自由度
过程看作弹性碰撞过程,两分子质心间的最小
距离(d)的平均值看作分子直径,这直径只是分 子有效直径,并非分子真正大小.
r0
r
f斥
d
µKH2g/=m2o×l 10−3 d=2.0 ×10-10 米
v = 8RT = 1.73×103米/秒
πµ
n = p = 2.69 ×1025 个/米3 kT
则λ =
1
2πd
2n
=
2.14
×10−7
(米)
Z = v = 7.95×109 次/秒
λ
讨论
(1)研究分子碰撞的意义: 由于气体分子间有碰撞,可是气体由非平衡态至平衡态.如:气 体内各部分温度不同,分子碰撞交换能量,可使温度一致.分子 碰撞决定气体扩散,内摩擦,热传导等过程进行的快慢.
定了气体的扩散 ,热传导,内摩擦等过程进行的快慢.
(二) λ Z 间的关系
v ----气体分子运动的平均速度,即每秒走过的平均距离.
Z -故(-1-)-,气气λ体体或分分Z子子平平与气均均体自每所由秒出程碰的:撞状态次有数λ关.=,如Zv气体单位体积内分子
数n大,分子碰撞的机会多.
(2) λ 或 Z 与气体种类(或性质)有关,分子直径大,碰撞机会多.
地球海平面 p=1大气压=
帕,
T=237K
此时 1.01=31×0-710米5
{ 地面上空(100公里处) p=0.133帕,
=1米λ
地面上空(300公里处) p=
帕
=10米λ
1.33×10−5 λ
(2)p一定时,T增加, λ 增大.
例:H2在标准状态下
Z = 7.95×10次9 /秒
p=1大气压= 1.013×105 帕 T=237K
平均自由程和平均碰撞频率
平均自由程和平均碰撞频率在物理的世界里，平均自由程和平均碰撞频率就像是空气中的那股清新气息，听起来很专业，但其实挺有意思的。
想象一下，咱们在一个人多热闹的派对上，大家都在忙着交谈、跳舞。
这个时候，你得在众人中间穿梭，偶尔被人撞一下，或者和朋友聊聊。
这就像是气体分子在空间里移动，发生碰撞，听起来是不是挺有画面感的？平均自由程，就像你在派对上能顺利移动的距离。
分子在这个空间里就像是你，四处游荡，能走多远，就取决于周围有多少“障碍物”。
如果人多得像热锅上的蚂蚁，那你可得小心翼翼，才能不被撞到。
相反，如果人少，那就简单多了，能畅通无阻。
简单来说，平均自由程就是气体分子在碰撞之前能走多远的一个数值。
你可能会问，这个数值是怎么计算的呢？它和气体的性质、温度、压力都有关系。
像夏天的空气，热得让人受不了，分子动得飞快，碰撞频率自然就高，这样一来，平均自由程就会变得小一些。
说到平均碰撞频率，那就是在单位时间内，分子之间碰撞的次数。
再把它换个角度看，就像是你在派对上，跟朋友聊得开心，突然有人从旁边冲过来把你撞了一下，感觉一下子被打断了。
这个频率高了，你的谈话就得时不时被打断，显得有点混乱。
反过来，如果碰撞频率低了，那大家的聊天就显得井然有序，就像是一场优雅的舞会，大家都在轻声细语，享受这份宁静。
这里面还有个有趣的地方。
气体分子如果是小颗粒，平均自由程就会长一些；如果是大颗粒，碰撞的机会就多了，平均自由程就短了。
这就好比你在派对上，身材高大的人总是更容易被注意到，走动起来也能避开一些障碍。
但如果是小个子，就得更加灵活，才能在人群中穿梭自如。
这不禁让人想起“人外有人，天外有天”这句话，确实每种情况都有它的道理。
碰撞频率还和温度、压力有关系。
高温下，分子运动得飞快，撞得也多，频率自然就高。
就像夏天的海滩，大家都兴奋得不行，玩得不可开交，彼此碰撞得频繁。
相反，气温低了，分子们就懒洋洋的，像冬天的围炉夜话，大家都安静下来，不再热闹，这时候碰撞频率自然就降了下来。
竞赛辅导(热、相对论)
p = C1 − C 2V
i i i i ν RdT 1+ + ) pdV + Vdp dQ = dA + ν RdT = (pdV 2 2 2 2 pV = ν RT ν RdT = pdV + Vdp
7
56
4
255 31 a(p1,V1) − V 7 56 b(p2,V2) i i dQ = ( 1 + ) pdV + Vdp V0 2 2 V i 255 31 i 31 = ( 1 + )( − V )dV + V ( − )dV 2 7 56 2 56 p=
(νRT = pV )
（2）系统体积没有变化，且两边气压相同，没有体变功， 又是绝热过程，系统的内能不变，应有：
T2 , V2
ν 1CV T + ν 2CV T = ν 1CV T1 + ν 2CV T2
由于
(ν 1 = ν 2 = ν )
所以： T =
T1 + T2 2
混合过程熵变为 系统经历的等压过程
T0 → T1
证明： 据热力学第一定律，应有
Q1
工作物质
p ∝T4
Q1 = W + Q2
功：
W
W = Q1 − Q2
Q2
T0
3
W = Q1 − Q2 要证明的表达式是用温度表示的，将热量用温度来表示。
Q1 = Δ E = 5 R( T1 − T0 ) 2
Wቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ= Q1 − Q2
热源熵变：
Q1 = Δ E =
5 T1 RdT 5 dQ1 T =∫ 2 = R ln 1 T T T 2 0 T0
W
第9章热学(93)平均自由程与碰撞频率_能均分定理
1mol 理想气体内能：
ii Emol NA 2 kT 2 RT
质量为m，摩尔质量为M的理想气体内能：
结论：
E
m M
Emol
m M
i RT 2
理想气体的内能只是温度的单值函数。
内能的改变量： E m i RT M2
例4 容器内有某种理想气体，气体温度为273K，压 强为1.013×103 Pa ，密度为1.24×10-2 kg·m-3。试求： （1） 气体分子的方均根速率； （2） 气体的摩尔质量，并确定它是什么气体； （3） 气体分子的平均平动动能和平均转动动能各是
RT p
12.824110032kg18..m0311o3l）或一氧化碳（CO）气体
（3）分子的平均平动动能：
3 kT 3 1.381023 273J 5.61021J 22
分子的平均转动动能：
2 kT 1.381023 273J 3.7 1021J
k
i 2
kT
“i”为分子自由度数
i3
k
3 2
kT
刚性双原子分子： i 5
k
5 2
kT
刚性多原子分子： i 6
k
6 2
kT
说明：能量均分定理是一个统计规律，是在平衡态下
对大量分子统计平均的结果。
3-4 理想气体的内能
内能： 气体中所有分子的动能和分子间相互作用势能
的总和。
理想气体内能：气体中所有分子的动能。
多少？
（4） 单位体积内分子的平动动能是多少？ （5） 若气体的物质的量为0.3 mol，其内能是多少？
解：（1）气体分子的方均根速率为
v2 3RT
由物态方程 pV m RT
大学物理题库-第12章 气体动理论
气体动理论一、选择题1、某容器内装有混合气体，处于热平衡状态，则不同种类分子的下列哪个量相同[ ]（A ）分子数密度 （B ） 方均根速率 （C ）平均平动动能 （D ） 分子质量2、一定量的理想气体贮于某一容器中，温度为T ，气体分子的质量为m ．根据理想气体的分子模型和统计假设，分子速度在x 方向的分量平方的平均值 (A) m kT x 32=v ． (B) mkT x 3312=v ． (C) m kT x /32=v ． (D) m kT x /2=v ． ［ ］ 3、若室内生起炉子后温度从15℃升高到27℃，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了(A)0.500． (B) 400． (C) 900． (D) 2100． ［ ］4、在标准状态下，若氧气（视为刚性双原子分子的理想气体）和氦气的体积比为1:2，则它们的内能比为：（A ） 1/2 （B ） 5/3 （C ）5/6 （D ） 3/10 [ ] 5、一定质量的理想气体的内能E 随体积V 的变化关系为一直线(其延长线过E ~V 图的原点)，则此直线表示的过程为：(A) 等温过程． (B) 等压过程．(C) 等体过程． (D) 绝热过程．［ ］6、水蒸气分解成同温度的氢气和氧气，内能增加了百分之几(不计振动自由度和化学能)？(A) 66.7％． (B) 50％． (C) 25％． (D) 0． ［ ］7. 已知分子总数为N ，它们的速率分布函数为f (v )，则速率分布在v 1~v 2区间内的分子的平均速率为 (A)⎰21d )(v v v v v f ． (B) ⎰21d )(v v v v v f /⎰21d )(v v v v f ．(C)⎰21d )(v v v v v f N ． (D)⎰21d )(v v v v v f /N ． ［ ］8、若f (v )为气体分子速率分布函数，N 为分子总数，m 为分子质量，则⎰21d )(212v v v v v Nf m 的物理意义是 (A) 速率为2v 的各分子的总平动动能与速率为1v 的各分子的总平动动能之差．(B) 速率为2v 的各分子的总平动动能与速率为1v 的各分子的总平动动能之和． (C) 速率处在速率间隔1v ~2v 之内的分子的平均平动动能．(D) 速率处在速率间隔1v ~2v 之内的分子平动动能之和． ［ ］9、金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似．设金属中共有N 个自由电子，其中电子的最大速率为 m v ，电子速率在v ～v + d v 之间的概率为⎩⎨⎧=0d d 2vv A N N式中A 为常数．则该电子气电子的平均速率为 (A)33m A v ． (B) 44m A v ． (C) m v ． (D) 23m A v ． ［ ］0≤v ≤v m v > v m10、两个容器中分别装有2N 和2CO ，它们的温度相同，则在下列各量中，相同的是：[ ]（A ） 分子平均动能 （B ） 分子平均速率（C ） 分子平均平动动能 （D ） 最概然（可几）速率 [ ]11、三个容器A 、B 、C 中装有同种理想气体，其分子数密度n 相同，而方均根速率之比为()()()2/122/122/12::CB A v v v ＝1∶2∶4，则其压强之比A p ∶B p ∶C p 为：(A) 1∶2∶4． (B) 1∶4∶8． (C) 1∶4∶16． (D) 4∶2∶1． ［ ］12、在一个体积不变的容器中，储有一定量的理想气体，温度为T 0时，气体分子的平均速率为0v ，分子平均碰撞次数为0Z ，平均自由程为0λ．当气体温度升高为4T 0时，气体分子的平均速率v ，平均碰撞频率Z 和平均自由程λ分别为：(A) v ＝40v ，Z ＝40Z ，λ＝40λ． (B) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． (C) v ＝20v ，Z ＝20Z ，λ＝40λ．(D) v ＝40v ，Z ＝20Z ，λ＝0λ． ［ ］13、一定量的理想气体，在体积不变的条件下，当温度降低时，分子的平均碰撞频率Z 和平均自由程λ的变化情况是：(A) Z 减小，但λ不变． (B) Z 不变，但λ减小．(C) Z 和λ都减小． (D) Z 和λ都不变． ［ ］二 填空题1．有一瓶质量为M 的氢气（可视为刚性双原子分子的理想气体,其摩尔质量为M ），温度为T , 则氢分子的平均平动动能为_________， 氢分子的平均动能为_______， 该瓶氢气的内能为_________，氢气分子间的相互作用势能为__________。
大学物理气体分子的平均碰撞频率和平均自由程课件
n=2.451023 个/cm3,
__
v
=477m/s
代入公式计算其碰撞频率
__
Z 50亿次 / 秒
可见一个分子到达你的鼻孔，是不能用几经周折 来描述的，而要用“亿经周折”来描述！
__
三）分子的平均自由程
分子在两次连续两次碰撞之间所经历路程的平均值。
则平均自由程为
分子平均一秒内所飞行的距离为
§7--7分子的平均碰撞次数和平均自由程
一）问题的提出 前面已经过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什 么食堂炸油条时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要 和大量的分子碰撞
碰撞是分子的第二特征。 （第一特征是分子作永恒的运动）
分了碰撞是“无规则”的，相隔多长时间碰撞一次？
分了碰撞是“无规则”的,相隔多长时间碰撞一次 每次飞翔多远再碰撞 ，也都有是随机的、偶然 的，因此也只能引出一些平均值来描写。
即下一面秒求内相分对速子率平均_u_碰撞与平的均次速数率
__
__
Zv 的n关系d。2 设u
Z 2nd v 所 其有它即分分：子 子都 的以 速平 率均仅速决率定运于动分，子则运其动2 一的__个方分 向(子 。7相 对33)
B
__
v
B
__
v
B
__
v
A
__
v
__
u 0
__
v
A
__
v
A
__
1.2107 (m)
2 3.14 (2.7 1010)2 1.013105
__
为什么压强降低时，
当p 107 atm时 1.2m 平均自由程增大呢？
气体分子动理论'
例. 扔硬币
单个小球落入位置 少量小球按位置的分布 大量小球按位置的分布 偶然事件 规律不明显 确定的规律 伽尔顿板实验
随机试验： 在相同条件下可重复进行； 每次试验有多种可能结果； 试验结果事先不可预测；
不同试验之间无关联。
（随机试验的每一个可能结果称为一个随机事件。） 伽耳顿板实验中粒子落入的位置 掷色子出现的点数 气体分子的速率、动量、动能等
y
vix
O
z
a
A1
c
I
i 1
N
t
a
v
2 ix
t
a
v
i 1
N
x
b
2 ix
F I t N 2 N 2 p vix V vix S A1 bc abc i 1 i 1
p
V
2 vix i 1
N
1 2 vx N
2 vix i 1
2
例 一容积为 V = 1.0 m3 的容器内装有 N1 = 1.0×1024 个氧分子 N2 = 3.0×1024 个氮分子的混合气体， 混合气体的压强 P = 2.58×104 Pa 。 求 解
(1) 分子的平均平动动能； (2) 混合气体的温度。
(1) 由压强公式 ,有
3 p 3 p 9.68 1021 J 2 n 2 ( N1 N 2 ) V
分子间有相互作用力 f
r0 10
10
m (
平衡位置 )
斥力
r r0 r r0
r0 结论
分子力表现为引力 分子力表现为斥力
合力
O
r0
引力
r
势能
分子有效直径
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8 1.38 1023 273 8kT 1 447 m s v 27 3 . 14 47 . 98 10 πm
447 9 1 z 5.1 10 s 8 8.7 10
v
5
练习：84,5,9,11,14,15,17,18,21,22,2 3,24,25,26,36,38,39,40 作业：8-9，21，24,40
6
8.8 平均自由程和平均碰撞频率
1
8.8.1 平均自由程 分子看成刚性小 球，碰撞是弹性的， 相继两次碰撞之间 分子作匀速直线运 动。 自由程： 分子在相 继两次碰撞间所通 过的路程 自由程 随机变化
i
i
平均自由程 有规律，描述运动和碰撞。 2
考虑平衡态气体 系统中的分子A ，以 平均相对速度 u 相对 其他分子运动，其他 分子静止不动
u 2v
以分子直径d为半径作一曲折的圆筒，中心在 圆筒内的分子都能与A相碰。 平均碰撞频率 ：
nπd u t 2 2 nπ d u 2nd v z t
2
3
平均自由程：
v v 1 2 2 z 2nπd v 2nπd
与分子数密度及分子直径的平方Байду номын сангаас反比，与 平均速率无关。 由 p nkT ，可得 kT 2 2 πd p 与系统的温度成正比，与压强成反比。 真空系统：气体非常稀薄，自由程远大于容 器线度，分子间碰撞概率极小。 4
【例8.9】计算在标准状况下空气分子的平均自 由程和平均碰撞频率。 解 空气分子：有效直径 d = 3.1×1010 m， 平均质量 m = 47.98×1027 Kg 23 1.38 10 273 kT 2 2 20 5 2π d p 2 3.14 3.1 10 1.01 10