分子碰撞频率和平均自由度
大学物理-4-6分子的平均碰撞次数和平均自由程
(2) 若温度不变，气压降至 少﹖
时，分子自由程变为多
解：标准状态下，分子数密度
再求平均速率 : 得
(2) 由
公式可知，当 T 不变时可得
此时 已近 0.5 m 左右，比普通容器（如真空管） 的线度大得多，因而分子在两器壁间飞行时，很少 与其它分子碰撞，此即为真空状态。
容器的线度l << 时
实际分子的平均自由程就是容器的线度l 与压强无关 微观上的真空
分子平均碰撞次 数
Z 平均2自由π程d与2 平v均n 速率无关，与分子有效直 径及分子数密度有关。 p nkT
v
z
1 2π d 2n
T一定时 1
p
p一定时 T
例1：（1）如果理想气体的温度保持不变，当压强 降为原值的一半时，分子的平均碰撞频率和平均自由 程为原来的多少？（2）如果压强保持不变，温度降 为原值的一半，则分子的平均碰撞频率和平均自由程 又为原来的多少？
解 Z 2d 2vn ，
n p kT
v 8RT
M mol
，
Z 2d 2
8RT p 16R d 2 p
，
Mmol k T
kT
kT 2d 2 p
（1）Z1
Z0 2
， 1（ 22）0
Z1 2Z0
2
1 2
0
例2 已知氮分子的有效直径为
，求：
(1) 标准状态下，氮分子的平均碰撞频率和平均自由程。
第六节分子的平均碰撞次数和 平均自由程
分子碰撞的引入：
分子热运动速率很大，平均 速率可达几百米/秒，而扩散 运动却进行得很慢。
克劳修斯为了说明这个问题，提出了分子碰撞次数与 自由程的概念。
研究碰撞的意义：
7-8----理想气体的平均自由程和碰撞频率
空气分子的平均自由程和平均碰撞频率。
解： 标准状态下 T 273K p 1.013105 Pa
kT kT 6.83108 m 2 d 2 p 2 p
v
8RT
M
446m s1
Z
v
446 6.83108
6.53109 s1
2、只有一个分子A 在运动，其它分子都认为是静
止不动的，且A 运动的相对速率为 u 。
t 时间内A分子走过的路程为： s ut
V d2 u t
在体积V 内的所有 其它分子在t 时间 内都与A 碰撞 设分子数密度为n
A 分子在t 时间内与其它分子碰撞的次数： n d 2u t
分子平均碰撞频率
Z n d 2ut n d 2u
思考题
1、容器内储有一定量的气体，保持容积不变， 使气体温度升高，则分子的平均碰撞频率和平均自 由程各怎样变化？
2、理想气体定压膨胀时，分子的平均自由程和 平均碰撞频率与温度的关系如何？
t
考虑其它分子的运动，由统计理论可知： u 2 v
Z 2 d 2nv
vZ
一秒钟内分子走过的平均路程为 v
一秒钟内与其它分子发生碰撞的平均次数为 Z
平均自由程 v
Z
1 2 d 2n
p nkT
kT
2 d 2 p
——平均自由程与压强的关系
例题：已知空气的摩尔质量为 M= 29 ×10-3 kg·mol-1
7-8 气体分子的平均自由程和碰撞频，空气分子的平均速率约为466m .s-1
问：打开香水瓶塞，为 什么在几米远的地方，需 几秒甚至更长的时间才能 嗅到香水味呢
气体分子的平均自由程和碰撞频率
B A
平均碰撞频率：每个分子平均在单位时间与其他
分子相碰的次数平均值，用 z 表示。
平均自由程与平均碰撞频率之间的关系为：
vt v
zt z
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Байду номын сангаас
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二、平均自由程与平均碰撞频率之间的关系
简化模型 （1）分子为刚性小球；
（2）分子有效直径为 d （分子间距平均值）；
（3）其他分子皆静止，某一分子以平均速率 u 相
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【例题7–4】计算空气分子在标准状态下的平均自 由程和平均碰撞频率。取分子的有效直径d=3.5×10-10m 。 已知空气的平均分子量为29。
解： T 273K P 1.0atm 1.013105 Pa
d 3.51010 m
kT
2πd 2P
1.38 10 23 273 1.41 3.14 (3.510 10 ) 1.01105
6.9 10 8 m
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v 8RT 448m / s πM mol
z
v
448 6.9 108
6.5109 / s
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问：在常温下，气体的方均根速率（或平均速率） 达几百米每秒。为什么在几米远的地方，打开酒精瓶塞， 需几秒甚至更长的时间才能嗅到酒精味 ?
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一、分子的平均自由程和平均碰撞频率
分子运动的平均自由程
分子运动的平均自由程分子运动的平均自由程是指分子在气体或液体中运动时，与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
它是分子间碰撞频率与分子运动速度之比的倒数。
分子间碰撞频率取决于分子的浓度和分子的直径。
根据动力学理论，分子运动速度与温度有关，分子运动速度在气体中服从玻尔兹曼分布，而在液体中服从麦克斯韦分布。
对于气体分子运动的平均自由程，可以根据分子间碰撞的概率来计算。
考虑一个气体分子在单位时间内与周围分子发生的碰撞次数，可以用分子的体积与单位时间内碰撞次数的乘积来表示。
这个体积称为碰撞体积。
假设分子的直径为d，则两个分子之间的碰撞体积为πd²。
假设单位体积内气体分子的数目为n，那么单位时间内一个分子完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²/4V，其中V为气体的体积。
分子运动速度的分布函数称为速度分布函数或速度概率密度函数，用f(v)来表示。
根据玻尔兹曼和麦克斯韦的理论，f(v)与速度v的关系为f(v) = 4πv² (m/2πkT)^(3/2) * exp(-mv²/2kT)，其中m为分子的质量，k为玻尔兹曼常数，T为温度。
平均自由程λ可以通过碰撞体积与速度分布函数的积分来计算。
当速度为v的分子在单位时间内完成的与其他分子的碰撞次数为nπd²v * f(v)dv。
所以，单位时间内分子完成的平均碰撞数为∫(nπd²v * f(v))dv。
根据定义，平均自由程为碰撞体积与平均碰撞数之比的倒数，即λ = (4V/πd²) / (∫(nπd²v * f(v))dv)。
根据上述公式可以看出，平均自由程与分子间碰撞频率及分子运动速度有关。
当浓度增加或分子直径减小时，分子间碰撞频率增加，平均自由程减小。
当温度增加时，分子运动速度增加，平均自由程也会增加。
总之，分子运动的平均自由程是分子在气体或液体中运动时与其他分子相互碰撞前所能平均自由穿越的距离。
气体分子的平均自由程与碰撞频率
气体分子的平均自由程与碰撞频率气体分子在运动中会发生相互碰撞，这些碰撞对于气体的性质和行为有着重要的影响。
本文将探讨气体分子的平均自由程和碰撞频率以及它们在气体动力学中的意义。
1. 气体分子的平均自由程气体分子的平均自由程是指在单位时间内，分子在不受碰撞影响时所能走过的平均距离。
它与气体分子的碰撞次数、碰撞概率等因素密切相关。
计算平均自由程的方法是通过统计分子在一段时间内的位移，并将其平均值作为结果。
平均自由程与气体分子的直径和气体的密度有关。
当气体分子的直径较小时，分子之间的相互作用较小，平均自由程较大；而当气体分子的直径较大时，分子之间的相互作用较强，平均自由程较小。
此外，当气体的密度较小时，气体分子之间的碰撞次数较少，平均自由程较大；而当气体的密度较大时，气体分子之间的碰撞次数较多，平均自由程较小。
2. 气体分子的碰撞频率碰撞频率是指单位时间内气体分子发生碰撞的次数。
它与气体的温度、密度等因素息息相关。
碰撞频率的计算可以通过统计单位时间内发生的碰撞次数来实现。
碰撞频率与气体分子的速度和相对速度有关。
当气体的温度增加时，气体分子的速度增大，碰撞频率也增加；反之，当气体的温度降低时，气体分子的速度减小，碰撞频率也减小。
此外，当气体的密度增加时，气体分子之间的距离减小，碰撞频率也增加。
3. 平均自由程与碰撞频率的关系平均自由程和碰撞频率是气体分子运动的两个重要参数，它们之间存在着相互关系。
根据气体动力学理论，平均自由程与碰撞频率成反比关系。
当气体分子的平均自由程较大时，分子之间的相互作用较小，碰撞次数相对较少，碰撞频率较低；而当平均自由程较小时，分子之间的相互作用较强，碰撞次数相对较多，碰撞频率较高。
4. 平均自由程与碰撞频率的实际应用平均自由程和碰撞频率在气体动力学中有着广泛的应用。
例如，在研究气体扩散过程中，通过计算气体分子的平均自由程可以估算扩散的速率和距离；在研究气体传热过程中，通过计算气体分子的碰撞频率可以评估热传导的效率和速率。
§1.7 分子的碰撞频率与平均自由程
8kT 已知 va m
则
分子与器壁的碰撞频率为
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
8
n vx dA kT n '' 2 vx n z 2 m 2 dA
已知
''
pV NkT
或
p n kT
p z 2 mkT
p z L 2 MRT
9
z ''
分子的隙流 气体分子通过小孔向外流出称为隙流 隙流速度为
kT RT p v n n 2 m 2 M 2 mkT
'
v MB MA v
10
' A ' B
ห้องสมุดไป่ตู้
0
m m 2 vx dvx vx exp 2 kT 2kT m m 2 vx dvx exp 2 kT 2kT
1 2
1 2
0
7
vx
v dn dn
0 x 0
vx
vx
2kT m
z d
2 AB
8RT
nA nB
6
分子与器壁的碰撞频率
速率在 vx vx dvx 的分子数
已知
vx
dn(vx ) nf (vx )dvx m m 2 f (vx ) exp vx 2 kT 2 kT vx dnvx
0
0
dnvx
分子的运动方向相反，其相对速度为 分子以90°角碰撞
平均碰撞频率和自由程
(1)
dS V
V2 d V pdV V2 R R ln 0 V 1 T V V1
20
实际气体的性质
一. 实际气体的等温线
实际气体的等温线 可以分成四个区域
汽态区(能液化) 汽液共存区 液态区 气态区(不能液化)
CO 2 等Байду номын сангаас线
从图中的曲线可知
只有在较高温度或低的 压强时，CO2气体的性 质才和理想气体相近。
u 运动，其它分子都看作静止不动。
3
单位时间内与分子 A · 发生碰撞的分子数为 平均碰撞频率为 ·
n π d 2u
Z n π d 2u
考虑到所有分子实际上都在运动，则有 u ·
2v
Z 2 nπ d 2v
用宏观量 p 、T 表示的平均碰撞频率为
p p 2 8 RT Z 2 nπ d v 2 πd kT πM T
a ( p 2 )(v b ) RT v
任意质量气体的范德瓦尔斯方程为
m2 a m m ( p 2 2 )(V b ) RT M V M M
24
三 范德瓦尔斯等温线
从图中看出范德瓦尔斯 ·
等温线与实际气体等温 线颇为相似。
在临界等温线以上，二 · 者很接近，并且温度愈 高二者愈趋于一致。但 在临界等温线以下，二 者却有明显的区别。 尽管范德瓦尔斯方程能 · 较好地反映实际气体的
2
4
二. 分子的平均自由程
分子在连续两次碰撞之间自由运动的平均路程，称为分子 的平均自由程。
v 1 λ 2 Z 2πd n
用宏观量 p、T 表示的分子平均自由程为
k T T λ 2 2π d p p
分子平均碰撞次数和平均自由程
p 1.33 103 n 3.21 1017 m 3 kT 1.38 1023 300
1 1 2 2π d n 2π (3 1010 ) 2 3.21 1017
7.79 m
在这种情况下气体分子相互之间很少发生碰撞，只是不 断地来回碰撞真空管的壁，因此气体分子的平均自由程 就应该是容器的线度。 即
分子的平均碰撞次数和平均自由程
问题的提出 前面已经说过：分子速率在几百米/秒的数量级，但为什 么食堂炸油饼时并不能马上闻到油香味呢？
原来分子速率虽高，但分子在运动中还要和大量的分子碰撞。
一 平均碰撞次数
Z
碰撞频率： 指一个分子在单位时间内与其它分子相碰的次数Z。 平均碰撞频率： 一个分子在单位时间内受到的碰撞次数的平均值
z n d u
理论证明：气体分子的平均相对速率 u 与平均速率 v 间有
u 2v
z 2nd 2 v v 1 z 2 d 2n
（１） 这说明：平均自由程 与分子数密度 （２）对于理想气体
n成反比。
p p nkT 即 n kT
2 kT 2 d v P 2 d 2 P 或 z kT
说明
1 P
，即真空度越高， 越大。
的数量级是 10-7m，是分子有效直径的 1000 倍。 -1 9 z 的数量级是 10 秒 ，即一秒种要碰撞几十亿次。
-2 -3 例 真空管的线度为 10 m ，其中真空度为 1.33× 10 Pa 。 设空气分子的有效直径为 3×10-10 m 。
求 27℃ 时单位体积内的空气分子数、平均自由程、平均碰撞 次数 。 解 由气体的状态方程, 有
102 m
20平均自由程与碰撞频率10
d 2vn
dd
平均碰撞频率为
A
Z d 2vn
d
(2) 考虑到所有分子的运动，应以平均相 对速度来代替上式中的平均速度
理论上可以证明，平均相对速度等于平均
速度的 2 倍
所以
Z 2 d 2vn
上式表明
平均碰撞次数与分子数密度，分子平均速 率成正比，也是与分子的直径的平方成正比．
把 Z 2 d 2vn代入
2 (3.11010 )2 1.33 103
6.62(m)
从上面计算可知，在通常的容器中，在高
度真空的情况下，分子间发生碰撞的概率是很 小的．
例题分析
例1 求在标准状态下，空气分子的平均自由 程、平均速率及平均碰撞次数. （已知空气的 平均摩尔质量为 2910-3kg·mol-1, 空气分子 的有效直径为3. 5 10-10m）.
解 T 273K, p 1.013 105 Pa ,
d 3.5 1010m, 29 103kg mol1
小于或等于有效直径
dd
d 的分子，都要与A A
分子相碰．
d
以A 的中心运动轨迹为轴线，以分子的有 效直径为半径做一个曲折的圆柱体，那么，凡
中心在此圆柱体内的分子都要与A 相碰．
设:A 的平均速率为 v ,单位体积内的分子数 n A在单位时间内走过的长度为 v
圆柱体的体积为 d 2v
圆柱体内分子数为
vt v Zt Z
得 上式表明
1
2 d 2n
平均自由程与分子碰撞截面、分子数密度 成反比，而与分子平均速率无关．
因为 所以
p nkT
kT
2 d 2 p
分子的平均碰撞频率和平均自由程
第21讲 分子的平均碰撞频率和平均自由程 习题课教学要求理解气体分子的平均碰撞次数及平均自由程。
重点与难点重点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
难点：分子的平均碰撞次数及平均自由程。
7.7 分子的平均碰撞频率和平均自由程气体分子无规则热运动，频繁碰撞。
每个分子在两次碰撞之间自由行进多长的路径和用多长时间完全是偶然的、不确定的(如图7-10)。
但对大量分子，从统计的角度看，每个分子在单位时间内与其它分子平均碰撞多少次和平均自由行进多少路径却是有规律的。
7.7.1 平均碰撞频率z平均碰撞频率z 就是对于处于平衡状态下的大量气体分子组成的系统，一个分子单位时间内与其它分子的平均碰撞次数。
根据简化的气体分子模型，同种气体分子中每个分子都是直径为d 的刚性球，设想跟踪一个气体分子A ，为简化计算起见，首先假定其它分子不动，A 分子以平均相对速率u 接近其它分子，那么1秒内有哪些分子能与A 分子相碰呢?在A 分子运动过程中，它的质心轨迹是一条折线abce , 凡是其它分子的质心离开此折线的距离小于或等于分子有效直径d 的，都将与A 分子相碰（图7-11）。
如果以1秒内A 分子质心运动轨迹为轴，以分子有效直径d 为半径作一圆柱体（该圆柱体体积为2πd u ）。
质心在该圆柱体内的分子都将与A 分子相碰。
设n 为分子数密度,则该圆柱体内的分子数为2πn d u ，亦即1秒内A 分子与其它分图7-10气体分子的碰撞e子发生碰撞的平均次数。
所以平均碰撞频率2πZ n d u =式中，，2πd σ=称为分子的碰撞截面。
考虑所有分子同时以平均速率υ运动，分子间平均相对运动速率为υ2=u ， 故2Z d n υ=(7-23)上式表明，分子热运动平均碰撞频率与分子数密度n 、分子平均速率υ成正比，也与分子碰撞截面σ或分子有效直径d 的平方成正比。
7.7.2 平均自由程 λ平均自由程 λ 就是在平衡状态下，一个分子在连续两次碰撞之间所经过的路程的平均值。
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过程看作弹性碰撞过程,两分子质心间的最小
距离(d)的平均值看作分子直径,这直径只是分 子有效直径,并非分子真正大小.
r0
r
f斥
d
µKH2g/=m2o×l 10−3 d=2.0 ×10-10 米
v = 8RT = 1.73×103米/秒
πµ
n = p = 2.69 ×1025 个/米3 kT
则λ =
1
2πd
2n
=
2.14
×10−7
(米)
Z = v = 7.95×109 次/秒
λ
讨论
(1)研究分子碰撞的意义: 由于气体分子间有碰撞,可是气体由非平衡态至平衡态.如:气 体内各部分温度不同,分子碰撞交换能量,可使温度一致.分子 碰撞决定气体扩散,内摩擦,热传导等过程进行的快慢.
定了气体的扩散 ,热传导,内摩擦等过程进行的快慢.
(二) λ Z 间的关系
v ----气体分子运动的平均速度,即每秒走过的平均距离.
Z -故(-1-)-,气气λ体体或分分Z子子平平与气均均体自每所由秒出程碰的:撞状态次有数λ关.=,如Zv气体单位体积内分子
数n大,分子碰撞的机会多.
(2) λ 或 Z 与气体种类(或性质)有关,分子直径大,碰撞机会多.
地球海平面 p=1大气压=
帕,
T=237K
此时 1.01=31×0-710米5
{ 地面上空(100公里处) p=0.133帕,
=1米λ
地面上空(300公里处) p=
帕
=10米λ
1.33×10−5 λ
(2)p一定时,T增加, λ 增大.
例:H2在标准状态下
Z = 7.95×10次9 /秒
p=1大气压= 1.013×105 帕 T=237K
(2)分子间碰撞的实质:
碰撞的实质是分子间相互作用力的表现,分子由原子组成,原子
由带负电的电子和带正电的原子核组成,当两分子运动到相互
间距离很小时,分子间出现斥力,斥力随分子间距离减小而迅速
增大,当量分子运动靠近到某以距离时,斥力很大,分子改变原
来的运动方向.
在一般粗略讨论问题时:可将分子视为
f
一定体积的小球,把分子间分子力相互作用,
v (3) 大,其它条件一定,碰撞机会多.
简略推导: 1) 气体分子为弹性小球,直径d.
2) 假设一定量气体中只有一个分子在运动,其它分子不动,平
均速率为 v ,而此分子运动相对其它分子的相对速率为u ,分
子a运动,轨迹为直线,和分子球心距离等于或小于分子直径 的那些分子与a碰撞.
则a分子在单位时间内和其它分子碰撞的次数为:
第八节 分子碰撞频率和平均自由度
(一) 平均自由程 λ ,碰撞频率 Z
自由程:
平分均子自连由续程两:次( 碰λ 撞) 所走过的距离.
分子连续两次碰撞所走过的距离的平均值.
λ = ∑ λi∆Ni
N
平均碰撞次数(碰撞频率) Z :
每个分子平均在单位时间内与气体分子的碰撞次数.
λ , Z值的大小,反映了分子碰撞的频繁程度,它决
Z = πd 2un
u = 2v 平均相对速率 , v 平均速率.
所以: Z = 2πd 2nv
看出λ 与宏观平均速率 v 无关.
与宏观λ 量(p,V,T)的关系:
λ= v =
Q p=nkT
n = p /kT
Z
∴ λ = kT 2π d 2 p
1
2π d 2 na来自 讨论:(1)气体温度一定p增大, λ 减小数量级概念,