函数的单调性定义
函数单调性的概念)
目 录
• 函数单调性的定义 • 判断函数单调性的方法 • 函数单调性的性质 • 函数单调性的应用 • 反例与特殊情况
01 函数单调性的定义
单调增函数
01
02
03
总结词
单调增函数是指函数在某 个区间内，随着自变量的 增加，函数值也单调增加 的函数。
详细描述
单调增函数的定义是，对 于任意两个数$x_1$和 $x_2$（$x_1 < x_2$）， 如果函数$f(x)$满足 $f(x_1) leq f(x_2)$，则称 $f(x)$在区间$[x_1, x_2]$ 上单调增。
单调函数的连续性是其基本性质之一。在单调递增的函数中，如果函数在某一点的左侧 小于该点的值，那么在该点的右侧也必然小于该点的值，即函数值随着自变量的增大而 增大。同样地，在单调递减的函数中，函数值随着自变量的增大而减小。因此，单调函
数在其定义域内是连续的，不存在间断点。
单调函数的可导性
总结词
单调函数的可导性是指函数在单调区间 内是可导的，即函数的导数在单调区间 内存在且不为零。
数学表达
如果对于所有$x_1 < x_2$， 都有$f(x_1) geq f(x_2)$， 则称$f(x)$为减函数。
严格单调函数
总结词
严格单调函数是指函数在某个区间内，对于任意两个不同的自变量，其函数值也不同的函 数。
详细描述
严格单调函数的定义是，对于任意两个不同的数$x_1$和$x_2$（$x_1 < x_2$），如果函数 $f(x)$满足$f(x_1) < f(x_2)$或$f(x_1) > f(x_2)$，则称$f(x)$在区间$[x_1, x_2]$上严格单调。
数学表达
数学函数的单调性
05
单调性的扩展知识
单调性与周期性
总结词
函数的单调性与周期性是两个相对独立的概念，但它 们之间也存在一定的联系。
详细描述
单调性是指函数在某一区间内的增减性，而周期性是指 函数按照一定的时间间隔重复出现的现象。虽然单调性 不直接决定函数的周期性，但它们在某些情况下会相互 影响。例如，一些周期函数可能在某些周期内表现出单 调性，而单调函数可能在不同的单调区间内具有不同的 周期。
总结词
单调性与函数值的大小关系是指，在单调递增的函数中 ，自变量x越大，函数值y也越大；在单调递减的函数中 ，自变量x越大，函数值y越小。
详细描述
单调性是描述函数值随自变量变化趋势的一种特性。对 于单调递增的函数，随着自变量x的增大，函数值y也相 应增大。这意味着在函数的整个定义域内，随着x的增加 ，y的值也持续增加。而对于单调递减的函数，随着x的 增大，y的值反而减小。这种单调性可以通过函数的导数 或微分进行判断。
单调性与不等式
总结词
单调性是解决不等式问题的关键因素之一，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。
详细描述
不等式是数学中一类重要的方程，通过分析函数的单调性可以解决许多不等式问题。例如，利用函数的单调递增 性质可以证明不等式，通过构造函数并在特定的区间内证明其单调递增，从而证明不等式的正确性。此外，利用 函数的单调性还可以求解一些不等式问题，例如求解一些函数的极值问题等。
要点二
详细描述
单调性的传递性是数学函数的一个重要性质。如果函数f在某 个区间I内单调增加，并且函数g在另一个区间J内也单调增加， 那么复合函数f○g（即f和g的复合函数）在f和g都有定义的区 间I∩J内也将单调增加。同样地，如果f和g都是单调减少的， 则f○g也将是单调减少的。
单调性定义
单调性定义
函数单调性的定义是：函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
定义
函数的单调性，也叫函数的增减性，可以定性描述在一个指定区间内，函数值变化与自变量变化的关系。
当函数f(x)的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性（单调增加或单调减少）。
在集合论中，在有序集合之间的函数，如果它们保持给定的次序，是具有单调性的。
如果说明一个函数在某个区间D上具有单调性，则我们将D称作函数的一个单调区间，则可判断出：
D⊆Q（Q是函数的定义域）。
区间D上，对于函数f(x)，∀（任取值）x1，x2∈D且
x1>x2，都有f(x1)>f(x2)。
或，∀x1，x2∈D且x1>x2，都有
f(x1)<f(x2)。
函数图像一定是上升或下降的。
该函数在E⊆D上与D上具有相同的单调性。
函数的单调性(定义法)
函数的单调性知识点：1.函数单调性定义(1).定义法,对任意的x1,x2∈D,D⊆I,x1＞x2 ,若f(x1)−f(x2)＞0则称f(x)在D 内是单增，若f(x1)−f(x2)＜0则称f(x)在D内是单减.(2). 对定义在D上的函数f(x),设x1,x2∈D, D⊆I , x1＜x2,则有：①f(x1)−f(x2)x1−x2＞0⇔f(x)是D上的单调递增函数；②f(x1)−f(x2)x1−x2＜0⇔f(x)是D上的单调递减函数.(注意：函数的单调性的局部性(注意：函数的单调性，从定义上来讲，是指函数在定义域的某个子区间上的单调性，是局部的特征，在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调。
求单调区间时，必须先求出函数的定义域；单调区间只能用区间表示，若有多个单调区，应分别写),函数的单调性最值主要涉及初等函数、复合函数、抽象函数、分段函数等情况.)2.复合函数的单调性：3.几种常见函数的单调性：f(x)=ax+bcx+d (abcd≠0,bc≠ad);f(x)=ax +bx(ab≠0)例1.多种方法判断下列函数的单调性：(1).f(x)=x + 1x x∈(0,1)(2).y=x−1xx∈（0，+∞）; (3).y=x3x∈R;(4).f(x)=axx²−1，x∈（-1,1）（a≠0）(5).f(x)=x+√1+x2，x∈R例2.(1).已知f(x)=x（x≠a）,若a＞0且f（x）在（1.+∞）内单调递减，求a的x−a在区间[1，2]上都是减函数，求a的取值取值范围. (2).若f(x)=−x2+2ax,与g(x)=ax+1范围.(3).已知函数f（x）= √3−ax（a≠1）若f（x）在区间（0,1］上是减函数，则a−1实数a的取值范围.(4).已知函数f（x）=√x²+1–ax（a＞0）①.证明当a≥1时，函数f（x）在区间[0，+∞）上为单调减函数.②.若函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围。
函数的单调性知识点
函数单调性知识点总结一、函数单调性知识结构【知识网络】1．函数单调性的定义，2．证明函数单调性；3．求函数的单调区间4．利用函数单调性解决一些问题；5．抽象函数与函数单调性结合运用二、重点叙述1. 函数单调性定义(一)函数单调性概念(1)增减函数定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2 :如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＜f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是增函数;如果当x1＜x2时,都有f(x1 ) ＞f(x2 ),那么就说函数y=f(x)在区间D上是减函数。
如果函数在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫做的单调区间。
(2)函数单调性的内涵与外延⑴函数的单调性也叫函数的增减性。
函数的单调性是对某个区间而言的,是一个局部概念。
⑵由函数增减性的定义可知:任意的x1、x2∈D,① x1＜x2 ,且f(x1 ) ＜f(x2 ),y=f(x)在区间D上是增函数;(可用于判断或证明函数的增减性)② y=f(x)在区间D 上是增函数,且x 1＜x 2 , f(x 1) ＜f(x 2 ) ;(可用于比较函数值的大小) ③ y=f(x)在区间D 上是增函数,且f(x 1) ＜f(x 2 ), x 1＜x 2 。
(可用于比较自变量值的大小) 2. 函数单调性证明方法证明函数单调性的方法有:定义法(即比较法);导数法。
实际上,用导数方法证明一般函数单调性是很便捷的方法,定义法是基本方法,常用来证明解决抽象函数或不易求导的函数的单调性。
(1)定义法:利用增减函数的定义证明。
在证明过程中,把数式的大小比较转化为求差比较(或求商比较)。
⑴转化为求差比较证明程序:①设任意的x 1 、x 2∈D,使x 1＜x 2 ; ②求差—变形—判断正负;此为关键步骤,变形大多要“因式分解”。
求差:; 变形:化简、因式分解; 判断:差的符号的正或负。
函数单调性的概念
在[0, )上单调增加； f (0) 0,
当x 0时， x ln(1 x ) 0, 即 x ln(1 x ).
利用单调性证明不等式的步骤： ①将要证的不等式作 恒等变形（通常是移项）使 一端为0另一端即为所作的辅助函数f(x);
②求 f ( x ) 验证f(x)在指定区间上的单调性; ③与区间端点处的函数值或极限值作比较即得证.
/
例3.设f (x) = ax3+x恰有三个单调区间，试确定a的 取值范围，并求其单调区间.
解: f x 3ax 2 1,
若a 0, 则f x 在(-, )恒正, f x 只有一个单调区间,与题意不符.
1 1 1 2 若a<0,则f x 3a x x , 3a x 3a 3a 3a 1 1 a 0时, f x 有三个单调区间,(-,],[ , ) -3a -3a 1 1 为它的减区间, , 为它的增区间. -3a -3a
当 x 1时， f ( x ) 0, 在( ,1]上单调增加； 当1 x 2时，
f ( x ) 0, 在[1,2]上单调减少；
当2 x 时， f ( x ) 0, 在[2, )上单调增加；
单调区间为 ( ,1]， [1,2]， [2, ).
2
x 0, ln( x 1 x ) ln 1 0
2
x 0时, f ( x) f ( x ) f (0) 0
x 0时,1 x ln( x 1 x ) 1 x .
2 2
例8.设f ( x), g ( x)在[a, b]上可导, 且f ( x) g ( x),
函数的单调性
如果是复合函数，应根据复合函数的单调性的判断方 法， 首先判断两个简单函数的单调性， 再根据“同则增， 异则减”的法则求解函数的单调区间． 3．单调区间的表示 单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示； 如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联 结，也不能用“或”联结．
你能说出你学过的函数的单调区间吗？请举例说明．
失误与防范
1．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调 递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间 上的单调性相同，也不能用并集表示． 2．两函数 f(x)、g(x)在 x∈(a，b)上都是增(减)函数，则 f(x) 1 ＋g(x)也为增(减)函数，但 f(x)· g(x)， 等的单调性与其 f(x) 正负有关，切不可盲目类比．
一轮复习讲义
函数的单调性
广河中学：马明清
要点梳理
1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
忆一忆知识要点
增函数 定义 区间 I 内的任意两个值 x1，x2
减函数
一般地，设函数 f(x)的定义域为 A，区间 I⊆A，如果对于 当 x1<x2 时，都有f(x1)<f(x2)，当 x1<x2 时， 都有f(x1)>f(x2) ， 那么就说函数 f(x)在区间 I 上是增函数 那么就说函数 f(x)在区间 I 上是减函数
2
1 2
方法与技巧
1．根据函数的单调性的定义，证明(判定)函数 f(x)在其区间 上的单调性，其步骤是 (1)设 x1、x2 是该区间上的任意两个值，且 x1＜x2(或 x1>x2)； (2)作差 f(x1)－f(x2)，然后变形； (3)判定 f(x1)－f(x2)的符号； (4)根据定义得出结论． 2．求函数的单调区间 首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的 子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调 区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质， 或利用导数的性质．
数学人教B必修1第二章213 函数的单调性
2、1、3 函数的单调性1.函数单调性的概念一般地,设函数y＝f（x）的定义域为A，区间M⊆A、如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量Δx＝x2－x1＞0,则当Δy＝f（x2）－f（x1）＞0时,就称函数y＝f（x）在区间M上是增函数，如下图所示.当Δy＝f(x2)－f(x1)＜0时,就称函数y＝f(x）在区间M上是减函数，如下图所示.如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性(区间M称为单调区间)。
谈重点对函数单调性的理解1.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，即单调区间是定义域的子集。
如函数y ＝x2的定义域为R,当x∈[0,＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，0）时是减函数。
2.函数单调性定义中的x1,x2有三个特征：一是任意性,即“任意取x1,x2”，“任意”二字决不能丢掉;二是有大小,即x1＜x2（x1＞x2）；三是同属一个单调区间，三者缺一不可。
3.单调性是一个“区间”概念,如果一个函数在定义域的几个区间上都是增（减）函数,但不能说这个函数在其定义域上是增（减)函数.如函数f（x)＝错误!在（－∞，0）上是减函数,在(0,＋∞)上也是减函数,但不能说f(x)＝错误!在（－∞,0)∪（0,＋∞)上是减函数.因为当x1＝－1，x2＝1时有f(x1)＝－1＜f(x2）＝1,不满足减函数的定义。
4.单调区间端点的写法:对于单独的一个点,由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减性变化，所以不存在单调问题，因此在写此单调区间时,包括端点可以,不包括端点也可以，但对于某些无意义的点,单调区间就一定不包括这些点。
【例1－1】下列说法不正确的有（）①函数y＝x2在（－∞，＋∞）上具有单调性,且在(－∞,0)上是减函数；②函数1=yx的定义域为（－∞,0)∪（0,＋∞)，且在其上是减函数；③函数y＝kx＋b(k∈R）在（－∞,＋∞)上一定具有单调性;④若x1，x2是f(x)的定义域A上的两个值,当x1＞x2时,有f(x1)＜f(x2),则y＝f（x）在A上是增函数.A.1个B.2个C.3个D。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数的单调性定义
单调性是数学分析中的一个重要概念，此概念一般表示一个实值
函数的单调性，是一个函数在两个点之间总是增加或总是减少的属性。
它是一种函数的性质，在函数的某个区间内，可以确定函数单调递增、单调递减或者局部单调，因此它可以提供一个有效的方法来分析函数
行为。
许多数学函数均是单调函数，例如函数f(x)=x^2和f(x)=x+2；函数f(x)=\cosx则不属于单调函数，因为其有增大和减小的部分。
单调函数有着一些独特的性质：一个单调函数在某一点，无论其
减小还是增大，只能分别在其有界和没有界点上变化；单调函数的图
象始终向一个方向去改变；单调函数的泰勒展开无法改变其方向。
单调性在很多领域都有广泛的应用，其中有两个典型的例子：
（1）在最优化问题中，我们假设某一函数是单调的，可以将该函
数改写为增函数或减函数，这样就可以使最优化问题切实可行。
（2）在函数分析中，比如在求非线性方程的根的问题中，可以采用Bisection（二分法）和secant（弦截法）等方法，这类方法往往要求所解决问题的函数为单调的函数。
因此，单调性的应用极其广泛，不仅在分析函数行为，改善优化方法以及求解非线性方程等数学分析问题中极为重要，而且还能在应用中博得成就。