计算方法课件

0
x1 b1 b2
b
x
然后再确定有根区间 a2 , b2 ,其长度是 a1 , b1 的二分之一。
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④ 如此反复下去,若不出现 f ( xn ) 0 ,即可得出 一系列有根区间序列：
[a, b] [a1 , b1 ] [a2 , b2 ]
[an , bn ]
§2.1 二分法
计算方法
在科学研究和工程设计中, 经常会遇到的一 大类问题是非线性方程 f(x)=0 (2.1) 的求根问题，其中f(x)为非线性函数。 方程f(x)=0的根 亦称为函数f(x)的零点。 当f(x)不是x的线性函数时，称对应的函数 方程为非线性方程。如果f(x)是多项式函数，则 称为代数方程，否则称为超越方程（三角方程， 指数、对数方程等）。
计算方法
一、二分法的基本思想是: 首先确定隔根区间,将区间二等分, 通过判断f(x)的符号, 逐步将隔根区间缩小, 直至隔根区间足够地小, 便可求出满足精度要求 的近似根。 具体过程如下：
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ab 点 x1 ,这样就可缩小隔根区间 2 y
① 取隔根区间[a,b]之中点, 将它分为两半,分
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在程序中通常用相邻的 xn与 xn1的差的绝对值或 an 与 bn 的差的绝对值是否小于ε来决定二分区间的次数。
| a n bn | | x x n1 || x n1 x n | 2 | a n bn | | x n1 x n | （事后估计） 2 2
由高等数学知识知, 设f (x)为区间[a,b]上的单 值连续函数, 如果f (a)·f (b)<0 , 则[a,b]中至少有
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一个实根。如果f (x)在[a,b]上还是单调递增或递减， 则仅有一个实根。
y
y=f(x)
a b x
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由此可大体确定根所在区间，方法有： (1) 画图法 (2) 逐步搜索法
3
10.97
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二分法的优点是不管隔根区间 a , b 多大,总 能求出满足精度要求的根,且对函数f(x)的要求不高, 只要连续即可,计算亦简单;它的局限性是只能用于 求函数的实根,不能用于求复根及重根,它的收敛速
1 度与比值为 的等比级数相同。 2
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计算方法
为了确定根的初值，首先必须圈定根所在的 范围，称为圈定根或根的隔离。 在上述基础上，采取适当的数值方法确定具有 一定精度要求的初值。 对于代数方程，其根的个数（实或复的）与其 次数相同。至于超越方程，其根可能是一个、几个或 无解，并没有什么固定的圈根方法。 求方程根的问题，就几何上讲,是求曲线 y=f (x) 与x轴交点的横坐标。
*
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例３ 证明方程 x3 2x 5 0 在区间[2, 3]内有一个根, 使 用二分法求误差不超过0.5×10-3 的根要二分多少次？ 证明 令 f ( x) x3 2x 5
f ( 2) 1 0, f ( 3) 16 0
且f(x)在[2, 3]上连续,故方程f(x)=0在[2,3]内至少有 一个根。 又 f ( x ) 3 x 2 2 当 x 2 , 3 时， f ( x ) 0 ,故f(x)在[2, 3]上是单 调递增函数, 从而f(x)在[2, 3]上有且仅有一根。
3 2 x 4 x 10 0 在(1,2) 例2 用二分法求 内的根，要求绝对误差不超过 1 10 2 2
解：
f(1)=-5<0
f(2)=14>0 中点 xn 函数值符号 f(1.5)>0 f(1.25)<0 f(1.375)>0 f(1.313)<0 f(1.344)<0 f(1.360)<0 f(1.368)>0
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给定误差限＝ 0.5×10-3 ,使用二分法时 1 误差限为 x n n1 (b a ) 只要取n满足 2 1 1 3 ( b a ) 10 2 n 1 2
lg( 3 2) lg 0.5 10 亦即 n 1 lg 2
所以需二分11次便可达到要求。
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用逐步搜索法进行实根隔离的关键是选 取步长h。要选择适当h ，使之既能把根隔离 开来，工作量又不太大。 为获取指定精度要求的初值,可在以上隔 离根的基础上采用二分法继续缩小该含根区间。 二分法可以看作是搜索法的一种改进。
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二分法又称二分区间法也称对分法,是求解方 程(2.1)的近似根的一种常用的简单方法。 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0, 根据连续函数的性质可知, f(x)= 0在(a,b)内必有 实根,称区间[a,b]为有根区间。为明确起见,假定 方程f(x)=0在区间[a,b]内有惟一实根。
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有根区间 -(1,2)+ (1,1.5) (1.25,1.5)
x1 1.5
| bn a n | 2
x 2 1.25
0.5 0.25 0.125 0.063 0.031 0.016 0.008 0.004
x 3 1.375
(1.25,1.375) x4 1.313 (1.313,1.375) x5 1.344 (1.344,1.375) x6 1.360 (1.360,1.375) x7 1.368 (1.360,1.368) x8 1.364
x
一个有用的结论：
对于m次代数方程
f ( x) x m am 1 x m 1 a1 x a0 0
其根的模的上下界有如下结论： （1）若 max{ am 1 , , a1 , a0 } ，则方程根的 模小于+1。 1 max{1, am 1 , , a1 } ，则方程根的 （2）若 a0 1 模大于 。 1
上述每个区间都是前一个区间的一半,因此 [an , bn ] 的长度 1 1 bn an ( bn1 an1 ) n ( b a ) 2 2 当n→∞时趋于零,这些区间最终收敛于一点 ，即 为所求的根 。
二分法区间变换（单击播放）
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二分法中点变换（单击播放）
x n 1
bn a n b a n 1 2 2
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当给定精度ε＞0后,要想 x n 1 成立, 只要满足
ba n 1 2
lg( b a ) lg n1 lg 2
即可，亦即当: （先验估计）
1
做到第n+1次二分,计算得到的 xn1 就是满足精度要 求的近似根 。
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步搜索法：（单击播放）
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例1 方程f(x)=x3-x-1=0 f(0)<0 f(2)>0
确定其隔根区间。
解：用试凑的方法，不难发现 在区间（0，2）内至少有一个实根 设从x=0出发,取h=0.5为步长向右进行根的 搜索,列表如下
0 –
0.5 –
1.0 –
1.5 +
2 +
f(x)
可以看出，在[1.0,1.5]内必有一根
0
x1 a
b f(x) x
计算方法 ② 对压缩了的隔根区间[ a , x 1 ]，取 a1 a , b1 x1
得到新的隔根区间 a 1 , b1 ，施行同样的手法,即取 a b 1 1 ,将区间 中点 x 2 a 1 , b1 再分为两半, 2 y
f(x) a1 a a2 x2
y
1 y x y lg x
0

x
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对于某些看不清根的函数，可以扩大一下曲线
y
y=kf(x)
y=f(x)
0
x
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(2) 逐步搜索法 对于给定的f (x),设有根区间为[a,b],从x0=a出发, 以步长h=(b-a)/n(n是正整数),在[a,b]内取定节 点:xi=x0＋ih (i=0,1,2,…,n),从左至右检查f (xi)的符号, 如发现xi与端点x0的函数值异号,则得到一个的隔根 区间［xi-1,xi］。
计算方法
若取近似根 x * x 8 1 . 364
*
Байду номын сангаас
，则
1 1 | x x | (1.368 1.360) 0.004 102 （事后估计） 2 2 ba 1 先验估计： | x x | n 1 10 2 , 解出对分次数 2 2 n1 8
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(1)
画图法 画出y = f (x)的略图，从而看出曲线与x轴交
点的大致位置。 也可将f (x) = 0分解为1(x)= 2(x)的形式，
1(x)与 2(x)两曲线交点的横坐标所在的子区间 即为含根区间。
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例如 xlgx-1= 0，可以改写为lgx=1/x 画出对数曲线y=lgx,与双曲线y= 1/x, 得到它们交点的横坐标所在区间。
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二、收敛性分析
计算方法
1 (a n bn ) 2
每次二分后,取隔根区间 [an , bn ]的中点 x n1
作为根的近似值，得到一个近似根的序列
x1 , x 2 ,
, xn ,
该序列以根 为极限。 只要二分足够多次(即n足够大),便有 x n1 这里ε为给定精度,由于 [an , bn ] ,则