高一三角恒等变换典型练习及答案

一．解答题（共20小题）1．已知函数f（x）＝（1）求f（x）的对称中心（2）若x，f（x）＝，求cos2x的值2．已知函数．（1）求f（x）的对称轴；（2）当α∈[0，π]时，若f（α）＝1，求α的值．3．已知的最大值为．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若，求的值．4．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．5．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）求满足的x的集合．6．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a≤b≤c，则求函数的值域．7．已知函数．（1）求的值．（2）求函数f（x）在上的值域．8．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．9．已知函数f（x）＝sin2x+a cos2x的图象关于直线对称．（1）求实数a的值；（2）若对任意的，使得m[f（x）+8]+2＝0有解，求实数m的取值范围；10．已知函数f（x）＝x sinθ﹣cosθ，其中θ∈[0，2π）．（1）若f（2）＝0，求sin2θ的值；（2）求f（1）+sin2θ的最大值．11．已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）＝，x∈[]求cos2x的值；（Ⅲ）若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在区间[]上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．12．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的值域．13．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数在的最大值为2，求实数a的值．14．已知．（1）求f（x）在的值域；（2）若，求的值．15．已知函数．（1）求y＝f（x）的单调增区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值16．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．17．已知函数．（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若f（x）＜m在内有解，求m的取值范围．18．已知f（x）＝2sin x cos x+（cos2x﹣sin2x）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y＝f（x）的值域．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及其对称中心；（2）若，求f（x）的最值．20．已知函数f（x）＝cos（2x+）+sin2x﹣cos2x+2sin x cos x．（1）化简f（x）；（2）若f（α）＝，2α是第一象限角，求sin2α．一．解答题（共20小题）1．已知函数f（x）＝（1）求f（x）的对称中心（2）若x，f（x）＝，求cos2x的值【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由相位终边落在y轴上求得x值，则答案可求；（2）由f（x）＝求得sin（2x﹣）＝，分类求出cos（2x﹣），再由cos2x＝cos[（2x﹣）+]，展开两角和的余弦求解．【解答】解：（1）f（x）＝＝＝＝＝．由，得x＝，k∈Z．∴f（x）的对称中心为（，0），k∈Z；（2）由f（x）＝，得，∴sin（2x﹣）＝，∵x，∴2x﹣∈[﹣，]，则cos（2x﹣）＝±．当cos（2x﹣）＝时，cos2x＝cos[（2x﹣）+]＝cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin＝＝；当cos（2x﹣）＝﹣时，cos2x＝cos[（2x﹣）+]＝cos（2x﹣）cos﹣sin（2x﹣）sin＝．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查计算能力，是中档题．2．已知函数．（1）求f（x）的对称轴；（2）当α∈[0，π]时，若f（α）＝1，求α的值．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，则函数的对称轴方程可求；（2）由f（α）＝1，得sin（）＝，结合α的范围求得α的值．【解答】解：（1）＝＝＝．由，得，k∈Z．∴f（x）的对称轴为，k∈Z；（2）由f（α）＝1，得，∴sin（）＝，∵α∈[0，π]，∴∈[，]，则＝或，即或．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，训练了利用三角函数值求角，是基础题．3．已知的最大值为．（Ⅰ）求实数a的值；（Ⅱ）若，求的值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换求出结果．（Ⅱ）利用三角函数的关系式的变换和同角三角函数及倍角公式的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）＝＝＝，由于函数的最大值为，故，解得a＝﹣．（Ⅱ）由于f（x）＝，所以，整理得．所以，所以＝．＝或，所以或，故＝＝，所以当时．．当时，，所以原式＝．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4．已知函数．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在区间上的最小值为1，求m的最小值．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．（Ⅱ）利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）由已知，有，＝，＝，所以f（x）的最小正周期：．由得f（x）的单调递减区间是．（Ⅱ）由（1）知，因为，所以．要使f（x）在区间上的最小值为1，即在区间上的最小值为﹣1．所以，即．所以m的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．5．已知函数（x∈R）．（1）求f（x）的最小正周期与单调递增区间；（2）求满足的x的集合．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式求周期，再由复合函数的单调性求函数的单调增区间；（2）直接求解三角不等式得答案．【解答】解：（1）∵＝＝．∴T＝．由，解得，k∈Z．∴f（x）的单调增区间为[，]，k∈Z；（2）由＞﹣，得＜＜，∴kπ＜x＜，k∈Z．∴满足的x的集合为{x|kπ＜x＜，k∈Z}．【点评】本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．6．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及图象的对称轴方程；（2）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a≤b≤c，则求函数的值域．【分析】（1）利用两角和与差的三角函数公式将f（x）化简，利用正弦函数的性质可求f（x）的对称轴方程及单调递增区间；（2）△ABC中由a≤b≤c∴A≤B≤C⇒3A≤π，得出角A的取值范围，化简g（A），利用配方法求得g （A）的值域．【解答】解：（1）＝＝．所以最小正周期．由得．函数图象的对称轴方程为．（2）＝．∴a≤b≤c∴A≤B≤C⇒3A≤π⇒当时，g（A）取得最小值；当时，g（A）有最大值；故g（A）的值域为．【点评】本题考查两角和与差的正弦与余弦公式，考查三角变换与辅助角公式的应用，强调数形结合，属于中档题．7．已知函数．（1）求的值．（2）求函数f（x）在上的值域．【分析】利用二倍角的余弦把已知函数解析式变形．（1）把x＝代入函数解析式即可求得的值；（2）令t＝cos（），把原函数化为关于t的一元二次函数，再由二次函数求最值得答案．【解答】解：＝＝＝．（1）f（）＝；（2）设t＝cos（），∴x∈，∴t∈[，1]，则原函数化为g（t）＝，t∈[，1]，∴f（t）∈[，2]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查三角函数值的求法，训练了利用换元法求函数的值域，是中档题．8．已知函数．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积．（1）直接利用周期公式求周期；（2）由x的范围求得相位的范围，则函数值域可求．【解答】解：f（x）＝＝＝．（1）f（x）的最小正周期为；（2）由x∈，得2x+∈[，]，∴f（x）∈[﹣1，2]．即f（x）在区间上的值域为[﹣1，2]．【点评】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查三角函数的周期性与值域的求法，是中档题．9．已知函数f（x）＝sin2x+a cos2x的图象关于直线对称．（1）求实数a的值；（2）若对任意的，使得m[f（x）+8]+2＝0有解，求实数m的取值范围；【分析】（1）利用辅助角公式化简，结合题意可得|﹣+a|＝，求解即可得到a值；（2）把m[f（x）+8]+2＝0化为：m[sin（2x﹣）+8]+2＝0．讨论m＝0和m≠0，分离参数m，得sin（2x﹣）+8＝﹣．由x的范围求得sin（2x﹣）的范围，转化为关于m的不等式求解．【解答】解：（1）f（x）＝sin2x+a cos2x＝sin（2x+θ）（tanθ＝a）．∵图象关于直线x＝﹣对称，∴|f（﹣）|＝|﹣sin+a•cos|＝|﹣+a|＝，两边平方得，（a+1）2＝0，即a＝﹣1；（2）m[f（x）+8]+2＝0可化为：m[sin（2x﹣）+8]+2＝0．当m＝0时，等式不成立；当m≠0时，化为sin（2x﹣）+8＝﹣．∵x∈[0，]，2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）+8∈[7，9]．即7≤﹣≤9，解得﹣≤m≤﹣．【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查y＝A sin（ωx+φ）型函数的图象和性质，考查一元二次方程根的分布应用，是中档题．10．已知函数f（x）＝x sinθ﹣cosθ，其中θ∈[0，2π）．（1）若f（2）＝0，求sin2θ的值；（2）求f（1）+sin2θ的最大值．【分析】（1）由f（2）＝0，求得tanθ的值，再利用二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得sin2θ的值．（2）设t＝sinθ﹣cosθ，化简f（1）+sin2θ为g（t）＝t+1﹣t2，再利用二次函数的性质得它的最大值．【解答】解：（1）由f（2）＝2sinθ﹣cosθ＝0，tanθ＝∴sin2θ＝；（2）f（1）+sin2θ＝（sinθ﹣cosθ）+2sinθcosθ，设t＝sinθ﹣cosθ＝sin（θ﹣），则t∈[﹣，]，∴2sinθcosθ＝1﹣t2，∴g（t）＝t+1﹣t2＝，∴当t＝时，，∴f（1）+sin2θ的最大值为：．【点评】本题主要考查三角恒等变换，二次函数的性质，考查了转化思想和整体思想，属基础题．11．已知函数f（x）＝2cos x（sin x+cos x）﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）在区间[0，]上的最小值；（Ⅱ）若f（x）＝，x∈[]求cos2x的值；（Ⅲ）若函数y＝f（ωx）（ω＞0）在区间[]上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【分析】（Ⅰ）化简f（x），利用整体法求出f（x）的最小值即可；（Ⅱ）由f（x）＝可得，然后再由cos2x＝求值即可；（Ⅲ）由条件可得，k∈Z，然后求出的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）＝＝．∵x∈[0，]，∴，故；∴函数f（x）在区间上的最小值为﹣1；（Ⅱ）∵，∴，又∵x∈，∴，故，∴cos2x＝＝＝；（Ⅲ）当x∈时，，于是，k∈Z．∴，k∈Z．∵ω＞0，∴ω的取值范围为．【点评】本题考查了三角恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体法和数形结合思想，属中档题．12．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求f（x）在区间上的值域．【分析】（1）先由诱导公式及差角余弦公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的单调性可求f（x）的单调递增区间；（2）结合正弦函数的值域及函数图象可求．【解答】解：（1），＝，＝，＝＝，＝，令，k∈z解可得，，∴f（x）的单调递增区间为；（2）由得，故．∴f（x）在区间上的值域为[1，]【点评】本题主要考查了诱导公式，差角的余弦公式及辅助角公式在三角化简中的应用，正弦函数的性质的应用，属于中档试题．13．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若函数在的最大值为2，求实数a的值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用分类讨论思想和二次函数的性质的应用求出结果．【解答】解：（1），＝（2+2sin x）sin x+1﹣2sin2x﹣1＝2sin x．∴T＝2π．（2）．令sin x﹣cos x＝t，则sin2x＝1﹣t2．∴，＝．∵，由，得，∴．①当，即时，在处．由，解得（舍去）．②当，即时，，由，得a2﹣2a﹣8＝0，得a＝﹣2或a＝4（舍去）．③当，即a＞2时，在t＝1处，由，得a＝6．综上，a＝﹣2或a＝6为所求．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换的应用，正弦型函数的性质的应用，二次函数的性质的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．14．已知．（1）求f（x）在的值域；（2）若，求的值．【分析】（1）先利用诱导公式及二倍角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质即可求解；（2）由f（x）＝，可求sin（x+）及cos（x+），然后由二倍角的正弦公式即可求解．【解答】解：（1），＝，＝＝，∵，∴，∴，∴函数的值域为（2）∵f（x）＝，∴sin（x+）＝，∴cos（x+）＝±，又，∴，∵，∴，或（舍），∴cos（x+）＝，∴sin（2x+）＝2sin（x+）cos（x）＝．【点评】本题主要考查了诱导公式，辅助角公式及同角平方关系和正弦函数的图象及性质的综合应用，属于中档试题15．已知函数．（1）求y＝f（x）的单调增区间；（2）当时，求f（x）的最大值和最小值【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数为正弦型函数，利用正弦函数的单调性即可得解；（2）求出时f（x）的值域，即可得出f（x）的最大、最小值．【解答】解：（1）＝2sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ≤x≤kπ+，k∈Z，可得y＝f（x）的单调递增区间为：；（2）当时，2x+∈[﹣，]，∴当2x+＝﹣时，即x＝﹣时，f（x）取得最小值﹣1；当2x+＝时，即x＝时，f（x）取得最小值2．即f（x）的最大值为2，最小值为﹣1．【点评】本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．16．已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y＝g（x）的图象，求函数y＝g（x）在区间上的值域．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）根据y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x+cos x）+＝cos x sin x+cos2x+＝cos2x+1＝，∴f（x）的周期T＝，由﹣+2kπ（k∈Z），得﹣+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）＝＝，∵x∈，∴2x﹣，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．【点评】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属基础题．17．已知函数．（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若f（x）＜m在内有解，求m的取值范围．【分析】（1）由三角函数恒等式、二倍角公式，推导出f（x）＝sin（2x+），令，能求出函数f（x）的单调递增区间．（2）由，从而，由f（x）＜m在内有解，由此能求出m的取值范围．【解答】解：（1）由＝，令，解得∴函数f（x）的单调递增区间为．（2）由，∴，由f（x）＜m在内有解，∴m＞f（x）min，则m＞0，∴m的取值范围为（0，+∞）．【点评】本题考查实三角函数的增区间、实数的取值范围的求法，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．已知f（x）＝2sin x cos x+（cos2x﹣sin2x）．（1）求函数y＝f（x）的最小正周期和对称轴方程；（2）若x∈[0，]，求y＝f（x）的值域．【分析】（1）将f（x）化简，利用整体法求出f（x）的对称轴和周期即可；（2）根据正弦函数的单调性，求出f（x）的最大值和最小值即可．【解答】解：（1）f（x）＝2sin x cos x+（cos2x﹣sin2x）＝令，则f（x）的对称轴为，最小正周期；（2）当x∈[0，]时，，因为y＝sin x在单调递增，在单调递减，在取最大值，在取最小值，所以，所以f（x）∈[﹣1，2]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质和三角函数的化简求值，属基础题．19．已知函数．（1）求函数f（x）的最小正周期及其对称中心；（2）若，求f（x）的最值．【分析】（1）化简f（x），然后利用整体法求出周期和对称轴即可；（2）由条件可得，因此，然后求出f（x）的值域即可．【解答】解：（1）＝＝＝∴最小正周期为T＝，对称中心为；（2）∵，∴，∴，∴，f（x）max＝2，∴f（x）的值域为[]．【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，考查了整体思想，属基础题．20．已知函数f（x）＝cos（2x+）+sin2x﹣cos2x+2sin x cos x．（1）化简f（x）；（2）若f（α）＝，2α是第一象限角，求sin2α．【分析】（1）利用三角函数恒等式、二倍角公式能化简f（x）．（2）由f（α）＝sin（2）＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜+2kπ（k∈Z），从而cos（2）＝，再由sin 2α＝sin[（2）+]，能求出结果．【解答】解：（1）f（x）＝cos 2x﹣sin 2x﹣cos 2x+sin 2x＝sin 2x﹣cos2x＝sin（2x﹣）．（2）f（α）＝sin（2）＝，2α是第一象限角，即2kπ＜2α＜+2kπ（k∈Z），∴2kπ﹣＜2α﹣＜+2kπ（k∈Z），∴cos（2）＝，∴sin 2α＝sin[（2）+]＝sin（2）•cos+cos（2）•sin＝×+×＝．【点评】本题考查三角函数的化简．考查三角函数恒等式、二倍角公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。