大学物理A习题答案

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第1章 质点运动学

1-1 已知质点的运动方程为

36t t e e -=++r i j k 。(1)求：自t =0至t =1质点的位移。(2)求质点的轨迹方程。

解：(1) ()k j i 0r 63++= ()k j e i e 1r -1 63++=

质点的位移为()j e i e r ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-=331∆ (2) 由运动方程有t x e =，t y -=e 3， 6=z 消t 得

轨迹方程为 3=xy 且6=z

1-2运动质点在某瞬时位于矢径()y x,r 的端点处，其速度的大小为 [ D ] (A)dt dr (B)dt d r (C)dt d r (D)2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛dt dy dt dx 1-3如图所示，堤岸距离湖面的竖直高度为h ，有人用绳绕过岸边的定滑轮拉湖中的小船向岸边运动。设人以匀速率v 0收绳，绳不可伸长且湖水静止。求：小船在离岸边的距离为s 时，小船的速率为多大？(忽略滑轮及船的大小) 解：如图所示，在直角坐标系xOy 中，t 时刻船离岸边的距离为s x =，船的位置矢量可表示为

船的速度为 i i r v v dt

dx dt d === 其中 22h r x -=

所以 ()

dt dr h

r r h r dt d dt dx v 2222-=-== 因绳子的长度随时间变短，所以 0v dt

dr -= 则 船的速度为

i i v 022220 v s h s h r r

v +-=--= 所以 船的速率为 02

2v s

h s v += 1-4已知质点的运动方程为()()k j i r 5sin cos ++=ωt R ωt R (SI)。求：(1)质点在任意时刻的速度和加速度。(2)质点的轨迹方程。

解：(1)由速度的定义得

由加速度的定义得

(2) 由运动方程有 ωt R x cos =，ωt R y sin =，5=z 消t 得

质点的轨迹方程为 222R y x =+且5=z

1-5 一质点在平面上运动，已知质点的运动方程为j i r 2235t t +=，则该质点所作运动为 [ B ]

(A) 匀速直线运动 (B) 匀变速直线运动

(C) 抛体运动 (D) 一般的曲线运动

1-6 一质点沿Ox ?轴运动，坐标与时间之间的关系为t t x 233-=(SI)。则质点在4s 末的瞬时速度为 142m·s -1 ，瞬时加速度为 72m·s -2 ；1s 末到4s 末的位移为 183m ，平均速度为 61m·s -1 ，平均加速度为 45m·s -2。

解题提示：瞬时速度计算dt dx v =，瞬时加速度计算22dt

x d a =；位移为()()14x x x -=∆，平均速度为()()1414--=x x v ，平均加速度为 ()()1

414--=v v a 1-7 已知质点沿Ox?轴作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为t a x 3=2s m -⋅。在t =0时，0=x v ，10=x m 。求：(1)质点在时刻t 的速度。(2)质点的运动方程。

解：(1) 由dt

dv a x x =得 两边同时积分，并将初始条件t =0时，0=x v 带入积分方程，有

解得质点在时刻t 的速度为 22

3t v x =

(2) 由dt

dx v x =得 两边同时积分，并将初始条件t =0时，10=x m 带入积分方程，有

解得质点的运动方程为 32

110t x += 1-8 一物体从空中由静止下落，已知物体下落的加速度与速率之间的关系为Bv A a -=(A ,B 为常数)。求：物体的速度和运动方程。

解：（1）设物体静止时的位置为坐标原点，向下为y 轴正方向，则t =0时, v =0, y =0。 由dt

v d a =得 整理得 dt dv Bv

A =-1 对方程两边同时积分，并将初始条件带入积分方程，有

解得物体的速率为 ()

Bt B A v --=e 1 ，方向竖直向下 （2）由dt

dy v =得 对方程两边同时积分，并将初始条件带入积分方程，有

解得物体的运动方程为 ()

1e 2-+=-Bt B A t B A y 1-9一质点作半径r =5m 的圆周运动，其在自然坐标系中的运动方程为22

12t t s +=(SI)，求：t 为何值时，质点的切向加速度和法向加速度大小相等。 解：由运动方程得

质点的切向加速度为 1==dt

dv a t

质点的法向加速度为 ()522

2t r v a n +== 当两者相等时，有 ()1522

=+t

解得时间t 的值为 )25(-=t s

1-10 质点做半径为1m 的圆周运动，其角位置满足关系式325t θ+=(SI)。t =1s 时，质点的切向加速度 12m·s -2 ，法向加速度 36m·s -2 ，总加速度 37.95m·s -2 。

解：由运动方程325t θ+=得 角速度为12s 6-==t dt d θω ， 角加速度为2s 12-==t dt

d ωα t 时刻，质点的切向加速度的大小为t t R a t 12112=⨯==α2s m -⋅

质点的法向加速度的大小为()42223616t t R ωa n =⨯==2s m -⋅

质点的总加速度的大小为 ()()242223612t t a a a n t +=

+=2s m -⋅ 将t =1s 代入上面方程，即可得到上面的答案。 班级 学号 姓名

第2章 质点动力学

2-1 质量为m 的质点沿Ox 轴方向运动，其运动方程为ωt A x sin =。式中A 、ω均为正的常数，t 为时间变量，则该质点所受的合外力F 为 [ C ]

(A) x ωF 2= (B) m ωF -=x (C) x m ωF 2-= (D) x m ωF 2=

解：因为 x t A dt

x d a 2222sin ωωω-=-== 所以 x m ωma F 2

-==

2-2 质量为m 的物体在水平面上作直线运动，当速度为v 时仅在摩擦力作