函数单调性、奇偶性、周期性
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性高考要求函数的单调性、奇偶性是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样 特别是两性质的应用更加突出 本节主要帮助考生深刻理解奇偶性、单调性的定义，掌握判定方法，正确认识单调函数与奇偶函数的图象 帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识 一．重难点归纳 函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有)()(x f T x f =+ （其中T 为非零常数），则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
(2）三角函数的周期①π2:sin ==T x y ；②π2:cos ==T x y ；③π==T x y :tan ；④||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y ；⑤||:tan ωπω==T x y ；(3)与周期有关的结论 ①y=f(x)对x ∈R 时，f(x +a)=f(x －a) 或f(x －2a )=f(x) (a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； ②若y=f(x)是偶函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为2︱a ︱的周期函数；③若y=f(x)奇函数，其图像又关于直线x=a 对称，则f(x)是周期为4︱a ︱的周期函数；④若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称，则f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑤y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a ≠b)对称，则函数y=f(x)是周期为2b a -的周期函数；⑥y=f(x)对x ∈R 时，f(x+a)=－f(x)(或f(x+a)= )(1x f -，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数； 二．例题 例1已知函数f (x )在(－1，1)上有定义，f (21)=－1,当且仅当0<x <1时f (x )<0,且对任意x 、y ∈(－1,1)都有f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),试证明(1)f (x )为奇函数；(2)f (x )在(－1，1)上单调递减命题意图 本题主要考查函数的奇偶性、单调性的判定以及运算能力和逻辑推理能力知识依托 奇偶性及单调性定义及判定、赋值法及转化思想错解分析 本题对思维能力要求较高，如果“赋值”不够准确，运算技能不过关，结果很难获得技巧与方法 对于(1)，获得f (0)的值进而取x =－y 是解题关键；对于(2)，判定21121x x x x --的范围是焦点证明 (1)由f (x )+f (y )=f (xyy x ++1),令x =y =0,得f (0)=0, 令y =－x ,得f (x )+f (－x )=f (21xx x --)=f (0)=0∴f (x )=－f (－x ) ∴f (x )为奇函数 (2)先证f (x )在(0，1)上单调递减令0<x 1<x 2<1,则f (x 2)－f (x 1)=f (x 2)+f (－x 1)=f (21121x x x x --)∵0<x 1<x 2<1,∴x 2－x 1>0,1－x 1x 2>0，∴12121x x x x -->0,又(x 2－x 1)－(1－x 2x 1)=(x 2－1)(x 1+1)<0 ∴x 2－x 1<1－x 2x 1, ∴0<12121x x x x --<1,由题意知f (21121x x x x --)<0，即f (x 2)<f (x 1)∴f (x )在(0，1)上为减函数，又f (x )为奇函数且f (0)=0 ∴f (x )在(－1，1)上为减函数例2设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x =1对称，对任意x 1、x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),且f (1)=a >0(1)求f (21)、f (41);(2)证明f (x )是周期函数； (3)记a n =f (2n +n21),求).(ln lim n n a ∞→命题意图 本题主要考查函数概念，图象函数的奇偶性和周期性以及数列极限等知识，还考查运算能力和逻辑思维能力 知识依托 认真分析处理好各知识的相互联系，抓住条件f (x 1+x 2)＝ f (x 1)·f (x 2)找到问题的突破口错解分析 不会利用f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)进行合理变形技巧与方法 由f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2)变形为()()()()2222x x x x f x f f f =+=⋅是解决问题的关键(1) 解 因为对x 1,x 2∈［0,21］,都有f (x 1+x 2)=f (x 1)·f (x 2),所以f (x )=()()()02222x xx xf f f +=≥, x ∈［0,1］ 又因为f (1)=f (21+21)=f (21)·f (21)=［f (21)］2f (21)=f (41+41)=f (41)·f (41)=［f （41）］2又f (1)=a >0 ∴f (21)=a 21, f (41)=a 41(2)证明 依题意设y =f (x )关于直线x =1对称，故f (x )=f (1+1－x ),即 f (x )=f (2－x ),x ∈R又由f (x )是偶函数知 f (－x )=f (x ),x ∈R∴f (－x )=f (2－x ),x ∈R将上式中－x 以x 代换得f (x )=f (x +2)，这表明f (x )是R 上的周期函数，且2是它的一个周期(3)解 由(1)知f (x )≥0,x ∈［0,1］∵f (21)=f (n ·n 21)=f (n 21+(n －1) n 21)=f (n 21)·f ((n －1)·n 21)=…… =f (n 21)·f (n 21)·……·f (n 21) =［f (n 21)］n=a 21∴f (n21)=a n 21又∵f (x )的一个周期是2∴f (2n +n 21)=f (n21), ∴a n =f (2n +n 21)=f (n21)=a n 21因此a n =a n 21∴.0)ln 21(lim )(ln lim ==∞→∞→a na n n n三．练习1 下列函数中的奇函数是( )A f (x )=(x －1)xx -+11 B f (x )=2|2|)1lg(22---x xC f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧>+-<+)0()0(22x x x x x x D f (x )=x x x x sin cos 1cos sin 1++-+2.（重庆卷6)若定义在R 上的函数f (x )满足：对任意x 1,x 2∈R 有f (x 1+x 2)=f (x 1)+f (x 2)+1,,则下列说法一定正确的是（ C ）(A)f (x )为奇函数 （B ）f (x )为偶函数(C) f (x )+1为奇函数 （D ）f (x )+1为偶函数3 函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( )A 关于x 轴对称B 关于y 轴对称C 关于原点对称D 关于直线x =1对称 4 函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是____ 5 若函数f (x )=ax 3+bx 2+cx +d 满足f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0 (0<x 1<x 2), 且在［x 2,+∞)上单调递增，则b 的取值范围是_________6．设函数f (x )的定义域关于原点对称且满足(i)f (x 1－x 2)=)()(1)()(1221x f x f x f x f -+⋅；(ii)存在正常数a 使f (a )=1 求证 (1)f (x )是奇函数 (2)f (x )是周期函数，且有一个周期是4a参考答案:1 解析 f (－x )=2222(0)() (0) (0)() (0)x x x x x x x x x x x x ⎧⎧->-+<⎪⎪=⎨⎨--<--+>⎪⎪⎩⎩ =－f (x )，故f (x )为奇函数答案 C 3 解析 f (－x )=－f (x ),f (x )是奇函数，图象关于原点对称 答案 C4 解析 令t =|x +1|,则t 在(－∞,－1]上递减，又y =f (x )在R 上单调递增，∴y =f (|x +1|)在(－∞,－1]上递减答案 (－∞,－1] 5 解析 ∵f (0)=f (x 1)=f (x 2)=0,∴f (0)=d =0 f (x )=ax (x －x 1)(x －x 2)=ax 3－a (x 1+x 2)x 2+ax 1x 2x ， ∴b =－a (x 1+x 2),又f (x )在［x 2,+∞)单调递增，故a >0 又知0＜x 1＜x ,得x 1+x 2>0, ∴b =－a (x 1+x 2)＜0 答案 (－∞,0） 6 证明 (1）不妨令x =x 1－x 2,则f (－x )=f (x 2－x 1)=)()(1)()()()(1)()(12212112x f x f x f x f x f x f x f x f -+-=-+=－f (x 1－x 2)=－f (x )∴f (x )是奇函数(2）要证f (x +4a )=f (x ),可先计算f (x +a ),f (x +2a ) ∵f (x +a )=f ［x -(-a )］=)1)((1)(1)()()(1)()()()(1)()(=+-=--+-=---+-a f x f x f x f a f x f a f x f a f x f a f).(111)(1)(11)(1)(1)(1)(])[()2(x f x f x f x f x f a x f a x f a a x f a x f -=++--+-=++-+=++=+∴∴f (x +4a )=f ［(x +2a )+2a ］=)2(1a x f +-=f (x ), 故f (x )是以4a 为周期的周期函数四．易错题1、(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)= f(4-x),f(x+1)=f(x-1),则f(x)是（ ） A 、奇函数但非偶函数 B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数 D 、非奇非偶函数 2、(湖南省十二校2008届高三第一次联考)函数)(x f y =与)(x g y =有相同的定义域，且都不是常数函数，对定义域中任意x ，有f(x)＋f(－x)＝0,g(x)g(－x)＝1，且x ≠0,g(x)≠1，则)(1)()(2)(x f x g x f x F +-=（ ） A ．是奇函数但不是偶函数 B ．是偶函数但不是奇函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数答案：B3、(江苏省启东中学高三综合测试二)已知函数f (x )满足：f (p +q )= f (p ) f (q )，f (1)= 3，则)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9() 10 ()5(2f ff+的值为A.15B.30C.75D.60答案：B4、(四川省巴蜀联盟2008届高三年级第二次联考)设偶函数f（x）对任意x∈R，都有f（x）+f（x+1）=4，当x∈[-3,-2]时，f（x）=4x+12，则f（112.5）的值为A．2 B．3 C．4 D．5答案：A5、(山东省博兴二中高三第三次月考)若奇函数()()f x x R∈满足()()()()22,22f f x f x f=+=+，则()5f的值是A．0 B．1 C．52D．5答案：D6、(广东省五校2008年高三上期末联考)定义在R上的函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称，对任意的实数x都有3()()2f x f x=-+，且(1)1,f-=(0)2f=-，则(1)(2)(3)(20f f f f+++鬃?的值为A．2-B．1-C．0 D．1答案：D．解析：本题考查了函数的对称性和周期性．由3()()2f x f x=-+，得(3)()f x f x+=，因此，()f x是周期函数，并且周期是３函数()f x的图象关于点3(,0)4-成中心对称, 因此，()f x=-3()2f x--，所以，(1)1f=(1)(2)(3)0f f f++=，(1)(2)(3)(2008)f f f f+++鬃?＝(1)f7、(黑龙江省哈尔滨三中2008年高三上期末)已知)(xf是偶函数，)(,xfRx若将∈的图像向右平移一个单位又得到一个奇函数，)2008()10()9()8(,1)2(fffff++++-=则等于（）A．－1004 B．1004 C．－1 D．1答案：D8、(河北衡水中学2008年第四次调考)已知函数)(xfy=的定义域为R，它的反函数为)(1xfy-=，如果)(1axfy+=-与)(axfy+=互为反函数且aaf=)(（a为非零常数），则)2(af的值为（）A．a-B．0 C．a D．a2答案：B9、(河北省正定中学2008年高三第五次月考)定义在R上的函数y＝f（x）满足：f（－x）＝－f（x），f（1＋x）＝f（1－x），当x∈[－1,1]时，f（x）＝x3，则f（2 007）的值是（）(A)－1 (B)0 (C)1 (D)2答案：A 10、(福建省师大附中2008年高三上期期末考试)定义在R 上的函数()f x满足()(4)f x f x-=-+，当2x>时，()f x单调递增，如果1212124(2)(2)0,()()x x x x f x f x+<--<+且则的值（）A．恒小于0 B．恒大于0C．可能为0 D．可正可负答案：A11、(江苏省启东中学高三综合测试四)已知)(xf是定义在R上的函数，且)2()(+=xfxf恒成立，当)0,2(-∈x时，2)(xxf=，则当[]3,2∈x时，函数)(xf的解析式为（）A．42-x B．42+x C．2)4(+x D．2)4(-x答案：D12、(陕西长安二中2008届高三第一学期第二次月考)定义在R上的奇函数)(xf满足)3()3(xfxf-=+，若当x ∈(0，3)时，xxf2)(=，则当x∈(- 6，-3)时，)(xf=( ) A.62+x B.-62+x C.62-x D.-62-x答案：B13、(黑龙江省哈师大附中2008届高三上期末)设定义在R 上的函数f(x)的反函数为f－1(x)，且对任意的x∈R，都有f(－x)＋f(x)＝3，则f－1(x－1)＋f－1(4－x)等于（）A．0 B．—2 C．2 D．2x—4答案：A14、(安徽省淮南市2008届高三第一次模拟考试)设函数f (x)是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，若f(2)>１，f (2008)=33-+aa，则a的取值范围是（）A. (－∞, 0)B. (0, 3)C. (0, +∞)D. (－∞, 0)∪(3, +∞) 答案：B15、(山东省济南市2008年2月高三统考)已知()f x是以2为周期的偶函数，当[0,1]x∈时，()f x x=，那么在区间[1,3]-内，关于x的方程()1f x kx k=++（其中k是为不等于l的实数）有四个不同的实根，则k的取值范围是A．(1,0)-B．1(,0)2-C．1(,0)3-D．1(,0)4-答案：C16、(安徽省巢湖市2008届高三第二次教学质量检测)函数()f x的定义域为R，对任意实数x满足(1)(3)f x f x-=-，且(1)f x-＝(3)f x-，当12x≤≤时，()f x＝2x，则()f x的单调减区间是（）A.[2k，2k+1](k Z∈) B.[2k-1，2k](k Z∈)C.[2k，2k+2] (k Z∈) D.[2k-2，2k](k Z∈)答案：A17、(东北师大附中高2008届第四次摸底考试)已知定义域为R 的函数()x f 在区间()∞+，4上为减函数，且函数 ()4+=x f y 为偶函数，则（ ）A ．()()32f f >B ．()()52f f >C ．()()53f f >D ．()()63f f > 答案：D18、(湖南省长沙市一中2008届高三第六次月考)若函数)(x f 满足：“对于区间（1，2）上的任意实数)(,2121x x x x ≠，||||)()(1212x x x f x f -<-恒成立，”则称)(x f 为完美函数.在下列四个函数中，完美函数是 A ．xx f 1)(=B ．||)(x x f =C ．x x f 2)(=D ．2)(x x f =答案：A。
函数的奇偶性、单调性、周期性
一. 函数的奇偶性
2．对函数奇偶性的理解 ． （1）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质，是函 ）函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质， 数的整体性质. 数的整体性质 （2）函数奇偶性中对定义域内任意一个 ，都有 (－x) = ）函数奇偶性中对定义域内任意一个x，都有f － f (x)，f (－x) = －f (x)的实质是：函数的定义域关于原点 的实质是： ， － 的实质是 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件. 对称，这是函数具备奇偶性的必要条件 函数的奇偶性是 其相应图象特殊的对称性的反映. 其相应图象特殊的对称性的反映
A.关于原点对称 A.关于原点对称 C.关于y C.关于y轴对称 关于
B.关于直线y B.关于直线y=-x对称 关于直线 D.关于直线y D.关于直线y=x对称 关于直线
解析: 解析:
由于定义域为（ 由于定义域为（-2，2）关于原点对称，又 关于原点对称，
f(x)=-f(-x),故函数为奇函数,图象关于原点对称. )=),故函数为奇函数,图象关于原点对称. 故函数为奇函数
例3：(2008·山东)函数y=ln cos x (2008·山东)函数y 山东
(−
π
2
<x<
π
2
)
的图象是 （A ）
解析: 解析:
为偶函数, y=ln cos x为偶函数,且函数图象在 [ 0 , π )上单
2
调递减. 调递减.
若函数f 的导函数 若函数 (x)的导函数 f ′(x) 在D上的函数 上的函数
值为正,则称 上为增函数； 值为正 则称y = f (x)在D上为增函数； 则称 在 上为增函数
四.函数的单调性
2. 函数单调性的等价定义
函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题
函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4． 奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数； 注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1． 已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2． 函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。
函数的性质单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值(十六大题型)(课件)高考数学一轮复习(新教材新高考)
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接
写出它们的单调区间．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
（3）记住几条常用的结论：
①若()是增函数，则−()为减函数；若()是减函数，则−()为增函数；
2
注意：关于①式，可以写成函数() = + ( ≠ 0)
−1
2
或函数() = − ( ∈ )．
+1
−
偶函数：①函数() = ±( + )．
②函数() = log ( + 1) − ．
2
③函数(| |)类型的一切函数．
④常数函数
1 − 2
使得 −
1
2
< 0”成立的是（
− 2
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f (b x) f (b x)
f (a x) f (a x)
f ( x)为奇函数
f (a x) f (a x)
f ( x)为偶函数
（2）若函数 = ( + )为奇函数，则函数 = ()关于点(, 0)对称．
（3）若() = (2 − )，则函数()关于 = 对称．
（4）若 + (2 − ) = 2，则函数()关于点(, )对称．
知识梳理·基础回归
解题方法总结
1、单调性技巧
②若()和()均为增（或减）函数，则在()和()的公共定义域上() +
函数单调性、奇偶性及周期性(BK)
函数单调性、奇偶性及周期性一、函数的单调性(局部性质)1.增（减）函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)（或f(x1)>f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增（减）函数，区间D为y=f(x)的单调增（减）区间.2. 增（减）函数的判断方法及步骤：（1）图像法：单调区间上增函数的图象从左到右上升，减函数的图象从左到右下降.（2）定义法：任取x1，x2∈D，且x1< x2；作差f (x1)－f(x2)；变形（通常是因式分解和配方）；定号（判断差f(x1)－f(x2)的正负）；下结论.（3）函数单调性的变形（主要用于抽象函数）：增（减）函数：；3.含奇偶性的函数单调性的应用（1）奇函数：奇函数的图象关于原点对称，其单调性在对称区间内相同，如在[a,b]上为增函数，则在[-b，-a]上也为增函数（对称区间单调性相同）.（2）偶函数：奇函数的图象关于y轴对称，其单调性在对称区间内相反，如在[a,b]上为增函数，则在[-b，-a]上为减函数（对称区间单调性相反）.-aayxOx1x2x1x1x2x2-aaxOy是上的奇函数，且在是上的奇函数，且在为为增函数，则在区间为增函数，对于减函数，则在区间为增函数，此时以，则应满足：的单调性作为标准，对于，则应满足：二、周期函数的定义及重要结论1.定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期.2.重要结论（1）若函数满足，则是以为周期的周期函数；（2）若函数满足，则是以为周期的周期函数；（3）若函数满足，则是以为周期的周期函数；（4）函数满足，则是以为周期的周期函数.3.对称性:若a为非零常数，对于定义域内的任意x，使恒成立，则叫做的对称轴.注：或的对称轴为，的对称轴为.相关习题一、选择题1.如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A.增函数，最小值是-5B.增函数，最大值是-5C.减函数，最小值是-5D.减函数，最大值是-52.已知函数是奇函数，则的值为（）A. B. C. D.3.是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（）A. B.C. D.与的取值有关4.在上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则为（）A. 在区间上是增函数，在区间上是增函数B. 在区间上是增函数，在区间上是减函数C. 在区间上是减函数，在区间上是增函数D. 在区间上是减函数，在区间上是减函数5. 函数对于任意实数满足条件，若，则的值等于（）A. B. C. D.二、填空题6. 在R上是增函数且为奇函数, k的值为 ；7.函数f (x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f (a)＝2，则f (－a)的值为________；8.已知是R上的减函数，那么a的取值范围是；9.已知函数y＝f (x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式的解集是________．三、解答题10. 判断下列各函数是否具有奇偶性（1）；（2）；（3），；（4）；（5）；（6）；（7）.11.（1）为R上奇函数，当时，，求在R上解析式；（2）为上的偶函数，当时，，求在上解析式；（3）都是定义在R上的函数，且为偶函数，为奇函数，且有，试求的解析式.12.（1）在(－2，2)上为减函数，且，求m的取值范围；（2）在上为偶函数，且在上是减函数，求a的取值范围.13. 对于任意的实数都有，当时，.（1）求证：在R上是增函数；（2）若，解不等式.。
函数单调性、奇偶性、周期性知识点
一轮复习知识点一、函数（二）函数性质——单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性1.定义：一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间M A ⊆，如果取区间M 中任意两个值12,x x ，改变210x x x =->，则当21()()0y f x f x =->时，就称()y f x =在区间M 上是增函数，当21()()0y f x f x =-<时，就称函数()y f x =在区间M 上是减函数。
2.单调性：如果某个函数在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间上具有单调性。
3.判断函数单调性的方法（1）定义法121212121.,,2.()()3..()()5.x x x x y f x f x y y f x f x <⎧⎪=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩在区间上任取且计算将变成因式乘除形式，便于判断符号4判断的正负下结论（2）元素分析法（3）求导（4）图像法（5）复合函数[][]1.()()()2.()()()f x g x f g x f x g x f g x ⎧⎪⎨⎪⎩与单调性相同，单调增与单调性相反，单调减 （6）函数加减：公共定义域内，()()f x g x 与的单调性+=+=-=-=⎧⎨⎩增函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数增函数减函数增函数减函数二、奇偶性1.定义：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数；设函数()y g x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()g x gx -=，则这个函数叫做偶函数。
2.奇偶性图像性质汇总 奇偶性共同点 定义式 图像 0x = 单调性 奇函数定义域关于原点对称 ()()f x f x -=- 关于原点对称 (0)0f = 对应区间单调性一致 偶函数 ()()g x g x -=关于y 轴对称 对应 区间单调性相反3.判断函数奇偶性的方法（1）定义法：奇函数：()()f x f x -=- ()()0f x f x -+= ()1()f x f x -=-偶函数：()()g x g x -= ()()0g x g x --=()1()f x f x -=（2）图象法（3）性质法①偶+偶=偶 偶-偶=偶偶*偶=偶 偶/偶=偶②奇+奇=奇 奇-奇=奇奇*奇=偶 奇/奇=偶③奇*偶=奇 奇/偶=奇④()[()]F x f g x = ()()()()()()f x g x x f x g x x f x g x x ⎧⎪⎨⎪⎩为偶，为偶，F()为偶为奇，为奇，F()为奇为偶，为奇，F()为偶三、周期性1.定义：对于函数()y f x =，如果存在一个非零常数T ，使得x 取定义域内每一个值，都有()()f x T f x +=，那么，()f x 叫做周期函数，T 叫做()f x 的周期。
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数
高考数学知识考点精析3 函数的单调性、周期性、奇偶性、反函数一、函数的单调性：1、定义：对于给定区间D 上的函数f(x)，若对于任意x 1,x 2∈D,当x 1<x 2时，都有f(x 1) <f(x 2)，则称f(x)是区间上的增函数，当x 1<x 2时，都有f(x 1)> f(x 2)，则称f(x)是区间上的减函数。
如果函数y= f(x)在区间上是增函数或减函数，就说函数y= f(x)在区间D 上具有（严格的）单调性，区间D 称为函数f(x)的单调区间。
()()()()121200f x f x x x -><→-增减 任意x 1,x 2∈D 2、函数单调性的证明方法：通常根据定义，其步骤是：1）任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2 2）作差f(x 1)－ f(x 2)或作商()()()()0112≠x f x f x f ，并变形，（4）判定f(x 1)－ f(x 2)的符号，或比较()()12x f x f 与1的大小， 4）根据定义作出结论。
有时也根据导数。
()()()()//,0D 0D x D f x f x f x f x ∈>⇒<⇒在上递增，在上递减。
（注：逆命题不成立）3、常见函数的单调性：（1） 一次函数y=kx+b （k ≠0） 1）当k>0时，f(x)在R 上是增函数。
2）当k<0时，f(x)在R 上是减函数。
（2） 二次函数y=ax 2+bx+c 1）当a>o 时，函数f(x)的图象开口向上，在（－∞，－a b 2）上是减函数，在[－ab 2，＋∞）上是增函数，2) 当a<0时，函数f(x)的图象开口向下，在（－∞，－a b 2）上是增函数，在[－ab 2，＋∞）是减函数。
（3） 反比例函数y=()0≠k xk 1) 当k>0时，f(x)在（－∞，0）与（0，＋∞）上都是减函数，2) 当k<0时，f(x)在（－∞,0）与（0，＋∞）上都是增函数但要注意在（－∞，0）∪（0，＋∞）上f(x)没有单调性。
函数的单调性、奇偶性、周期性
函数的单调性、奇偶性、周期性一、函数的单调性 1．增函数定义设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1)<f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调增函数．I 称为y=f(x)的单调增区间。
2、减函数定义：设函数y=f(x)的定义域为A ，区间I ⊆A ，如果对于区间I 内的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时， 都有f(x 1) >f(x 2)，那么就说f(x)在区间I 上是单调减函数．I 称为y=f(x)的单调减区间。
注意：（1）函数的单调性是函数在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； （2）必须是对于区间I 内自变量x 的任意两个值x 1，x 2，当x 1<x 2时，总有f(x 1)<f(x 2)（或f(x 1) >f(x 2)），才能说函数y=f(x) 在区间I 上具有单调增减性。
（3）判断函数的单调性：一利用定义，二利用函数的图象，三是利用导数。
（4）利用函数的图象分别指出： 一次函数y=kx+b 、 反比例函数y= kx(k ≠0)、二次函数y=a x 2+bx+c 的单调区间(5) 定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况； 外延：①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.(6)、利用定义证明函数f(x)在给定的区间I 上的单调性的一般步骤：① 任取x 1，x 2∈I ，且x 1<x 2； ② 作差f(x 1)－f(x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ⑤ 下结论（即指出函数f(x)在给定的区间I 上的单调性）． （7）函数单调性的判定：（1）图象法；（2）定义法 （3导数法） 二、复合函数))((x g f y =单调性的判断：对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性， 当),(b a x ∈ ，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性， 则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同得增，异得减”或“同增异减”.三、单调性的有关结论：1．若f(x), g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x) 函数； 2．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为 ；3．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性。
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函数单调性、奇偶性、周期性◆知识点梳理 （一）函数的奇偶性：1、定义域关于原点对称 奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ；2、)(x f 是奇函数⇔)()(x f x f -=-⇔)(x f 图像关于原点对称；3、)(x f 是偶函数)()(x f x f =-⇔⇔)(x f 图像关于y 轴对称；4、一些判断奇偶性的规律: ①奇±奇=奇，偶±偶=偶②奇×/÷奇=偶，奇×/÷偶=奇，偶×/÷偶=偶（二）函数的单调性 方法：①导数法； ②规律判断法；③图像法。
1、单调性的定义：)(x f 在区间M 上是增（减）函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时)0(0)()(21><-x f x f2、采用单调性的定义判定法应注意：一般要将式子)()(21x f x f -化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断正负； 3、对于已知单调区间求参数围，一般有以下两种方法： ①转化为恒成立问题，接着用求最值的视角去解决；②先求出该函数的完整单调区间，根据此区间比已知单调区间大去求解。
4、一些判断单调性的规律: ①减 + 减 =减，增 + 增 = 增；②1()()()f x f x f x -与、的单调性相反；（三）复合函数单调性的判定：定义域优先考虑1、首先将原函数)]([x g f y =分解为基本初等函数：)(x g u =与)(u f y =；2、分别研究两个函数在各自定义域的单调性；3、根据“同增异减”来判断原函数在其定义域的单调性。
（四）函数的周期性1、周期性的定义：若有)()(x f T x f =+，则称函数)(x f 为周期函数，T 为它的一个周期。
如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。
2、三角函数的周期①π==T x y :tan ，||:tan ωπω==T x y ②||2:)cos(),sin(ωπϕωϕω=+=+=T x A y x A y 3、与周期有关的结论：①)()(a x f a x f -=+或(2)()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2； ②)()(x f a x f -=+⇒)(x f 的周期为a 2；③1()()f x a f x +=⇒)(x f 的周期为a 2；◆考点剖析（一）考查一般函数的奇偶性例1、 设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0,+∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )＞0的x 的取值围是 .变式1、 若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a =（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2变式2、 函数1()f x x x=-的图像关于（ ）A ．y 轴对称B ． 直线x y -=对称C ． 坐标原点对称D ． 直线x y =对称（二）考查函数奇偶性的判别 例2、判断下下列函数的奇偶性（1）22(1),0()(1),0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩ （2）24()|3|3x f x x -=--变式3、已知函数0()(2≠+=x xax x f ，常数)a ∈R ． （1）讨论函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；变式4、判断下下列函数的奇偶性（1）21()log 1x f x x -=+ （2）1,0()1,0x x f x x x ->⎧=⎨--≤⎩（三）考查抽象函数的奇偶性例3、已知函数f(x),当x,y ∈R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y).求证：f(x)是奇函数；变式5A 、若定义在R 上的函数f(x)满足：对任意12,x x ∈R 有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是( )(A)f(x)为奇函数 （B ）f(x)为偶函数 (C) f(x)+1为奇函数 （D ）f(x)+1为偶函数变式5B 、已知函数()f x ，当,x y R ∈时，恒有()()()f x y xf y yf x +=+，求证()f x 是偶函数。
（三）考查一般函数的单调区间（暂不讲）例4、 设函数1()(01)ln f x x x x x=>≠且，求函数()f x 的单调区间； 变式6、函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是（ ） A.)2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D.),2(+∞（四）考查复合函数的单调区间 例5、判断函数f(x)=12-x 在定义域上的单调性.变式7、求函数y=21log （4x-x 2）的单调区间.（五）考查函数单调性的运用例6A 、定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-.则（ ）(A)(3)(2)(1)f f f <-< (B)(1)(2)(3)f f f <-< (C) (2)(1)(3)f f f -<< (D)(3)(1)(2)f f f <<-变式8、(2008全国)设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，例6B 、已知函数32()f x x ax ax =+-在区间(1,)+∞上递增，求a 的取值围。
变式9、已知函数0()(2≠+=x xa x x f ，常数)a ∈R ． （1）略 （2）若函数)(x f 在[2)x ∈+∞，上为增函数，求a 的取值围．（六）考查函数周期性的应用例7、函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=，若()15,f =-则()()5f f =__________。
变式10、已知函数()f x 满足：()114f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2010f =_____________.变式11、已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)2◆方法小结1、注意：单调区间一定要在定义域，且不可以有“”，只能用“和”，“，”.2、含有参量的函数的单调性问题，可分为两类：一类是由参数的围判定其单调性；一类是给定单调性求参数围，其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式，结合定义域求出参数的取值围.3、判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称，然后根据奇偶性的定义判断（或证明）函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性，可以在定义域找到一对非零实数a 与－a ，验证f (a )±f (－a )≠0.4、函数的周期性：第一应从定义入手，第二应结合图象理解.◆课后强化 1.若函数2()()af x x a x=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ∀∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数C ．a ∃∈R ，()f x 是偶函数D ．a ∃∈R ，()f x 是奇函数2. 下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0，+∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是（ ）A ．()f x =1xB. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 3.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足(21)f x -＜1()3f 的x 取值围是（ ）（A ）（13，23） (B) ［13，23） (C)（12，23） (D) ［12，23）4.已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（ ）A. 0B.21 C. 1 D. 25 5.已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ).A.(25)(11)(80)f f f -<<B.(80)(11)(25)f f f <<-C.(11)(80)(25)f f f <<-D.(25)(80)(11)f f f -<<6、已知()f x 在R 上是奇函数，且(4)(),f x f x +=2(0,2)()2,(7)x f x x f ∈==当时，则（ ） A.—2 B.2 C.—98 D.987、设f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)=2x +2x+b(b 为常数)，则f(-1)=（ ） (A) 3 (B) 1 (C)-1 (D)-38、给定函数①12y x =，②12log (1)y x =+，③|1|y x =-，④12x y +=，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是（ ）（A ）①② （B ）②③ （C ）③④（D ）①④9、若函数f （x ）=3x+3-x与g （x ）=3x -3-x的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数 B. f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数 C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数 D. f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数 10、11、设函数f(x)=x(e x +ae -x )(x ∈R)是偶函数，则实数a =________________12、以下4个函数: ①12+=x )x (f ; ②11+-=x x )x (f ; ③2211x x )x (f -+=; ④xxlg )x (f +-=11. 其中既不是奇函数, 又不是偶函数的是 ( )A.①②B. ②③C. ③④D.①②③13、已知函数), x x ( lg x )x (f 122+++=若 f (a)＝M, 则 f (－a)等于 ( )A. M a -22B. 22a M -C. 22a M -D. M a 22-14、设y ＝f (x)是定义在R 上的奇函数, 当x ≥0时, f (x)＝x 2－2 x, 则在R 上f (x)的表达式为 ( )A. )x (x 2--B. ) |x | (x 2-C. ) x (|x |2-D.) |x | (|x |2- 15．函数1)(+-=x a x f （)1,0≠>a a 是减函数，则a 的取值围是（ ） A ．()1,0∈a B ．(]+∞∈,1a C ．R a ∈ D ．+∈R a 16．函数)(x f 112+-=x x 的单调增区间是（ ） A ．(][)∞+--∞-11, B ．(][)∞+--∞-1,1, C ．(]1,-∞- D ．()()+∞--∞-,11,17．已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数，那么a 的取值围是 ( )（A ）(0,1) （B ）1(0,)3（C ）11[,)73（D ）1[,1)718．若f(x)=-x 2+2ax 与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值围是（ ）A ．)1,0()0,1(⋃-B ．]1,0()0,1(⋃-C ．（0，1）D ．]1,0(19．若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-单调递增，则a 的取值围是（ ）A ．)1,41[B ．)1,43[C ．),49(+∞D ．)49,1(20．函数)1lg()(2x x x f ++=是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数 21．函数2222)(x x x f -+-=是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数22．函数⎪⎩⎪⎨⎧>+<-=)0(,)0(,)(22x x x x x x x f 是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．是奇函数也是偶函数D ．非奇非偶函数23．定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x +2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2－|x －4|，则（ ）A ．f (sin6π)<f (cos 6π) B ．f (sin1)>f (cos1)C ．f (cos32π)<f (sin 32π) D ．f (cos2)>f (sin2)24．定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数.若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（）A ．21-B ．21C ．23-D ．23 25．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+3)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )(A)－1 (B) 0 (C) 1 (D)226．)(x f 是定义在R 上的以3为周期的偶函数，且0)2(=f ，则方程)(x f =0在区间（0，6）解的个数的最小值是（）A ．5B ．4C ．3D ．227．下列函数既是奇函数，又在区间[]1,1-上单调递减的是（ ） （A ）()sin f x x =（B ）()1f x x =-+（C ）()1()2x xf x a a -=+（D ）2()ln 2x f x x-=+ 28．若函数f(x)=121+X , 则该函数在(-∞,+∞)上是 ( ) (A)单调递减无最小值 (B) 单调递减有最小值 (C)单调递增无最大值 (D) 单调递增有最大值 29．下列函数中，在其定义域既是奇函数又是减函数的是( ) A. R x x y ∈-=,3 B.R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D.R x x y ∈=,)21(30．已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1 31．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且f (2)0，则使得f (x )<0的x 的取值围是( )(A) (∞,2) (B) (2,∞) (C) (∞,2)⋃(2,∞) (D) (2,2)32．设()f x 是R 上的任意函数,则下列叙述正确的是（ ） (A)()()f x f x -是奇函数 (B)()()f x f x -是奇函数 (C) ()()f x f x --是偶函数 (D)()()f x f x +-是偶函数33．函数)2(log )(22--=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.34. 函数1231)(+--⎪⎭⎫⎝⎛=x x x f 的单调增区间是___________,减区间是______________.35.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y=f (x )的图象关于直线21=x 对称，则f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=______________. 36．若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则a = . 37、函数f (x )=111122+++-++x x x x 的图象( ) A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称 C.关于原点对称D.关于直线x =1对称38、函数f (x )在R 上为增函数，则y =f (|x +1|)的一个单调递减区间是_________.39、若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________. 40、如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系______41、已知函数y =f (x )=c bx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25.(1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.42、已知函数()()1011且x x a f x a a a -=>≠+．（1）判断()f x 的奇偶性；（2）当1a >时，判断()f x 的单调性，并证明．43、已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，()30f =，则不等式()0f x ≥的解集是．44、函数()()212log 23f x x x =-++的单调递减区间是．45、若函数()11a f x x x a=+-+是奇函数，则实数a 的值为． 46、若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上为增函数，则实数a 、b 的取值围分别是．47、已知对于任意实数x ，函数()f x 满足()()f x f x -=，若方程()0f x =有2009个实数解，则这2009个实数解之和为．◆详细解析例1、(1,0)(1,)-+∞ 变式1、C 变式2、C例2、解：（1）2222(1),0(1),0()()(1),0(1),0x x x x x x f x f x x x x x x x ⎧⎧---≥-+≤⎪⎪-===⎨⎨--+-<->⎪⎪⎩⎩ 故()f x 为偶函数。